Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học

Phần I: MỞ ĐẦU
1.Mục đích của sáng kiến 
Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.
	Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân.
	Nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác.
Qua một số năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học về lượng giác rất khó tiếp thu và vận dụng cao. 
Vì vậy để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10 tôi đã chọn đề tài 
 “ Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học”.
2.Đóng góp của sáng kiến
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh của trường, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến đổi lượng giác và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học và chuẩn bị tốt kiến thức trong khi làm những bài tập có tính phân loại cao trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia.
Phần II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn
1. Cơ sở lí luận:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt 
Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến.
	Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau.
	Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Đọc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông.
Chương II: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến
 1. Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải
Tôi nhận thấy đa số học sinh khi biến đổi lượng giác còn lúng túng và dẫn đến sai lầm. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc vận dụng các công thức lượng giác.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Hơn nữa trong những năm trở lại đây đề thi vào Đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia thường phân loại học sinh ở những câu khó và có tính vận dụng cao. Chính vì vậy SKKN giúp một phần nào đó trang bị thêm ứng dụng để các em có thêm hướng giải quyết bài làm trong những câu phân loại.
 2. Hướng khắc phục
Ngoài những công thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà các em đã học. Sau đây là một số lưu ý về một số phép thế đặc trưng:
2.1. Một số phép thế lượng giác chung
a) Nếu thì có thể đặt:
	Biểu thức áp dụng: .
	b) Nếu thì có thể đặt:
	c) Nếu thì có thể đặt:
	Biểu thức áp dụng: .
d) Với mọi x đều có thể đặt:
	Biểu thức áp dụng: .
2.2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác
	a) Nếu thì tồn tại các góc sao cho:
	b) Nếu thì tồn tại các góc sao cho:
Đặc biệt:
Nếu ba số dương x, y, z thỏa thì tồn tại tam giác ABC sao cho:
Nếu ba số dương x, y, z thỏa thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa:
Chương III: Giải quyết vấn đề
Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.
Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.
Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây
Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ
I. Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức
Bài 1:
Cho . Chứng minh rằng: .
Giải
Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu : chia hai vế cho |x|
	(1)
Vì nên có thể đặt . 
Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: .
Giải
Vì nên tồn tại các góc thỏa: .
Bất đẳng thức trở thành: .
Thật vậy:
.
Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Bài 3:
Cho hai số thực x, y thỏa . Chứng minh rằng: 
.
Giải
Đặt .
Áp dụng các công thức lượng giác:
Do đó:
.
Bài 4:
Cho biểu thức . Chứng minh .
Giải
Ta có: .
Đặt thì .
Do đó: 
Vậy .
Bài 5:
Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh: 
.
Giải
Tồn tại tam giác ABC thỏa: .
Bất đẳng thức được viết lại:
.
Ta có: 
.
Tương tự 
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
.
Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh:
.
Giải
Từ điều kiện của a, b, c suy ra .
Đặt thì .
Bất đẳng thức được viết lại:
Ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
Bài 7:
Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện:
Chứng minh: .
Giải
Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa: .
Ta có:
Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác.
Theo cách đặt thì: .
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Để ý rằng:
Tương tự:
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1.
LUYỆN TẬP
Bài 8:
Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh: .
Bài 9:
Cho x, y là hai số thỏa . Chứng minh: .
Bài 10:
Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
.
Bài 11:
Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: 
.
II. Giải phương trình
Bài 12:
Giải phương trình: .
Giải
Điều kiện: .
Đặt , ta được phương trình:
Đối chiếu điều kiện , ta tính được: .
Nghiệm của phương trình ban đầu là:
Bài 13:
Giải phương trình: .
Giải
Nếu thì Vế phải không xác định.
Do đó . Đặt . Khi đó:
Phương trình được rút gọn thành:
Vậy nghiệm của phương trình là .
Bài 14:
Giải phương trình: .
Giải
Điều kiện x>1.
Đặt . Phương trình trở thành:
Đặt thì:
Loại nghiệm âm, với , ta được .
Do đó . Nghiệm của phương trình là .
Bài 15:
Giải phương trình: .
Giải
Trước hết ta chứng minh công thức: .
Thật vậy: 
Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh.
Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa: .
Đặt . Phương trình trở thành:
Vậy ta tìm được 5 nghiệm trên đoạn là:
.
Phương trình bậc năm có tối đa 5 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Bài 16:
Cho a<b<c là ba nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng:
.
Giải
Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [-2;2].
Đặt . Phương trình trở thành:
.
Từ đó ta tìm được ba nghiệm .
Phương trình bậc ba chỉ có tối đa ba nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Ta có:
.
Tương tự: .
LUYỆN TẬP
Bài 17:
Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
c) .
d) .	
Bài 18:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: .
III. Giải hệ phương trình
Bài 19: Giải hệ phương trình:
.
Giải
Ta chứng minh .
Giả sử x là số lớn nhất và x>1. Khi đó (vô lý).
Giả sử x là số nhỏ nhất và x<-1. Khi đó (vô lý).
Do đó . Tương tự .
Đặt . Sử dụng công thức nhân ba ta được:
.
Ta có: 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình:
 với .
Bài 20: Giải hệ phương trình sau:
.
Giải
Ta có: . Do đó x, y, z cùng dấu.
Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm. Ta tìm nghiệm dương của hệ.
Tồn tại tam giác ABC sao cho: .
Áp dụng công thức ta có: .
Kết hợp định lý sin ta được ABC là tam giác vuông tại C và.
Ta tính được: .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Bài 21: Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
.
Tìm tất cả các giá trị mà S=x+y+z có thể nhận.
Giải
Cộng ba phương trình lại ta được:
Suy ra nên trong ba số x, y , z phải có ít nhất một số không âm.
Giả sử .
Tương tự ta cũng chứng minh được: .
Đặt .
Thay vào phương trình thứ ba: .
Thay vào phương trình thứ hai: .
Thay vào phương trình thứ nhất: .
Ta có: .
TH1: .
	Nếu k=0 thì a=0: S=0.
	Nếu k=1;2;3 thì:
.
TH2: 
	Nếu k=0 thì a=0: S=0.
	Nếu k=1;2;4 thì:
.
	Nếu k=3 thì:
.
Bài 22:
Trong các nghiệm (x;y;z;t) của hệ phương trình:
.
Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y+t nhỏ nhất.
Giải
Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó tồn tại các góc sao cho:
.
Từ bất phương trình thứ ba ta có:
.
Suy ra: .
Do đó:
 (Bất đẳng thức B.C.S).
Dấu “=” xảy ra khi:
Ta tính được: .
Từ đó: .
Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa hệ.
Vậy nghiệm của hệ thỏa điều kiện là .
LUYỆN TẬP
Bài 23: Giải các hệ phương trình sau:
c) .
Vấn đề 2: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC
I. Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
.
Giải : Áp dụng định lý sin, ta có:
Tương tự :
Cộng ba vế lại ta được điều phải chứng minh.
Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa:
.
Giải : Áp dụng định lý côsin, ta có:
.
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được:
.
Tam giác ABC cân có góc là tam giác đều.
Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa: .
Chứng minh ABC là tam giác vuông.
Giải
Sử dụng định lý sin:
Vậy tam giác vuông tại C.
Bài 4:
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi ma là trung tuyến ứng với đỉnh A.
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: .
Giải
a) Sử dụng công thức trung tuyến:
Suy ra .
Dấu “=” xảy ra khi B=C, tức là tam giác ABC cân tại A.
b) Theo câu a) ta có:
Tương tự:
Cộng các bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức cơ bản trong tam giác:
 ta có điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
LUYỆN TẬP
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau trong tam giác ABC:
a) .
b) .
c) .
d) .
Bài 6: Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện:
a) .
b) .
II. Một số bài toán hình học
Bài 7:
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy M sao cho CM=4MD. Với tỉ số AB/BC bằng bao nhiêu thì góc KAM lớn nhất?
Giải
Giả sử . Gọi lần lượt là số đo góc BAK, MAD.
Ta cần tìm x để nhỏ nhất.
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy với tỉ số AB/BC=2 thì góc KAM đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8:
Cho tam giác cân ABC với AB=AC. Giả sử đường phân giác góc B cắt AC tại D và BC=BD+AD. Tính góc A.
Giải
Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1.
Gọi b là góc ABD. Ta có: , góc .
Áp dụng định lý sin:
Giả thiết BC=BD+AD tương đương với:
Vậy .
Bài 9:
Cho tam giác ABC có tính chất: tồn tại điểm P nằm trong tam giác sao cho
.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Giải
Tất cả các góc đều dùng đơn vị độ.
Đặt 
Áp dụng định lý sin: 
Suy ra: .
Ta được .
Do đó .
Vậy tam giác ABC cân tại B.
LUYỆN TẬP
Bài 10: Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều. Chứng minh rằng góc khi và chỉ khi .
Bài 11: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Chứng minh:
 .
Chương 4: Kiểm chứng các giải pháp đã được triển khai
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học,. Đặc biệt các em hiểu thêm về cách xây dựng công thức, những bài toán đặc trưng ở những câu khó. Chính vì các em nhận thấy với mỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất hứng thú với môn học do dó mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Cụ thể chất lượng khi áp dụng sang kiên kinh nghiệm: 
 Kết quả khảo sát:
Năm học
Không áp dụng SKKN
áp dụng SKKN
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Yếu
TB
Khá
Giỏi
2013-2014
8
20
10
4
2
13
19
8
Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua đây tôi mong muốn được đóng góp một phần công sức của mình trong việc hướng dẫn học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán và ôn thi đại học. Với SKKN nhỏ này cũng giúp tôi và đồng nghiệp nâng cao năng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy ôn thi đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia. Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ của bản thân còn hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm này vẫn còn nhiều thiếu sót, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy.
	Trên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ của tôi, vì vậy để nâng cao chất lượng bộ môn tôi xin có một số kiến nghị nhỏ với BGH, các cấp quản lý như sau:
- Tăng cường mua sách tham khảo ở tất cả các bộ môn giúp các em có nhiều tài liệu để nghiên cứu, ôn tập.
- Luôn luôn tạo điều kiện giúp đỡ giáo viên phát huy năng lực của mình.
- Với đồng nghiệp mong rằng sẽ có những đóng góp ý kiến để SKKN hoàn thiện hơn
- Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
- Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Phần IV: PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010.
Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM - 2005.
Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005.
4. Đại số lớp 10 – NXB Giáo dục