Sáng kiến kinh nghiệm Tổng hợp một số kinh nghiệm giải toán hình không gian

 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang1/16-LTðH-2010 
Bài tập
TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGIỆM GIẢI TỐN 
 HÌNH KHƠNG GIAN
 Sinh viên : Phan Sỹ Tân 
 Lớp : k16kkt3 
 OOO 
 GOOD LUCKD 
i. ®−êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng . 
1.T×m giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (C¸ch 1) 
Phương pháp :: 
- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng 
- ðường thẳng qua hai điểm chung đĩ là giao tuyến của hai mặt phẳng 
gChú ý : ðể tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng địng phẳng lần lượt 
nằm trong hai mặt phẳng đĩ . Giao điểm , nếu cĩ của hai đường thẳng này chính là điểm chung của 
hai mặt phẳng . 
2.T×m giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (C¸ch 2) 
Phương pháp : 
ðể tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt A tại 
điểm A nào đĩ thì A là giao điểm của a và (P) . 
gChú ý Nếu c chưa cĩ sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q) 
. 
3. Chøng minh 3 ®iĨm th¼ng hµng, chøng minh 3 ®−êng ®ån quy. 
Phương pháp : 
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đĩ là các điểm chung của hai mặt 
phẳng phân biệt.Khi đĩ chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ . 
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường nàylà điểm 
chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba . 
4. T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa hai ®−êng th¼ng di ®éng. 
Phương pháp : 
M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d' . Tìm tập hợp các điểm M. 
* Phần thuận : Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di đọng trên giao tuyến cố định 
của hai mặt phẳng đĩ . 
* Giới hạn (nếu cĩ) 
* Phần đảo 
gChú ý :nếu d di động nhưng luơn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a khơng qua A 
thì d luơn nằm trong mặt phẳng cố định (A,a) 
 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang2/16-LTðH-2010 
Bài tập
5. ThiÕt diƯn 
Thiết diện của hình chĩp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt 
hình chĩp . 
Phương pháp : 
Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chĩp theo các bước sau : 
- Từ điểm chung cĩ sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chĩp (Cĩ thể là 
mặt trung gian) 
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đĩ của hình chĩp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) 
với các mặt khác . Từ đĩ xác định được các giao tuyến mới với các mặt này . 
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện . 
ii.®−êng th¼ng song song 
1. Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song 
Phương pháp :: 
Cĩ thể dùng một trong các cách sau : 
- Chứng minh hai đường thẳng đĩ đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song 
rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...) 
- Chứng minh hai đường thẳng đĩ cùng song song song với đường thẳng thứ 3 . 
- Áp dụng định lý về giao tuyến . 
2 . T×m giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (c¸ch 2 / d¹ng 1) 
Thiết diƯn qua mét ®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc . 
Phương pháp :: 
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng 
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song 
song với một đường thẳng đã cĩ) 
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy . 
Ghi chú : Ta cĩ 2 cách để tìm giao tuyến : 
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 
cách khi xác định thiết diện của hình chĩp . 
3. TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng a,b chÐo nhau 
Phương pháp : 
Tính gĩc : 
Lấy điểm O nào đĩ . 
Qua O dựng a' // a và b' // b 
Gĩc nhọn hoặc gĩc vuơng tạo bởi a',b' gọi là gĩc giữa a và b . 
Tính gĩc : Sử dụng tỉ số lượng giác của gĩc trong tam giác vuơng hoặc dùng định lý hàm số cơsin 
trong tam giác thường . 
iii ®−êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng 
1.Chøng minh ®−êng th¼ng (d) song song víi mp (P) 
Phương pháp : 
Ta chứng minh d khơng nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) . 
Ghi chú : Nếu a khơng cĩ sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến 
 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang3/16-LTðH-2010 
Bài tập
của (P) và (Q) . 
2. T×m giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng(C¸ch 2 / d¹ng 2) 
Thiết diện song song với một đườc thẳng cho trước 
Phương pháp : 
Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) 
nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d . 
Từ đây xác định thiết diện của hình chĩp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng 
cho trước theo phương pháp đã biết . 
iv. MỈt ph¼ng song song 
1. Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song 
Phương pháp : 
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt 
nhau nằm trong mặt phẳng kia . 
gChú ý :Sử dụng tính chất 
)//()(
)//()(
PQ
QP
α
α


⇒
⊂
ta cĩ cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) . 
2 . T×m giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (c¸ch 2 / d¹ng 3) 
Thiết diƯn qua mét ®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc . 
Phương pháp : 
- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song 
song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau " . 
- Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chĩp cắt bởi một mặt phẳng song song 
với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết . 
gChú ý :: Nhớ tính chất 
)//()(
)//()(
PQ
QP
α
α


⇒
⊂
v. ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng 
1.Chøng minh ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng. 
 Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau 
Phương pháp : 
* Chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (P) 
- Chứng minh a vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P). 
- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuơng gĩc với (P) . 
* Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau . 
- Chứng minh hai đường thẳng này vuơng gĩc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia . 
- Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì cĩ thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuơng gĩc đã 
học trong hình học phẳng . 
2. ThiÕt diĐn qua 1 ®iĨm cho tr−íc vµ vu«ng gãc víi 1 ®−êng th¼ng cho trø¬c 
 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang4/16-LTðH-2010 
Bài tập
Cho khối đa diện (S) , ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và 
vuơng gĩc với một đường thẳng d cho trước . 
- Nếu cĩ hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuơng gĩc với d thì : 
(P) // a (hay chứa a) 
(P) // b (hay chứa b) 
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên . 
- Dựng mặt phẳng (P) như sau : 
Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuơng gĩc với d , trong đĩ cĩ ít nhất một đường thẳng qua M . 
mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) . 
Sau đĩ xác định thiết diện theo phương pháp đã học . 
vi. ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn 
1. Dùng ®−êng th¼ng qua 1 ®iĨm A cho tr−íc vµ vu«ng gãc víi mp (P) cho tr−íc 
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Phương pháp : 
Thực hiện các bước sau : 
*Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuơng gĩc với d (nên chọn d sao 
cho (Q) dễ dựng ). 
*Xác định đường thẳng 
* Dựng AH vuơng gĩc với c tại H 
- ðường thẳng AH là đường thẳng qua A vuơng gĩc với (P) . 
- ðộ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P) 
gChú ý : 
- Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa. 
- Nếu đã cĩ sẵn đường thẳng m vuơng gĩc với (P), khi đĩ chỉ cần dựng Ax // m thì 
- Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) 
- Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 
2. øng dơng cđa trơc ®−êng trßn 
ðịnh nghĩa : ðường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng chứa đường trịn tại tâm của đường trịn đĩ . 
Ta cĩ thể dùngn tính chất của trục đường trịn để chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng 
và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . 
- Nếu O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì 
đường thẳng MO là trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đĩ MO vuơng gĩc với mặt 
phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) 
- Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đĩ A,B,C là ba điểm khơng thẳng hàng thì đường thẳng 
MN là trục đường trịn qua ba điểm A,B,C; khi đĩ MN vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O 
của đương trịn qua ba điểm A,B,C . 
3. TËp hỵp h×nh chiÕu cđa 1 ®iĨm cè ®Þnh trªn 1 ®−êng th¼ng di ®éng 
Ta thường gặp bài tốn : Tìm tập hợp hình chiếu vuơng gĩc M của điểm cố định A trên đường thẳng 
d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luơn đi qua điểm cố định O . 
Phương pháp : 
 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang5/16-LTðH-2010 
Bài tập
- Dựng , theo định lý ba đường vuơng gĩc ta cĩ 
- Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường trịn đường kính OH chứa trong (P) . 
4. T×m tËp hỵp h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa 1 ®iĨm cè ®Þnh trªn mp di ®éng 
Ta thường gặp bài tốn : Tìm tập hợp hình chiếu vuơng gĩc H của một điểm cố dịnh A trên mặt 
phẳng (P) di động luơn chứa một đường thẳng d cố định . 
Phương pháp : 
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuơng gĩc với d 
- Tìm 
- Chiếu vuơng gĩc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) . 
Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường trịn đương 
kính AE . 
5. Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng 
Cách xác định gĩc giữa a và (P) . 
Phương pháp : 
- Tìm giao điểm O của a với (P) 
- Chọn điểm và dựng 
khi đĩ 
vii. MỈt ph¼ng vu«ng gãc 
1. NhÞ diƯn gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng 
 giải các bài tốn liên quan đến số đo nhị diện hay gĩc giữa hai mặt phẳng thì ta thường xác định gĩc 
phẳng của nhị diện. Nếu gĩc này chưa cĩ sẵn trên hình ta cĩ thể dựng nĩ theo phương pháp dưới đây 
Phương pháp 
- Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai mặt của nhị diện ) 
- Dựng một đoạn thẳng AB cĩ hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và vuơng gĩc với một mặt của 
nhị diện . 
- Chiếu vuơng gĩc A ( hay B ) trên c thành H . 
ta được là gĩc phẳng của nhị diện . 
gChú ý : 
- Nếu đã cĩ một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuơng gĩc với cạnh c của nhị 
diện thì ta cĩ thể dựng gĩc phẳng của nhị diện đĩ như sau ; Chiếu vuơng gĩc A ( hay B hay một điểm 
trên AB ) trên c thành H . Khi đĩ là gĩc phẳng của nhị diện . 
- Nếu hai đường thẳng a , b lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì . 
- Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB cĩ chung đáy AB thì 
( I là trung điểm của AB ) là gĩc phẳng của nhị diện đĩ . 
2. MỈt ph©n gi¸c cđa nhÞ diƯn, c¸ch x¸c ®Þnh mỈt ph©n gi¸c. 
Phương pháp : 
C1 : 
 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 
Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang6/16-LTðH-2010 
Bài tập
- Tìm một gĩc phẳng của nhị diện . 
- Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua cạnh c của nhị diện và phân giác Ot của gĩc 
phẳng xOy . 
C2 : 
- Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện . 
- Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện . 
3. MỈt ph¼ng vu«ng gãc . Chøng minh ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng 
* Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc . 
Phương pháp : 
- Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng kia . 
- Cách 2 : chứng minh gĩc giữa hai mặt phẳng cĩ số đo bằng 90 . 
* Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng . 
- Cách 1 : Chứng minh a vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) . 
- Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuơng gĩc với (P) . 
- Cách 3 : Chứng minh a là trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) . 
- Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuơng gĩc với (P) và a vuơng gĩc 
với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuơng gĩc với (P) " . 
- Cách 5 : Sử dụng định lý : " Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuơng gĩc với (P) thì a 
vuơng gĩc với (P) " . 
4. X¸ch ®inh mỈt ph¼ng chøa 1 ®−êng th¼ng va vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng .ThiÕt diƯn. 
Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a khơng vuơng gĩc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa 
a và vuơng gĩc với (P) . 
Phương pháp : 
- Từ một điểm trên a dựng b vuơng gĩc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) . 
gChú ý :Nếu cĩ đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d . 
WWWHẾTWWW