Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-Ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9

Mục lục
Trang
Phần I: Mở đầu	1
1. Lí do chọn đề tài	1
2. Mục đích yêu cầu	2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu	2
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu	2
5. Phương pháp nghiên cứu	2
Phần II: Nội dung đề tài	3
Chương I: Một số kiến thức cơ bản	3
Chương II: Các dạng toán cơ bản thường gặp liên quan	4
Chương III: Thực nghiệm sư phạm - Các ứng dụng cụ thể	4
I. Mục đích thực nghiệm	4
II. Nội dung thực nghiệm - Các bài toán cụ thể 	4
III. Thực nghiệm sư phạm	20
Phần III: Kết luận	30
Tài liệu tham khảo	31
Phần I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản trong nhà trường phổ thông, bởi vì Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật cũng như ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán. Bởi vì cái khó của các em là không biết vận dụng lí thuyết vào làm bài tập như thế nào? Tư duy về Toán học còn hạn chế.
Song, điều lí thú của người yêu môn Toán, học Toán là sự khám phá, tìm tòi sáng tạo. 
Tôi là người cũng yêu thích Toán học, đặc biệt là ở lĩnh vực Đại số. Đã nhiều năm giảng dạy môn Toán, tiếp cận với nhiều tác phẩm kiến thức Toán học của nhiều tác giả nổi tiếng, tôi cũng tập cho mình thói quen tìm tòi khám phá, sáng tạo, tích luỹ.
Trong chương trình Đại số cấp THCS nói chung và Đại số 9 nói riêng thì việc giải Phương trình bậc hai một ẩn là một công việc hết sức quan trọng, đặc biệt là phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số.
Muốn giải quyết được dạng toán trên nhát thiết buộc người giải phải áp dụng tới Định lí Vi - ét. Chính vì tầm quan trọng của Định lí Vi - ét trong việc giải dạng toán trên nên tôi đã chọn và soạn thảo đề tài " ứng dụng Định lí Vi - ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9"
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có sự định hướng để giải các bài toán tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linh hoạt cho các trường hợp và thấy được ứng dụng rộng rãi của định lí Vi - ét.
Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, việc khai thác nội dung bài toán, tìm ra phương pháp giải có tác dụng tích cực trong phát triển tư duy lô gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán THCS
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với đề tài này theo tôi để đề tài có tính chất khả thi thì nhiệm vụ cơ bản nhất là khai thác triệt để tiềm năng sách giáo khoa tạo tiền đề, cơ sở vững chắc về mặt kiến thức, phải năm chắc kiến thức cơ bản của sách giáo khoa, làm được hết tất cả các bài tập trong sách giáo khoa một cách thành thạo, hiểu rõ các yêu cầu và biết phân dạng loại bài tập rồi từ đó khai thác các bài tập ở các tài liệu tham khảo.
Lí thuyết: Dạng phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm (thu gọn) của phương trình bậc hai một ẩn, Hệ thức Vi - ét và ứng dụng, cách xác định dấu các nghiệm 
Các dạng bài toán xảy ra với từng điều kiện cụ thể.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu đối với học sinh lớp 9
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp lí luận và thực nghiệm sư phạm.
Phần II. Nội dung đề tài
Chương I: Một số kiến thức cơ bản
1. Dạng phương trình bậc hai một ẩn x: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) (1)
2. Công thức nghiệm của phương trình (1):
Biệt thức 	(, với b = 2b')
- Nếu > 0 (hoặc > 0 ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 ()	;	 ()
- Nếu = 0 (hoặc = 0 ): Phương trình (1) có kép (nghiệm duy nhất)
 ()
- Nếu < 0 (hoặc < 0 ): Phương trình (1) vô nghiệm.
3. Hệ thức Vi - ét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì: 
4. Xác định dấu của các nghiệm
> 0
P < 0
Hai nghiệm trái dấu
 0
P > 0
Hai nghiệm cùng dấu
S > 0: Hai nghiệm dương
S < 0: Hai nghiệm âm
Chương II: Các dạng toán cơ bản thường gặp liên quan
	+ Tìm điều kiện của tham số (m) thoã mãn điều kiện về nghiệm của phương trình.
	+ Tìm điều kiện của tham số (m) thoã mãn điều kiện về dấu của các nghiệm.
	+ Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn hệ thức cho trước.
	+ Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn biểu thức nghiệm đạt cực trị.
	+ Tìm giá trị của tham số (m) thoã mãn hệ thức hình học
Chương III: Thực nghiệm sư phạm - Các ứng dụng cụ thể
I. Mục đích thực nghiệm
Trong chương trình Đại số cấp THCS nói chung và Đại số 9 nói riêng thì việc giải Phương trình bậc hai một ẩn là một công việc hết sức quan trọng, đặc biệt là phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số.
Muốn giải quyết được dạng toán trên nhát thiết buộc người giải phải áp dụng tới Định lí Vi - ét. Chính vì tầm quan trọng của Định lí Vi - ét trong việc giải dạng toán trên nên tôi đã chọn và soạn thảo đề tài " ứng dụng Định lí Vi - ét để tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9"
II. Nội dung thực nghiệm	
	Xét bài toán
	Cho phương trình: (m - 3)x2 - 2mx + m +2 = 0(1); m là tham số.
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm:
	Ta có:
- Nếu m = 3 thì phương trình (1) trở thành -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất x = 
- Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm 0 (-m)2 - (m - 3).(m + 2) 0
 m + 6 0 m -6
	Vậy phương trình (1) có nghiệm với m -6
2. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất:
	Ta có 
	- Nếu m = 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc nhất -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất x = 
	- Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất = 0 m + 6 = 0 m = -6
	Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m = 3 hoặc m = -6
3. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
	Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
	Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m 3 và m > -6
4. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép:
	Phương trình (1) có nghiệm kép 
 m = -6
	Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép
5. Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm:
	Ta có: 
	- Nếu m = 3 thì phương trình (1) trở thành -6x + 5 = 0 có nghiệm duy nhất x = 
	- Nếu m 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai.
phương trình (1) vô nghiệm
 m < -6
	Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi m 3 và m < -6
6. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2:
	Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được
(m - 3). (-2)2 - 2m(-2) - 2 + 2 = 0
 4m -12 + 4m = 0 8m = 12 m = 
	Vậy với m = thì phương trình (1) có một nghiệm x = -2
7. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu:
	Phương trình (1) có hai nghiệm trái dáu
	Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi -2 < m < 3
8. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu:
	Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
9. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm:
	Phương trình (1) có hai nghiệm âm
(không tồn tại m)
(không tồn tại m)
	Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
10. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương:
	Phương trình (1) có hai nghiệm dương 
 m > 3
(không tồn tại m)
(không tồn tại m)
-6 m <-2
	Vậy với -6 m 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
11. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
	Phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt cùng dấu
12. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm:
	Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm
(không tồn tại giá trị của m)
	Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm
13. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương:
	Phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt cùng dương 
	Vậy với - 6 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương
14. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép dương
	Phương trình (1) có nghiệm kép dương
 	 	 m = -6
	Vậy với m = -6 thì phương trình (1) có nghiệm kép dương.
15. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép âm
	Phương trình (1) có nghiệm kép âm
 Không tồn tại giá trị của m
	Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có nghiệm kép dương.
16. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số đối nhau
	Phương trình (1) có hai nghiệm là hai số đối nhau
	Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm là hai số đối nhau.
17. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau:
	Phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau:
( Vô lí )
	Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.
18. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1:
	Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1:
	Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1.
19. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương:
	Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
 0 < m < 3
	Vậy với 0 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
20. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm dương:
 -2 < m < 0
	Vậy với -2 < m < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm dương
21. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm
	Ta có: 
 = m + 6 0 m -6
P = = ;	S = = 
	+ Nếu P 0 thì 0 -2 m 3, khi đó phương trình (1) tồn tại một nghiệm không âm
	+ Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
Để thoã mãn đề bài , ta phải có S > 0. Điều kiện là
	Vậy với hoặc m > 3 thì phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm.
22. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
	Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
 (3)
 (4)
 (2)
 (1)
Giải điều kiện (3): 
Theo hệ thức Vi - ét ta có: 
 = ;	 = 
(3) - 2. + 4 0 0 
Giải điều kiện (4) : - 4 < 0 
Kết hợp các điều kiện (1), (2), (3), (4) ta có: 
	Vậy với hoặc m > 10 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
23. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
	Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
	Vậy số nguyên m nhỏ nhất cần tìm là m = -5
24. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm
	Ta có:
Nếu m = 3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = . Do đó m 3.
Phương trình (1) vô nghiệm khi < 0 m + 6 < 0 m < - 6
	Vậy số nguyên lớn nhất phải tìm là m = -7
25. Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phương trình (1) là số hữu tỷ: 
	Ta có:
	Với m = 3, phương trình (1) có nghiệm x = .
	Với m 3, phương trình (1) là phương trình bậc 2, nên để nghiệm của phương trình (1) là số hữu tỷ phải có = m + 6 là số chính phương, tức là:
m + 6 = k2 (với k N) m = k2 - 6
	Vậy các giá trị cần tìm của m thoã mãn điều kiện của bài toán là m = k2 - 6 (với k N)
26. Định m để phương trình (1) và phương trình 
(m - 3)x2 + 2x + 3m + 4 = 0 (2) có ít nhất 2 ngiệm chung
	Giả sử x = x0 là nghiệm chung nào đó của phương trình (1) và phương trình (2), ta có: 
Trừ từng vế hai đẳng thức trên ta được:
(2m + 2)x0 + (2m + 2 = 0 (m + 1) x0 = -(m + 1)
Để tồn tại x0 thì m + 1 0 m -1
Khi đó x0 = 
Với x0 = -1, ta có (1) (m - 3)(-1)2 - 2m(-1) + m + 2 = 0
 4m = 1 m = 
Ta có (2) (m - 3)(-1)2 + 2(-1) + 3m + 4 = 0
 4m = 1 m = 
	Vậy với m = thì phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung x = -1
27. Tìm các giá trị của m để biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất. Với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1).
	Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì 
Theo hệ thức Vi - ét, ta có: = ; = 
 Khi đó: 
A = = 
 = = 
Suy ra: (2 - A)m2 + 2(1 + 3A)m + 12 - 9A = 0 (*) 
Để tồn tại m thì phương trình (*) với ẩn m phải có nghiệm.
+ Nếu A = 2 thì phương trình (*) có một nghiệm m = 
+ Nếu A 2 thì phương trình (*) có nghiệm (m) = 36A - 23 0
 A minA = m = 
	Vậy với m = thì biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất là 
28. Tìm m để biểu thức B = có giá trị lớn nhất(x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) )
	Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì:
Theo hệ thức Vi - ét và đề bài ta có: 
B = = = = 
Suy ra: (4m + 1)m2 + 4m + 4 = 0	(**)
Để tồn tại m thì phương trình (**) phải có nghiệm:
	+ Nếu B = thì phương trình (**) có một nghiệm m = -1
	+ Nếu B thì phương trình (**) có nghiệm
(m) = 4 - 4(1 + 4B) = 16B 0 16B 0 B 0
Max B = 0 (thoả mãn)
	Vậy với m = -2 thì biểu thức B = có giá trị lớn nhất
29. Xác định m để cạnh huyền của một tam giác vuông có độ dài bằng , với số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là nghiệm của phương trình (1)
	Giải: 
Vì số đo độ dài các cạnh góc vuông là một số dương
Nên điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dương là:
áp dụng định lí Pi - ta - go trong tam giác vuông ta có: 
 = ()2 - 2 x1.x2 = 
 5m2 + 26m + 21 = 0
 (m)= 132 -5.21 = 0 
 m1 = (không thoã mãn điều kiện của m)
 m2 = (thoã mãn điều kiện của m)
	Vậy với m2 = thì cạnh huyền của một tam giác vuông có độ dài bằng , và độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là nghiệm của phương trình (1)
30. Xác định m để độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình (1) có độ dài bằng , với số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó 
	Giải:
Vì số đo độ dài các cạnh của tam giác là một số dương, do đó điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
 m2 - 8m + 12 =0
Ta có (m)= 16 - 12 = 4
Suy ra m1 = 4 + 2 = 6 (thoã mãn)
m2 = 4 - 2 = 2 (không thoã mãn) 
Với m = 6 ta có x1 = ,	x2 = 
Vậy hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: ; x2 = 
Thực trạng việc dạy và học: Việc hướng dẫn các em tìm hiểu các dạng điều kiện của tham số trong phương trìmh bậc hai một cách đa dạng. Cho nên trong nhiều loại toán giải phương trình bậc hai có dạng tìm điều kiện của tham số, học sinh mới có cảm nhận phức tạp, khó khăn, cho đó là dạng toán khó. Song các em vẫn luôn tìm ra cho mình kiến thức áp dụng dạng toán đó một cách hợp lí để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Hơn thế nữa, dạng toán này còn gặp rất nhiều trong một số bộ đề toán luyện thi vào lớp 10. Vì vậy các em thành thạo giải nó là một điều hết sức quan trọng và cần thiết.
Bên cạnh đó, có thể mở rộng đi sâu hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy, khả năng vận dụng toán học và góp phần quan trọng vào việc rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, độc lập suy nghĩ của học sinh.
Và là cơ sở để các em lĩnh hội tốt hơn các bộ đề thi lên lớp 10. Cũng là chìa khoá để các em vững vàng, tự tin hơn trong việc học tốt môn toán.
Phần III. Kết luận
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên trong quá trình giảng dạy của bản thân. Tôi nhận thấy kết quả học tập của các em có nhiều chuyển biến, sự tiến bộ rõ rệt, và nhất là các em trong đội ngũ học sinh giỏi. Qua đó các em có sự hứng thú say mê học hỏi, luôn tìm tòi khám phá các dạng toán để áp dụng vào kiến thức cơ bản, phát triển khả năng tư duy sáng tạo của các em.
	Sau 2 tiết triển khai dạy - học nội dung bài mới: Hệ thức Vi - ét - ứng dụng và luyện tập, tôi đã dành thời gian để học sinh làm bài kiểm tra 15 phút với mức độ đề bài đáp ứng được việc đánh giá đến các đối tượng học sinh: Giỏi, khá, TB, yếu. Cụ thể:
Giỏi: 8,5%	Khá: 41,5%	TB: 46,8%	Yếu: 3,2%
Tài liệu tham khảo
1. Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 - NXBGD 2005
2. Vũ Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Quân - Tuyển tập đề thi môn Toán THCS - NXBGD 2005
3. Nguyễn Văn Vinh - Nguyễn Đức Đồng  23 chuyên đề gải 1001 bài toán sơ cấp - NXBGD 2005
4. Tôn Thân - Hướng dẫn làm bài tập Đại Số 9 - NXBGD 1999
5. Nguyễn Đức Tuấn - Giải bằng nhiều cách các bài toán 9 - NXBTH TP HCM NXBGD 2005
6. Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Việt Hải - Vũ Dương Thuỵ - Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9 - NXBGD 1996
7. Phan Thế Thượng - Bùi Tuấn Kiệt - Tạ Minh Quang - Tuyển chọn 400 bài tập Toán 9 - NXB Đà Nẵng 2000