Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng một bài toán bất đẳng thức

 Chuyên đề tháng 9: 
 Ứng dụng một bài toán bất đẳng thức 
Người báo cáo: Dương Thị Thanh Huyền
Ngày soạn: 20/9/2019
Ngày báo cáo: 29/9/2019
Ngày hoàn thiện báo cáo sau khi thảo luận chuyên đề: 1/10/2019
A. PHẦN MỞ ĐẦU
Ở cấp THCS nhận thức của học sinh đang chuyển dần từ cảm tính sang lý tính, phương pháp suy luận chưa được hình thành một cách vững chắc. Vì thế việc học toán, làm toán là một thách thức đối với mọi đối tượng học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh khá, giỏi: Các em luôn tò mò, lúng túng khi tiếp cận kiến thức mở rộng ở mức độ khó hơn. Đa số các em "đầu tư" nhiều thời gian suy nghĩ trước một vấn đề nào đó mà không dựa trên một cơ sở nào cả. Điều đó dẫn đến sự chán nản đầy mâu thuẫn với cách tìm kiếm của mình.
Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy môn toán ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản, thì cần phải phát huy tính sáng tạo của học sinh trước kết quả của mỗi bài toán được giải xong. Kết quả đó cần được phân tích, phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóatừ đó tạo nên một lớp bài “cùng họ hàng với nhau”, hoặc những bài toán“ sử dụng chung bài toán gốc”. Làm được như vậy là chúng ta đã tạo được hứng thú cho người học, phát huy được tính tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, khơi nguồn cảm hứng tự nghiên cứu tài liệu cho học sinh đó chính là tiền đề cho các em từng bước chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động trước những vấn đề mới và khó. Qua đó nhằm giáo dục tính kiên trì, bản lĩnh cá nhân góp phần giáo dục kĩ năng sống cho học sinh trong suốt quá trình học tập.
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã học hỏi được ở các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân tôi luôn hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, sử dụng nhiều bài toán điển hình như là một công thức để tìm ra hướng giải cho một số bài toán một cách dễ dàng, nhất là các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, tôi thấy hiệu quả dạy học ngày càng tiến bộ. Chính vì vậy tôi tiếp tục tìm tòi, khám phá, "Ứng dụng một bài toán bất đẳng thức " xin được giới thiệu cùng các bạn. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Bài toán gốc : Với mọi số thực a , b , c và x , y , z là các số dương, ta có 
 (*) . Dấu "=" xẩy ra 
Chứng minh bất đẳng (*)
Thật vậy với các số thực a, b và x, y là các số dương, ta có :
 (1) 
Suy ra (1) đúng với a ,b và x ,y >0 . 
 Dấu "=" xẩy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có 
 Dấu "=" xẩy ra 	
Nhận xét: Đến đây nếu giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở kết quả mà không quan tâm những ứng dụng của nó thì thật đáng tiếc.
 Sau đây là một số ứng dụng của bất đẳng thức (*).
Bài toán 1 Cho có độ dài 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và có chu vi là 2p . Chứng minh rằng : 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa, 2010-2011)
Phân tích Ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có thể biến đổi để làm xuất hiện các bình phương như sau :=
Vì vậy ta nghĩ đến chứng minh . 
Ta thấy + + = p và (1+1+1)2 =9, nên nghĩ đến áp dụng (*) ta sẽ chứng minh được.
Ngoài ra ta còn có cách biến đổi: 
 (xuất hiện vế trái của (*))
Bài giải (tóm tắt ) 
 Cách 1
Vì p = 
Theo bất đẳng thức trong tam giác ta suy ra 
Áp dụng (*) ta có 
 Vậy=
 Hay . Dấu "=" xẩy ra a=b=c; (tam giác ABC đều)
Cách 2: . Áp dụng (*) ta có:
 . Dấu "=" xẩy ra a=b=c;(tam giác ABC đều)
Bài toán 2: Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a, b, c, và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các cạnh và đường cao của tam giác ABC. 
Chứng minh rằng: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán-tin, ĐH Vinh, năm học 2004-2005)
Phân tích: Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta tìm mối quan hệ đường cao và cạnh của tam giác. Ta thấy 
 ; ; 
Vậy ( Xuất hiện vế trái của (*))
Bài giải Ta có; ; 
 Vì a, b, c là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
 Vậy 
 Dấu "=" xẩy ra a=b=c ; ( tức là tam giác ABC đều) 
Bài toán 3 Cho nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P . 
 Chứng minh rằng (1)
 (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9, Quảng Ngãi)
Phân tích 
Ta có biến đổi sau : có dạng vế trái của (*) . Vậy để chứng minh được bất đẳng thức (1) thì cần chứng minh được ++=1 Vì vậy cần biến đổi 3 phân thức , , thành những phân thức mới có liên quan với nhau .Từ A và O kẻ AH BC ; OKBC (H, K BC ) 
 AH // OK 
Cách làm tương tự ta sẽ tìm được ; 
(Dễ dàng thấy + + =1 )
Bài giải tóm tắt 
 Từ A và O kẻ AH BC ; OKBC (H, K BC ) AH // OK (2) (áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ). Ta lại có (3)
 Từ (2) và (3) ta có 
Chứng minh tương tự ta có , 
 Nên ++ = + + =1 
Với , , > 0, áp dụng (*) ta có : 
 . (đpcm)
Dấu "=" xẩy ra == = ( hay O là trọng tâm của )
Nhận xét: Từ bài toán 2 ta cộng vào 2 vế của (1) với (-3) thì ta được bất đẳng thức:
Từ đó ta có bài toán 4:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC , trên các cạnh BC ,CA , AB lần lượt lấy các điểm D, E, F (khác đỉnh của tam giác ) sao cho AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng : 
 ( Lời giải tương tự bài 3)
Bài toán 5 Gọi ha , hb, hc là các đường cao tương ứng của các cạnh a, b, c của một tam giác, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng : 
 a) ha+hb +hc 
 b) ha2+hb2 +hc2 
Phân tích : a) Ta cần tìm sự liên hệ giữa bán kính của đường tròn và các đường cao của tam giác .Ta có ha+hb +hc =
Vì các cạnh của tam giác là các tiếp tuyến nên vuông góc với r (bán kính), nên ta có: 
S= 
Vậy ha+hb +hc = 
 S= 
Vậy ha+hb +hc = 
 (Áp dụng bất đẳng thức (*) )
 Dấu "=" xẩy ra (nghĩa là tam giác đều)
 b) Ta có ha2+hb2 +hc2 = 
 (Áp dụng bất đẳng thức (*) )
Mà ha+hb +hc ( theo chứng minh câu a) .Suy ra ha2+hb2 +hc2 
Bài toán 6 Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA. Chứng minh rằng: 
b)
Phân tích: 
a)Ta cần biến đổi và lần lượt bằng các tích khác có liên quan đến AC, điều đó giúp ta nghĩ đến 2 tam giác đồng dạng. Vì vậy cần tạo ra , lần lượt đồng dạng với , . Cho nên cần dựng điểm M nằm trong góc BCE sao cho 
b)
Từ câu a) ta có . 
Chứng minh tương tự ta có 
Vậy 
 ( Xuất hiện vế trái của (*) )
Bài giải tóm tắt:
Dựng điểm M nằm trong góc BCE, sao cho 
Suy ra 
. Lại có 
Từ (1) ,(2) ta có 
 (Theo bất đẳng thức tam giác)
 Vậy 
Ta có ( vì AB = BC )
Chứng minh tương tự ta có:
Vậy 
 Mà (Theo bất đẳng thức (*))
Suy ra 
Bài toán 7 Cho a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Xác định hình dạng của tam giác để :
 a) đạt giá trị nhỏ nhất 
b) đạt giá trị nhỏ nhất 
c) đạt giá trị nhỏ nhất 
Phân tích: 
a) Ta thấy a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c đều là các số dương. Đặc biệt mỗi phân thức đều có tổng của tử và mẫu là (a+b+c), từ đó ta có biến đổi sau:
 ( Xuất hiện vế trái của (*) )
Lập luận tương tự câu a) ta biến đổi được: 
b) = =
c) 
 =
 =
Bài giải tóm tắt 
a)
Ta có a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c đều là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 
= . Dấu "=" xẩy ra 
 Vậy tam giác đều thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
Câu b), c) giải tương tự câu a)
Bài toán 8 : Cho tam giác đều ABC, M là điểm nằm trong tam giác . Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC , CA , AB lần lượt là x , y , z . Xác định vị trí của điểm M để 
a) đạt giá trị nhỏ nhất .
b) đạt giá trị nhỏ nhất 
c) đạt giá trị nhỏ nhất 
Phân tích: 
a)Ta thấy có dạng vế trái của bất đẳng thức (*), vì vậy ta cần tìm mối tương quan của x+y+z với đại lượng không đổi nào đó của tam giác ABC.
Ta có SABC= SAMC +SAMB + SCMB ( 1)
Giả sử SABC= ( a,h lần lượt là cạnh, đường cao của tam giác đều ABC, h không đổi)
Từ (1) ta sẽ có: a.h = a.y +a.z + a.x h = y + z + x 
Như vậy ta tìm được giá trị nhỏ nhất của , với điều kiện của x, y, z để dấu bằng xẩy ra ta xác định được vị trí của M.
Câu b); c) lập luận tương tự như câu a)
Bài giải tóm tắt: a) Gọi a, h lần lượt là cạnh, đường cao của tam giác đều ABC.
Ta có: SABC= SAMC +SAMB + SCMB = a.h = a.y +a.z + a.x h = y + z + x 
Với x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
 . Dấu " = " xẩy ra x=y=z
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi M là giao điểm của 3 đường phân giác thì đạt giá trị nhỏ nhất là .
b); c) giải tương tự. 
Bài toán 9 Cho có là các đường phân giác trong .Gọi khoảng cách từ đến AB là ; đến BC là ; đến CA là . Gọi ha, hb, hc lần lượt là 3 đường cao của tam giác kẻ từ A, B, C.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Phân tích Ta thấy sự tương ứng các cặp vì thế các tỉ số này biểu thị cùng 1 dạng quan hệ nào đó ? 
*Chẳng hạn ta xét tỉ số . 
Mặt khác 
 , là các đường cao của các tam giác . Vì vậy ta nghĩ đến xét diện tích tam giác . Ta có 
(Chú ý rằng khi là đường phân giác của góc A thì khoảng cách từ đến AC cũng bằng ). 
Ta có
Xét tương tự cho 2 trường hợp còn lại . 
Nếu ta gọi độ dài 3 cạnh của là a, b, c thì ta có sự biến đổi sau :
 = (phân tích tiếp như câu (a) Bài toán 7 ).
Bài giải (tóm tắt Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB của .Ta có (1) 
Chứng minh tương tự ta có : (2) ; (3) 
Từ (1) ,(2) và (3) ta có = 
(cách làm giống Bài toán 7). Vậy min A (tức là là tam giác đều ) .
Bài toán 10 Cho , M là điểm trong tam giác, gọi H, D, E là hình chiếu của M thứ tự trên BC, CA, AB. Xác định vị trí của M sao cho giá trị của biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Phân tích 
Ta đặt BC = a ; AC = b ; AB = c, MH= x, MD=y, ME=z; diện tích là đại lượng không đổi S.Vì vậy ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c, x, y, z với diện tích (S) : (1)
 Ta cần phải biến đổi (xuất hiện dạng vế trái của (*))
Bài giải 
Gọi S là diện tích của ,ta có 
Với cz, by, ax đều là các số dương, áp dụng (*) ta có :
 (vì ) 
Dấu " = " xẩy ra 
 Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi MH=MD=ME .
( nghĩa là M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC )
Bài toán11 Lấy một điểm O nằm trong . Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R .
 a) Chứng minh rằng : 
 b) Tìm vị trí của điểm O để đạt giá trị nhỏ nhất 
a) Ta thấy các tỉ số không ràng buộc nhau nhưng lại tương tự nhau. Vì vậy ta xét 1 tỉ số, chẳng hạn . Ta dễ dàng chỉ ra được tỉ số bằng tỉ số diện tích tương ứng .
 Phân tích 	
b) Để ý ta sẽ thấy = ( Xuất hiện vế trái của (*) )
Bài giải tóm tắt Đặt 
a) Kẻ BH, CK cùng vuông góc với đường thẳng AH . Ta có :
(t/c dãy tỉ số bằng nhau )
Chứng minh tương tự, ta có :
Suy ra 
b) Các tỉ số đều là các số dương, áp dụng (*) ta có :
= 
Dấu "=" xẩy ra 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Tức là O là giao điểm của 3 đường trung tuyến thì đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài toán 12 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I,r), kẻ các tiếp tuyến với đường tròn và song song các cạnh tam giác ABC. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC thành 3 tam giác nhỏ, gọi diện tích 3 tam giác nhỏ là S1, S2, S3, và diện tích tam giác ABC là S. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Phân tích: 
Ta thấy 3 tam giác nhỏ lần lượt đồng dạng với tam giác ABC. Vì vậy ta tìm được mối quan hệ giữa tỉ số diện tích và tỉ số 2 đường cao tương ứng của 2 tam giác đồng dạng thông qua tỉ số đồng dạng.
 Giả sử gọi DE là tiếp tuyến của đường tròn và song song với BC đồng dạng với . Gọi h1, ha lần lượt là đường cao của , 
 (1) ( vì h1 =ha -2r)
Mặt khác ; ( p= )
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra = 
Lập luận tương tự ta có: =; = 
Suy ra: = ++ (theo (*) )
 Dấu " = " xẩy ra Tam giác ABC đều
Một số bài toán tương tự:
Bài 1 : Cho tam giác ABC có góc đều nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác ; A1 , B1 , C1 là chân 3 đường cao kẻ từ A , B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 a) ; b) 
Bài 2: Lấy một điểm O trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO, cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Xác định vị trí của điểm O để:
 đạt giá trị nhỏ nhất 
 đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
 C. KẾT LUẬN 	
Với thời gian có hạn, kinh nghiệm của tôi còn hạn chế, chắc chắn chuyên đề không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đón nhận và đóng góp ý kiến của các thầy, cô để tôi trau dồi chuyên môn trong quá trình giảng dạy và hoàn thiện chuên đề này. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!