Sáng kiến kinh nghiệm Từ định lý Viét đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008
Chuyên đề
“từ định lý viét đến giải 
một số bài toán 
về bất đẳng thức”
 Ngưòi trình bày Phạm văn thơ
 đơn vị Tổ : khoa học tự nhiên
Trương : thcs quang trung
A- Đặt vấn đề :
* Chúng ta đã biết rằng dạy toán là dạy cho người học để có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp cho người học tiếp thu các kiến thức khác về tự nhiên và xã hội , vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được những kiến thức , những khái niệm , những định lý toán học......
Điều quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ . Năng lực sẽ được hình thành và phát triển trong hoạt động . Phát triển năng lực chung quy cũng là để tích cực độc lập , sáng tạo ở những nội dung toán học được nghiên cứu.
*Trong xu thế chung của những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách thiết thực nhất , nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt . Đổi mới phương pháp không chỉ trong giờ giảng lý thuyết , mà ngay cả trong các giờ luyện tập . Luyện tập ngoài việc rèn luyện kĩ năng tính toán , kĩ năng suy luận cần có những bài tập mở , được sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức một cách năng động và sáng tạo .
 * Trong chương trình đại số lớp 9 .²Định lý Viét ” là một phần kiến thức cơ bản , quan trọng . Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội các kiến thức tiếp theo về phương trình quy về bậc hai , giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai ........
Ngoài ra định lý Viét còn được áp dụng để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất những vấn đề này góp phần rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh và giúp để giải quyết những bài toán khó mà sách giáo khoa không đề cập tới .
B. cơ sở khoa học :
Cơ sở lý luận:
 - Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng .Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không , có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể . 
 - Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình , chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới . 
Vì vậy cần có sự hướng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô .
Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy . Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động . Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn , làm nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học .
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá .. . . . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả , tìm được hướng giải quyết một bài toán ,hướng chứng minh một định lý . . . . .
 - Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá 
Cơ sở thực tiễn :
 - Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học , lười tư duy trong quá trình học tập .
 - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập , chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .
 Định lý Viét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập .
Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao .
Ví dụ : Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x - 3- m = 0
( với x là ẩn , m là tham số )
Tìm m sao cho nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn điều kiện 
 x12 + x22 ³ 10
+ Khi chưa thực hiện chuyên đề này , tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau : Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để giải . Do đó các em không giải được . Sau đó tôi gợi ý : Bài toán đề cập tới số nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (aạ0) và tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình này . Lúc đó có tới 30% học sinh nghĩ đến việc sử dụng định lý Viét . Nhưng các em cũng chưa giải được vì để giải bài toán này thông qua định lý Viét còn phải sử dụng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức .
+ Sau đó tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng giải quyết bài toán và có khoảng 70%- 80% các em làm được . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào giải một số bài tập yêu cầu cao hơn . Đặc biệt là các em vận dụng giảI các bài tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . .
Sau đây là phần trình bày nội dung chuyên đề và các bước tiến hành chuyên đề của tôi .
C. giảI quyết vấn đề :
I / Bước thứ nhất : 
Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới :
1. Nội dung của sách giáo khoa đã biết :
Định lý Viét : Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình a x2 +bx +c =0 (aạ0) thì tổng và tích hai nghiệm đó là 
Nếu hai số u , v có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : X2 - Sx + P = 0 
ĐIều kiện tồn tại hai số đó là S2 - 4P³ 0 . Đó là những kiến thức cơ bản mà sách giáo khoa đã đưa ra và học sinh đã được làm các bài tập cơ bản một cách quen thuộc 
2. Tìm hiểu thấy rằng : 
Định lý Viét là một định lý quen thuộc , nhưng sử dụng định lý trong những bài toán cụ thể lại là việc không đơn giản , điều quan trọng hơn cả là hãy từ giả thiết của bài toán làm thế nào đó để có được biểu diễn của tổng và tích của hai đại lượng . Từ đó dẫn đến một phương trình bậc hai cuối cùng là tính biệt số của phương trình này và giải bất phương trình ³ 0 . Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . . . . .
Dựa trên cơ sở của định lý Viét giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo trong giải toán và khái quát hoá kiến thức mới ....................
Những vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể độc lập suy nghĩ , tự xây dựng và sáng tạo trong cách giải nội dụng bài tập nói trên .
II/ Bước thứ hai :
Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức đã học .
Bài số 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x - 3 - m = 0 
Tìm m sao cho số nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn điều kiện
 x12 + x22 ³ 10
Xét > 0 " m
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt " m
GV Định hướng : Theo định lý Viét ta có được những gì ?
(I)
Từ x12 + x22 ³ 10 ta biến đổi như thế nào ? để sử dụng được (I) từ đó học sinh biến đổi như sau :
 x12 + x22 ³ 10
Bài số 2 : Cho các số thực x , y , z khác không và thoả mãn điều kiện 
 x+y+z = xyz ; x2 = yz
Chứng minh rằng : x2 ³ 3
Giải
GV: Cho học sinh thấy được khi chuyển vế được 
khi đó bài toán trở thành tìm hai số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng. Từ đó học sinh định hướng được việc sử dụng định lý Viét để biến đổi 
Theo định lý Viét y , z là hai nghiệm của phương trình :
u2 - (x3 - x)u +x2 = 0 Û u2 + (x-x3)u + x2 = 0 (1)
 xét D = x2[(1-x2)2 - 4] (2)
 vì (1) có nghiệm nên D³ 0
do x ạ 0 nên từ (2) ị (1- x2)2 - 4 ³ 0 Û (1- x2)2 ³ 4 
 ị 1-x2 Ê-2 Û x2 ³ 3 (đpcm)
Nếu bài toán trên giải theo cách khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều . Do đó việc sử dụng định lý Viét là một cách giải hay đối với bài toán này . Các em học sinh qua đó càng thấy được để giải một bài toán chúng ta có nhiều cách giải khác nhau nhưng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn và chính xác .
Bài số 3 :
 Các số thực x ,y ,z thoả mãn điều kiện x + y + z = 5 và yz +xz + xy = 8 
 Chứng minh rằng : 
Giải
Từ giả thiết của bài toán x + y + z = 5 và yz + xz + xy = 8 
 ta có 
Từ đó dẫn đến y ,z là nghiệm của phương trình :
 u2 + (x-5)u + x2 - 5x +8 = 0 (1)
xét D = (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8)
vì (1) có nghiệm nên Dỏ0 Û (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) ỏ0
từ đó suy ra vì vai trò của x , y , z như nhau nên ta cũng có 
Bài số 4 :
Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2 + kx + a = 0 ( a ạ 0)
Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức 
( a , k là các số thực ) 
Giải
+ Ta xét a trong hai trường hợp :
Nếu a > 0 thì D = k2 - 4a > 0 với mọi k . Khi đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm khác nhau và khác dấu , điều đó dẫn đến bất đẳng thức đã cho đúng với mọi giá trị thực của k .
Nếu a > 0 
Ta có x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2 )
áp dụng hằng đẳng thức trên ta được :
nhưng ( định lý Viét)
Do đó 
Đặt Ta có (2)
ta thấy t2 + 9 > 0 ứ t , do đó (2) chỉ đúng khi t - 6[0 hay 
do a > 0 nên suy ra k2 [6a . Bởi vậy ta có 
Vậy a < 0 , k là số thực bất kì hoặc 
Bài số 5 :
Cho a ạ 0 . Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình : 
Chứng minh rằng : x14 + x24 ³ 2 + ệ2 , dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Giải
áp dụng định lý Viét ta có 
Ta có : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2
 = 
Vậy x14 + x24 ³ 2 + ệ2
Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài số 6 :
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình :
 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m +3 = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 |
Giải
Ta có : D’ = (m+1)2 - 2(m2+4m+3)
 = m2 + 2m +1 - 2m2 -8m - 6 
 = - m2 - 6m - 5 
phương trình (1) có nghiệm Û D’ ³ 0 Ûm2 + 6m+ 5 Ê0
 Û (m+1)(m+5) Ê0 Û - 5 Ê m Ê - 1
với - 5 Ê m Ê - 1 ta có hệ thức Viét 
Nên A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 | = |x1x2 - 2(x1 - x2 )| 
Vì - 5 [ m [ -1 Û ( m + 1)(m + 7) < 0 
Do đó : A = 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = -4
Bài số 7 :
 Cho m ạ 0 giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình :
 Tìm giá trị nhỏ nhất của bbiểu thức A = x14 + x24 
Giải
Xét phương trình (m ạ 0) 
Ta có : D = 
Theo định lý Viét ta có : 
mà A = x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2x1x2= {(x1+x2)2 - 2x1x2}2 - 2(x1x2)2 
 = 
ị A =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài số 8 : 
 Tìm tất cả các giá trị của a là số tự nhiên sao cho phương trình
 x2 - a2x + a +1= 0 . có nghiệm nguyên .
Giải
Xét phương trình : x2 - a2x + a +1 = 0 (1)
 Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm nguyên của phương trình (1) 
 ta có 
 ị ( x1 - 1)(x2 -1) = -(a2 - a -2 ) = -( a -2 )( 1+ a ) (4) 
từ (2) và (3) ị ( do a e N )
 ị x1 / 1 , x2 / 1 ị ( x1- 1)( x2 - 1) / 0 (5)
kết hợp (4) , (5) ị ( a - 2)( 1 + a) Ê 0 
 vì a e N ị 0 Ê a Ê 2 
 Thử lại ta thấy a = 2 thoả mãn yêu cầu của đề bài .
Bài số 9 :
 Cho x + y + z = 3 (1) 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 + z2 
b. Tìm giá trị lớn nhất của : B = xy + yz + zx 
Giải
a - Từ đẳng thức (1) ị x + y = 3 - z .
từ A = x2 + y2 + z2 ị A = ( x + y + z )2 - ( xy + yz + zx )
Û A = 9 - 2xy -2(3 - z).z Û xy = 
áp dụng định lý Viét ta có x ,y là nghiệm của phương trình :
 X2 - (3 - z )X += 0 (*)
 Xét D = (3-z)2 - 4. 
 = 9-6z + z2-18 +12z - 4z4+ 2A=
 = - (3z2 - 6z + 9 - 2A) vì phương trình có nghiệm Û D ³ 0 
 Û 3z2 - 6z + 9 - 2A Ê 0 
 Xét Dz = 9 - 27 + 6A = - 18 + 6A
Vì x , y là nghiệm của (*) suy ra z tồn tại ị Dz ³ 0 ị A ³ 3
Vậy Amin = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1
b - Giải tương tự :
III . Bước thứ ba : Bài tập vận dụng
Với mục đích là đưa ra các bài tập trong đó có áp dụng kiến thức về định lý Viét để giải , giúp học sinh tự luyện tập , rèn luyện tư duy độc lập sáng tạo trong lời giải :
Bài tập 1 :
Cho phương trình bậc hai 2x2 + 6x + m = 0 
Với giá trị nào của tham số m . Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 
thoả mãn 
Bài tập 2 :
Cho phương trình : (m -1)x2 - 2(m +1)x + m = 0 (1) 
Khi (1) có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm m sao cho ẵx1 - x2ẵ³ 0.
Bài tập 3 :
a/ Cho a,b,c ẻR thoả mãn a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng : 0 Ê a,b,c Ê 
b/ Cho a,b,c ẻR thoả mãn a + b + c = 2 và a2 + b2 + c2 = 2
Chứng minh rằng : 0 Ê a Ê ; 0 Ê b Ê và 0 Ê c Ê 
Bài tập 4 :
Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2kx +4 = 0
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
Bài tập 5 :
Cho x , y , z ẻ R thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng : .
Bài tập 6 : 
Cho x, y, z là các số thoả mãn hệ phương trình 
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của x , y , z .
Bài tập 7 :
Cho a ạ 0 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình :
 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x14 + x24 
D . Kết luận :
 + Qua phần trình bày trên đây ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh các bất đẳng thức , hay tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất , chúng ta thấy được định lý Viét có vai trò quan trọng khi áp dụng để giải phương trình bậc hai .Ngoài ra chúng ta còn thấy được khi sử dụng định lý Viét vào giải các bất đẳng thức được dễ dàng hơn và đặc biệt là giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về định lý Viét . Những bài tập này giúp cho học sinh rèn tư duy và kĩ năng biến đổi , áp dụng kiến thức đã biết.
 Thử nghiệm tôi đã thu được kết quả như sau :
khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cả bài tập số 1 là bài tập tương đối dễ mà 100% học sinh không định hướng được cách giải quyết . Các bài tập còn lại các em hoàn toàn bế tắc . Có những bài , câu hỏi tưởng chừng không ăn nhập gì với phần lý thuyết được học trong bài định lý Viét như bài 2 , 3 , 7 , 8 , 9 học sinh không thể làm được . Và khi giáo viên chữa cho học sinh cũng rất khó khăn bởi phải diễn giải rất nhiều mới có được kiến thức sử dụng hệ thức Viét , dẫn đến học sinh khó tíêp thu , sợ những bài tập như vậy 
Sau đó tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống các bài tập như đã trình bày trên đây , áp dụng dạy cho học sinh thì thấy học sinh hiểu bài hơn , say mê hơn với các bất đẳng thức , Tìm cực trị ....................và do đó các em tự mình giải quyết được các bài tập , đồng thời phần trình bày của các em ngắn gọn , dễ hiểu , dễ ghi .
Ngoài các bài tập tôi đã đưa ra ở trên còn nhiều bài tập nữa , từ 
 70%- 80% số học sinh trong lớp làm được đặc biệt có em trình bày lời 
 giải xúc tích , gọn , dễ theo dõi . Góp phần rèn kĩ năng giải toán, năng
 lực hoạt động trí tuệ cho học sinh . Học sinh không còn hiểu vấn đề 
 một cách máy móc dập khuôn . Vì không có điều kiện trình bày hết
 tất cả các bài tập tôi chỉ xin trình bày một số bài tập trên làm ví dụ 
 minh hoạ cho chuyên đề của mình .
E .bài học rút ra :
 Như trên tôi đã đặt vấn đề học sinh trung học cơ sở còn ở lứa tuổi thiếu niên nên việc tư duy , khả năng khái quát hoá của các em còn rất hạn chế .
Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các em nhất là các bài tập về bất đẳng thức . Vì vậy đòi hỏi ở người giáo viên một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình của sách giáo khoa , hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao , từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập tư duy , khái quát hoá những kiến thức . từ đó mà năng lực trí tuệ của các em mới được rèn luyện và nâng cao. Trong chương trình không phải nội dung kiến thức nào cũng có những kiến thức lý thuyết bổ xung nằm tiềm ẩn bên trong như bài định lý Viét . Xong cũng có rất nhiều đơn vị kiến thức làm được như vậy . Điều quan trọng hơn cả là ở tâm huyết của người giáo viên đối với nghề nghiệp .
Chỉ qua một ví dụ về bài định lý Viét ta thấy đã rút ra nhiều điều bổ ích cho việc giải bài tập về bất đẳng thức , tìm cực trị ...........
Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc chắn kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao , đào tạo được nhiều nhân tài cho đất nước đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học .
Mục lục
 A . Đặt vấn đề : Trang 2
 B . Cơ sở khoa học : Trang 3
 C . Giải quyết vấn đề : Trang 5
 D . Kết luận : Trang 12
 E . Bài học rút ra : Trang 13
Tài liệu tham khảo
 Nâng cao và phát triển toán 9 ( Vũ Hữu Bình)
 Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu – Trần Luận)
 23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng)
 Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thượng)
 Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ
Nhận xét của tổ chuyên môn
..
..
..
.
Nhận xét của bgh ..
..
..
.
Nhận xét đánh giá của PGD
. ..
..
..
.