Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal dạy và học môn Toán

1) 0 1cos 2
2
(tan 1)(4cos
x
x
x
x
     
  
 Kết quả: phương trình có các họ nghiệm: 
4 3
, ( )k kx x k       
E. Bài tập rèn luyện: 
 Giải các phương trình: 
1)sin 2 3sin 2cos 3x x x   
2)sin5 sin 2 cos6 cos4 cosx x x x x    
3)1 cos cos2 sin 2 sin3 sin 4x x x x x     
4)sin cos2 sin cos 1 0x x x x     
5)cos2 cos cos4 sin3 sin 2x x x x x    
6)sin 2 10cos sin 5x x x   
7)4sin cos 1 tan 3sin .tanx x x x x    
 11
 ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 
A. Đặt vấn đề: 
Nhằm mục đích trang bị cho học sinh các phương pháp giải toán hữu hiệu để giải 
quyết tốt các dạng toán của đề thi tuyển sinh đại học, qua quá trình giảng dạy nhiều năm 
ở các lớp cuối cấp chúng tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn 
học sinh giải quyết các bài toán về bất phương trình. Chúng tôi thấy rằng việc giải một 
bất phương trình có dạng f(x) > 0 ( f(x)  0, f(x) < 0, f(x) 0) thì phức tạp hơn nhiều so 
với việc giải phương trình f(x) = 0. Thực chất của bài toán giải bất phương trình là quy 
về việc xét dấu của biểu thức f(x) trên miền xác định D của nó. Do vậy nội dung của 
chuyên đề nầy là quy việc giải các bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0, 
sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và từ đó suy ra tập hợp nghiệm của bất phương trình. 
 B. Nội dung phương pháp: 
 Nội dung của phương pháp nầy dựa trên tính chất sau đây: 
 Tính chất: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên miền K ( K có thể là (a ; b ) ; 
[a ; b] ; (a ; b]; [a ; b); (- ; a) ; (- ; a]; (a ; + ); [ a ; + ) ; R ). Nếu 
phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên 
K. 
 Phương pháp giải bất phương trình: 
 Dựa trên tính chất trên ta suy ra phương pháp giải bất phương trình dạng f(x) > 0 
( f(x) < 0, f(x)  0, f(x) < 0, f(x)  0) như sau : 
 * Tìm tập xác định D của hàm số f(x). 
 * Giải phương trình f(x) = 0. 
 * Lập bảng xét dấu của f(x) (Để xác định dấu của f(x) trên các khoảng con K của 
D mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x0) với x0 là một phần tử bất kì của 
K). 
 Chú ý: Để tính giá trị của hàm số tại một điểm một cách nhanh chóng ta có thể 
dùng máy tính Casio hay Vinacal. 
 Cách tính : dùng chức năng CALC được minh họa qua ví dụ sau: 
 Ví dụ: Tính giá trị của hàm số y = x2 +3x -12 với x = 7, x = 8 thực hiện như sau : 
 * Nhập biểu thức ấn : 2 3 12ALPHA Y ALPHA X X ALPHA X   
 * Lưu biểu thức ấn : CALC 
 * Tính giá trị của y với x = 7 ấn : 7  
 * Tính giá trị của y với x = 8 ấn : 8CALC  
 * Tính giá trị của y với x = 2
3
 ấn : /2 3b cCALC a  
Nói chung khi đã nhập biểu thức y vào xong thì ta có thể tính giá trị của y tại các điểm 
x1, x2, .. Ở đây vấn đề mà ta quan tâm là dấu của y tại các điểm x1, x2, .. ( các giá 
trị của y tại các điểm nầy có thể là các giá trị gần đúng. Điều nầy không ảnh hưởng gì 
kết quả nghiệm của bất phương trình). 
 12
C. Các ví dụ minh họa: 
 a)Giải các bất phương trình vô tỉ. 
 Giải bất phương trình : 2
2
4016
16
x x
x
  

 (1) 
Cách 1: (Phương pháp cơ bản) 
BPT (1)  2 2 2 216 16 40 16 24 (2)x x x x x x        
Xét các trường hợp sau đây : 
a) Nếu x = 0 thì BPT(2) luôn thỏa mãn. 
b) Nếu x < 0 thì BPT(2)  
2
22 2
2 2
2
2 2 2 2
24 2 6 00
2 6
24 2416 16 2 6
0 2 624 0 ( 16) (24 )
x x
x x
x xx x xx x
xx
x x xx
                                    
2 2
2 6 02 6 0
2 62 6
0
2 62 6 3
0 2 60 2 6
364 24
xx
xx
x
xx x
xx
xx
                                        
. Kết hợp với x < 0 ta được x < 0. 
c) Nếu x > 0 thi BPT(2)  
2
2
2
22
2 2 2
24 0 2 6 2 6
2416 0 30 2 6 0 2 62416 3 364 24
x
x x
xxx xx xx xx xxx
                                      
Tóm lại : Nghiệm của BPT là 
0
0 3
0 3
x
x x
x
     
. 
Cách 2: ( Dùng phương pháp trên) 
* Tập xác định D = R. 
* Xét hàm số 2
2
40( ) 16
16
f x x x
x
   

, hàm số f(x) liên tục trên R. 
* PT f(x) = 0  2 216 24x x x    2 2 2 2 2( 16) (24 ) 64 576 3x x x x x        . 
Thử lại thấy chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình f(x) = 0. 
* Bảng xét dấu f(x) : 
 13
_ 0
x
f (x)
- +3
+
* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm 
trên các khoảng : (- ; 3); (3 ; + ) 
nên trên từng khoảng nầy f(x) không 
đổi dấu. 
Ta có f(0) = -6 0 
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra 
BPT f(x)  0 có nghiệm x  3. 
 Giải phương trình : 2 3 2 1 (1)
3 2
x x x
x
    
Cách 1 Điều kiện x > 2
3
. 
BPT(1)  2 (3 2) (1 ) 3 2 ( 1)( 2) ( 1) 3 2 0x x x x x x x x            
 
2
2
1
1
2 0
2 01 0 (3 2) (2 )
3 2 2 2( 1)( 2 3 2) 0 11 0 3
2 03 2 2
3 2 (2 )
x
x
V x
xx x x
x x
x x x xx
xx x
x x
                                      
2
2
2
2
1 2
1 2
21 6
7 6 21 22 312 231 13 31
7 6 0 6
x
x
x
x
xx
x x x x
x
x x
x
x x x
                                        
. 
Tóm lại BPT có nghiệm x > 2
3
. 
Cách 2: Điều kiện x > 2
3
. BPT(1)  f(x) = 2 3 2 1 0
3 2
x x x
x
     
PT f(x) = 0  
2
2 0
( 1)( 2 3 2) 0 1 3 2 2 1
3 2 (2 )
x
x x x x V x x x V
x x
                
x = 1 V 
2
2 2
13
7 6 0
x
x
x x
       
 14
+
1
0
x
f (x)
2
3 +
+
* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm 
trên các khoảng : ( 2
3
; 1); (1 ; + ) nên 
trên từng khoảng nầy f(x) không đổi 
dấu. 
Ta có f( 5
6
) = 0,108 > 0 , f(2) = 1 > 0 
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra 
BPT f(x)  0 có nghiệm x > 2
3
 . 
Giải bất phương trình : 1 1 (1)x x x    
Cách 1 Điều kiện : -1  x  1. 
BPT(1) 
2
1 0
( )
1 ( 1 )
1 1
1 0
( )
1 0
x x
A
x x x
x x x
x
B
x x
                 
1) Xét hệ (A) : 
2
1 0
1 ( 1 )
x x
x x x
       
2
2
0 0 10 1
1 0 1 01 01 0 1 1 1
0 1 5 1 51 0
1 2 2
x xx
x xxx x x x x
x
x x x
x x
                                            
Hệ (A)  
2 2
1 1 1 1
1 1 2 1 2 1 2 (2)
x x
x x x x x x x x x
                  
+ Nếu x = 0 thì (2) đúng 
+ Nếu x < 0 thì (2)  2 22 1 2 4(1 ) (2 ) 0x x x x x         vô nghiệm trên [-1 ; 0 ). 
+ Nếu x > 0 thì (2)  2 22 1 2 4(1 ) (2 ) 0x x x x x         đúng trên (0 ; 1]. 
Vậy hệ (A) có nghiệm 0  x  1. 
2) Xét hệ (B) : 1 0
1 0
x
x x
    
 2
2
1 0
1 1 1 51 1 1 0
0 21 01
1 1 5
2
x
xx x xx
x xx x
x x
x
                                   
vô nghiệm 
Tóm lại: BPT có nghiệm 0  x  1. 
Cách 2: Điều kiện : -1  x  1. 
Xét hàm số f(x) = 1 1x x x    với x  [-1 ; 1 ]. BPT(1)  f(x)  0. 
 15
PT : f(x) = 0  
2 2 21 1 1 ( 1 ) 1 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x x x x                    
20 2 1 2 0 4(1 ) (2 ) 0.x V x x x V x x x            
Thử lại thấy x = 0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0. 
Bảng xét dấu của f(x) 
_
0
0
x
f (x)
-1 1
+
* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm 
trên các khoảng : [-1; 0); (0 ; 1] nên 
trên từng nửa khoảng nầy f(x) không 
đổi dấu. 
Ta có f( 1
2
 ) = - 0,017 < 0 , f( 1
2
) = 
0,017 > 0 
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra 
BPT f(x)  0 có nghiệm 0  x  1. 
b) Giải các BPT mũ, logarit 
 Giải BPT : 2 21 x 1 x x(x x 1) (x x 1)       (*) 
Cách 1 Điều kiện : 1 x 0
1 x 0
     -1  x  1 (1) 
* Ta có x2 +x +1 > 0 ,  x  R. Ta xét 3 trường hợp : 
a) Trường hợp : x2 +x +1 = 1  x2 + x = 0  x = 0 V x = -1 thỏa mãn BPT (*). 
b) Trường hợp : x2 +x +1 > 1  x2 + x > 0  x 0, kết hợp với đk (1) ta được 
0 < x  1 (2) 
 BPT(*)  21 x 1 x x x 1 x 1 x x (1 x) 2x 1 x 1 x                
2 22 1 x 2 x 0 4(1 x) x 4x 4 x 0 x 0 loaïi (do ñk (2) ).               
c) Trường hợp x2 + x+ 1 < 1  x2 + x < 0  -1 < x < 0 (3) 
 BPT(*)  
21 x 1 x x 1 x (1 x) x 2x 1 x x 2 2 1 x 0 (do x < 0)                
2 22 1 x x 2 4(1 x) x 4x 4 x 0 x 0 loaïi ( do ñk (3) )             
 Tóm lại: bất phương trình có nghiệm x = 0; x = -1. 
Cách 2: Điều kiện –1  x  1. Xét hàm số : 2 21 x 1 x xf (x) (x x 1) (x x 1)        
BPT(*)  BPT f(x)  0 . Bây giờ ta giải PT f(x) = 0. 
Ta có : 
2
2
2
x x 1 1
1 x 1 x 0 V x 1 x 0 V x 1
x 0x ( 1;1] \ {0} x ( 1;1] \ {0}f (x) 0 x x 1 1 x 1
1 x 1 x x 2x 1 x 2 1 x x 21 x 1
1 x 1 x x
                                                       
 16
Thử lại ta thấy PT f(x) = 0 có nghiệm x = 0 ; x = -1. Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm 
trên các khoảng (-1; 0) và (0 ; 1] nên trên các khoảng nầy f(x) không đổi dấu. 
 Ta có 1f ( )
2
  - 0,0035 < 0 và 1f ( )
2
 - 0,0147 < 0 
Từ đó suy ra BPT(*) có nghiệm x = -1; x = 0. 
 Giải bất phương trình: 
2
11
33
1 1 (1)
log (x 1)log 2x 3x 1
  
Cách 1 : Điều kiện : 20 2x 3x 1 1 1 3 3x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
2 2 20 x 1 1
              
Khi đó BPT(1)  
2 2
3 33 3
1 1 1 1 (3)
log (x 1) log (x 1)log 2x 3x 1 log 2x 3x 1
        
Xét 4 trường hợp sau : 
a) Trường hợp 1 : -1 < x < 0 . Khi đó : 2 23
3
2x 3x 1 1 log 2x 3x 1 0
x 1 1 log (x 1) 0
           
 (3) vô 
nghiệm. 
b) Trường hợp 2 : 10 x
2
  . Khi đó : 2 23
3
2x 3x 1 1 log 2x 3x 1 0
x 1 1 log (x 1) 0
           
Suy ra BPT(3) nghiệm đúng với mọi x : 10 x
2
  . 
c) Trường hợp 3: 31 x
2
  . Khi đó : 2 23
3
2x 3x 1 x(2x 3) 1 1 log 2x 3x 1 0
x 1 1 log (x 1) 0
              
Suy ra BPT(3) nghiệm đúng với mọi x : 31 x
2
  . 
d) Trường hợp 4: 3x
2
 . Khi đó : 2 23
3
2x 3x 1 1 log 2x 3x 1 0
x 1 1 log (x 1) 0
           
BPT(3)  2 2 2 23 3log 2x 3x 1 log (x 1) 2x 3x 1 x 1 2x 3x 1 x 2x 1               
 x(x-5)> 0  x > 5. 
Suy ta BPT có tập nghiệm : 1 3T (0 ; ) (1 ; ) (5 ; ).
2 2
    
Cách 2 Điều kiện : 20 2x 3x 1 1 1 3 3x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
2 2 20 x 1 1
              
Xét hàm số 
2 2
11
33
1 1ln( ) ln( )1 1 3 3f (x)
log (x 1) ln(x 1)log 2x 3x 1 ln 2x 3x 1
       
Với đk (2) thì f(x) = 0 
2 2 2 2ln 2x 3x 1 ln(x 1) 2x 3x 1 (x 1) 2x 3x 1 x 2x 1                
 x2 – 5x = 0  x = 0 V x = 5 . So với đk (2) thì f(x) = 0  x = 5. 
 17
* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng : (-1 ; 0); (0 ; 1
2
);(1 ; 3
2
); ( 3
2
; 5);(5 
;+ ) nên trên từng nửa khoảng nầy f(x) không đổi dấu. 
Ta có f( 1
2
 ) = -3,584 < 0 ; f( 1
4
) = 7,163 > 0 ; 5f ( )
4
3,594 > 0 ; f(2) = -1 < 0 ;f(6) = 
0,016 > 0 
+_
+5
+
3
2
1
2
_
0
0
x
f (x)
-1 1
+
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra BPT f(x) > 0 có tập nghiệm 
1 3T (0 ; ) (1 ; ) (5 ; ).
2 2
    
 Giải bất phương trình : 
2
6
sin
cos2 3 log 2005 0
3
x
x       
Nhận xét: Nếu dùng máy tính ta sẽ có : 6log 2005 4,243537... 
 Dễ thấy : 
2 0
1
sin
cos2 23 3 4
3 3
x
x             
 Từ đây suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm. 
 Nếu không dùng máy tính thì việc giải phương trình nầy sẽ gặp khó 
khăn. 
 BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA 
MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL 
1) Dùng máy tính để chứng minh phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ: Cho hàm số : 24 6 4 6y x x x    . Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị. 
Ta có : 3' 4 12 4y x x   . Ta chỉ cần chứng minh PT y ‘ = 0 có 3 nghiệm phân 
biệt. 
Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm : 1 2 31,8 ; 0,3 ; 1,5x x x    . 
Sau đó áp dụng định lí về hàm số liên tục cho hàm số g(x) = 34 12 4x x  trên các 
đoạn: 
[-2 ; -1], [0 ; 1], [1 ; 2] ta được điều phải chứng minh. 
2) Dùng máy tính dạy bài nhận dạng tam giác. 
 Trong tiết học về nhận dạng tam giác cho học sinh bài toán : Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 
 18
T = cosA + cosB + cosC với A, B, C là các góc của một tam giác. Yêu cầu mỗi 
em hãy tính giá trị của T ứng với một tam giác cụ thể và viết các kết quả lên 
bảng, từ đó rút ra kết luận : 
T 3
2
 sau đó dùng lý luận để chứng minh phát hiện nầy. 
 * Một thí dụ khác xét bài toán : Nhận dạng tam giác ABC biết: 
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thay vào đẳng thức trên các giá trị của A, B, C 
cụ thể để từ đó rút ra kết luận : 3 3sin sin sin
2
A B C   . Sau đó dùng lý luận để 
chứng minh bất đẳng thức nầy và chỉ ra đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi tam giác 
ABC đều. 
3) Dùng máy tính giải các dạng toán về phương trình có nghiệm duy nhất. 
Ví dụ: 
Giải phương trình: 2 8 1 2 4 3 2 1 14
1
x x x x
x
        
Giải 
Điều kiện: 1x  
Xét các hàm số : 2 8( ) ,
1
[1; )xf x x
x
   
 ( ) 1 2 4 3 2 1 14, [1; )g x x x x x         
Dùng đạo hàm, dễ dàng chứng minh được trên miền [1; ) hàm số f(x) nghịch 
biến và hàm số g(x) đồng biến. 
Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm. 
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm x = 5. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5. 
Nhận xét: 
Nếu không rèn luyện cho học sinh sử dụng máy tính Casio, Vinacal một cách 
thành thạo thì thì các em sẽ gặp khó khăn khi tìm ra nghiệm x = 5. Trong bài toán 
trên nếu ta thay x bởi 3x – 55 thì ta sẽ được phương trình: 
 Bằng cách lý luận như trên, ta cũng chứng minh được phương trình có nhiều nhất 
một nghiệm. Sau đó ta phải nhẩm một nghiệm để kết thúc bài toán, nếu không sử dụng 
máy tính thành thạo thì khó mà tìm được nghiệm nầy! 
( PT nầy có nghiệm duy nhất x = 20 
4) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả giới hạn của hàm số. 
Máy tính Casio và Vinacal không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy 
nhiên ta có thể dự đoán kết quả của giới hạn qua ý tưởng sau: 
Giả sử cần tính ( )lim
x a
f x , ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm số 
f(x) tại các giá trị của x rất gần a. Sau đây là các ví dụ minh họa: 
 19
Ví dụ 1: Tính 
3
22
7 25
3 2
lim
x
x x
x x
  
  
Bằng phương pháp gọi số hạng vắng, ta viết: 
3 3
2 22 2
7 25 ( 7 3) ( 25 3)
3 2 3 2
lim lim
x x
x x x x
x x x x 
           
3
2 22 2
( 7 3) ( 25 3)
3 2 3 2
lim lim
x x
x x
x x x x 
        
Từ đây ta dễ dàng tìm được giá trị của giới hạn đã cho là 7
54
. 
Sau đó ta dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả, bằng cách tính giá trị của hàm số 
3
2
7 25( )
3 2
x xf x
x x
     tại giá trị của x rất gần với số 2, chẳng hạn tính: 
f(1,99999999), ta sẽ được kết quả là 0.1300000, đây cũng chính là giá trị 
gần đúng của 7
54
. 
5) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả của tích phân. 
Giả sử tính tích phân : ( )
b
a
f x dx , ta được kết quả là m. GV nên hướng dẫn HS 
dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả sau: 
- Nhập vào máy tính : ( )
b
a
f x dx m , nếu máy tính hiển thị kết quả rất gần với 
số 0 thì giá trị của tích phân là m. Điều nầy giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm 
bài thi đại học. 
 Nhận thấy nếu biết kết hợp việc dạy và học môn toán với sự trợ giúp của máy 
tính bỏ túi một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được sẽ rất tốt. Chúng tôi đã thực nghiệm 
phương pháp trên ở các lớp12 ôn thi đại học, Với các bài tập về giải bất phương trình , 
các dạng toán về phương trình lượng giác có nghiệm đặc biệt tương tự như các ví dụ 
nêu trên, nếu dùng phương pháp truyền thống thì không đến 30% học sinh cho lời giải 
đúng, nhưng nếu ứng phương pháp trong các chuyên đề trên thì đa số các em giải được 
dễ dàng. Qua việc ứng dụng phương pháp nầy còn giúp học sinh vận dụng kiến thức 
giải tích để soi sáng một dạng toán đại số, rèn kĩ năng sử dụng thành thạo máy tính bỏ 
túi, đây cũng là một yêu cầu được Bộ giáo dục đề ra. 
 Còn rất nhiều dạng toán mà nếu giải bằng phương pháp bình thường sẽ gặp nhiều 
khó khăn. Biết khai thác những thế mạnh mà máy tính đem lại sẽ giúp cho học sinh dễ 
dàng định hướng và làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn. Cùng với các phương 
pháp truyền thống về giải bất phương trình, phương trình lượng giác mà học sinh đã 
biết, hy vọng việc bổ sung thêm các chuyên đề nầy sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm 
giải toán cho học sinh, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích bộ môn, từ đó 
hướng các em vào việc nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với 
 20
những kiến thức đã biết mà luôn luôn có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự mình tìm ra 
kiến thức mới. 
Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào mà giáo viên quan tâm và 
truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các 
em vào con đường nghiên cứu. Đưa máy tính cầm tay vào giảng dạy trong chương 
trình phổ thông không phải là vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy còn nhiều Thầy 
Cô chưa quan tâm đúng mức về vấn đề nầy. Với SKKN nầy hy vọng góp phần thực 
hiện tốt chỉ đạo của BGD là đưa máy tính vào thực tế giảng dạy phổ thông và bồi 
dưỡng để hàng năm có nhiều học sinh đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi về 
giải toán trên máy tính Casio, Vinacal cấp tỉnh và khu vực. 
 Tôi viết SKKN nầy nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh 
những kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Các chuyên 
đề được trình bày trong SKKN nầy thể hiện các ý tưởng mới, mong muốn khai thác 
và sử dụng máy tính cầm tay một cách thật hiệu quả trong công việc giảng dạy và 
học tập bộ môn toán. Những vấn đề được trình bày trong SKKN nầy là những gợi ý, 
hy vọng rằng quý đồng nghiệp sẽ tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các 
thủ thuật ứng dụng máy tính cầm tay sao cho thật hiệu quả. Nếu làm tốt công việc 
nầy sẽ giúp cho việc học toán của học sinh được nhẹ nhàng hơn và giúp cho các em 
đạt kết quả tốt trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học. 
 SKKN nầy có thể triển khai ứng dụng như chuyên đề để bồi dưỡng cho các học 
sinh lớp 10, 11, 12, các học sinh ôn tập thi tốt nghiệp và đại học. Trong điều kiện hiện 
nay mọi học sinh đều có máy tính cầm tay nên việc rèn luyện cho học sinh có tư duy 
giải toán với sự trợ giúp của máy tính là một việc làm khả thi. Để đạt được hiệu quả cao 
trong công việc thì giáo viên cần phải có tinh thần nghiên cứu và sáng tạo, có như vậy 
giáo viên mới phát hiện ra các vấn đề mới trong ứng dụng và đây chính là yếu tố quan 
trọng thu hút sự quan tâm của học sinh. 
Qua SKKN nầy tôi muốn chia sẻ với các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm 
mà tôi đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy môn toán và bồi dưỡng cho đội 
tuyển Quốc gia về giải toán trên máy tính Casio, Vinacal. Hy vọng quý Thầy Cô sẽ 
lồng ghép nội dung về kỹ thuật giải toán với sự trợ giúp của máy tính cầm tay vào 
bài giảng của mình. 
Chúng tôi mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chuyên đề từ các anh chị đồng 
nghiệp và các em học sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng cao chất lượng 
dạy và học toán ở trường THPT. 
 21
 Thành phố Bến Tre, ngày 20 tháng 3 năm 2011. 
 Người viết 
 Nguyễn Văn Quí 
 22
 Trang 
Phần mở đầu 2 
Phần nội dung 4 
CHUYÊN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL 
DỰ ĐOÁN NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 
CHUYÊN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL 
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 11 
CHUYÊN ĐỀ 3: BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN 
VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL 17 
Phần kết luận 20 
1) Các tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính Casio của BGD 
2) Sách giáo khoa 
3) Tạp chí Toán học và tuổi trẻ