Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-Ét vào giải toán tam thức bậc hai

2
Hướng dẫn
 a) u + v = 42 ; u.v = 441
 u và v là nghiệm của PT x2 - 42x + 441 = 0 
D’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0 Þ PT có nghiệm kép x1 = x2 = 21 Þ u = v = 21 
 b) u + v = - 42 ; u.v = - 400 
 u và v là nghiệm của PT x2 + 42x – 400 = 0 
D’ = 212 + 400 = 841 Þ = 29 
PT có hai nghiệm phân biệt 
x1 = 8; x2= -50 Þ u = 8 ; v = -50 hoặc u = -50; v = 8 
 c) u + v = 11 ; u.v = 28 
 u và v là nghiệm của PT x2 - 11x + 28 = 0 
 Giải pt ta được u =7; v =4 hoặc u = 4 ; v = 7
 d) u - v = 5 ; u.v = 66
 Đặt V = -v ta có u + V = 5 ; u.V = -66
 u và v là nghiệm của PT x2 - 5x - 66 = 0 
 Giải pt ta được u = - 6 ; V =11 hoặc u = 11 ; V= - 6 
 Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(-6;-11) ; ( 11;6)
 e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
 Ta có (u+v)2 = u2 + v2+2uv = 25 + 24 = 49 => u +v = 7
 TH1: u + v = 7 ; u.v = 12
 u và v là nghiệm của PT x2 - 7x + 12 = 0 
 Giải pt ta được u =3; v =4 hoặc u = 4 ; v = 3
 TH2: u + v = -7 ; u.v = 12
 u và v là nghiệm của PT x2 + 7x + 12 = 0 
 Giải pt ta được u =-3; v =-4 hoặc u = -4 ; v = -3
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(3;4) ; ( 4;3) ; (-3;-4) ; ( -4;-3)
 3.2) Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
Ta có:	Û 	
Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2.
	t2 - 3at + 2a2 = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
 3.3) Tìm phương trình bậc 2 nhận ; là nghiệm và (*)
Biến đổi hệ (*) ta có: Û 
Þ x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = 0
Þ x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 + 5x + 6 = 0
Û 	
 3.4) Giải phương trình: 	(Đ/K: x ¹ -1)
Đặt: ; v = 	(Đ/K: x ¹ -1)
=> u + v = 5	 và uv = 6 ta quy về tìm u, v sao cho: 
Do 25 – 4.6 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0 " t1 = 3; t2 = 2. 
Từ đó có: hoặc .
Phương trình đã cho Û giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM)
 4. Lập phương trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó :
Phương pháp giải
Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet).
Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình 
	x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P ³ 0)
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 7 và 3 
Hướng dẫn
Ta có tổng  S = 7+3 =10 và tích P = 7.3 = 21 
Vậy 7 và 3 là hai nghiệm của pt : x2 - 10x + 21 = 0 
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số và 
Hướng dẫn
Ta có tổng  S =+=2 và tích P =().() = -1
Vậy và là hai nghiệm của pt : x2 - 2x -1 = 0 
Ví dụ 3 : Cho x1 = 	; x2 = 
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2
Hướng dẫn
Ta có: x1 = ; x2 = = 
Nên 	x1.x2 = . = 
x1 + x2 = + = 
Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là : x2 - x + = 0
Hay 2x2 - 2x + 1 = 0
 Ví dụ 4 : Gọi a, b là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là: và .
Hướng dẫn
Với a ¹ 1 và b ¹ 1.
Ta có: = 
Vậy và là nghiệm của phương trình 
Hay phương trình: 21X2 - 23X + 6 = 0
* Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phương trình tích rồi đưa về phương trình bậc 2 cần tìm.
 Ví dụ 5: Cho a là số thực sao cho a + 1 ¹ 0. Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn các hệ thức:
	4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2)	(1)
	(x1 - 1) (x2 - 1) = 	(2)
Hướng dẫn
Để lập được 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được
 x1 + x2 và x1.x2 theo a.
Ta có: (2) 	Û x1.x2 - (x1 + x2) + 1 = 
	Û x1.x2 - (x1 + x2) = 	(3)
	(1)	Û 4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4	(4)
Từ (3) và (4) Þ 	Þ x1, x2 là nghiệm của phương trình: hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0.
 Ví dụ 6: Viết phương trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
Hướng dẫn
 Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 .x2 theo k.
Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có:
 Û 
 Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 (ĐK: S2 - 4P ³ 0 Û k2 + 4k - 1 ³ 0)
Chú ý : Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P ³ 0.
 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Phương pháp giải
Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình
 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) dựa trên kết quả:
- Nếu Û phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2	
- Nếu Û phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
- Nếu Û phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 £ x2
- Nếu Û phương trình có 2 nghiệm âm: x1 £ x2 < 0
Một số ví dụ
 Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0	(1)
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
Hướng dẫn
Với m ¹ 0 khi đó để (1) có hai nghiệm trái dấu thì < 0 hay m < 4
 Ví dụ 2 : Cho phương trình: 2x2 - 2(m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 	(1)
a, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b, Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 £ x2) với các giá trị tìm được của m.
Hướng dẫn
 a, Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số 
Û D’ ³ 0 Û (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) ³ 0 Û - m2 + 6m - 5 ³ 0
Û m2 - 6m + 5 £ 0 Û (m - 1) (m - 5) £ 0 Û 1 £ m £ 5.
 b, Theo hệ thức Viet có: 	P = x1x2 = 
	S = x1 + x2 = m - 1
- Xét dấu của P = x1.x2.
Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 Û m = 1 hoặc m = 3
m
	1	3
x1x2
+	0	-	0	+
Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 Þ x1 = x2 = 0
Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 Þ 0 = x1 < x2
Nếu 3 0 ; s > 0 Þ 0 < x1 < x2
Nếu 1 0 Þ x1 < 0 < x2.
 Ví dụ 3 : Cho phương trình bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0. (1)
a, Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
 b, Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 
Hướng dẫn
a, Ta có pt x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0.
Có: ’ = 
 = m2-2m+1-2m+3
 = m2-4m+4 = (m-2)2 0 với mọi m.
Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b, Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0
 2m-3 < 0
 m < .
Vậy : với m < thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Ví dụ 4 : Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.
Hướng dẫn
 §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:
 6. Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước . 
 Phương pháp giải : 
 Có thể thực hiện qua các bước sau 
 * Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2.
 * Bước 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có: 
	(*)
 * Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình có ẩn là tham số từ đó tìm được tham số và kết luận .
(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số).
Một số ví dụ
 Ví dụ 1. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 (1) ; m lµ tham sè.
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia.
Hướng dẫn
 Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ 0.
 (m - 1)2 -m2 -3 0
 4 - 2m 0
 m 2.
 Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm.
	Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã:
	 a = 3()2 = m2 – 3
	 m2 + 6m – 15 = 0
	 m = –32 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn).
 Ví dụ 2. Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
 Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11
Hướng dẫn
 §Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× D > 0
	 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
	Tõ ®ã suy ra m ¹ 1,5	(1)	
MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 	
ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125	(2)
 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt thỏa mãn 3x1 - 4x2 = 11
 Ví dụ 3. X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh x2-(m+5)x-m+6 =0
 Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau:
 a) NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.
 b) 2x1+3x2=13
Hướng dẫn
 a) Ta cã 
 §Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho khi m vµ m
 Gi¶ sö x2>x1 ta cã HPT 
 Gi¶I HPT ta ®­îc m=0 vµ m=-14 TM§K
 b) Theo gi¶ thiÕt ta cã 
 Gi¶I HPT ta ®­îc m =0 vµ m =1 tháa m·n §K
 Ví dụ 4. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1 = 0
Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
x1 + x2 + x1.x2 = 1
Hướng dẫn
 Ta có a = 1 , b’ = -(m+1) ; c = m2 – 1 .
	D’ = b’2 – a.c = (m+1)2 – 1. ( m2 – 1) 
	 = m2 + 2m + 1 – m2 + 1 = 2m + 2.
	Để pt có hai nghiệm x1 , x2 thì D’ ³ 0
Û 2m + 2 ³ 0
m ³ -1 .
Theo hệ thức Vi ét ta có : 
Theo đề bài ta có: x1 + x2 + x1.x2 = 1.
Û 2m + 2 + m2 – 1 = 1Û m2 + 2m = 0.Û m(m + 2 ) = 0.
Û m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)
Vậy m = 0.
 Ví dụ 5. Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để .
Hướng dẫn
 Ta có: D' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
 Khi đó ta có S = và P = x1x2 = –1. 
 Do đó Û S2 – 3P = 7 Û (2m)2 + 3 = 7 Û m2 = 1 Û m = ± 1.
Vậy m thoả yêu cầu bài toán Û m = ± 1.
 Ví dụ 6. Cho ph­¬ng tr×nh x2+2x+m+1=0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1-x2=8 (3)
Hướng dẫn
XÐt ph­¬ng tr×nh x2+2x+m+1=0
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm=(2)2-4(m+1)=-4m0 m0 (*)
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2
+ Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã:
 (1)
 (2)
Theo ®Ò bµi ta cã: x1-x2=8 (3)
Tõ (1) vµ (3) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh:
Thay x1, x2 vµo (2) ta cã:
m=-16 (tho¶ m·n *)
VËy m=-16 lµ gi¸ tri cÇn t×m.
 7. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai . 
Phương pháp giải 
Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng với nhau nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi 
 Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P. 
Ví dụ:
	Từ hệ thức Vi-ét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng rồi tính 
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:
 ; ; ; ; 
Hướng dẫn giải
 Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không.
D = 25 - 8 = 17 > 0 Þ Phương trình có 2 nghiệm x1 ¹ x2
Suy ra:	 
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2. 
 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: .
Hướng dẫn giải
Trước hết kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không ?
Ta có: D = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 ³ 0
Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 và x2.
áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1.
(a ¹ 0; a¹ 1)
Ví dụ 3. Cho phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2. 
 Tính giá trị của biểu thức S = + .
Hướng dẫn giải
Tính được x1 + x2 = 2 và x1.x2 = – 1. 
Biến đổi:
S = = = – 6. 
Ví dụ 4. Cho ph¬ng tr×nh . Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña th× phư¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ? Khi ®ã gäi vµ lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó .
Hướng dẫn giải
ĐÓ PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× 
Khi ®ã ta cã x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=31 áp dông hÖ thøc vi Ðt ta ®­îc 
(-3)2-2m=31 tháa m·n ®iÌu kiÖn m<9/4
Ví dụ 5. Cho phư¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña , biÕt r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn .
Hướng dẫn giải
Ta cã :®Ó PT cã 2 nghiÖm x1x2th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ : 
 hay m 
Theo gi¶ thiÕt ta có c¶ hai gi¸ trÞ nµy cña m đều tháa m·n ®iÒu kiÖn vËy c¸c gi¸ trÞ cña m tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ m =
 8. Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số
Phương pháp giải
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là: 
- áp dụng hệ thức Viet ta được 	(*)
- Khử m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng).
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho ph­¬ng tr×nh x2+(2m+1)x+m-1=0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
Hướng dẫn giải
XÐt ph­¬ng tr×nh x2+(2m+1)x+m-1=0. 
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
=(2m+1)2-4(m-1) 0 
4m2+4m+1-4m+40
4m2+50 víi mäi m
VËy ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 víi mäi m
+ Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) 
x1 +x2+2x1x2=-2m-1+2(m-1)
 x1 +x2+2x1x2=-3
VËy hÖ thøc cÇn t×m lµ: x1 +x2+2x1x2=-3
Ví dụ 2. Cho ph­¬ng tr×nh x2-2(m-1)x+m-2=0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
Hướng dẫn giải
XÐt ph­¬ng tr×nh x2-2(m-1)x+m-2=0
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
’=(m-1)2-(m-2) >0 
m2-2m+1-m+2>0
m2-3m+3>0 
>0 víi mäi m
VËy ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 víi mäi m
+ Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) 
x1 +x2-2x1x2=2m-2-2m+4=2
 x1 +x2-2x1x2=2
VËy hÖ thøc cÇn t×m lµ: x1 +x2-2x1x2=2
Ví dụ 3. Cho ph­¬ng tr×nh x2-2mx+m2- 4=0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
Hướng dẫn giải
XÐt ph­¬ng tr×nh x2-2mx+m2- 4=0.
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
’=m2-m2+4 >0 
4>0 víi mäi m
VËy ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 víi mäi m
+ Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) 
(x1 +x2)2 - 4x1x2=4m2 - 4m2+16=16
(x1 +x2)2 - 4x1x2=16
 VËy hÖ thøc cÇn t×m lµ: (x1 +x2)2 - 4x1x2=16
Một số bài tập vận dụng
 1. Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 
x1 + 4x2 = 3	
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
 2. Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 	(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
 3. Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. 
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
 4. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm , cña ph­¬ng tr×nh bËc hai nÕu cã
 a, x2-5x-6=0 b, x2-5x+3=0 c, 3x2-4x+3=0 d, 2x2- 7x+3=0
 5. Cho ph­¬ng tr×nh x2- 10x+15 = 0 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x1<x2)
a) b) c) 
 d) e) g) 
 6. Cho ph­¬ng tr×nh x2+3x+1=0 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh )
x1(2-x2)+x2(2-x1)
12-10x1x2-(x12+x22)
 7. Cho ph­¬ng tr×nh x2+mx-m2-8=0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: x21+x22=25
 8. Cho ph­¬ng tr×nh x2-mx+m-1=0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: x21+x22-6 x1x2=8
 9. Cho ph­¬ng tr×nh x2-mx+m-1=0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x1-2x2=1
 10. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m đối với các phương trình sau :
 x2-(2-m)x+m2- 4=0
(m-4)x2-2mx+m- 4=0
x2-2(m+1)x+2m2- 2=0
(m-2)x2-2(m+4)x+m- 2=0
x2-(m+1)x+m+ 4=0
 11. Cho ph­¬ng tr×nh: mx2-2(m-1)+2m-5=0
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
 T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu.
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt.
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt.
 IV- Kết quả nghiên cứu 
 1. Thực trạng :
 - §¹i ®a sè häc sinh ch­a x¸c ®Þnh ®óng môc ®Ých cña viÖc häc. 
	- ChÊt l­îng ®Çu vµo thÊp, häc sinh kh«ng cã sù «n luyÖn hÌ ë nhµ.
	- NhËn thøc cña häc sinh qu¸ chËm.
	- Häc sinh qu¸ l­êi häc bµi.
	- Häc sinh cßn còn có suy nghĩ kh«ng cÇn häc còng vÉn lªn líp .
	- Gi¸o viªn có tập chung thêi gian ®Ó phô ®¹o häc sinh yÕu kÐm nhưng bản thân học sinh không có ý thức đến lớp học tập 
	- Cha mÑ häc sinh ch­a quan t©m ®Õn viÖc häc tËp cña con em m×nh...
 Sau khi học xong 2 tiết của bài hệ thức Vi-ét và ứng dụng , kết quả học sinh hai lớp 9A,9B đạt được sau bài kiểm tra là : 
 Líp
SÜ sè
§iÓm 
Giái
Kh¸
T. B×nh
YÕu
KÐm
9A
28
0
4
10
12
2
9B
30 
0
3
9
13
5
 2. Kết quả đạt được 
 Sau khi thùc nghiÖm ®Ò tµi t¹i tr­êng THCS hòa thắng thông qua các buổi ôn tự chọ và bồi dưỡng học sinh t«i thÊy häc sinh cã ý thøc h¬n, cÈn thËn h¬n, tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n khoa häc chÆt chÏ h¬n và kết quả đạt được được như sau :
 Líp
SÜ sè
§iÓm 
Giái
Kh¸
T. B×nh
YÕu
KÐm
9A
28
2
7
15
3
1
9B
30 
1
9
14
5
1
 Sau khi cã kÕt qu¶ ®iÒu tra vÒ chÊt l­îng häc tËp bé m«n to¸n cña häc sinh vµ t×m hiÓu ®­îc nguyªn nh©n dÉn ®Õn kÕt qu¶ ®ã t«i ®· ®­a ra mét vµi biÖn ph¸p vµ ¸p dông c¸c biÖn ph¸p ®ã vµo trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y thÊy r»ng häc sinh cã nh÷ng tiÕn bé, häc sinh tiÕp cËn kiÕn thøc mét c¸ch nhÑ nhµng h¬n kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cã phÇn kh¶ thi h¬n. Tuy nhiªn, sù tiÕn bé ®ã thÓ hiÖn ch­a thËt râ rÖt, ch­a cã sù ®ång bé do vẫn còn một số học sinh lười học , chuyên bỏ giờ , nghỉ học đi chơi . 
 V. Kết luận 
1. Tóm lược quá trình thực hiện 
 Ứng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i to¸n lµ mét vÊn ®Ò lín, ®ßi hái ng­êi häc ph¶i cã tÝnh s¸ng t¹o, cã t­ duy tèt vµ kü n¨ng vËn dông lý thuyÕt mét c¸ch linh ho¹t. ChÝnh v× lÏ ®ã, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ng­êi gi¸o viªn cÇn chuÈn bÞ chu ®¸o, tØ mØ, râ rµng tõng thÓ lo¹i bµi tËp cô thÓ ®Ó häc sinh hiÓu s©u b¶n chÊt vµ c¸ch vËn dông. 
 X©y dùng cho c¸c em niÒm ®am mª, høng thó trong häc tËp, t«n träng nh÷ng suy nghÜ, ý kiÕn vµ s¸ng t¹o cña c¸c em. CÇn th­êng xuyªn kiÓm tra, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ häc tËp, bæ sung thiÕu sãt kÞp thêi, d¹y s©u, d¹y ch¾c vµ kÕt hîp nhuÇn nhuyÔn, l«gic gi÷a c¸c bµi kh¸c nhau.
2. Đề xuất ý kiến 
Nghiªn cøu ®Ò tµi “øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i to¸n” kh«ng chØ gióp cho häc sinh có thêm kiến thức , yªu thÝch häc bé m«n to¸n mµ cßn lµ c¬ së gióp cho b¶n th©n cã thªm kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y. MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng khi thùc hiÖn ®Ò tµi, song trong thùc tÕ d¹ng to¸n nµy rÊt ®a d¹ng v× ®iÒu kiÖn thêi gian vµ sù tiÕp nhËn kiÕn thøc cña häc sinh vµ n¨ng lùc cña b¶n th©n cßn nhiÒu h¹n chÕ kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt trong quá trình thực hiện nghiên cứu , thực hiện đề tài . V× vËy, t«i mong sù quan t©m cña c¸c ®ång nghiÖp gãp ý kiÕn ch©n thµnh ®Ó ®Ò tµi nµy hoµn thiÖn h¬n.
 Qua đây tôi rất mong 
 - Phòng giáo dục huyÖn và ban lãnh đạo trường học cÇn quan t©m h¬n n÷a ®Õn chÊt l­îng tuyÓn sinh ®Çu vµo cấp 2 .
 - Phßng GD&ĐT më c¸c chuyªn ®Ò ®Ó chóng t«i cã ®iÒu kiÖn trao ®æi vµ häc hái thªm.
	- Hội trưởng hội cha mẹ phô huynh häc sinh tìm ra biện pháp hữu hiệu đẻ giúp phụ huynh học sinh quan t©m h¬n n÷a ®Õn viÖc häc tËp cña con em m×nh.
 Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
 VI. Tài liệu tham khảo 
( Mét sè tư liệu tham khảo trong nghiên cứu )
STT
Tên tác giả
Năm suất bản
Tên tài liệu
Nhà xuất bản
Nơi xuất bản
1
Phan §øc ChÝnh
2005
SGK,SGV to¸n 9
NXB Gi¸o dôc
Hµ Néi
2
Vò H÷u B×nh
1996
N©ng cao vµ ph¸t triÓn ®¹i sè 9
NXB Gi¸o dôc
Hµ Néi
3
Vò H÷u B×nh-
Bïi V¨n Tuyªn
1999
H­íng dÉn lµm bµi tËp ®¹i sè 9
NXB Gi¸o dôc
Hµ Néi
4
T«n th©n
Vò H÷u B×nh
Bïi V¨n Tuyªn
2007
¤n kiÕn thøc , LuyÖn kÜ n¨ng ®¹i sè 9
NXB Gi¸o dôc
Hµ Néi
5
Bïi V¨n Tuyªn
2009
Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò to¸n 9
NXB Gi¸o dôc
Hµ Néi
Ngoµi ra qua sù nghiªn cøu mét sè tµi liÖu trªn m¹ng vµ mét sè ®Ò thi vµo 10 cña mét sè n¨n tr­íc
 VII. Mục lục
Néi dung
Trang
PhÇn I: Më ®Çu
2
I. LÝ do chän ®Ò tµi
2
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
3
3. NhiÖm vô nghiªn cøu
3
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
3
5. Phương pháp nghiên cứu
3
6 .Thời gian và kế hoạch nghiên cứu
4
phÇn 2. néi dung
5
I- Cơ sở lí luận thực tiễn
5
1./ Cơ sở lí luận :
5
2./ Cơ sở thực tiễn :
5
II. Các biện pháp thực hiện
7
1. Kết quả thực trạng
7
2. Nội dung thực hiện
7
III. Bài tập :
8
1. Ứng dụng định lí vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai .
8
2. Tính tổng và tích các nghiệm
9
3. Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
10
4. Lập phương trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó :
13
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
16
6. Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước .
19
7. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai .
23
8. Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số
26
Một số bài tập vận dụng
28
IV- Kết quả nghiên cứu
29
1. Thực trạng :
29
2. Kết quả đạt được
30
V. Kết luận
31
1. Tóm lược quá trình thực hiện
31
2. Đề xuất ý kiến
31
VI. Tài liệu tham khảo
32
VII. Mục lục
34