Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập khác

Chyên đề tháng 11:Vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập khác
Người báo cáo:Võ Thị Thùy Dung.
Ngày báo cáo: 11/2019
ĐẶT VẤN ĐỀ.
 	Rèn luyện kỹ năng tư duy sáng tạo, kích thích phát triển tư duy sáng tạo là một yêu cầu không thể thiếu trong việc dạy học giải bài tập ở tất cả các môn học nói chung, trong đó có bộ môn Toán học. Vấn đề này lại càng được đặc biệt chú ý đối với đối tượng học sinh khá giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
 	Trong những năm gần đây, bản thân được phân công dạy chương trình nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác dữ kiện bài toán một cách phiến diện chưa triệt để, sáng tạo mà còn phụ thuộc vào sách giáo khoa, sự hướng dẫn của giáo viên một cách rập khuôn, máy móc. Vì vậy, khi gặp các bài toán cùng dạng nhưng thay đổi dữ kiên, cách hỏi,thì các em thường bí mà chưa biết sáng tạo, phát hiện tìm ra những cái mới từ những cái đã biết. 
 	Làm thế nào để xoá được cách nhìn xơ cứng của học sinh trước một bài toán? Đó là một câu hỏi luôn thường trực đặt ra trong đầu tôi.Thực hiện được điều đó là việc làm hết sức khó khăn, không phải chỉ trong ngày một ngày hai mà đòi hỏi người thầy giáo phải có kiến thức vững vàng, có khả năng thâu tóm vấn đề tốt, phải luôn luôn chịu khó tích luỹ, có lòng ham mê khoa học và truyền được lòng ham mê đó tới học sinh. Phát hiện được cái mới từ những cái đã biết là đã tạo được cho các em sự nhạy bén trong tư duy, hứng thú trong học tập điều này rất quan trọng đối với những em học sinh khá giỏi. Dưới sự hướng dẫn, gợi mở của giáo viên các em có thể hái lượm được biết bao kết quả thú vị từ một bài toán đơn giản.Bằng cách phát hiện những tính chất mới của bài toán, bằng cách diễn đạt bài toán dưới hình thức khác, có thể nói ở bất cứ bài toán nào, ta cũng thu được những kết quả mới nhiều khi khá bất ngờ.
 	Từ thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS nhiều năm, tôi nhận thấy việc kích thích sáng tạo, linh hoạt của học sinh trong giải các bài tập Toán là một việc làm rất cần thiết, để từ đó giúp học sinh tìm tòi, sáng tạo và gây được hứng thú trong học toán.
 II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Một số nguyên nhân thường gặp.
Tìm hiểu qua một số học sinh và đồng nghiệp, tôi phát hiện thấy một số nguyên nhân cơ bản sau:
Do học sinh chưa khai thác đề bài một cách triệt để, toàn diện.
Chưa nắm được bản chất của một số bài toán cơ bản.
Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo khi làm bài.
Đặc biệt các em chưa biết phát hiện ra cái mới qua những kiến thức đã biết và vận dụng đúng lúc, đúng chỗ.
 Từ những nguyên nhân trên, tôi thiết nghĩ: 
 	Để kích thích phát huy khả năng tư duy của học sinh, người thầy giáo phải giúp các em nhìn nhận một vấn đề dưới các góc độ khác nhau. Đặc biệt từ điều đúng đã biết, bằng hình thức diễn tả khác nhau rồi chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu học sinh giải bài tập đó hoặc từ khai thác tri thức đó tìm ra tình huống áp dụng cụ thể bằng việc giải quyết các bài tập tương ứng, các nội dung ấy lại từ chính tài liệu sách giáo khoa, vì vậy tri thức ấy đã được khai thác sử dụng hiệu quả nhất. Điều này được làm sáng rõ hơn qua một số bài toán sau.
2.Giải pháp.
 Trước hết tôi giúp học sinh khai thác kỹ, nắm rõ bản chất của hai bài toán cơ bản:
 Bài toán 1: Phân tích đa thức: x3 +y3 +z3 -3xyz thành nhân tử.
+ Tìm hiểu bài toán: Đề bài đòi hỏi ta phải phân tích đa thức đã cho thành nhân tử tức là biến đổi tổng đã cho thành một tích gồm hai hay nhiều thừa số.
+ Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta đã biết 3 phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử. Thông thường phải phối hợp cả 3 phương pháp một cách linh hoạt để phân tích. Ở bài toán này cả 3 phương pháp đó đều chưa sử dụng được. Bởi vậy ta phải sử dụng phương pháp khác đó là thêm bớt cùng một hạng tử . Vậy hạng tử cần thêm bớt ở đây là bao nhiêu để làm xuất hiện hằng đẳng thức lập phương của một tổng rồi sau đó ta lại áp dụng tiếp hằng đẳng thức tổng 2 lập phương vào để phân tích? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên để cho học sinh thảo luận rồi đưa ra lời giải.
Có thể giáo viên hướng dẫn cho học sinh theo sơ sau:
 x3 +y3 +z3 – 3xyz
 ß
 x3 +y3 + 3xy(x+y) +z3 – 3xy(x+y) – 3xyz
 hoặc: x3 +z3 + 3xz(x+z) +y3 – 3xz(x+z) – 3xyz 
 hoặc: y3 +z3 + 3yz(y+z) +x3 – 3yz(y+z) – 3xyz
 ß
 (x+y)3 +z3 – 3xy(x+y+z) 
 hoặc: (x+z)3 +y3 – 3xz(x+y+z) 
 hoặc: (y+z)3 +x3 – 3yz(x+y+z)
 ß
 (x+y+z) [(x+y)2 – (x+y)z +z2] - 3xy(x+y+z)
 hoặc: (x+y+z) [(x+z)2 – (x+z)y + y2] - 3xz(x+y+z)
 hoặc: (x+y+z) [ (y+z)2 – (y+z)x + x2] - 3yz(x+y+x)
 ß
 (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –yz –xz).
Bài toán 2: Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 = 3xyz khi và chỉ khi x +y +z =0 hoặc x= y= z.
Hướng dẫn giải: 
 Ta có: x3 +y3 +z3 =3xyz
 Û x3 +y3 +z3 – 3xyz =0
 Û (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –xz –yz) = 0 (kết quả bài toán 1)
(x+y+z)(2x2 +2y2 +2z2 –2xy –2xz –2yz) =0 
 (x+y+z)[(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2] = 0
 x+y+z = 0 hoặc (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = 0
 x+y+z = 0 hoặc x=y=z
 Vận dụng hai bài toán cơ bản trên, các em dễ dàng giải quyết một số bài toán được diễn đạt dưới những hình thức khác; một số bài có yêu cầu ở mức độ cao kể cả những bài rất khó đối với các em. Chẳng hạn:
Bài toán 3: Chứng minh rằng "x,y,z Îz thì x3 +y3 +z3 -3xyz chia hết cho x+y+z.
Ở bài toán 1 ta đã phân tích được:x3 +y3 +z3 – 3xyz = (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –yz –xz), điều này giúp học sinh chứng minh được:x3 +y3 +z3 – 3xyz chia hết cho x+y+z.
 Bài toán 4. Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 <3xyz khi và chỉ khi x+y+z < 0 
 Hướng dẫn giải:
 Từ x3 +y3 +z3 <3xyz, chuyển vế ta có: x3 +y3 +z3 -3xyz < 0. Khai triển vế trái bằng cách áp dụng kết quả bài toán 1, ta có:
 (x+y+z)[(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2] < 0
 Ûx+y+z 0).Từ đó cho học sinh nêu lên lời giải của bài toán.
 Bài toán 5: Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 > 3xyz khi và chỉ khi x+y+z >0
 (Giải tương tự như bài tập 4)
 Bài toán 6. Cho a3 +b3 +c3 = 3abc, tính. 
a.	M=(1 + (1 + ) (1+ )
b.	N= 
Phân tích: 
Để giải được bài toán này ta phải biết khai thác từ giả thiết : 
a3 + b3 + c3 = 3abc 
Þ a3 + b3 + c3 – 3abc = 0, đến đây áp dụng bài toán 2 ta có : 
a + b + c = 0 hoặc a= b = c.Từ đó tôi có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán theo trình tự sau:
Giải.
 a.Từ giả thiết a3 +b3 +c3 – 3abc =0 Þa+b+c =0 hoặc a=b=c.(bài toán 2)
 + Nếu a+b+c =0 Þ a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b thì
 M=(1 + (1 + ) (1+ ) = . . = =-1
 + Nếu a=b=c thì M = (1+ )(1+ )(1+ ) 
Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) 	=	2.2.2	=	8
 b.giải tương tự ta có:+Nếu a+b+c =0 thì N=-1
 +Nếu a=b=c thì N= 
 Bài toán 7.a. Cho x+y+z =0, tính: P = + +
 Với bài toán này giả thiết cho biết; x+ y + z = 0, áp dụng kết quả bài toán 2 ta có: x3 +y3 +z3 = 3xyz . 
Khai triển biểu thức P để làm xuất hiện điều bài toán đã cho sau đó thay vào ta sẽ tính được giá trị của P.
 Ta có thể giải bài toán như sau: 
Giải.
 Từ giả thiết x+y+z = 0 	Þx3 +y3 +z3 = 3 xyz(bài toán 2) 
 Þ P 	 = + +	 = + + 
 = (x3 +y3 + z3) 	= 	.3xyz 	=3
 b. Cho x+y+z = 0 và x,y,z khác 0, tính:
 	Q = + + 
 	Tương tự câu a, ta giải được câu b: 
 	Từ x+y+z = 0 Þ 	x = -(y+z); 
y = -(z+x); 
z = -(x+y);
 	Þ x2 – y2 –z2 = 2yz; 	y2 –z2 – x2 = 2zx; 	z2 – x2 – y2 = 2xy.
 và x3 +y3 +z3 = 3xyz (bài toán 2)
Q 	= + + 
= + + 	
= 	 
= = .
 Bài tập 8. Tính giá trị biểu thức.
 A = ( + + ) ( + + ), biết rằng: a+b+c = 0
Giải.
 Gọi B = + + 
 Ta có: B. = 1 + ( + ) 
 = 1 + . 
 = 1 + . = 1 + = 1 + 
 Tương tự: B. = 1 + 
 B. = 1 + 
 Vậy A = 3 + = 3 + = 3 + 6 = 9 ( vì a3 + b3 + c3 = 3abc)
 Bài toán 10.Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:
 a3 +b3 +c3 +d3 = 3(c + d)(ab - cd) = 3(a + b)(cd - ab) = 3(a + c)(bd - ac).
 Phân tích:
 	Từ dữ kiện của bài toán đã cho: a + b + c + d = 0, ta nhóm hai trong bốn hạng tử để làm xuất hiện tổng của ba hạng tử bằng không (a + b + (c+d) = 0 ), để từ đó áp dụng kết quả bài toán 2 ta có: a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d), khai triển tiếp vế trái của đẳng thức ta được: a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d). Nên ta có thể giải bài toán như sau:
Giải.
 Thật vậy,từ giả thiết đã cho:	
 a + b + c +d = 0 Þa + b + (c+d) = 0 
Þ a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d)(bài toán 2) 
Þ a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d)
 Þ a3 +b3 +c3 +d3 = 3ab(c+d) – 3cd(c+d) = 3(c+d)(ab – cd).
 Tương tự ta có các đẳng thức tiếp theo.
 Bài toán 11. Giải các phương trình:
 a, (2x - 5)3 + (4 - 3x)3 + (x +1)3 = 0 (1)
 b, (x - 1)3 + (2x - 3)3 + (3x - 5)3 - 3(x - 1)(2x - 3)(3x - 5) = 0 (2) 
 Phân tích: 
 a.Khi ta đặt: 	a= 2x – 5 
b = 4- 3x 
c = x + 1 
ta có: 	a + b + c = 2x- 5 + 4 – 3x + x + 1 =0 
Phương trình (1) trở thành: 	a3 +b3 + c3 = 0
Từ bài toán 2: 	a +b +c = 0 	Û 	a3 +b3 +c3 = 3abc, 
Ta có: (1) Û 3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) = 0
Giải phương trình tích này ta có tập nghiệm của phương trình(1) là:S = {-1; ; }
 b. Ta đặt: 	a = x – 1
b = 2x – 3 
c = 3x – 5 
 Phương trình (2) trở thành: a3 +b3 +c3 - 3abc = 0;
Từ bài toán 1; a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 +b2 + c2 –ab –bc –ca)
 =(a+b+c)[(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2]
 Ta được: (2) Û (x-1+2x-3+3x-5) )[(x-2)2 +(2x- 4)2 +(x- 2)2] = 0
 Û (6x – 9).6(x – 2)2 = 0
 Û 9(x – 2)2(2x – 3) = 0
 Giải phương trình tích này ta có tập nghiệm của phương trình(2) là:S = {2; }
 Bài toán 11.Phân tích đa thức thành nhân tử:
 a, (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
 b, (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3
 Hướng dẫn giải.
 a, Đặt 	a = x-y
b = y-z
c = z-x 
Thì a+b+c = 0.	Vận dụng bài toán 1, ta có:
 	(x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) 
 b, Đặt 	a = x-y-z 
b = y-z-x 
c = z-x-y 
Þx+y+z = -a-b-c 
 Áp dụng bài toán 10 ta có:
 (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = (-a-b-c)3 +a3 +b3 + c3 
 = 3(b+c)[(-a-b-c)a – bc ]
 = 3(b+c)(-a2 – ab – ac – bc)
 = -3(b+c)(a+b)(a+c)
 = 12 xyz.
 Vậy (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = 12 xyz.
 Bài toán 12. Cho a + b + c - 3 = 0, tính 
 P = (1 + ) (1 + ) (1 + )
 Hướng dẫn:
 Từ a + b + c = 3 
Þ ()3 + ()3 + ()3 - 3. . = 0.
 Đặt A = ; B = ; C = thì bài toán này chính là bài toán 6a.