Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

MỤC LỤC
Trang
Mục lục.
2
Phần 1 : Mở đầu
3
Phần 2 : Nội dung.....
4
A. Kiến thức cơ bản 
4
B. Kỹ năng ..............................................................
4
C. Bài tập áp dụng ....................................................................................................
 1. Bài tập thông hiểu .............................................................................................
7
 2. Bài tập vận dụng cao ........................................................................................
8
 2.1. Bài toán tìm giá trị của m để hàm số đồng biến ; nghịch biến trên tạp K......
8
 2.2. Bài toán áp dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình...........................................................................................
D. Bài tập luyện tập ..................................................................................................
Phần 3: Kết luận....
10
22
23
Tài liệu tham khảo 
24
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm số có những nội dung hay, khó và có thể giải quyết các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng của học sinh THPT Quốc gia .
	Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của hàm số so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11. Dựa vào tính đơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến , nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số. Trong những năm gần đây thì tính đơn điệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia .
 	Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này.
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 	Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các học sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như bài toán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố hay áp dụng tính đồng biến nghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.
Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi đượ, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ để giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy.
 III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
	- Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin.
	- Phân tích, rút kinh nghiệm qua bài toán tính đơn điệu hàm số qua các đề thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia. 
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
	- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tính đơn điệu của hàm số và các bài toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia. 
PHẦN 2: NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc một đoạn.
+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi 
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
	+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì .
	+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
	+ Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
	+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
	+ Nếu thì hàm số không đổi trên tập K.
Chú ý : 
	+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên đoạn .
	+ Nếu ( hoặc ) và tại một số hữu hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).
B. KỸ NĂNG 
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)
Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x) không xác định .
Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định
Bước 1: Tim tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm .
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình hoặc những giá trị của x để cho không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên cho trước.
Cho hàm số có tập xác định K, khoảng 
	+ Hàm số nghịch biến trên . 
	+ Hàm số đồng biến trên .
Chú ý : 
- Đối với hàm số đa thức thì :
	+ Hàm số nghịch biến trên .
	+ Hàm số đồng biến trên .
Đối với hàm phân thức thì :
 + Hàm số nghịch biến trên . 
+ Hàm số đồng biến trên .
Đối với hàm phân thức thì
+ Hàm số nghịch biến trên .
 + Hàm số đồng biến trên .
Nhắc lại một số kiến thức liên quan :
Cho tam thức 
a) 	
b) 
c) 
d) 
Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng :
Bước 1: Đưa bất phương trình (hoặc) về dạng (hoặc ).
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng .
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình; hệ phương trình và bất phương trình 
+ Đưa phương trình hoặc bất phương trình về dạng hoặc . Lập bảng biến thiên của f(x), dựa vào bảng biến thiên suy ra kết luận.
5. Một số tính chất của tính đơn điệu hàm số
+ Tính chất 1: Giả sử hàm số f(x ) liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình f(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc tập K.
+ Tính chất 2: Nếu phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm thuộc (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm thuộc (a; b).
+ Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên tập K và g(x) liên tục, nghịch biến (hoăc hàm hằng) thì phương trình f(x) = g(x) có duy nhất một nghiệm trên tập K.
+ Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên tập K thì với mọi thì ta có .
+ Tính chất 5: Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b) thì là nghiệm của hệ phương trình 
+ Tính chất 6: Nếu hàm f(x) đồng biến trên (a; b) thì với mọi sao cho (ngược lại với trường hợp nghịch biến) 
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Bài tập thông hiểu và nhận biết.
Câu 1 : Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ;.
Hàm số đồng biến trên khoảng ;.
Lời giải : Đạo hàm : thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;
*Chú ý: Hàm số đơn điệu trên khoảng; đoạn, nửa khoảng nhưng không phải trên tập hợp ( không có các ký hiệu giao, hợp, hiệu hai tập hợp).
Câu 2:Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng:
Hàm số nghịch biến trên .
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đồng biến trên khoảng và hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đồng biến trên .
Lời giải : Hàm đa thức: nên hàm số đồng biến trên .
Câu 3:Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Hàm số nghịch biến trên R.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;.
 C. Hàm số đồng biến trên khoảng và hàm số nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số đồng biến trên .
Lời giải: Hàm đa thức: nên Hàm số nghịch biến trên .
Câu 4: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:
Hàm số nghịch biến trên (-3;1).
Hàm số đồng biến trên .
Hàm số đồng biến trên (-9; -5).
Hàm số đồng biến trên.
Lời giải: Hàm đa thức: 
 Hàm số nên hàm số nghịch biến trên (-3;1).
2. Bài tập vận dụng và vận dụng cao
2.1. Bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số luôn đồng biến trên .
1 B. 0 C. 3 D. 2
Lời giải : để hàm số đồng biến trên R thì với m nguyên thì m = -1; m = 0; m = 1 có 3 giá trị m nguyên thoả mãn.
Câu 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
	A. m >3 B. C. D. 
Lời giải: Hàm phân thức thì cho hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
*Chú ý: Hàm phân thức thì hàm số nghịch biến trên , hàm số đồng biến trên .
Câu 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất sao cho hàm số luôn nghịch biến trên .
	A. B. C. D. 
Lời giải: Hàm phân thức 
Điều kiện: mà 
Đáp án: 
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 
	A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Lời giải: Tập xác định . Ta có đạo hàm Hàm số đồng biến trên thì và . Vì có hai nghiệm thảo mãn nên (*)
Điều kiện: 
Do (*) nên không tồn tại giá trị m nguyên dường nào thảo mãn đầu bài.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng là trong đó phân số 
tối giản và . Hỏi tổng bằng 
5 B. 9 C. 7 D. 3
Lời giải:
Tập xác định . 
	Ta có . Hàm số nghịch biến trên khoảng thì 
Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1; 2) với 
Bảng biến thiên 
x
 1 2 
g’(x)
 + 
g(x)
 Dựa vào bảng biến thiên 
Câu 6: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số luôn đồng biến trên .
	A. 	B. C. D. 
Lời giải:
	Tập xác định . 
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có : 
Ta đưa bài toán bất phương trình .
2.2. Bài toán áp dụng tính đồng biến, nghịch biến giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình .
1. Giải phương trình .
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị tham số m sao cho phương trình có đúng 1 nghiệm duy nhất.
	A. 	 B. 	 C. 	D. 
Lời giải: Phương trình . 
Bảng biến thiên của hàm số:
x
 -1 3 
y’
 + 0 - 0 +
y
 5 
 -27 
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thì 
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có nghiệm thực.
A. B. C. D. 
Lời giải :
Điều kiện . 
Đặt thì phương trình trở thành 
Xé hàm số 
Bảng biến thiên 
t
0 1 
f’(t)
 + 0 - 
f(t)
 2 
 1
Từ bảng biến thiên suy ra : 
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình có đúng 2 nghiệm dương.
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt . 
Ta có 
Do phương trình có 2 nghiệm đều dương nên xét x >0 có bảng biến thiên
x
0 2 
f’(x)
 - 0 + 
f(x)
 1 
Với điều kiện x > 0 thì . Để phương trình có đúng 2 nghiệm dương thì phương trình có đúng 1 nghiệm . 
Đặt . Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm t sao cho .
Bảng biến thiên
t
1 
g’(t)
 + 
g(t)
-3
Từ bảng biến thiên suy ra thì thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4: Số giá trị nguyên dương của m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc . 
	A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Lời giải : Đặt với 
Phương trình 
Đặt 
Bảng biến thiên 
t
1 2 
f’(t)
 + 
f(t)
 2
 0 
Từ bảng biến thiên suy ra có 2 giá trị m nguyên dương là m = 1; m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm thực
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải : Điều kiện: 
Phương trình 
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (*) nên 
Xét 
Bảng biến thiên 
x
 0 
f’(x)
 + + 
f(x)
Từ bảng biến thiên để phương trình có 2 nghiệm thì 
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình 
Có hai nghiệm thực.
A. B. C. D. 
Lời giải: Điều kiện phương trình 
Đặt thì thay vào phương trình ta được 
Đặt 
Bảng biến thiên 
t
0 1 
f’(t)
 + 0 - 
f(t)
 0 
 -1 
Từ bảng biến thiên để phương trình có hai nghiệm 
2. Bất phương trình 
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình cũng là nghiệm của bất phương trình 
A. B. C. D. 
Lời giải :
Bất phương trình: 
Bất phương trình: 
Xét hàm số 
Yêu cầu bài toán ta có 
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. 	B. 	C. D. 
Lời giải
Đặt khi . Thay vào bất phương trình ta được
Bảng biến thiên 
t
0 
f’(t)
 + 
f(t)
 0 
Dựa vào bảng biến thiên thì 
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
	A. 	B. 	C. D.
Lời giải 
Đặt 
Với mọi thay vào bất phương trình ta được 
Xét hàm số 
t
2 
f’(t)
 - 
f(t)
6 
Từ bảng biến thiên thoả mãn đề bài
Câu 4 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. B. C. D. 
Lời giải
Đặt 
Với mọi thay vào bất phương trình ta được 
Xét hàm số 
Bảng biến thiên 
t
3 
f’(t)
 - 
f(t)
3 
Dựa vào bảng biến thiên 
Câu 5: Tìm tất của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. B. C. D. 
Lời giải:
	Đặt thì 
Đăt Ta có 
Bảng biến thiên 
t
0 
g’(t)
 - 
g(t)
1 
 0 
Dựa vào bảng biến thiên 
Câu 6: Tìm tất của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bất phương trình: 
Ta có 
Từ đó suy ra f(x) đồng biến với mọi . Ta có 
Câu 7: Bất phương trình có tập nghiệm là . Giá trị của tổng a+b bằng bao nhiêu
A. -2 B. 4 C. 5 D. 3
Lời giải: Điều kiện . 
Xét với mọi . 
Ta có: 
Do đó hàm số đồng biến trên suy ra 
So với điều kiện thì tập nghiệm 
Câu 8: Bất phương trình có tập nghiệm . Giá trị của b-a bằng bao nhiêu 
 1 B. 2 C. 3 D. -1
Điều kiện: ; bất phương trình 
Xét 
Do đó hàm số đồng biến trên suy ra 
So điều kiện thì tập nghiệm 
3. Hệ phương trình 
Câu 1: Nghiệm hệ phương trình là biết ; 
Tìm giá trị 
	A. 0 B. C. D. 
Lời giải: Xét phương trình (1) 
Xét hàm số 
Hàm số đồng biến trên nên phương trình (1): 
Thay vào phương trình (2): 
Hệ có nghiệm duy nhất thì 
Câu 2: Giải hệ phương trình. Tìm tổng bình phương 
	A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Lời giải
Xét hàm số khi đó hệ phương trình trở thành 
Ta có 
Hàm số đồng biến trên .
Giả sử (x; y; z) là một nghiệm của hệ phương trình thì chung thoả mãn hệ phương trình . 
Không mất tính tổng quát thì giả sử thì .
Vậy 
Thay vào phương trình (1) ta có: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm . Vậy 
Câu 3: Giải hệ phương trình . Nghiệm của hệ phương trình có x < 1. Tính giá trị 
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
Lời giải: 
Dựa vào pt(2) có: 
Xét hàm số 
Hàm số đồng biến trên, từ phương trình (1) thì thay vào phương trình (2) 
Với x < 1 nên hệ phương trình có nghiệm 
Câu 4: Giải hệ phương trình . Tính giá trị . 
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
Từ phương trình (2) ta có 
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là 
Xét hàm suy ra hàm số f(t) đồng biến trên suy ra 
Do đó ta có phương trình (1) 
Để phương trình (1) có nghiệm thì dấu “=” xáy ra khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Câu 4: Giải hệ phương trình . Nghiệm của hệ phương trình là . Tính giá trị 
Lời giải: Điều kiện 
Từ phương trình (1) để phương trình có nghiệm thì
Ta đặt 
Suy ra hàm số đồng biến trên nên 
Suy ra hàm số nghịch biến trên nên 
Từ phương trình (2) 
Mà 
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Câu 5: Giải hệ phương trình : 
Điều kiện:
Phương trình (1) 
Ta có 
Phương trình (2) 
Xét hàm số 
Do vậy hàm đồng trên .
Từ đó 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Giải phương trình 
Câu 1: Giải phương trình 
	a) b) 
	c) d)
Câu 2: Giải phương trình 
	a) 
	 b) 
	c) 	d)
2. Giải bất phương trình 
Câu 1: Giải bất phương trình 
	a) b) 
	c) d) 
Câu 2: Tìm giá trị m để thoả mãn yêu cầu bài toán 
	a) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>1.
	b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm
	c) Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
	d) Tìm m để bất phương trình vô nghiệm .
3. Giải hệ phương trình 
Câu 1: Giải hệ phương trình sau 
 a) b) 
c) d)
PHẦN 3. KẾT LUẬN
 	Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi giáo dục là quốc sách hàng đầu thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học. Từ những nhận thức đó, tôi đã chọn một số đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn. 
 Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản thân tiếp thu và tích lũy được qua quá trình dạy và học. Vì vậy sự phát hiện những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Mong rằng qua báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những ưu, nhược điểm của cách dạy nội dung này. 
 Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.
 Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Giáo viên 
 Hà Chí Ổn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
	1) Sách giáo khoa Giải Tích lớp 12-NXBGD.
	2) Sách giáo khoa và sách Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Lê Hồng Đức - NXB GD.
	3) Các đề thi đại học – trang weside math.vn
 4) Các đề thi thử quốc gia của các trường THPT- weside box math.vn
	5) Đề thi học sinh giỏi các tỉnh Vinh, Nghệ An, Nam Định,Bắc Giang
	6) Chuyên đề ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình-  https://diendantoanhoc.net/
ĐIỂM VÀ NHẬN XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Điểm:
Nhận xét:
TM. HỘI ĐỒNG NCKH
TM. TỔ CHUYÊN MÔN