Sáng kiến kinh nghiệm Từ bài toán cực trị đến bài toán cực trị trong không gian tọa độ

 cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
 	(2 điểm M,N cần tìm theo đó MN là đoạn vuông góc chung của d , D.)
Nếu thay “đường thẳng d ” bởi “mặt phẳng a” với a và d không có điểm chung ( D // a ) thì bài toán mới có vô số nghiệm hình (xem hình)
(D’ là hình chiếu của D lên a )
Do vậy ta có thể phát biểu bài toán mới “khác” một chút .
Bài toán 2.1: Cho mặt phẳng a và đường thẳng D ; D //a . Tìm tập hợp các điểm M thuộc a sao cho d(M, D ) là nhỏ nhất .
Nếu trong bài toán 6.1 ta thay mặt phẳng a bởi mặt cầu (S) ta có : 
Bài toán 2.2: Cho mặt cầu (S) và đường thẳng D ((S) và D không có điểm chung) . Tìm M Î (S) và N Î D sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
Trong bài toán 6 : Nếu thay “2 đường thẳng ” bởi “2 mặt ” ( 2 mặt cầu hay 1 mặt cầu và 1 mặt phẳng ) Ta có : 
Bài toán 2.3 : Cho mặt phẳng a và mặt cầu (S ) ((S) và a không có điểm chung) Tìm M Î (S) và N Î a sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
	Giải : N0 là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng a . 
Mặt cầu (S) cắt đoạn IN0 tại . a0 là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M0 . a0 cắt đoạn MN tại P . 
Ta có : MN ≥ PN = d(P, a ) = M0 N0 .
 Đoạn MN là nhỏ nhất « M º M0	
Nhìn lại bài toán 2 - hai điểm M0 , N0 cần tìm mà theo đó đoạn M0 N0 là đoạn vuông góc chung .Ta có : , M0 N0 = d(M0 , D ) ≤ d(M , D) – Bài toán 6 có thể phát biểu lại theo một cách khác : 
Bài toán 2*: Cho 2 đường thẳng d , D chéo nhau . Tìm M Î d sao cho khoảng cách từ M đến D là nhỏ nhất.
Từ đây học sinh có thể phát biểu một vài bài toán tương tự khác :
Bài toán 2*.2 : Cho mặt phẳng a và mặt cầu (S ) ((S) và a không có điểm chung) Tìm M Î (S) sao cho khoảng cách từ M đến a là nhỏ nhất ( lớn nhất ) .
Bài toán 2*.3: Cho mặt cầu (S) và đường thẳng D ((S) và D không có điểm chung) . Tìm M Î (S) sao cho khoảng cách từ M đến D là nhỏ nhất ( lớn nhất ) .
Bài toán 3: Cho hai điểm A , B .Tìm mặt phẳng a qua A sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng a là lớn nhất . 
Giải : ... mặt phẳng a cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB . (xem hình)
Nếu” hai điểm A,B” được thay thế bởi“2 đường thẳng d và D (không có điểm chung)”thì ta có bài toán chẳng hạn :
Bài toán 3.1: Cho 2 đường thẳng d và D chéo nhau .Tìm mặt phẳng a chứa D sao cho khoảng cách từ d đến mặt phẳng a là lớn nhất . 
Bây giờ ta phát biểu bài toán với” một điểm và một đường thẳng (không chứa điểm đó)”
Bài toán 3.2 : Cho điểm A và đường thẳng d không chứa A .Tìm mặt phẳng a chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng a là lớn nhất 
Ở một góc nhìn khác,trong bài toán 3 thay vì “mặt phẳng a qua A” thì là “đường thẳng D qua A ” 
 Tương tự như trên , đường thẳng D cần tìm đi qua A và vuông góc với AB 
( có vô số đường thẳng D như thế) Để bài toán có nghiệm hình cụ thể ta điều chỉnh như sau :
Bài toán 3.3: Cho mặt phẳng a và hai điểm A , B (A Î a ) . Tìm trong mặt phẳng a đường thẳng D qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng D là lớn nhất . 
Để ý rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng D có thể nhỏ nhất – khi đó D là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng a . Ta có :
Bài toán 3.4: Cho mặt phẳng a và hai điểm A , B (A Î a ) . Tìm trong mặt phẳng a đường thẳng D qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng D là nhỏ nhất . 
Nếu trong bài toán 3 , xuất hiện thêm điểm C thì ta xác lập bài toán mới như thế nào với các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a ? Ta có :
Bài toán 3.5 : Cho DABC . Tìm mặt phẳng a qua A sao cho B,C nằm cùng một phía với mặt phẳng a và tổng các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a là lớn nhất . 
	Giải : M là trung điểm BC . H,I ,N lần lượt là hình chiếu của B,C,M lên mặt phẳng a . BH + CI = 2 MN ≤ 2 MA .
BH + CI lớn nhất khi N º A . Mặt phẳng a cần tìm là mặt phẳng a 0 qua A và vuông góc với AM 
Nếu trong bài toán 3.5 , xuất hiện thêm điểm D thì ta có :
	Bài toán 3.6 : Cho tứ diện ABCD . Tìm mặt phẳng a qua A sao cho B,C,D nằm cùng một phía với mặt phẳng a và tổng các khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng a là lớn nhất . 
	Giải : M là trung điểm CD . G là trọng tâm tam giác ABC . 
	Tổng các khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng a bằng BH + 2 MI = 3GO ≤ 3 GA . Tổng này lớn nhất khi O º A . Mặt phẳng a cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với AG 
	Có thể tổng quát hóa các bài toán 2.5, 2.6 ta có :
	Bài toán 3.7 : Cho n+1 điểm A0 , A1 ,A2 ,..., An. Tìm mặt phẳng a qua A0 sao cho các điểm A1 ,A2 ,...,An nằm cùng một phía với mặt phẳng a và tổng các khoảng cách từ các điểm A1 ,A2 ,...,An đến a là lớn nhất .
Có thể giải được bài toán này bằng phương pháp qui nạp toán học .
Ta thử xác lập bài toán mới từ Bài toán 3.5 với một góc nhìn khác . Ta thay “mặt phẳng a qua A”bởi “đường thẳng D qua A ”Ta có :
Bài toán 3.8 : Cho D ABC . Tìm đường thẳng D qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B , C đến đường thẳng D là lớn nhất . 
Giải : Ta có BH + CI ≤ BA+CA .
BH + CI lớn nhất « H º C và I º C 
Đường thẳng D cần tìm qua C vuông góc với mặt phẳng (ABC) . (xem hình ).
Có thể mở rộng bài toán 3.8 với nhiều điểm cùng nằm trong một mặt phẳng chẳng hạn :
Bài toán 3.9 : Cho tứ giác ABCD . Tìm đường thẳng D qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B,C,D đến đường thẳng D là lớn nhất .
Nếu trong bài toán 3.5 ta thay “tổng các khoảng cách từ B , C”bởi “giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B ,C” và với sự điều chỉnh cần thiết ta có : 
Bài toán 4 : Cho đường thẳng d và hai điểm B,C ( d , BC chéo nhau ).Tìm mặt phẳng a chứa d sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a là nhỏ nhất .
Giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a nhỏ nhất là bằng 0 ( điều này là xảy ra ) – 
Có thể phát biểu lại bài toán theo một cách thức khác : “Cho đường thẳng d và hai điểm B,C ( d , BC chéo nhau ).Tìm mặt phẳng a chứa d sao cho các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a là bằng nhau ” .
Với cách diễn đạt thế này học sinh dễ thấy mặt phẳng a cần tìm là song song với BC ( 2 điểm B,C nằm về 1 phía đối với mặt phẳng a ) hoặc mặt phẳng a ... đi qua trung điểm của BC ( 2 điểm B,C nằm khác phía đối với mặt phẳng a)
	Trong bài toán 4 , đường thẳng d và điểm C hoán đổi cho nhau thì ta có : 
Bài toán 4.1 : Cho đường thẳng d và hai điểm B,C(d , BC chéo nhau ).Tìm mặt phẳng a đi qua điểm C sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B và d đến mặt phẳng a là nhỏ nhất .
Các nghiệm hình của bài toán 4.1 được minh họa bởi 2 hình vẽ trên.
Nếu thay đường thẳng BC bởi đường thẳng D ( xem d ,D như 2 điểm trong bài toán 4 )thì ta không ràng buộc a qua d .Ta có :
Bài toán 4.2:Cho 2 đường thẳng d và D chéo nhau.Tìm mặt phẳng a không đồng thời cắt cả d và D , sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng a là nhỏ nhất .
Nghiệm hình của bài toán 4.2 được minh họa bởi hình vẽ bên.
Bài toán 5 : Cho mặt phẳng a và đường thẳng d cắt a . Tìm mặt phẳng b chứa d sao cho góc giữa b và a nhỏ nhất . 
	Giải : d cắt a tại I . A Î d . H là hình chiếu của A lên a . Mặt phẳng b chứa d cắt a theo giao tuyến D .K là hình chiếu của A lên D . D ^AK ® a ^ HK.
Góc giữa mặt phẳng a và b là góc AKH .
góc giữa d và mặt phẳng a là góc AIH . 
sin AKH = AH/AK ≥ AH/AI = sin AIH 
® Ð AKH ≥ Ð AIH . Ta có : Ð AKH = Ð AIH « K º I . 
Vậy góc giữa mặt phẳng a và b nhỏ nhất là bằng góc giữa d và mặt phẳng a . Mặt phẳng a cần tìm qua điểm I và vuông góc với d .
	 Trong bài toán 5 , ta thay “mặt phẳng b quay quanh d ” bởi “đường thẳng D quay quanh điểm I cho trước ”sao cho góc giữa D và d nhỏ nhất . Ta có 
	 Bài toán 5.1: Cho mặt phẳng a và đường thẳng d cắt a tại I.. Tìm đường thẳng D trong a qua I sao cho góc giữa D và d nhỏ nhất . 
	...Góc giữa D và d là nhỏ nhất nếu D là hình chiếu của d lên a. (xem hình) 
	Trong bài toán 5.1 , thay vì cho trước mặt phẳng và đường thẳng cắt nhau ta cho 2 mặt phẳng cắt nhau , ta có : 
Bài toán 5.2 : Cho 2 mặt phẳng a và b cắt nhau . I là điểm trên a , I Ïb . Tìm đường thẳng D trong a qua I sao cho góc giữa D và b lớn nhất . 
	Góc giữa D và b là lớn nhất nếu M º K với K là hình chiếu của I lên giao tuyến của a ,b là hình chiếu của d lên a. (xem hình) 
Trong các bài toán trên yếu tố cho trước là mặt phẳng và đường thẳng hoặc 2 mặt phẳng – bây giờ ta thử phát biểu bài toán : “Cho 2 đường thẳng d và D cắt nhau (hoặc chéo nhau ) ...”
	Bài toán 5.3 : Cho 2 đường thẳng d và D chéo nhau . Tìm mặt phẳng a chứa D sao cho góc giữa a và d lớn nhất .
	Giải : Mặt phẳng a ( thay đổi) chứa D cắt d tại I . A Î d . H là hình chiếu của A lên a .Qua I dựng D’ // D .
K là hình chiếu của A lên D’ .	
Góc giữa mặt phẳng a và d là góc AIH .
Góc giữa d và D là góc AIK = j . 
sin AIH = AH/AI ≤ AK/AI= sin AIK 
® Ð AIH ≤ Ð AIK . Ta có : Ð AIH = Ð AIK = j « H º K. 
Vậy góc giữa mặt phẳng a và b lớn nhất là bằng góc j . Mặt phẳng a cần tìm chứa D và tạo với d một góc j .
Thử tìm hiểu bài toán tương tự như các bài toán trên nhưng có liên quan đến mặt cầu – tôi tìm thấy bài toán : 
Bài toán 5.4: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng a . M là điểm cho trước trên (S) . Tìm tiếp tuyến D của mặt cầu (S) tại M sao cho D tạo với mặt phẳng a một góc lớn nhất . 
...Góc giữa D và mặt phẳng a là Ð MNH lớn nhất khi N º K – khi đó D º MK , D ^ d (xem hình )	
Bài toán 6: Cho hai điểm A ,B và mặt phẳng a .Tìm điểm M trên a : 
a/ nhỏ nhất .
b/ MA2 + MB2 nhỏ nhất .
	Giải : a/ =|2| = 2 MI ≥ 2 M0I
(I là trung điểm AB, M0là hình chiếu của I lên mặt phẳng a .) . 
 nhỏ nhất « M º M0
	b/ MA2 + MB2 = 2 MI2 + AB2/2 . ≤ 2 MI02 + AB2/2
 MA2 + MB2 nhỏ nhất « M º M0 với M0là hình chiếu của I lên mặt phẳng a .
	Có thể mở rộng bài toán ? 
 	Ta có với mọi điểm I . Ta chọn I sao cho = , khi đó || = || = |m+n| MI 
 (m+n ¹0 ) . Từ đây ta phát biểu bài toán mới : 
Bài toán 6.1: Cho hai điểm A ,B và mặt phẳng a .Tìm điểm M trên a : 
 nhỏ nhất với m + n ¹0 .
Cũng vậy học sinh có thể tìm đến : 
Bài toán 6.2: Cho hai điểm A ,B và mặt phẳng a .Tìm điểm M trên a :
	mMA2 + nMB2 nhỏ nhất với m > 0 , n >0 .
	Mở rộng theo một hướng khác ? Phát biểu bài toán với 3 điểm A,B,C
Bài toán 6.3: Cho tam giác A BC và mặt phẳng a .Tìm điểm M trên a : 
a/ nhỏ nhất .
b/ MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất .
 	Phát biểu bài toán tương tự với 4 điểm A,B,C,D ? Hãy phát biểu .
	...
	Điều thú vị là các học sinh sẽ có được các bài toán mới từ các bài toán trên nếu thay cụm từ “mặt phẳng a” bởi cụm từ “ đường thẳng D ” hay “” mặt cầu (S)
Ta thử giải một trong nhiều bài toán như thế với mặt cầu (S) , chẳng hạn :
Bài toán 6.4 Cho hai điểm A ,B và mặt cầu (S) .Tìm điểm M trên (S) : 
a/ nhỏ nhất ( lớn nhất) .
b/ MA2 + MB2 nhỏ nhất ( lớn nhất) .
Giải : =|2| = 2 MH với H là trung điểm AB .
 	+ Trường hợp H nằm trong mặt cầu (S) 
	 Gọi M0 là một giao điểm của đường thẳng IH và (S) và H nằm giữa I và M0 . a là mặt phẳng chứa IH và qua M . Trong mặt phẳng a dựng đường tròn tâm H , bán kính HM0 cắt đoạn thẳng HM tại N . 
 	Ta có : MH = MN + NH ≥ HN = M0H 
	 nhỏ nhất « MH nhỏ nhất « M º M0
	+ Trường hợp H nằm ngoài mặt cầu (S)
Học sinh có thể giải tương tự như trên 
(xem hình vẽ bên)
	+ Trường hợp H nằm trên mặt cầu (S)
	Khi đó M cần tìm trùng với điểm H
Học sinh thử xác định điểm M Î (S) sao cho MA + MB lớn nhát .
Bài toán 7: Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I và đường thẳng d thay đổi . Xác định d sao cho d cắt (C) tại 2 điểm A,B sao cho D IAB có diện tích lớn nhất . 
	Thử tìm hiểu và phát biểu bài toán tương tự trong không gian.
Hình trong mặt phẳng 
Hình tương tự trong không gian
Đường tròn (C)
Mặt cầu (S)
Đường thẳng d
Mặt phẳng a 
Tam giác cân đỉnh I đáy là dây cung AB
Hình nón đỉnh I , đáy là đường tròn giao tuyến 
Diện tích tam giác 
Thể tích khối nón
Bài toán 7.1: Cho mặt cầu (S) tâm I và mặt phẳng a thay đổi . Xác định a sao cho a cắt (S) theo 1 đường tròn sao cho khối nón đỉnh I và đáy là đường tròn giao tuyến có thể tích lớn nhất . 
Giải : Mặt cầu (S) tâm I , bán kính R không đổi .
Đường tròn giao tuyến của (S) và a có bán kính r thay đổi .
h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng a . h thay đổi .
Ta có : r2 + h2 = R2 
	Thể tích khối nón ...: V = p r2 h = .
	V lớn nhất chỉ khi tích r2.r2.2h2 lớn nhất . Các số dương r2 , r2 , 2h2 có tổng r2 + r2 + 2h2 = 2R2 không đổi ® r2.r2.2h2 lớn nhất chỉ khi r2 = 2h2 ® 3 h2 = R2 ® h = R hay d(I , a ) = R
	Mặt phẳng a cần tìm có d(I , a ) = R.
	Bài toán 8 : Cho 2 điểm A và B . Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất , (S) đi qua A và B .
Nếu thay điểm B bởi đường thẳng D không chứa A ta có :
Bài toán 8 .1: Cho điểm A và đường thẳng D không chứa A . Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất , (S) qua A và tiếp xúc với D 
Giải : Giả sử (S) có bán kính R đi qua A và tiếp xúc với D tại M . Ta có 2R ≥ AM ≥ AM0 với M0 là hình chiếu của A lên D . ® R ≥ AM0/2 . R nhỏ nhất là bằng AM0/2 « M º M0 .
 Mặt cầu (S) cần tìm có đường kính AM0 .
Trong bài toán 8.1 nếu thay “đường thẳng ” bởi “mặt phẳng ”, ta có : 
Bài toán 8 .2: Cho điểm A và mặt phẳng a không chứa A . Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất , (S) qua A và tiếp xúc với a 
Giải : Gọi H là là hình chiếu của A lên a . Giả sử (S) có tâm I , bán kính R đi qua A và tiếp xúc với a tại K . Ta có: 2R = IA+IK ≥ AK ≥ AH ® R nhỏ nhất « K º H 
Mặt cầu (S) cần tìm là có đường kính AH .
Trong bài toán 8 :
 “2 điểm A ,B ” thay bởi “2 đường thẳng d và D ” 
 “(S) đi qua A và B” thay bởi “(S) tiếp xúc với cả d và D ” 
Khi đó “bài toán mới”có lời giải ?. Tìm hiểu ... và thấy ra bài toán là có lời giải khi “D và d chéo nhau ” - Ta có : 
Bài toán 8 .3 : Cho 2 đường thẳng D và d chéo nhau . Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất , (S) tiếp xúc với cả d và D .
Thường thì mặt cầu là xác định nếu biết 4 điểm không đồng phẳng thuộc nó . Trong bài toán 8 ta mới chỉ dùng đến 2 điểm A,B (và thỏa mãn một điều kiện ). Ta có thể phát biểu bài toán như bài toán 8 với 3 điểm A,B,C(và thỏa mãn một điều kiện ).
Bài toán 8.4 : Cho D ABC . Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất , (S) đi qua A , B và C .
Có hay không một “bài toán mới” nếu thay điểm C bởi đường thẳng D hay mặt phẳng a ? ... Đây là điều thú vị để tìm hiểu . 
	Trên cơ sở tìm hiểu bài toán : “Cho mặt cầu (S) và điểm M Î (S) . D là đường thẳng nào đó đi qua M cắt (S) tại các điểm A,B . Chứng minh tích MA.MB không đổi ” tôi đề xuất bài toán mới dưới đây xem như bài toán gốc :
Bài toán 9: Cho mặt cầu (S) và điểm M nằm ngoài (S) . D là đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B sao cho A nằm giữa M và B . Xác định D sao cho tích MA.AB lớn nhất .
Giải : Ta có : MA.AB = MA.(MB-MA) = MA.MB – MA2 
MA.AB lớn nhất « MA nhỏ nhất « A º M0 (xem hình)
Đường thẳng D cần tìm là đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu.
Trong bài toán 9 thay vì tìm hiểu khi nào thì tích MA.AB lớn nhất ,ta tìm hiểu khi nào thì tích MB.AB ... nhất . Ta có : 
Bài toán 9.1: Cho mặt cầu (S) và điểm M nằm ngoài (S) . D là đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B sao cho A nằm giữa M và B . Xác định D sao cho tích MB.AB lớn nhất .
Vì tích MA.MB không đổi nên tổng MA + MB nhỏ nhất khi MA = MB . Để MA = MB thì M phải nằm trong (S) và khi đó có vô số D qua M cắt (S) tại A,B sao cho MA = MB - Vậy ta có hay không bài toán mới ? Tìm hiểu thêm một chút nữa ,các đường thẳng D như vậy nằm trên mặt phẳng qua M vuông góc với IM ( I là tâm mặt cầu) . Ta có : 
Bài toán 9.2: Cho mặt cầu (S) và điểm M nằm trong (S) . D là đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B sao cho MA+MB nhỏ nhất . Chứng tỏ D nằm trên một mặt phẳng a cố định ( viết phương trình mặt phẳng a) .
Bài toán 9.3: Cho mặt cầu (S) và điểm M nằm trong (S) . D là đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B sao cho |MA-MB| nhỏ nhất . Chứng tỏ D nằm trên một mặt phẳng a cố định ( viết phương trình mặt phẳng a) .
Bài toán 9.4: Cho mặt cầu (S) và điểm M nằm trong (S) . Đường thẳng D qua M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A,B sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất . Chứng tỏ D nằm trên một mặt phẳng a cố định ( viết phương trình mặt phẳng a) .
	... 
PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ MANG TÍNH MINH HỌA 
	Trong phần này Các bài toán cực trị trong không gian được phát biểu cụ thể minh họa cho các bài toán ở phần 1. Để tiện cho việc theo dõi chúng tôi vẫn giữ nguyên thứ tự bài toán như trong phần 1 – Tuy nhiên vì khuôn khổ bài viết có hạn chúng tôi chỉ giới thiệu một số bài toán cụ thể để minh họa hoặc làm sáng tỏ thêm nội dung một số bài toán phần 1 .
Bài toán 1.1 : Cho A (1,2,3) B(3,4,-1) và D : x = 1 –t , y = -t , z = 2 +2t
Tìm điểm M trên D : MA + MB nhỏ nhất .
	Giải : 
	D có véc tơ chỉ phương : 
Vì cùng phương và A ÏD ® AB //D 
Gọi A’ đối xứng với A qua D - A’B cắt D tại M0
(M0 là trung điểm A’B )
Ta có : MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B 
MA + MB nhỏ nhất « M º M0 – Ta xác định tọa độ M0 . 
Gọi I là trung điểm AB ta có : IM0 //AA’ ® IM0 ^ D 
M0 Î D ® M0(1 –t , -t , 2 +2t ) - IM0 ^ D ® = 0 ® t = -1 ® M0(2 , 1,0) 
Bài toán 2*2 : (B-2007) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 .Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất 
Giải : (S) có tâm I (1, -2, -1) bán kính R = 3 
d(I, (P)) = 4 > R ® (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung .
D là đường thẳng qua I vuông góc với (P) , phương trình D : x = 1 + 2t ; y = -2 –t , z = -1 +2t . D cắt (S) tại các điểm : M*0 (3, -3 , 1) , M0 (-1, -3, -3) 
Để ý d(M*0, a ) = 1. d(M0, a ) = 19/3
Gọi (P) là mặt phẳng qua M0 tiếp xúc nới mặt cầu (S) . (S) nằm giữa 2 mặt phẳng song song a và (P) ® "M Î (S) , d(M,a ) ≤ d( (P) , a ) = d(M0, a ) .
d(M,a ) lớn nhất khi M º M0 
Bài toán 2 * : Cho A(-3,2,6) B(-8,3,8) C(1,2,1) D(0,1,-1) –
a/ Chứng tỏ AB và CD chéo nhau và vuông góc nhau .
b/ Tìm điểm M trên đoạn AB sao cho : khoảng cách từ M đến CD nhỏ nhất – (lớn nhất )
N
Giải : b/ AB : x = -3 -5y , y = 2 +t , z = 6+2t 
Mặt phẳng a chứa CD và vuông góc AB có phương trình : 5x-y-2z -1 = 0 – Mặt phẳng a cắt đường thẳng AB tại M0(2,1,4) . Để ý M0 nằm ngoài đoạn AB ; điểm A nằm giữa M0 và B .Gọi N là hình chiếu của M0 lên CD . 
 M là điểm bất kỳ thuộc đoạn AB . MN , AN là các khoảng cách từ M , A đến đường thẳng CD .
Ta có : MM0 ≥ AM0 ® MN ≥ AN ( quan hệ giữa các đoạn xiên và các hình chiếu của nó ) . MN nhỏ nhất khi M º A . 
Bài toán 5.4: Cho mặt cầu (S) : (x-1)2+(y+1)2+z2 = 3 .Viết phương trình tiếp tuyến D với (S) tại M(2, 0,1) sao cho D tạo với mặt phẳng Oxy một góc lớn nhất .
Giải : (S) có tâm I( 1,-1,0) . 
a là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M . a cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến d . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên a 
và d . 
 D là tiếp tuyến tại M , D Ì a . D cắt d tại N .
Ta có sin MNH = MH/MN ≤ MH/MK 
 = sin MKH ® MNH ≤ Ð MKH . 
Ta có : Ð MNH = Ð MKH « N º K . 
	Góc giữa D và mặt phẳng Oxy là Ð MNH lớn nhất khi N º K – khi đó 
 D º MK , D ^ d . Ta viết phương trình đường thẳng MK .
	Ta có : . phương trình a : x + y+z -3 = 0 . d là giao tuyến của a và Oxy : z = 0 ® d : x = 3-t , y = t , z = 0 .
	b là mặt phẳng qua M vuông góc với d – phương trình b : -x + y +z +1= 0
MK là giao tuyến của a và b ® MK : x = 2+t , y = t z = 1 – 2t .	
Bài toán 6.2 : Cho A( 1,-1,-2) B( 4 ,-1,4) và mặt phẳng a : x - y - z + 5 = 0 .Tìm điểm M trên a : MA2 + 2MB2 nhỏ nhất 
VI/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : 
Việc nghiên cứu bước đầu đề tài này giúp chúng tôi có thêm niềm say mê tìm hiểu sâu hơn Toán học phổ thông .
Việc khảo sát tác động của việc áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy cần được tiến hành một cách chặt chẽ . 
	VII/ KẾT LUẬN : 
Đây là một đề tài mà việc nghiên cứu đòi hỏi nhiều thời gian , tâm huyết . Chúng tôi đã cố gắng thể hiện trong khả năng có thể của mình trên trang viết và trong thực tế giảng dạy . Cần phải hoàn thiện đề tài về mặt biện pháp – cách tổ chức thực hiên để việc giảng dạy đáp ứng được yêu cầu giáo dục hiện nay .
VIII/ ĐỀ NGHỊ : 
Trong quá trình biên soạn “Sáng kiến ”này - chúng tôi được sự động viên của Ban giám hiệu ,Công đoàn nhà trường – sự góp ‎ý chân tình của các bạn đồng nghiệp trong Tổ Toán Tin , chúng tôi xin chân thành cảm ơn .
Trong thời gian đến chúng tôi rất mong tiếp tục nhận được sự giúp đỡ cộng tác của các đồng nghiệp để hoàn thiện một cách tốt nhất đối với đề tài này.
	IX/ TÀI LIỆU THAM KHẢO :
	X/ MỤC LỤC :