Sáng kiến kinh nghiệm Tư duy đột phá bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong đề thi THPT quốc gia

ôn đúng 0x  
2 9 4 3a a a
a
     
Ta cần tìm ,  sao cho: 
1
3x x
x
    
Tìm  : Nhấn 
d
SHIFT
dx
 nhập 
1
1
3
x
d
x
dx x

 
 
 
 nhấn  ta được 2  . 
Tìm  : Nhấn AC Nhập 
1
3 2x x
x
  , nhấn CALC cho 1x  được 2  
Xét 
2 21 2 1 ( 1)
3 2 2 0
b b b
b b
b b b
  
      luôn đúng 0b 
1
3 2 2b b
b
    
2 9 13 9 4 3 2 2 9 2(2 ) 8 14 8 22S a a b a b a b
a b
                  
22minS  đạt đƣợc khi 3; 1x y  . 
82 
Ví dụ 18: Cho , 0x y  và 4x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
 
  
Phân tích: Dự đoán 2x y  
– Nhập vào máy: 
2 2
2
3 4 1 3 4
2 1
4 2 4 2
x
d x x x
CALC X
dx x x
 

  
             
 
– Nhập vào máy: 
3 3
2 2
2
2 1 2 3
2
2 2 2
x
d x x x
x CALC X
dx x x


  
             
 
Lời giải: 
Ta có: 
2 2 23 4 4 4 ( 2)
1 0
4 2 4 4
x x x x x
x x x
   
     luôn đúng với 0x  
23 4
1
4 2
x x
x

   
Và 
3 3 3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 3 2(2 ) 3 3 4 ( 2) ( 1)
0
2 2 2 2 2
y y y y y y y y y
y y y y
       
      luôn đúng với 0y  
3
2
2 3
2 2
y y
y

  
2 3
2
3 4 2 5 5 9 9
2
4 2 2 2 2 2
x y x y
A A
x y
  
          
Vậy 
9
2
minA  đạt đƣợc khi 2x y  . 
Ví dụ 19. Cho các số thực dƣơng , ,x y z thỏa mãn 2 3 4 3 4 5x y z x y z     . 
Chứng minh rằng 3 3 3 3x y z   
Phân tích: Từ điều kiện ta có 3 2 4 3 5 4 0x x y y z z      
Mà điều cần chứng minh là 3 3 3 3 0x y z    . Từ đó ta nghĩ đến phải tìm ,  trong các biểu thức: 
3 2 3 4 3 3 5 4 3; ; x x x y y y z z z              
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi 2 3 4 3 4 5 2 5 31 1x y z x x x x x x x x x x              
Nhập vào máy: 
 
 
3 2
1
3
1
1 1
3 3
x
x
d
x x
dx
d
x
dx
 



       
Lời giải: Xét 
3
3 2 3 2 3 21 (1) 3 3 1 ( 1) (2 1) 0
3 3
x
x x x x x x x           luôn đúng 0x  . 
Tƣơng tự: 
3
4 3 1
3 3
y
y y   (2) 4 3 2 23 4 1 0 ( 1) (3 2 1) 0, 0y y y y y y           
và 
3
5 4 1
3 3
z
z z   (3) 5 4 3 2 3 23 3 1 0 ( 1) (3 3 2 1) 0, 0z z z z z z z z             
Lấy (1)+(2)+(3) vế theo vế ta đƣợc: 
3 2 4 3 5 4 3 3 310 ( ) 1
3
x x y y z z x y z          
3 3 3 3 3 30 ( ) 3 3x y z x y z         dấu bằng xảy ra khi 1x y z   . 
83 
Ví dụ 20. Cho 0 , ,x y z thoả mãn 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 28 8 8
x y z
P
x yz y zx z xy
  
  
Lời giải: Ta có: 
2(1 )
1 2
4
x
y z x yz yz

      vì 0 , , 1x y z  . Tƣơng tự 
2(1 )
4
y
zx

 và 
2(1 )
4
z
xy

 . Do đó 
2 2 23 4 2 3 4 2 3 4 2
x y z
P
x x y y z z
  
     
“Nhập: 
2 2
1
3
4 4 1 1
3 3 3 93 4 2 3 4 2
x
d x x x
CALC X
dx x x x x
 

 
            
    
“ 
Ta phải chứng minh 
2 2
4 1 9
12 1 (*)
3 93 4 2 3 4 2
x x
x x
x x x x
    
   
– Nếu 
1
0
12
x  bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng 
– Nếu 
1
1
12
x  thì bình phƣơng hai vế bất đẳng thức (*) ta đƣợc: 2 2(3 1) (48 40 2) 0x x x    
2
1
3
48 40 2 0
x
x x



  
 điều này chứng tỏ bất đẳng thức (*) chỉ luôn đúng khi 
5 19
0;
12
x
 
 
 
Tƣơng tự đối với ,y z và cộng lại ta đƣợc: 
2 2 2
4 3 4 1
( ) 1
3 9 3 33 4 2 3 4 2 3 4 2
x y z
P x y z
x x y y z z
         
     
 (do 1x y z   ). 
1minP  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
3
x y z   . 
Vấn đề còn lại là ta phải chứng minh bất đẳng thức: 
2 2 2
1
3 4 2 3 4 2 3 4 2
x y z
P
x x y y z z
   
     
 khi 
5 19
1, , (0;1)
12
x y z

   
Do 
5 19 3
0.779908 0.75
12 4

  nghĩa là bất đẳng thức (*) cũng luôn đúng với 
3
0;
4
x
 
 
 
TH1: 
3
1
4
x y z    vô lý vì 1x y z   
TH2: 
3
1 0
4
x y z     vô lý vì 1x y z   
TH3: 
3 3 1 1
1 0 1
4 4 4 4
x y z x y z y z y               do 0z  
 Lại có 
1 1 3 1 1 1
2 0; ;1 , ; , 0;
4 8 4 8 4 8
z z z y z z x y z
       
                
       
Xét hàm số: 
2 2 2
2 2
( ) '( ) 0, (0;1)
3 4 2 (3 4 2) 3 4 2
x x
f x f x x
x x x x x x

     
     
3 1
( ) ( ) ( ) (0) 1
4 8
P minf x minf y minf z f f f
   
          
   
84 
Ví dụ 21. Cho các số dƣơng x, y và z thoả mãn 1x y z   . 
Chứng minh rằng: 2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
      (Trích KA–2003) 
Phân tích: Nhập vào máy: 2
2
1
3
1 40 82
8.834522 086
41
x
d
x
dx x


 
         
 
2
2
1 40 82 1 27 82
41 3 41
x
x CALC X
x
        
Lời giải: Ta chứng minh 
2
2
1 40 82 27 82
, (0;1)
41 41
x x x
x
      . 
Xét hàm số 
2
2
1 40 82 27 82
( ) , (0;1)
41 41
f x x x x
x
    
4
3 2
2
1 40 82
'( )
411
x
f x
x x
x

  

. 
Cho 
1
'( ) 0
3
f x x   
Bảng biến thiên: 
2 2
2 2
1 40 82 27 82 1 40 82 27 82
( ) 0, (0;1) , (0;1)
41 41 41 41
f x x x x x x x
x x
               . 
Tƣơng tự đối với ,y z và cộng lại ta đƣợc: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 40 82 3 27 82
( ) 82
41 41
x y z x y z
x y z

           . 
Dấu “=” xảy ra khi 
1
3
x y z   . 
Ví dụ 22. Cho các số dƣơng x, y và z thoả mãn 
2 2 2
1 1 1
1
x y z
   . 
Chứng minh rằng: 
3 3 9
1 1 1 2
x y z
x y z

  
  
Phân tích: 
– Dự đoán dấu bằng xẩy ra khi 3x y z   . 
– Để ý khi điều kiện dạng 1x y z   thì ta nhập máy  
 
 
0
0
0
( )
( )
x x
x x
x x
d
f x
d dxf x x
ddx
x
dx
 



   . 
Dạng 2 2 2 1x y z   thì ta nhập máy 
 
 
0
0
2
2
( )
x x
x x
d
f x
dx x
d
x
dx
 


  . 
 + 
0 
1 
0 
85 
Còn dạng 
2 2 2
1 1 1
1
x y z
   thì ta nhập máy 
 
0
0
2
2
( )
1
x x
x x
d
f x
dx
xd
dx x




 
 
 
 
– Nhập vào máy: 3
2
2
3
1 9 6 3 9 6 3
4.848076211
4 1 41
x
x
d x
dx x x
x xd
dx x


 
 
   
    
 
 
 
3
3
4
CALC X      
Lời giải: Xét 2
2
9 6 3 3
( 3) ( 6 3 3) 0
1 4 4
x
x x
x x

      

 luôn đúng với 0x  
Tƣơng tự: 
2
9 6 3 3
1 4 4
y
y y

 

 và 
2
9 6 3 3
1 4 4
z
z z

 

Do đó 
2 2 2
9 6 3 9 9 3 3
1 1 1 4
1 1
4 2
1
x
x y z
y z yx z

  
      
    
 . 
Dấu bằng xảy ra khi 3x y z   . 
Chú ý: Tìm 
9 6 3
4.848076211
4


  , gán 4.848076211 vào biến A, đổi cận 3 thành 3 đƣợc 
0.3480762114 gán vào biến 
29 27 9 27; 0
2 16 2 16
B A B AB x x         . 
Ví dụ 23. Cho , , 2a b c  thỏa mãn điều kiện 
2 2 2
1 1 1 1
4 4 4 7a b c
  
  
Chứng minh rằng: 
1 1 1 3
2 2 2 7a b c
  
  
Phân tích: Dự đoán dấu bằng xẩy ra khi 5a b c   . 
Tìm ,  trong biểu thức: 
2
1
2 4a a

 
 
Nhập vào máy 5
2
5
1
2 9
101
4
x
x
d
dx x
d
dx x


 
 
 
 
 
 
 
 và 
1
10
  
Lời giải: Xét 
2
2 2
1 9 1 ( 5)
0, 2
2 10( 4) 10 10( 4)
a
a
a a a

     
  
Tƣơng tự 
2
1 9 1
2 10( 4) 10b b
 
 
 và 
2
1 9 1
2 10( 4) 10c c
 
 
2 2 2
1 1 1 9 1 1 1 3 3
2 2 2 10 4 4 4 10 7a b c a b c
 
         
      
. 
Dấu bằng xảy ra khi 5a b c   . 
86 
Ví dụ 24. Cho các số thực không âm , ,x y z thỏa mãn 3xy yz zx   . 
Chứng minh rằng 7 4 7 4 7 4( 3)( 3)( 3) 27x x y y z z       
Phân tích: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1x y z   . 
Nếu ta có 7 4 7 4 7 43 ; 3 ; 3 3; 0x x x y y y z z z                      
thì đi đến một đánh giá 27 27 1xyz xyz   , mà từ điều kiện 2 2 233 3 1xy yz zx x y z xyz      
dẫn đến mâu thuẫn. Tƣơng tự 7 4 23x x x     cũng chƣa đủ mạnh mà ta phải tìm ,  trong 
biểu thức: 
 7 4 33x x x      Nhập vào máy: 
 
 
7 4
1
3
1
3
1 2
x
x
d
x x
dx
d
x
dx
 


 
      
Lời giải: Xét 7 4 3 2 4 3 23 2 ( 1) ( 1)( 2 1) 0, 0x x x x x x x x x x              
7 4 7 4 7 4 3 3 3( 3)( 3)( 3) ( 2)( 2)( 2)x x y y z z x y z           
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho bộ 3 số ta có: 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3( 2)( 2)( 2) ( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 ) ( .1.1 .1.1 .1.1) ( )x y z x y z x y z x y z                
Mà 2 2 2 2( ) 3( ) 9 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c                
7 4 7 4 7 4 3 3 3 3( 3)( 3)( 3) ( 2)( 2)( 2) 3 27x x y y z z x y z              
Dấu “=” xảy ra khi 1x y z   . 
Ví dụ 25. Cho ba số , , 0x y z  thỏa mãn 2 2 2 1x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2
2 22 2 1 2 2 1
x y
P x y
x yz y xz
   
   
. 
Phân tích: Nhìn tổng quan bài toán ta thấy x và y có vai trò nhƣ nhau, còn z thì không do đó đối với 
bài này ta không dự đoán điểm rơi dễ nhƣ các bài trên đƣợc nhƣng thƣờng biến mà không âm thì có ít 
nhất một biến bằng 0  dự đoán 2
1
; 0 2 1 , 0
2
x y z x x y z        
41 2
2
P   đạt điểm rơi tại 
1
, 0
2
x y z   . 
Với phân tích trên ta có 
2 2
2 22 1 2 1
x y
P x y
x y
   
 
 vì , , 0x y z  
Nhập vào máy 
 
2
1
2
2
1
2
1
2 1
1 1
;
4 8
x
x
d
dx x
d
x
dx
 


 
 
 
   
Lời giải: Do 
2 2
2 2
, , 0
2 1 2 1
x y
x y z P x y
x y
     
 
Xét 
2 2
2 2
2
2 1
(2 1) 0
2 1 8
x x
x
x

   

 luôn đúng với mọi 
1
0;
2
x
 
 
 
Tƣơng tự 
2 2
2
2 1
2 1 8
y y
y



2 2 21 1 1 1( ) (1 )
4 4 4 4
P x y x y z x y           
87 
Lại có 
2
2 2 2 2 2 2( )1 ( ) 2 2 2 2
2
x y
z x y x y z x y z

            
2
4 42 2 21 1 1(1 ) 2 2 2 2
4 4 2 4
z
P z z z          
Xét hàm số 
2
4 21( ) 2 2
2 4
z
f z z    với  0;1z . Ta có 
 
2
24
'( ) 0
2
2 2
z z
f z
z
   

 với 
(0;1]z  
41 1 2
22
P P
 
    
 
 dấu “=” xảy ra khi 
1
, 0
2
x y z   . 
Ví dụ 26. Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 4
a b b c c a a b c
c a b b c c a a b
    
     
   
Lời giải: TH1: 3a b c   và áp dụng bất đẳng thức tam giác 
3
3 2 3 0 0
2
b c a a a a          
Bất đẳng thức: 
3 3 3
4
3 3 3
c a b a b c
c a b a b c
    
      
   
3 4 3 4 3 4
0
3 3 3
a a b b c c
a a b b c c
  
      
  
Ta cần tìm ,  sao cho: 
3 4
3
x x
x
x x
 

  

Tìm  : Nhấn 
d
SHIFT
dx
 nhập 
1
3 4
3
x
d x x
dx x x

 
 
 
 nhấn  ta được 6   . 
Tìm  : Nhấn AC Nhập 
3 4
6
3
x x
x
x x

 

, nhấn CALC cho 1x  được 6  
Xét 
3 2 23 4 6 21 24 9 3( 1) (2 3)
6 6 0
3 (3 ) (3 )
a a a a a a a
a
a a a a a a
     
       
  
, 
3
 0;
2
a
 
  
 
3 4
6 6 0
3
a a
a
a a

    

3 4
6 6
3
a a
a
a a

    

. 
Tƣơng tự ta cũng có: 
3 4
6 6
3
b b
b
b b

   

 và 
3 4
6 6
3
c c
c
c c

   

Do đó 
3 4 3 4 3 4
6( ) 18 0
3 3 3
a a b b c c
a b c
a a b b c c
  
           
  
TH2: 3 , 0 3
a b c
a b c  
  
         đặt ; ; 3, , , 0a x b y c z x y z x y z          
Tƣơng ứng với , ,x y z cũng là ba cạnh của một tam giác. 
Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta đƣợc 4
x y y z z x x y z
z x y y z z x x y
   
     
   
Hoàn toàn tƣơng tự ta đƣợc điều phải chứng minh. 
88 
Ví dụ 27. Cho , ,x y z là ba số thực dƣơng thỏa mãn 2 2 2 3x y z   . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2 2( ) ( ) ( )
x y z
P
y z z x x y
  
  
Phân tích: Trƣớc hết ta đƣa về một biến cho từng phân số 
2
2 2 2 2 2( )3 ( ) 6 2
2
y z
x y z y z x

        
2 2 26 2 6 2 6 2
x y z
P
x y z
   
  
Nhập máy: 
 
2 2
3 21
2
2
1
6 2
2 3 ( 1) ( 2) 0, 0
6 2 4
x
x
d x
dx x x x
x x x x x
d x
x
dx


 
 
 
          

Lời giải: Từ giả thiết 
2
2 2 2 2 2
2 2 2
( )
3 ( ) 6 2
2 6 2 6 2 6 2
y z x y z
x y z y z x P
x y z

           
  
Xét 
2
3 2
2
2 3 ( 1) ( 2) 0, 0
6 2 4
x x
x x x x x
x
         

. 
2 2 2 3
4 4
x y z
P
 
   
Vậy 
3
, 1.
4
minP a b c    . 
Ví dụ 28. Cho , ,a b c là ba số thực dƣơng thỏa mãn 1a b c   . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1 1 1
2 4 3 9 6 36
P
a b c
  
  
Phân tích: Những bài trên do tính đối xứng ta dự đoán đƣợc điểm rơi, bài này phải dự đoán bằng máy 
tính “xem phần dƣới” ta đƣợc 
1 1 1 1
, , ,
2 2 3 6
minP a b c    . 
Theo cách bấm máy trên ta đƣợc: 
1 3
2 4 4 8
a
a
  

; 
1 1
3 9 4 4
b
b
  

 và 
1 1
6 36 4 8
c
c
  

Lời giải: Ta có 
21 3 4 (1) 2 3 (2 1) 0
2 4 4 8 1 2
a
a a
a a
         
 
 luôn đúng. 
Mặt khác 
1 1
3 9 4 4
b
b
  

 (2) 
24 1 (3 1) 0
3 9
b b
b
      

 luôn đúng. 
Lại có 
1 1
6 36 4 8
c
c
  

 (3) 
2(6 1) 0c   luôn đúng. 
Từ (1), (2) và (3) ta có 
1 1 1 1 3 1 3 1
( )
2 4 3 9 6 36 4 4 4 4 2
P a b c
a b c
           
  
Vậy 
1 1 1 1
, , ,
2 2 3 6
minP a b c    . 
89 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
1. Cho , , , 0a b c d  thỏa mãn 4a b c d    . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 2
1
25 3 5 3 5 3 5 3
a b c d
a b c d
   
   
. 
2. Cho bốn số thực dƣơng , , ,a b c d thỏa mãn 1a b c d    . 
Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 2
3
4( )
16
a b c d a b c d        . 
3. Cho ba số thực , , 0a b c  thỏa mãn 3a b c   . Chứng minh rằng: 
a. 
2 2 21 1 1 3a a b b c c         b. 
2 2 2
1 1 1
1
a b c b c a c a b
  
     
. 
4. Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 
2 2 21 1 1 10a b c      
5. Cho a,b,c là các số thực dƣơng. Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) 5
a b c a c b c b a
c b a b a c a b c
     
  
     
6. Cho ba số thực dƣơng , ,a b c thoả mãn 
4 4 4 3a b c   . Chứng minh: 
1 1 1
1
4 4 4ab bc ca
  
  
. 
7. Cho , , 0a b c  và 2 2 2 3a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 1 1
2( )P a b c
a b c
 
      
 
8. Cho các số thực dƣơng , ,x y z thỏa mãn 2 3 18x y z   . 
Chứng minh rằng 
2 3z 5 3 5 2 5 51
1 1 2 1 3z 7
y z x x y
x y
     
  
  
9. Cho , 0a b  và thỏa mãn 2 2 4a b a b    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 3
2 2
2 2 2
1 1
( ) 4
a b a b
P
a a b b a b
     
     
      
10. Cho , 0x y  và 4x y  . Chứng minh rằng: 
2 3
2
3 4 2 9
4 2
x y
x y
 
  
11. Cho các số thực , , (0;1)x y z và 1  xy yz zx . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 21 1 1
  
  
x y z
P
x y z
12. Cho các số thực , , 0x y z  thỏa mãn 2 2 2 3x y z   . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1 1
8( ) 5P x y z
x y z
 
      
 
13. Cho , , 0a b c  thoả mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1a b c
  
  
14. Cho , , 0a b c  thoả mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 
2 2 2
3
101 1 1
a b c
a b c
  
  
15. Cho 3 số dƣơng , ,a b c biết 3a b c   . Chứng minh rằng: a b c ab bc ca     
90 
16. Cho , ,a b c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 
1 1 1 9 1 1 1
4
a b c a b c a b b c c a
 
      
     
17. Cho , , 0a b c  và 2 2 2 12a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
3 3 3
1 1 1
1 1 1
P
a b c
  
  
18. Cho , , 0a b c  và 
1 1 1
2
1 1 1a b c
  
  
. 
 Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
4 1 4 1 4 1a b c
  
  
19. Cho , , 0a b c  và 1
2 2 2
a b c
a b c
  
  
. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
1 1 1
a b c
P
a b c
  
  
20. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 3a b c   . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 3P a b c a a b b c c            
21. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 2 2 2 6a b c a b c      . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
4 4 4
2 2 21 1 1
a b c
P
a b c
  
  
22. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 2 2 2 6a b c ab bc ca      . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
3 3 3
2 2 2
( ) ( ) ( )
2( ) 1 2( ) 1 2( ) 1
a b b c c a
P
a b b c c a
  
  
     
23. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 1abc  . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3 3 3
2 2 21 1 1
a b c
P
a a b b c c
  
     
24. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 2 2 2( 2)( 2)( 2) 27a b c    . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2P a b c a b c      
25. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 2 2 2a b c a b c     . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2( 1)( 1)( 1)P a b c    . 
26. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 3a b c   . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
3 2 3 2 3 28 ( 1) 8 ( 1) 8 ( 1)
a b c
P
b c c a a b
  
        
27. Cho , , 1a b c   thỏa mãn 2 2 22( ) 6 5( )a b c a b c      . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3 3 3
1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
a a b b c c
  
        
91 
I. Tên cơ sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến ............................................................................ 1 
II. Đồng tác giả sáng kiến ................................................................................................................ 1 
III. Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: ............................................................................................. 1 
IV. Nội dung sáng kiến .................................................................................................................... 1 
1. Giải pháp cũ thƣờng làm ............................................................................................................ 1 
2. Giải pháp mới cải tiến ................................................................................................................ 5 
2.1. Cơ sở lý luận: ...................................................................................................................... 5 
2.2. Nội dung và biện pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức..................................................................................................................................... 6 
V. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt đƣợc.......................................................................... 14 
1. Hiệu quả kinh tế: ...................................................................................................................... 14 
2. Hiệu quả xã hội: ....................................................................................................................... 14 
VI. Điều kiện và khả năng áp dụng .............................................................................................. 14 
1. Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:........................................................................... 14 
2. Điều kiện áp dụng sáng kiến: ................................................................................................... 14 
PHỤ LỤC 1..................................................................................................................................... 16 
PHỤ LỤC 2..................................................................................................................................... 39 
PHỤ LỤC 3..................................................................................................................................... 57 
PHỤ LỤC 4..................................................................................................................................... 72