Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS

ài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và r≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 : 
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Rút m từ (1), ta có: 
Rút m từ (2), ta có: 
Từ (3) và (4), ta có: 
Ví dụ 2 : 
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Thay vào biểu thức A, ta có: 
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 
Vậy A = 0 với mọi và . 
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính r ta được: r= (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : độc lập đối với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không phụ thuộc giá trị của m. 
Hướng dẫn:
- Tính r ta được: r= 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : không phụ thuộc giá trị của m.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và r≥ 0).
Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 : 
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Vì (giả thiết)
Nên ( thỏa mãn)
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Ví dụ 2 : 
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Vì (giả thiết)
Nên 
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1: 
ĐKXĐ: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Suy ra: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
m2 + 127m - 128 = 0m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2: 
ĐKXĐ: 
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0(TMĐK).
Bài 3: 
Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
 (TMĐK).
Ứng dụng 6: định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
1. Ví dụ :Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Cách giải:
Ta có : a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
 b, c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. 
Theo định lý Vi-ét ta có: và 
 Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3	(1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3	(2)
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1);	a2 + b2 + c2 = 2 (2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biểu diễn trên trục số:
Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 Þ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình :
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm ta phải có: D = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) ³ 0 Û a(3a + 4) £ 0 
Û - £ a £ 0
Chứng minh tương tự ta được: - £ b £ 0; - £ c £ 0
2. Bài tập:
1. Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
2. Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
1. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: =6
Hướng dẫn: ĐKXĐ: {xÎR ½ x ¹ - 1}
Đặt:	 Þ 
Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x Î R ½ x ¹ - 1}
Đặt:(*) Þ Þ 
u, v là nghiệm của phương trình: 	x2 - 5x + 6 = 0
 D = 25 – 24 = 1
 x1 = = 3, x2 = = 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu: thì (*) trở thành: 	x2 - 2x + 3 = 0
 D' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phương trình vô nghiệm
Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
 a) b) 
Bài giải :
a) x, y là nghiệm của phương trình:	 X2 – 11X +31 = 0
D=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ: 
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình : u2 - 4u + 3 = 0
Þ u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: v2 – 3v + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:
1. Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
2. Giải các hệ phương trình sau:
 a) b) 
Ứng dụng 8 : Định lí Vi –ét với bài toán cực trị: 
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: A = có giá trị nhỏ nhất.
Giải: 
Theo hệ thức VI- ÉT,Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
A = 
Suy ra: 
Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: 
Theo đề bài ta có: 
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
Vì 
Vậy maxB = 1 m = 1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
Vì . Vậy 
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m.
 (với ẩn là m và B là tham số) (*)
Ta có: 
Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì r≥ 0 
Hay 
Vậy: ; 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ đạt giá trị lớn nhất.
b/ đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
1. Một số kiến thức cần nhớ:
a. Tìm giao điểm các đồ thị:
Xét hàm số y = f(x) có đồ thị ( C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị ( C2)
- Số giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ 
- Tọa độ giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ trên.
b. Cho 2 điểm A( x1; y1) và B(x2; y2)
- Độ dài đoạn thẳng AB= 
- Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ xI = ( x1 + x2) và yI = ( y1 + y2)
c. Quỹ tích đại số: Điểm A có tọa độ xA = f(m), yA = g( m) với m là tham số. Quỹ tích A là đồ thị của hàm số lien hệ giữa y và xA không phụ thuộc vào m, với giới hạn tập xác định của các hàm số trên.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho parabol y= x2 ( P) và đường thẳng (d) : y = mx + 2. Tìm m để (d) cắt (P) tại A, B phân biệt mà đoạn AB ngắn nhất.
Giải: y= x2 ( P) và (d) : y = mx + 2
Xét phương trình: x2 – mx – 2 = 0( 1) luôn có hai nghiệm trái dấuvì a, c trái dấu.
Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).
Ta có A( x1; mx1 +2) và B( x2; mx2 +2)
AB2 = ( x1 – x2)2 + ( mx1 – mx2)2 = ( m2 +8)( m2 +1) 
-> AB ngắn nhất = 2 khi m = 0
Ví dụ 2:Cho parabol ( P): y = x2 và đường thẳng ( d) : y = 2mx – m +1( với m ≠ 0). Tìm m sao cho (d) cắt ( P) tại hai điểm A; B phân biệt có hoành độ x1; x2 mà = 2.
Giải: Xét x2 = 2mx – m +1ó x2 - 2mx + m - 1 = 0
D'= m2 – m + 1> 0 với mọi giá trị của m.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Xét = 2=> (x1+ x2)2 - 4 x1x2 = 4 => m2 – m = 0 => m = 0 ; m= 1
Ví dụ 3: Cho y= x2 (P) và ( d) là đường thẳng đi qua A( 1; 2) có hệ số góc k.
a. Chứng minh với mọi k thì ( d) luôn cắt (P) ở hai điểm phân biệt.
b. Với k = 2, chứng minh ( d) cắt (P) ở hai điểm nhận A là trung điểm.
Giải:
a. Phương trình đường thẳng( d): y = k( x -1) +2 = kx – k+2
Xét x2 - kx + k – 2 = 0 có D = k2 - 4k + 8 = ( k -2) 2 +4 > o vơi mọi k
=> luôn có hai giao điểm phân biệt B và C.
b. Khi k = 2 có ( x1 + x2) = = 1 là hoành độ của A. Mà A; B; C thẳng hang, nên A là trung điểm của BC.
3. Bài tập thêm:
Bài 1: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 1( với m là tham số)
a. Vẽ đồ thị của ( P) và ( d) khi m = 1
b. Chứng minh ( d ) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cát ( P) tại A; B phân biệt.
c. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2( Với O là gốc tọa độ)
Bài 2: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m( với m là tham số)
a. Tìm m để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau? Tìm hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm m để 2 đồ thị cát nhau tại hai điểm mà một giao điểm có hoành độ là -1. Xác định hoành độ giao điểm còn lại.
c. Giả sử giao điểm của hai đồ thị là A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài 3: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 3( với m là tham số)
a. Chứng minh rằng: hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt mà hoành độ là x1; x2.
b. Chứng minh: T = x12 +4mx2 – 3m2 – 2 > 0 với mọi m
Bài tập tổng hợp :
1. Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Đặt A = 2() - 9x1x2. 
Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9. 
Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Giải: 
a) 	= (-m)2 - (2m - 1) = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2 0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m, x1x2 = 2m - 1
 A = 2() - 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 9x1x2 
 = 2[(2m)2 - 2(2m - 1)] - 9(2m - 1)
 = 8m2 - 13(2m - 1) = 8m2 - 26m + 13
A = 27 8m2 - 26m + 13 = 27 8m2 - 26m - 14 = 0
 4m2 - 13m - 7 = 0 
c) Giả sử x1 = 2x2 	=> 3x2 = 2m	(1)
	 2x22 = 2m - 1	(2)
Lấy (2) trừ đi (1) ta được: 2x22 - 3x2 = -1 2x22 - 3x2 + 1 = 0 
Với x2 = 1 => x1 = 2 => m = 
Với x2 = => x1 = 1 => m = 
2. Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1) x - m = 0 có ẩn là x.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
Giải: a) Phương trình này có nghiệm kép nếu: 
Vậy thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm thì :
3. Cho phương trình x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn.
	y1 + y2 = x1 + x2;	
Giải:
a) Xét = 4 + m2 + 3m = 
Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với mọi m
b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(x1 + x2)
Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4;	x1x2 = -(m2 + 3m)
=> 16 + 2(m2 + 3m) = 16 m2 + 3m = 0 => 
c) y1 + y2 = x1 + x2 = 4
Từ => y1 (1 - y1) + y2 (1 - y2) = 3(1 - y1) (1 - y2)
 y1 + y2 -(y12 + y22) = 3[1 - (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = -3 và y1 + y2 = 4
4. Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a - 1) x + a2 - 4a + 1 = 0
Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 
Giải:
* Điều kiện cần: Tìm a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
 (x1x2 - 2) (x1 + x2) = 0
Hoặc là: x1 + x2 = 0 = 0 a = 1
Hoặc là: x1x2 = 3 = 2 a2 - 4a - 5 = 0 
* Điều kiện đủ:
Nếu a = 1: Ta có phương trình 3x2 - 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = 5: Ta có phương trình 3x2 + 16x + 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = -1: Ta có phương trình 3x2 - 8x + 6 = 0
Phương trình này vô nghiệm (không thoả mãn)
Vậy a = 1 và a = 5
5. Cho f(x) = x2 - 2 (m+2)x + 6m + 1
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Giải:
a) Xét = [- (m+2)]2 - (6m + 1) = m2 - 2m + 3 = (m - 1)2 + 2 > 0m.
b) Thay x = t + 2
f(t) = (t + 2)2 - 2(m + 2) (t + 2) + 6m + 1
f(t) = t2 - 2mt + 2m - 3
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ khi phương trình 
t2 - 2mt + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.
6. Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
 Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số.
Giải: Gọi x1, x2 là hai nghiệm => x1 + x2 = - a;	x1x2 = b + 1
Ta có: a2 + b2 = [-(x1 + x2)]2 + (x1x2 - 1)2
=> a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 - 2x1x2 + 1)
=> a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + 1 = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 là hợp số.
7. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 3x + a = 0
Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t2 - 12t + b = 0
Cho biết . Tính a và b.
Giải: Áp dụng định lý Vi-ét
	x1 + x2 = 3;	x1x2 = a
	t1 + t2 = 12; 	t1t2 = b
Đặt k = =>	x1 = kx2, x2 = kt1, t1 = kt2
Thế vào và rút ra ta được: k2 = 
* Nếu k = thì a = 2 và b = 32
* Nếu k = - thì a = -18 và b = -288
8. Cho phương trình: 	ax + bx + c = 0 (a 0)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Giải: 
* Điều kiện cần: 
Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2 thoả mãn hoặc x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1
=> (x1 - 2x1) (x2 - 2x1) = 0 => x1x2 - 2(x12 + x22) + 4x1x2 = 0 
=> 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 0=> 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = 0 => 9. - 2 = 0 
=> 9ac = 2b2
* Điều kiện đủ: 
Giả sử có 9ac = 2b2
Xét = b2 - 4ac = b2 - => x1 = và x2 = => x1 = 2x2
PHẦN III: KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu :
- Học sinh có những tiến bộ quan trọng trong phương pháp giải phương trình bậc hai. Biết giải các bài tập khó tương tự như các dạng bài tập đã biết để làm. Có hứng thú rõ rệt trong học toán, có tư duy đổi mới linh hoạt. Có nhu cầu vươn tới tìm tòi sáng tạo ở các bài tập khó hơn nữa.
- Đối với việc vận dụng định lý Vi-ét vào việc giải phương trình bậc hai một ẩn chỉ là một trong những chuyên đề để các đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện cho học sinh. Mong rằng đây là một chuyên đề quan trọng giúp cho học sinh vận dụng một cách khoa học sáng tạo hơn trong việc học Toán. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
Nghiên cứu đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS ” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Quá trình nghiên cứu đề tài đối giúp tôi hiểu một cách sâu sắc hơn về định lí Vi - ét. Tôi được bổ sung thêm các bài tập về phương trình bậc hai một ẩn số, hàm số, đồ thị, giá trị tuyệt đối. Điều đó giúp tôi truyền thụ kiến thức đến các em học sinh một cách chặt chẽ và dễ dàng hơn, đặc biệt trong thời gian ôn thi môn Toán cho học sinh khối 9 thi vào lớp 10, giúp tôi có thêm nhiều kiến thức chuyên môn cũng như nhiều kinh nghiệm hơn trong 2 năm học thực hiện đề tài, nhất là sau năm học 2014-2015 cũng đề tài này tôi đã được hội đồng khoa học của ngành cấp thành phố công nhận, đó cũng là niềm tin và là động lực giúp tôi tiếp tục áp dụng đề tài trong thực tiễn giảng dạy và phát triển đề tài cho phù hợp với từng đối tượng học sinh của từng năm học.
Với số lượng bài tập phong phú từ dễ đến khó, các em được rèn luyện thành thạo kỹ năng giải các loại bài tập. Qua đó tạo ra niềm say mê hứng thú trong học tập cho các em, các em không còn cảm thấy sợ thấy khó khi học những vấn đề này.
Kiến nghị và đề xuất:
- Hiện nay các trường phổ thông chú trọng nhiều việc phụ đạo học sinh yếu, kém và cũng đã quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi các khối lớp 6; 7; 8. Nên áp dụng dạy chia nhóm đối tượng học sinh vừa đỡ vất vả cho giáo viên đồng thời học sinh có hứng thú trong học tập vì vừa sức trong các dạng bài tập. Và hơn nữa nên có chương trình hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham khảo tất cả các môn học.
- Nhà trường và phòng Giáo dục nên duy trì các chuyên đề về dạy học tích cực theo chủ đề, sau mỗi chuyên đề duy trì rút kinh nghiệm trong tổ nhóm chuyên môn. 
- Tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề Toán, nhất là các chuyên đề về dạy học tích cực tích hợp theo chủ đề và tích hợp liên môn , tạo điều kiện để giáo viên của các trường có ít giáo viên bộ môn được dự giờ các đồng nghiệp của các trường bạn để học hỏi thêm kinh nghiệm cũng như nâng cao về chuyên môn.
Do trình độ và năng lực còn hạn chế nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Vậy tôi rất mong muốn có được nhiều ‎ kiến đóng góp và giúp đỡ của hội đồng khoa học các cấp cùng các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tôi sẽ bổ sung tiếp ở những năm học sau trong sự nghiệp dạy học của mình.
Tôi xin cam đoan, bản sáng kiến kinh nghiệm này là do quá trình công tác tôi đã ghi chép lại và rút kinh nghiệm từ thực tế của bản thân, tôi không sao chép lại những bản sáng kiến kinh nghiệm hoặc đề tài khoa học của người khác.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
 Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tuyển tập các bài toán hay và khó _Đại số 9 của nhà xuất bản đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường).
2. Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2.
3. Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2.
4. Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2.
5. Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 của nhà xuất bản giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc).
6. Sách : Một số vấn đề phát triển Đại số– 9 của tác giả Vũ Hữu Bình
7. Tài liệu ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán( các năm học) của các tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm- Đoàn Văn Tề - Tạ Hữu Phơ.
8. Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2010 và 2011 của tác giả Hà Xuân Thành.
9. Một số tài liệu về đề tài: Định lí Vi - Et và ứng dụng của các đồng nghiệp.
	 Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017