Sáng kiến kinh nghiệm Vài suy nghĩ về hướng dẫn học sinh giải một bài toán

Vài suy nghĩ về hướng dẫn học sinh giải một bài toán
Nếu bàn về phương pháp dạy và giải toán thì có lẽ nói bao nhiêu cũng không đủ được đáp ứng được việc dạy và học toán thật muôn hình muôn vẽ, ở đây tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh của việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán. Thực tế trong qua trình dạy và học toán. Thực tế trong quá trình dạy và học toán có rất nhiều các bài toán mang tính điển hình, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm các bài toán khác mang các thuộc tính tương tự. Bao giờ cũng vậy có những bài toán mang tính chất điển hình thường chữađựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lôgíc. Những bài toán điển hình có thể coi là phần tử đại diện cho một lớp các bài toán có tính bản chất chung. Vì vậy trong quá trình dạy theo tôi người dạy phải biết trong mênh mông của toán, đau là những bài toán mấu chốt, đâu là những bài toán đại diện và vấn đề cơ bản của các bài toán ấy là vấn đề gì. Để thực hiện vấn đề nêu trên khi dạy bồi dưỡng cho một số học sinh THCS qua nhiều năm tôi đã giới thiệu cho học sinh bài toán:
Bài toán: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng tam giác IKM nội tiếp tam giác ABC sao cho chu vi tam giác IKM là nhỏ nhất (mỗi điểm I, K, M nằm trên một cạnh của tam giác ABC)
Rõ ràng đây là một bài toán khó rất điển hình đối với học sinh lớp 8, sau khi dạy kiến thức cơ bản về hình đối xứng giải một số bài tập tôi đã giới thiệu bài toán này và yêu cầu học sinh suy nghĩ. Đối với những em có ham mê học toán tôi gợi ý suy nghĩ. Bài toán có mấy biến? nếu để cả mấy biến đó có giải quyết được cùng lúc không ? để giải bài toán ta cần thực hiện thế nào?
ở một buổi dạy bồi dưỡng cho 15 em được chọn ra từ 3 lớp 8 đang dạy, cả thầy trò cùng nhau tìm cách giải bài toán, có sự gợi ý phần đông các em đã thống nhất bài toán có 3 biến là 3 điểm I, K, M mà cùng đồi thời giải với cả 3 biến như vậy bài toán giải sẽ rất khó khăn. Tôi gợi ý ta hãy giải bài toán bằng cách hạn chế bớt các biến rồi từ đó tạo điều kiện giải bài toán đang xét. Tôi gợi ý ta hãy cố định 2 trong 3 biến bằng cách cho trước 2 điểm nằm trên 2 cạnh của tam giác ABC và tìm điểm thứ 3 để chu vi tam giác cần dựng là nhỏ nhất. Vẽ hình trên bảng và cho học sinh đặt lời bài toán.
Bài toán được phát biểu thành.
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 2 điểm I nằm trên AB, K nằm trên AC, tìm trên cạnh BC điểm M sao cho chu vi tam giác IKM là nhỏ nhất.
Gợi ý học sinh suy nghĩ, ta thấy bài toán này tưởng tượng như bài toán nào đã giải? Học sinh pháthiện, bài toán vừa nêu tương tự bài toán đã giải là:
Bài toán 2: Trên một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho 2 điểm A và B (A khác B). Tìm trên đường thẳng d một điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
Bài toán này đã được giải trên lớp.
Lời giải như sau:
Vờ A, Bvai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, lấy D làm điểm đối xứng với B qua đường thẳng d rõ ràng nối AD thì AD cắt d tại M và có MA + MB bằng MA + MD là nhỏ nhất với mọi M tâm d (H1)
D
d
B
A
M
K
A
I
C
M
B
I1
Từ lời giải bài toán 2 ta có lời giải bài toán 1 như hình vẽ 2.
Bằng cách khai thác như vậy ta mở rộng dần các biến bằng cách cố định một trong 3 điểm I, K, M gợi ý Nếu ta cố định một điểm M trên BC, hãy nêu đề bài toán.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, một điểm M trên cạnh BC. Dựng tam giác IKM (I nằm trên AB, K nằm trên AC) nội tiếp tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Bằng cách giải như bài toán 2 gợi ý học sinh lấy M1, M2 là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Nối M1M2 nhận xét giáo của M1M2 với AB, AC của tam giác ABC và từ đó suy ra lời giải bài toán (H3)
C
I
K
A
M1
B
M1
Hình 3
M
C
I
A
M1
B
M2
Hình 4
Theo tính chất đối xứng. Với lập luận tương tự bài toán 2 giao củaM1M2 với AB, AC của tam giác ABC chúng là (tam giác) I, K của tam giác IKM cần dựng và chu vi tam giác IKM bằng độ dài đoạn thẳng M1M2 là bé nhất. Vì MI + MK + KI = M1I + IK + KM2. Như vậy ta đã giải được một phần bài toán. Bậy giờ ta xét bài toán đầy đủ cả 3 biến. Tới đây ta lập luận hợp lý dự trên kết quả bài toán 3. Như vậy ta phải xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác IKM là nhỏ nhất, vì I, K phụ thuộc M. Trên hình vẽ 3 ta vẽ thêm các đường kẻ có hình vẽ.
Gợi ý: Nhận xét về AM1, AM2, AM và tam giác AM1M2 ?
Ta thấy AM1 = AM2 = AM và tam giác AM1M2 là tam giác cân đỉnh A
Tam giácnày có cạnh đáy M1M2 bằng chu vi tam giác IKM
Như vậy chu vi tam giác IKM là bé nhất nên M1M2 là bé nhất.
Ta lại có góc M1AM2 = 2BAC (không đổi)
Do vậy tính chất tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi)
Mà AM1 = AM (do đ/c đối xứng) do đó ta có kết luận AM1 bé nhất khi AM bé nhất. Do M thuộc BC nên AM bé nhất khi AM vuông góc với BC, tức là M là chân đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A
Như vậy bài toán được giải xong và ta có cách dựng tam giác IKM.
- Trong tam giác ABC dựng đường cao AM.
- Dựng M1, M2 là điểm đối xứng của M qua AB, AC.
- Dựng đoạn thẳng M1, M2 ta có I, K là giao của M1, M2 với AB, AC. 
Tam giác IKM là tam giác phải dựng 
Tóm lịa để giải bào toán trên ta cần xem xét vận dụng kiến thức nào và cần giải các bài toán phụ nào để có lời giải thích hợp và chính xác. 
Bây giờ ta lại lưu ý: Vai trò các điểm I,K,M là như nhau nên từ điểm M chân đường cao AM trong tam giác ABC thì mỗi điểm I,K cũng là chân các đường cao của tam giác ABC vẽ từ B và C. 
Như vậy ta có thể phát triển bài toán" 
Trong một tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng chân 3 đương cao tam giác ấy làm thành một tam giác có chu vi bé nhất trong mọi tam giác nội tiếp nó. Cho học sinh suy nghĩ tìm hiểu. trường hợp tam giác, có góc vuông hoặc góc tù, bằng cách hướng dẫn tương tự đối với một số bài toán khó trong nhiều năm bồi dưỡng học sinh lớp 8 - lớp 9, đối với những em có năng lực trội hơn trong các lớp dạy. Qua bồi dưỡng tôi thấy có kết quả tốt, gây cho học sinh hướng thú học tập, chịu khó tìm tòi. nhiều em có khả năng mở rộng những vấn đề học tập trên lớp và khái quát được những dạng bài tập có thể phát triển thành những bài toán tương tự dưới dạng khác. 
Nói chung việc bồi dưỡng cho học sinh học toán là vấn đề rất phong phú, ta cần lựa chọn những gì có thể trang bị cho học sinh bước vào say mê học toán cần thiết, bồi dưỡng, những kiến thức mẫu mực mang tinh kinh điển là hành trang vào đời cho các em. 
Trên đây tôi chỉ bàn một khía cạnh nhỏ của việc bồi dưỡng học sinh trong quá trình dạy học. Rất mong được góp phần nhỏ vào công tác dạy học toán cho học sinh ngày càng có kết quả tốt./.