Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình
Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông các bài toán về phương trình, bất phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp. Bên cạnh đó là sự phong phú về dạng toán, từ phương trình, bất phương trình vô tỷ ở lớp 10, phương trình lượng giác ở lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12, mà phương pháp để giải quyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú, rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ được phát hiện khi tìm hiểu để giải quyết những bài toán tạo lên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy.
Như ta đã biết phương trình, bất phương trình đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giải không thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm trong giải toán.
Xuất hiện ở rất nhiều tài liệu, từ chuyên đề hàm số đến các chuyên đề về phương trình đại số và trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp đều có những bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên hệ thống bài tập trong một số chuyên đề đó còn rời rạc, việc khai thác và khắc sâu ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để. Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán phương trình, bất phương trình .
Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo những chuyên đề hoàn chỉnh tôi đã tập hợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình” làm sáng kiến kinh nghiệm, mong rằng với những tìm hiểu của mình có thể giúp học sinh nhận biết, sử lý bài toán giải phương trình, bất phương trình nhanh chóng và thành thạo hơn .
Trong thực tế, chuyên đề đã được tôi sử dụng trong quá trình ôn thi đại học cho học sinh các lớp tôi dạy đạt kết quả khá tốt và học sinh giỏi trong những năm qua cũng đạt kết quả khá cao. Khi triển khai chuyên đề trên tới các đối tượng học sinh, không chỉ học sinh khá giỏi mới làm được mà ngay cả những học sinh trung bình sau khi tiếp nhận kiến thức cũng đã biết sử lý, phân tích bài toán một cách linh hoạt hơn. Học sinh khá, giỏi đã có thể suy nghĩ để đưa ra một số bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm để trao đổi trong nhóm học, tạo ra sự hứng thú và hăng say học tập.
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
n sẽ đơn giản hơn nhiều.Và rất nhiều bài toán khác mà việc sử dụng đạo hàm là rất cần thiết và hữu ích.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình và bất phương trình.Bên cạnh đó giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh thi đại học và thi học sinh giỏi.
Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra một số bài toán và cách giải tương ứng bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm.
2.2. Thực hiện các giải pháp của đề tài:
Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số.
2.2.1. Cơ sở lí thuyết:
2.2.1a.Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với .
a. Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên (a;b) nếu x1 < x2 thì f(x1)<f(x2).
b.Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên (a;b) nếu x1 f(x2).
*Mệnh đề 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì
a. phương trình : có không quá một nghiệm trên D.
b.
Chứng minh:
* Không mất tính tổng quát, giả sử f(x) đồng biến trên D.
a)Giả sử phương trình có nghiệm .Do f(x) đồng biến nên:
+x > x0 =>f(x) > f(x0) =m phương trình f(x) = m vô nghiệm.
+x f(x) < f(x0) =m phương trình f(x) = m vô nghiệm.
Vậy phương trình f(x) = m có nhiều nhất là một nghiệm x = x0.
b)*nếu a f(a) vô lý.
* nếu a>b => f(a)>f(b) ( trái với bài ra f(a) = f(b) ) => vô lý
*nếu a = b => đúng.
*Chú ý:
+Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải phương trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng hoặc (trong đó ) và ta chứng minh được f(x)là hàm luôn đồng biến (nghịch biến).
Nếu là phương trình: ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
Nếu là phương trình: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
+Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
2.2.1b. Định lý. Cho hàm số có đạo hàm trên D.
+Nếu dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thìđơn điệu tăng trên D.
+Nếu dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thìđơn điệu giảm trên D.
Hàm số đơn điệu là hàm số tăng hoặc giảm .
*Mệnh đề 2:
Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình: tức là . Ta giả sử đồng biến còn nghịch biến.
+Nếu suy ra nên phương trình vô nghiệm.
+Nếu suy ra nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm.
*Chú ý:
Khi gặp phương trình F(x) = 0 ta có thể biến đổi về dạng; , trong đó f và g khác tính đơn điệu. khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
*Mệnh đề 3:
Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì: .
2.2.2Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình:
Dạng 1: Phương trình đã cho được đưa về dạng: (hoặc )trong đó .
a)Phương pháp:
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng : (hoặc )
Bước 2: Xét hàm số trên D.
*Tính và xét dấu , kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D.
*Kết luận hàm số: đơn điệu trên D.
*Tìm sao cho (hoặc tìm ).
Bước 3: kết luận.
*Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (hoặc rồi giải phương trình )
*Kết luận nghiệm của phương trình trên.
b)Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) .
b) .
c)
d).
*Nhận xét: Đối với các bài toán trên nếu giải theo cách bình thường như: bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó, tuy nhiên nếu chú ý một chút ta thấy ngay vế trái là một hàm đồng biến và vế phải là hàm số nghịch biến hoặc hằng số, sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ta có cách giải sau.
Giải.
TXĐ :
PT ó
Xét liên tục trên D
hàm số đồng biến trên D. Mà = 6.
nếu => phương trình = 6 vô nghiệm.
nếu x > 2 => => phương trình = 6 vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
TXĐ : D =.
PT ó
Xét hàm số liên tục trên D
ta có
=> đồng biến trên D. Mà = 4
nếu => phương trình = 4 vô nghiệm.
nếu x > 1 => => phương trình = 4 vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
c) . TXĐ: D = .
PT ó
Xét hàm số là hàm số liên tục trên D.
=> đồng biến trên D. Mà = 5
nếu x > 1 => => phương trình = 5 vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
d) TXĐ:
Xét hàm số: , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy f(1)= 4.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
*Chú ý: +Vì các hàm số với a > 0là hàm đồng biến và là hàm đồng biến thì hàm số (với điều kiện căn thức tồn tại)cũng là một hàm đồng biến nên ta dễ dàng nhận ra tính chất đồng biến ( nghịch biến) của hàm số.
+Dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
Bài 2. Giải các phương trình sau.
a) .
b) .
c)
d)
e)
*Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải.
Vì vậy ta chỉ có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau:
Giải
a) TXĐ : D= R. Ta có: .
Xét ta có nên hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác ta thấy f(1)= 0.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b)TXĐ: . PT ó (*)
Xét hàm số: , khi đó (*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy f(6)= 0.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình.
c) . TXĐ : D = .
PT ó
Xét liên tục trên D.
Ta có nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy f(2)= 4.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
d). TXĐ : D = .
PT ó .
Xét hàm số liên tục trên D.
Ta có
( Do x >0 nên và )
=> hàm số f(x) nghịch trên D, mà f(343) = 0
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 343 là nghiệm duy nhất của phương trình.
e) . TXĐ : D = .
PT ó
Xét liên tục trên D.
Ta có
=> hàm số f(x) nghịch trên D, mà f(1) =1
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
*Chú ý: Nếu trong phương trình có chứa cả hàm số mũ (hoặc lôgarit) và hàm đa thức thì ta thông thường hướng suy nghĩ đầu tiên khi lựa chọn cách giải là sử dụng bằng phương pháp đạo hàm.
Bài 3. Giải phương trình sau ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2004-2005)
ln(x2 +6x + 10 ) + x3 +3x2 + 4x +12 = 0.
* Nhận xét: Rõ ràng bài toán trên ta không thể giải bằng phương pháp biến đổi thông thường. Sử dụng phương pháp đạo hàm ta có cách giải sau.
Giải . TXĐ: D = R
Xét hàm số f(x) = ln(x2 +6x + 10 ) + x3 +3x2 + 4x +12 trên R
=> hàm số f(x) đồng biến, mà f(-3) = 0
* Nếu x > -3 => f(x) >f(-3) = 0, phương trình vô nghiệm
* Nếu x f(x) < f(-3) = 0, phương trình vô nghiệm
Vậy x = -3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 4.Giải phương trình sau
. (*)
*Nhận xét: Nếu đặt điều kiện và bình phương hai vế hai lần ta sẽ đưa về phương trình bậc 4 giải được nhưng vất vả . Ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau:
TXĐ:
Xét hàm số: , khi đó pt(*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy f(4)= 0.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 5.Giải phương trình sau
. (*)
*Nhận xét: Nếu đặt điều kiện và bình phương hai về ta đưa phương trình về phương trình bậc 6 mặc dù có nghiệm bằng 0 nhưng bước biến đổi tiếp theo là tất mất thời gian và khó khăn để loại nghiệm do điều kiện bình phương.
Vì vậy ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau:
ĐK:
Xét hàm số: , khi đó pt(*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác ta thấy f(0)= 0.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 6.Giải phương trình sau ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2012)
Giải. TXĐ : D = R
Phương trình ó Đặt t = sin2x ;
Phương trình trở thành (*)
Xét hàm số
ta có ;
=> .
phương trình(*) hay sin2x = ½ ó cos2x = 0 .
Vậy phương trình có nghiệm
Bài 7.Giải phương trình sau
(*)
*Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải.
Vì vậy ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau:
Giải. TXĐ : D = R
Xét với , ta có f(x) là hàm liên tục và
=
Do và ln2013 > 0 nên nên hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác ta thấy f(0)= 1.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
*Nếu nên phương trình vô nghiệm.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 8.Giải phương trình sau
8.log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (*)
Giải . TXĐ: D = R
PT(*) ( do )
Đặt t = với t , khi đó phương trình đã cho trở thành (**)
Xét hàm số: với t . Ta có < 0 t
=> là hàm số nghịch biến với t , mà
=> phương trình (**) có nghiệm duy nhất t = 8 hay
ó x = ; x =
Vậy pt(*) có nghiệm x = ; x =
Dạng 2:Phương trình đã cho được đưa về dạng: trong đó .
a)Phương pháp:
Bước 1:Biến đổi phương trình về dạng: .
Bước 2: Xét hàm số trên D.
*Tính và xét dấu y’.
*Kết luận hàm số là hàm luôn tăng ( hoặc luôn giảm) trên D,
Bước 3: Kết luận.
*Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
*Giải phương trình: .
*Kết luận nghiệm của của phương trình đã cho.
b)Bài tập vận dụng
Bài 1.Giải phương trình sau ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình 2010):
* Nhận xét : Phương trình trên nếu biến đổi thông thường sẽ rất khó khăn chính vì vậy ta có thẻ liên tưởng tới phương pháp sử dụng đạo hàm.
Giải. TXĐ : D =
PT ó (*)
Xét hàm số f(t) = t3 + t ( với ) => f ’(t) = 3t2 + 1 > 0 , với mọi t .
Nên hàm số f(t) đồng biến với mọi t.
PT (*) ó f(x+1) = f() ó ( vì x )
( thoả mãn đk)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 1.
Bài 2. Giải phương trình ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2010)
.
Giải .TXĐ : D=R
Xét hàm số ; ta có
là hàm số nghịch biến , phương trình ó
Vậy phươn trình có nghiệm
Bài 3. Giải phương trình
(*)
Giải. TXĐ:
Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương
Đặt ta được
Trong đó: với . Là hàm số liên tục trên (0;+)
Tacó: => là hàm số tăng trên .
Do đó: hay
Vậy phương trình có nghiệm: .
Bài 4. Giải các phương trình sau ((Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
(*)
Giải. TXĐ : D = R.
Phương trình (*)
Ta thấy để phương trình có nghiệm thì 2x(- 4x -2) > 0 ó
PT (*)
Đặt với u ;v > 0 ta được:
Trong đó: với t > 0 . Là hàm số liên tục và có:
suy ra là hàm đơn điệu tăng.
Do đó:
Vậy phương trình có nghiệm: .
Bài 5. Giải phương trình với
*Nhận xét: Với bài này nếu sử dụng các phép biến đổi thông thường thì ta không thể giải được. Nếu nhìn kĩ ta thấy ngay phương trình có thể đưa về dạng và giải bằng phương pháp đạo hàm:
Giải. Ta thấy với .
Phương trình (3)
Đặt hàm số liên tục
Ta có nên f(t) là hàm đơn điệu tăng.
Do đó:
Vì nên phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 6. Giải phương trình sau ( Đề thi HSG Hải Phòng 2010 )
Giải . TXĐ : D = R
PT (*)
Xét , thì f(t) liên tục trên R
=> hàm số f(t) đồng biến trên R
PT(*) ó
ó x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Bài 7. Giải phương trình
Giải . TXĐ : D = R\{1;}
PT ó (*)
Xét hàm số Txđ
Ta có
=> hàm số luôn đồng biến trên D1
Mà pt(*)
Vậy phương trình có nghiệm x=2 và x=4.
Bài 8. Giải phương trình
(*)
Giải . TXĐ: D =
Phương trình (*)
Xét hàm số víi t
t f(t) là hàm số đồng biến trên .
PT(*) x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: .
Bài 9. Giải phương trình
(*)
Giải . TXĐ :
Đặt
Phương trình trở thành: (**)
Xét hàm số víi t > 0.
f(t) là hàm số đồng biến với t > 0.
PT(**) u = v u- v = 0 hay
Vậy phương trình có nghiệm: .
Bài 10. Giải phương trình ( Đề thi HSG Bắc Ninh 2010)
Giải . TXĐ : D =
PT ó
Xét hàm số liên tục khi t > 7/5
=> f(t) đồng biến , pt ó f(5x-6)=f(x) ó 5x - 6 = x ó x = 3/2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3/2.
Dạng 3. Sử dụng đạo hàm để tìm hết số nghiệm của phương trình.
Bài 1. Giải phương trình sau.
2x + 3x = 3x + 2 (*)
Giải. TXĐ: D = R
Trên txđ D ta có pt (*) 2x + 3x - 3x - 2 = 0
Xét hàm số f(x) = 2x + 3x - 3x - 2 với x D
Ta có : f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - 3
f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > 0 x R
f’(x) là hàm số đồng biến x R
Mặt khác f’(x) là hàm số liên tục x R
Ta lại có f’(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0
f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0
f’(0).f’(1) < 0 x0 (0;1) sao cho f’(x0) = 0
x thì f’(x) < 0
x thì f’(x) < 0
Ta có bảng biến thiên
x
- x0 +
f(x0)
+
+
f’(x)
- 0 +
f(x)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox.
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy có tối đa 2 giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox.
Mà f(0)=f(1)=0.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;1}.
Bài 2. Giải phương trình sau.
(1)
Giải. ĐK:
Phương trình(*) (1*)
Xét hàm số ,liên tục với t >0.
Ta có => đồng biến với t > 0
Phương trình(1*) ó
Xét hàm số trên
Ta có .
Bảng biến thiên
x
x0 +
g(x0)
+
g’(x)
- 0 +
g(x)
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm
Mà g(0)=g(1)=0. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x=0 vµ x=1.
2.2.3. Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình:
Dạng 1: Bất phương trình đã cho được đưa về dạng: (hoặc )
trong đó .
a) Phương pháp:
Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng : (hoặc )
Bước 2: Xét hàm số và trên D.
*Tính , xét dấu và , kết luận tính đơn điệu của hàm số và trên D.
*Tìm sao cho (hoặc tìm ).
*Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) thì:
(hoặc .)
Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) thì:
(hoặc .)
Bước 3: kết luận.
*Kết luận nghiệm của bất phương trình trên.
b) Bài tập vận dụng:
Bài 1.Giải bất phương trình sau.
(*)
*Nhận xét. Bài toán trên có thể chuyển vế bình phương, tuy nhiên ta cần biến đổi nhiều lần và đưa về bất phương trình bậc cao dẫn đến khó khăn trong biến đổi. Nhìn nhận bài toán dưới góc độ đạo hàm ta có cách giải sau
Giải . TXĐ: D = [2;4]
Xét hàm số liên tục trên D
Ta có > 0 , x (2;4)
f(x) là hàm đồng biến trên D,
mà : f(3) = 3 do đó, bất phương trình (*) ó f(x) > f(3) ó x > 3
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S =.
Bài 2. Giải bất phương trình sau:
(*)
Giải . TXĐ: D =
Đặt t = 0 . BPT trở thành (**)
Xét hàm số
hàm số f(t) đồng biến với t > 0, mà f(1) = 2
BPT (**) ó hay
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiện của bất phương trình là
S =
Bài 3. Giải bất phương trình sau:
Giải. TXĐ : D =
Xét hàm số: liên tục trên D
Ta có
=> f(x) là một hàm nghịch biến và f(1)=6.
Do đó BPT f(x)6 ó f(x) f(1) .
Kết hợp điều kiện vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =.
Bài 4.Giải bất phương trình sau
(*)
Giải . TXĐ : D = .
Xét hàm số
Ta có
=> hàm số f(x) đồng biến trên D , mà vậy (3)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =.
Bài 5. Giải bất phương trình sau
(*)
Giải . TXĐ : D
Xét hàm số
Ta có:
đồng biến trên . Mà nên .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =.
Dạng 2:Bất phương trình được đưa về dạng: trong đó .
a)Phương pháp:
Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng: .
Bước 2: Xét hàm số trên D.
*Tính và xét dấu y’.
*Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D.
*Nếu f(t) đơn điệu tăng thì:
*Nếu f(x) đơn điệu giảm thì:
Bước 3: Kết luận.
*Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho.
b)Bài tập vận dụng:
Bài 1. Giải bất phương trình sau
Giải. TXĐ : D = [1;3]
(*)
Xét hàm số liên tục
Ta có hay hàm số đồng biến
Mà bất phương trình(*)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là S =(2;3]
Bài 2. Giải bất phương trình sau
(*)
Giải. TXĐ: D = R , BPT (*)
(**)
Xét hàm số : f(t)=t3 + 3t , liên tục ta có f’(t)= 3t2 + 3 > 0
f(t) là hàm đồng biến trên.
Khi đó : (**)
Vậy bất phương trình nghiệm đúng x.
Bài 3.Giải bất phương trình
Giải. TXĐ : D = R\{0}
Bất phương trình ó
Xét hàm số ,liên tục trên R, ta có
Nên hàm số f(t) đồng biến trên R, mà bpt
Hay
Vậy tập nghiệm của bpt là S = (0;2].
Bài 4.Giải bất phương trình
(*)
Giải. TXĐ: D =
Bpt(*)
(**)
Xét hàm số: f(t) = 3t+1 +t2 , liên tục với
ta có: f’(t)= nên f(t) đồng biến
bpt (**)
x 1 hoặc x 3.
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là: S ={1}.
Bài 5.Giải bất phương trình
Giải. TXĐ : D =
Bpt
Xét hàm số liên tục
Ta có
Hàm số f(t) đồng biến , bpt
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
2.2.4. Một số bài tập đề nghị
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) = x 2) 2log3(tanx) = log2(sinx)
3) 4)
5)2x = + 1 6)
7) 8)
Bài 2. Giải các bất phương trình sau.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Phần 3 : KẾT LUẬN
Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng giải phương trình và bất phương trình.
Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợi nhất.
Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau.
Thời gian kiểm tra
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Trước khi áp dụng chuyên đề
46
8 (17,4%)
17
(37%)
16
(34,8%)
5
(10,8%)
Sau khi áp dụng chuyên đề
46
13
(28,3%)
19
(41,3%)
12
(26,1%)
2
(4,3%)
Bên cạnh ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiều ứng dụng khác trong giải toán như bài toán hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm max,min và bài toán có tham số. Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm.
Để việc sử dụng “Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình” có hiệu quả.
- Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùy vào từng bài, từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phù hợp.
- Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá
- Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán áp dụng từ dể đến khó.
- Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đạo hàm qua đó giúp học sinh có hứng thú trong việc tìm ra bài toán.
Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đề tài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoàn thiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh.
Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc , góp ý để tôi hoàn thiện chuyên đề này.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 10- 11-12.
2. Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức
3. Bài giảng trong tâm ôn luyện môn toán – Trần Phương.
4. Phương pháp giải toán đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc
5. Đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh.
6. Một số tư liệu trên mạng.
MỤC LỤC
Trang
Phần 1. Đặt vấn đề 5
Phần 2. Nội dung 6
2.1. Cơ sở lý luận 6
2.2.Thực hiện các giải pháp của đề tài 7
2.2.1.Cơ sở lý thuyết 8
2.2.2.2Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình 10
2.2.3. Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình 26
Phần 3. Kết luận 32
------
File đính kèm:
toan_12_diep_thptkinhmon.doc
