Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học

chúng tôi nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước về bố cục, nội dung. Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán- Tin trường THPT chuyên Phan Bội châu.
	Cuối cùng, do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn thành không tránh khỏi được những sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học và viết các đề tài.
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Trong quá trình dạy học ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là hai nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên.Vì lí do thời lượng chương trình và đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đáp ứng được một phần kiến thức. Chính điều này đã làm hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá và giỏi. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng tôi luôn quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông thường các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp các bài toán mà không có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, từ đó dẫn đến một hiện tượng thường thấy trong nghiên cứu khoa học là: “chỉ thấy cây, không thấy rừng”. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết các vấn đề một cách rời rạc mà không có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế việc rèn luyện và phát triển các tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá là hết sức cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích luỹ được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao.
	Có nhiều hướng khác nhau để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Trong đề tài này chúng tôi tập trung phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc áp dụng định lí Viét trong chương trình Đại số lớp 10. Trong chương trình Đại số lớp 10, định lí Viét chỉ được phát biểu cho phương trình bậc hai. Tuy nhiên để đáp ứng được yêu cầu của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi giới thiệu định lí Viét dạng tổng quát và “nhúng” vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học.
	Xuất phát từ cách nhìn vấn đề theo chiều ngược: Nếu phương trình bậc hai có nghiệm thực thì chúng tôi đã xây dựng được một lớp các bài toán bất đẳng thức về hệ số của các phương trình dạng đa thức. Thông thường thì định lí Viét được phát biểu cho nghiệm phức. Tuy nhiên trong đề tài này chúng tôi hạn chế tập nghiệm của phương trình bậc hai trên tập hợp các số nguyên và từ đó có các bài toán về phương trình nghiệm nguyên. Từ những ý tưởng trên và tầm quan trọng của việc phát triển các tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá cho học sinh, chúng tôi quyết định chọn đề tài: Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.
II. NỘI DUNG
1.Sử dụng định lí Viét để xây dựng các bài toán bất đẳng thức, cực trị giữa các hệ số của phương trình dạng đa thức.
a) Xây dựng các bài toán bất đẳng thức, cực trị cho các hệ số của phương trình bậc hai.
	Chúng ta biết rằng nếu phương trình bậc hai: có thì phương trình có nghiệm thực. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nhìn vấn đề theo chiều ngược lại: nếu phương trình bậc hai có nghiệm thực thì . Từ cách nhìn nhận này chúng ta có thể ràng buộc thêm các điều kiện cho các nghiệm của phương trình bậc hai để từ đó xây dựng nên các bài toán bất đẳng thức, cực trị về các hệ số của phương trình. Chẳng hạn chúng ta bắt đầu với bài toán sau:
Ví dụ 1. Cho phương trình có hai nghiệm thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
Chứng minh.
a) Ta có 
b) Thay ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có: 
c) Thay ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta c ó:
Đây là điều cần chứng minh.
	Bây giờ trong Ví dụ 1 chúng ta cho phương trình bậc hai dạng tổng quát và thay bởi và thay bởi chúng ta có Ví dụ 2 như sau:
Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
Lời giải của Ví dụ 2 hoàn toàn tương tự Ví dụ 1.
Ví dụ 3. Cho phương trình có hai nghiệm thực dương thoả mãn 
a) Chứng minh rằng: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải.
a) Thay ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có: 
Theo giả thiết ta có: nên
Vậy khi 
Ví dụ 4. Cho phương trình có hai nghiệm thực dương thoả mãn 
a) Chứng minh rằng: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải.
a) Ta có: 
b) Do phương trình đã cho có hai nghiệm dương thoả mãn nên , và suy ra:
Đặt 
Ta có , với mọi 
nên .
Vậy khi 
Ví dụ 5. Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm thực dương thoả 
mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải. 
	Từ giả thiết của bài toán suy ra: 
Trước hết chúng ta xem như một hàm của biến , ta có:
Vậy là hàm nghịch biến đối với biến nên:
Đặt 
Ta có: 
Vậy là hàm đồng biến trên do đó: 
Dấu đẳng thức xẩy ra khi: 
	Qua các ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng việc xây dựng các bất đẳng thức xung quanh các hệ số của phương trình bậc hai đã tạo ra sự hứng thú, say mê học tập của học sinh. Học sinh có thể tự đưa ra các ràng buộc cho các nghiệm của phương trình bậc hai và từ đó tự xây dựng lên các bất đẳng thức mới.
b. Xây dựng các bất đẳng thức về hệ số của phương trình bậc ba.
	Chúng ta đã biết rằng phương trình bậc ba bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm thực. Sau khi nghiên cứu xong ứng dụng của đạo hàm, chúng ta có điều kiện cần và đủ để phương trình bậc ba :
Có đúng một nghiệm thực là: phương trình vô nghiệm thực hoặc có nghiệm kép thực hoặc phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn 
Có đúng hai nghiệm thực phân biệt là phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn 
Có đúng ba nghiệm thực phân biệt là phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn 
	Tuy nhiên việc đưa ra một hệ thức liên hệ giữa các hệ số sao cho phương trình bậc ba có một, hai, hay ba nghiệm theo kiểu tường minh như phương trình bậc hai là hết sức phức tạp và không cần thiết. Trong mục này chúng ta sẽ gắn cho các nghiệm của phương trình bậc ba thoả mãn một tính chất nào đó và xây dựng các bất đẳng thức liên hệ giữa các hệ số dưới dạng hệ quả.
	Trước hết chúng ta có các đẳng thức quan trọng sau:
Đặt 
Thế thì:
	Theo định lí Viét đảo thì phương trình nhận các số thực làm nghiệm. Bây giờ chúng ta gắn cho các điều kiện và từ đó xây dựng các bất đẳng thức về mối quan hệ giữa Chúng ta bắt đầu với Ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho phương trình có ba nghiệm thực không âm. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Chứng minh.
	Gọi là các nghiệm không âm của phương trình đã cho.
Bất đẳng thức cần chứng minh ở câu a trở thành:
.
Đây là điều phải chứng minh.
c) Kết quả của câu b, c có được nhờ áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm.
d) Bất đẳng thức cần chứng minh ở câu d trở thành:
Nếu trong ba nghiệm có một nghiệm nào đó bằng không thì ta có điều cần chứng minh. Xét trường hợp cả ba số đều khác không. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
Đây là điều cần phải chứng minh.
	Để chứng minh các bất đẳng thức ở các câu e, f chúng ta cần có bất đẳng thức Schur như sau:
Nếu là các số thực dương và là số thực dương thì: 
Thật vậy, do vai trò của các biến trong bất đẳng thức là bình đẳng nên có thể giả sử . Khi đó viết lại các bất đẳng thức bằng cách nhóm nhân tử chung ta được: 
Đây là bất đẳng thức đúng. 
e) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
Đây chính là bất đẳng thức Schur với 
f) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
Đây chính là bất đẳng thức Schur với 
Ví dụ 2. Xét các số thực sao cho phương trình có ba nghiệm thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải. 
Gọi là ba nghiệm thực dương của phương trình đã cho. Theo định lí Viét ta có: 
Do nên 
Áp dụng bất đẳng thức 
Xét hàm số theo biến .
Ta có với mọi nên là hàm nghịch biến theo biến , suy ra:
Xét 
Ta có: 
Suy ra hàm số nghịch biến trên .
Vậy ta có:
Dấu đẳng thức xẩy ra khi 
Ví dụ 3. Xét là các số thực sao cho phương trình có ba nghiệm thực. Chứng minh rằng 
Lời giải. 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1)
Gọi là ba nghiệm thực của phương trình đã cho. Theo định lí Viét ta có: 
Bất đẳng thức (1) trở thành:
Nếu thì chúng ta có ngay điều cần chứng minh.
Xét trường hợp Không mất tính tổng quát, giả sử và 
 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có:
Với cách gọi suy ra: 
Do đó 
Dấu đẳng thức xẩy ra chẳng hạn tại , hay là 
Ví dụ 4. Cho là các số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng 
Không mất tổng quát, giả sử 
 và 
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Nếu thì ta có ngay điều cần chứng minh.
Xét trường hợp 
Khi đó ta có: 
Bây giờ sử dụng kết quả của Ví dụ 4, chúng ta có ví dụ sau:
Ví dụ 5.Cho bốn số thực không âm thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng 
Chứng minh. 
Đặt 
Theo định lí Viét đảo thì là bốn nghiệm của đa thức 
Không mất tổng quát, có thể giả sử 
Theo định lí Rolle, với thì tồn tại ba nghiệm thực của đa thức , trong đó 
Theo định lí Viét ta có: 
Từ giả thiết của bài toán ta có: 
Theo Ví dụ 4 suy ra 
Đây là điều cần chứng minh. 
Dấu đẳng thức xẩy ra khi 
	Qua các ví dụ trên chúng ta nhận thấy rằng có thể ràng buộc rất nhiều điều kiện cho các nghiệm của phương trình bậc ba để từ đó xây dựng lên các bất đẳng thức về quan hệ giữa các hệ số của phương trình.
2. Ứng dụng của định lí Viét trong các bài toán số học
	Khi phát biểu định lí của mình, Viét phát biểu cho phương trình dạng đa thức có nghiệm phức. Tuy nhiên nếu chúng ta “nhúng” định lí này vào các bài toán phương trình nghiệm nguyên, chúng ta sẽ có được những kết quả hết sức thú vị. Chẳng hạn chúng ta bắt đầu với Ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho là các số nguyên dương phân biệt thoả mãn chia hết cho Chứng minh rằng 
Lời giải. 
	Từ kết luận của bài toán chúng ta nghĩ đến việc xét phương trình bậc hai
 Bài toán được giải quyết khi chúng ta chứng minh được Với giả thiết của bài toán ta có là số nguyên dương.Trong tất cả các nghiệm thoả mãn bài toán, gọi là nghiệm sao cho: nhỏ nhất và 
Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn:
Do đó cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. Điều này dẫn đến 
Mặt khác từ suy ra hoặc 
- Với thì phương trình có biệt thức không là số chính phương nên phương trình không có nghiệm nguyên.
- Với thì phương trình có nghiệm nguyên dương 
	Vậy nếu là các số nguyên dương phân biệt thoả mãn chia hết cho thì 
	Từ kết quả của bài toán trên chúng ta có hai hướng để tổng quát bài toán như sau:
- Hướng 1: Cho , là các biểu thức bâc hai đối với một ẩn nào đó thoả mãn chia hết cho . Tìm các giá trị của hoặc tìm mối liên hệ giữa .
- Hướng 2: Tìm các giá trị của tham số nguyên để phương trình 
có nghiệm nguyên.
	Trước hết chúng ta sẽ xây dựng một số bài toán theo Hướng 1.
Ví dụ 2. (IMO 2007) Cho là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho . Chứng minh .
	Lời giải của bài toán này trong đáp án khá phức tạp, ở đó người ta đã giải quyết theo hướng tập hợp. Tuy nhiên nếu phân tích kĩ giả thiết của bài toán, chúng ta hoàn toàn có thể giải theo hướng của phương trình bậc hai như sau.
	Ta có: 
Vì hai số và nguyên tố cùng nhau nên chia hết cho tương đương với chia hết cho .
	Đặt 
Theo giả thiết thì là một số tự nhiên và bài toán được giải quyết khi chúng ta chứng minh được .
Giả sử . Do vai trò của là bình đẳng nên trong tất cả các giá trị của thoả mãn bài toán, gọi là cặp nghiệm sao cho nhỏ nhất và 
Xét phương trình bậc hai . Phương trình này có hai nghiệm thoả mãn: 
.
Điều này kéo theo cũng là một nghiệm thoả mãn bài toán. Theo cách gọi của nghiệm suy ra:
Điều này không xẩy ra khi là các số nguyên dương.
Vậy giả sử của chúng ta là sai và do đó hay chính là 
	Qua lời giải của bài toán trên chúng ta nhận thấy bản chất của bài toán là: Nếu là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho thì . Từ đó chúng ta có bài toán tổng quát hơn như sau:
Ví dụ 3. Cho là các số nguyên dương thoả mãn . Chứng minh rằng nếu là các số nguyên dương sao cho chia hết cho thì .
Lời giải. 
	Đặt 
Theo giả thiết thì là một số tự nhiên và bài toán được giải quyết khi chúng ta chứng minh được .
Giả sử . Do vai trò của là bình đẳng nên trong tất cả các giá trị của thoả mãn bài toán, gọi là cặp nghiệm sao cho nhỏ nhất và 
Xét phương trình bậc hai . Phương trình này có hai nghiệm thoả mãn: . 
Điều này kéo theo cũng là một nghiệm thoả mãn bài toán. Theo cách gọi của nghiệm suy ra:
Điều này không xẩy ra khi là các số nguyên dương.
Vậy giả sử của chúng ta là sai và do đó hay chính là 
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho thì là số chính phương.
Lời giải. 
Đặt 
Do vai trò của là bình đẳng nên trong tất cả các giá trị của thoả mãn bài toán, gọi là cặp nghiệm sao cho nhỏ nhất và Bây giờ chúng ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: là số chính phương. 
Trường hợp 2: Khi đó phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 
	Nếu thì cũng là một nghiệm thoả mãn bài toán, và do đó là mâu thuẫn với (2).
	Nếu thì từ (1) và (2) suy ra là mâu thuẫn với là các số nguyên dương.
	Vậy và do đó là số chính phương.
Từ lời giải của Ví dụ 4 chúng ta có thể mở rộng như sau:
Ví dụ 5. Cho là các số nguyên dương thoả mãn và là số chính phương. Chứng minh rằng nếu là các số nguyên dương thoả mãn chia hết cho thì là số chính phương.
Lời giải. 
Đặt 
	Do vai trò của là bình đẳng nên trong tất cả các giá trị của thoả mãn bài toán, gọi là cặp nghiệm sao cho nhỏ nhất và Bây giờ chúng ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: là điều không xẩy ra. 
Trường hợp 2: Khi đó phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 
	Nếu thì cũng là một nghiệm thoả mãn bài toán, và do đó là mâu thuẫn với (2).
	Nếu thì từ (1) và (2) suy ra là mâu thuẫn với là các số nguyên dương.
	Vậy và do đó là số chính phương vì theo giả thiết thì là số chính phương.
Ví dụ 6. Cho là các số nguyên dương thoả mãn 
Chứng minh rằng là số chính phương.
Chứng minh.
	Đặt 
Trong tất cả các cặp (a, b) thoả mãn gọi là cặp sao cho và nhỏ nhất.
Khi đó phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 
	Nếu thì cũng là một cặp nghiệm thoả mãn bài toán là mâu thuẫn với (2).
	Nếu vô lí vì 
	Vậy là số chính phương.
Bây giờ chúng ta xây dựng một số bài toán theo Hướng 2.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các số nguyên dương để phương trình có nghiệm nguyên dương .
Lời giải. 
	Giả sử tồn tại số nguyên dương để phương trình có nghiệm nguyên dương . Không mất tổng quát, giả sử là nghiệm sao cho và nhỏ nhất. 
Khi đó phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 
Điều này dẫn đến cũng là một nghiệm thoả mãn 
	Nếu 
	Nếu thì lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có:
- Với .
- Với hoặc thì phương trình vô nghiệm.
	Vậy để phương trình có nghiệm nguyên dương thì hoặc .
Ví dụ 8. Tìm tất cả các số nguyên dương để phương trình có nghiệm nguyên dương 
Lời giải.
	Giả sử tồn tại số nguyên dương để phương trình có nghiệm nguyên dương . Không mất tổng quát, giả sử là nghiệm sao cho và nhỏ nhất. 
Khi đó phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
Trường hợp 1: nên không thoả mãn.
Trường hợp 2: . Chúng ta xét các khả năng sau:
	- Nếu thì từ (1) và (2) ta có:
 là điều không xảy ra.
	- Nếu thì cũng là một nghiệm của phương trình. Theo cách gọi của nghiệm suy ra là mâu thuẫn với (2).
	- Nếu là số chính phương.
	Thử lại với với là số nguyên dương thì phương trình có các nghiệm nguyên dương là .
	Vậy tất cả các giá trị của thoả mãn là: với là số nguyên dương.
Ví dụ 9. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương 
Lời giải. 
	Không mất tổng quát, giả sử phương trình có các nghiệm nguyên dương thoả mãn: nhỏ nhất và . 
Khi đó ta có: 
. (1)
	Từ (1) ta có các khẳng định sau:
	i) 
	ii) Tam thức bậc hai có một nghiệm là Theo định lí Viét thì tam thức còn có một nghiệm nguyên dương cũng là một nghiệm của phương trình ban đầu. Từ định nghĩa của nghiệm . 
Theo định lí về so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số ta có:
.
	Với thì phương trình có nghiệm 
	Với thì phương trình có nghiệm 
	Với thì phương trình có nghiệm 
	Với thì phương trình có nghiệm 
	Vậy các giá trị của là 
	Qua các bài toán trên chúng ta rút ra được một kinh nghiệm rằng: có những bài toán có hình thức số học nhưng bản chất của nó chính là đại số. Việc giải và biện luận các phương trình nghiệm nguyên có chứa ẩn số bậc hai được quy về việc phân tích, so sánh các nghiệm dựa vào định lí Viét. Việc làm này có ý nghĩa thu hẹp miền giá trị của các ẩn số và từ đó thử với các giá trị thu được của ẩn số để đưa ra kết quả.
III. mét sè kinh nghiÖm rót ra
1. §èi víi gi¸o viªn
	- ViÖc khai th¸c c¸c tÝnh chÊt ®¬n gi¶n trong s¸ch gi¸o khoa ®Ó tõ ®ã x©y dùng lªn líp c¸c bµi to¸n míi lu«n cã t¸c dông lín ®èi víi häc sinh, ®Æc biÖt lµ c¸c häc sinh yªu To¸n. Kinh nghiÖm cho thÊy häc sinh høng thó t×m hiÓu c¸c vÊn ®Ò ®¬n gi¶n tõ s¸ch gi¸o khoa ®Ó tõ ®ã x©y dùng lªn m¶ng kiÕn thøc lín h¬n nhiÒu so víi viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n khã.
	- RÌn luyÖn c¸c thao t¸c t­ duy t­¬ng tù ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ gióp cho häc sinh cã kh¶ n¨ng nh×n nhËn vÊn ®Ò mét c¸ch bao qu¸t, cã tÝnh hÖ thèng, vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nhanh h¬n, cã tÝnh l«gic cao h¬n.
	- Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ng­êi thÇy cÇn n©ng cao tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, vµ s¸ng t¹o cña häc sinh. CÇn h­íng cho häc sinh c¸ch thøc s¸ng t¹o c¸c vÊn ®Ò míi tõ c¸c kiÕn thøc phæ th«ng, vµ tËp d­ît cho häc sinh kh¶ n¨ng nghiªn cøu khoa häc. Thùc tÕ cho thÊy häc sinh th­êng høng khëi khi tù m×nh kh¸m ph¸ ra mét vÊn ®Ò míi h¬n nhiÒu so víi viÖc ®­îc thÇy gi¶i cho mét bµi to¸n míi.
2. §èi víi häc sinh
	- Häc sinh cÇn ph¶i tr¸nh c¸ch häc thô ®éng, m¸y mãc, thiÕu tÝnh s¸ng t¹o. Trong qu¸ tr×nh ®æi míi gi¸o dôc th× ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ mét néi dung träng t©m. §èi víi ph­¬ng ph¸p d¹y häc míi, häc sinh lu«n ®ãng vai trß trung t©m cña mçi tiÕt häc, chÝnh häc sinh lµ chñ thÓ cña qu¸ tr×nh nhËn thøc, lµ ng­êi tù kh¸m ph¸ vµ chiÕm lÜnh lÊy tri thøc cho m×nh.
	- §øng tr­íc mét bµi to¸n, ngoµi viÖc t×m ra lêi gi¶i, häc sinh cÇn ph¶i ®Æt bµi to¸n ®ã trong c¸c mèi quan hÖ víi c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó tõ ®ã kh¸m ph¸ ra nh÷ng ®iÒu míi Èn chøa trong bµi to¸n. Sau khi gi¶i quyÕt xong mét bµi to¸n, häc sinh cÇn ph¶i “nhóng” bµi to¸n ®ã vµo trong c¸c lÜnh vùc To¸n häc kh¸c nhau ®Ó t×m ra c¸c bµi to¸n t­¬ng tù trong c¸c lÜnh vùc ®ã. Ch¼ng h¹n " nhóng" ®Þnh lÝ ViÐt cña §¹i sè vµo Sè häc ®Ó thu ®­îc c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
	- Häc sinh cÇn nh×n nhËn c¸c vÊn ®Ò vÒ lÝ thuyÕt theo nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n nh­ c¸ch nh×n nhËn ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ë môc II.1. 
IV. kÕt luËn
 	- Nh»m ®¸p øng tèt cho viÖc båi d­ìng häc sinh giái trong tr­êng chuyªn, chóng t«i nªu ra mét sè h­íng nh×n nhËn míi vÒ ®Þnh lÝ ViÐt bªn c¹nh c¸ch nh×n truyÒn thèng vÒ ®Þnh lÝ nµy. ViÖc lµm nµy ®· gióp häc sinh cã thªm c¸c ®Þnh h­íng míi trong khi gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ §¹i sè vµ Sè häc.
 	- §Ò tµi ®· gi¶i quyÕt ®­îc c¸c vÊn ®Ò sau:
	+) VÒ ph­¬ng ph¸p: ViÖc x©y dùng c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng gi÷a c¸c hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh d¹ng ®a thøc còng nh­ x©y dùng c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã chøa Èn bËc hai ®· gãp phÇn rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t­ duy t­¬ng tù ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ cho häc sinh, t¹o cho häc sinh niÒm say mª nghiªn cøu vµ kh¸m ph¸.
	+) VÒ kiÕn thøc: ®Ò tµi ®· gi¶i quyÕt ®­îc hai néi dung chÝnh:
	. X©y dùng c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng, cùc trÞ gi÷a c¸c hÖ sè cña c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai, bËc ba nhê ®Þnh lÝ ViÐt.
	. X©y dùng c¸c bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã chøa Èn bËc hai trªn c¬ së "nhóng" ®Þnh lÝ ViÐt vµo Sè häc.
	- H­íng ph¸t triÓn cña ®Ò tµi: §Ò tµi cã thÓ më réng cho c¸c ph­¬ng tr×nh d¹ng ®a thøc bËc cao.
TµI liÖu tham kh¶o
[1]. Phan Huy Kh¶i, 10.000 bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc, NXB Hµ néi.
[2]. Phan Huy Kh¶i, To¸n n©ng cao §¹i sè 10, NXB Gi¸o dôc.
[3]. §¹i sè N©ng cao 10, NXB Gi¸o dôc.
[4]. T¹p chÝ To¸n häc vµ tuæi trÎ, 2000- 2009.
[5]. Tr­êng THPT chuyªn Lª Hång Phong, TuyÓn tËp 10 n¨m ®Ò thi Olypic To¸n 10, 11, NXB Gi¸o dôc.
[6]. Gpolia, S¸ng t¹o To¸n häc, NXB Gi¸o dôc. 
[7]. NguyÔn V¨n Nho, Sè häc n©ng cao, NXB Gi¸o dôc.
[8]. IMO shortlist 2002- 2007.