Sáng kiến kinh nghiệm Tìm nhiều lời giải cho bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh Lớp 7

	Bài tập nghiên cứu khoa học: 
Tìm nhiều lời giải cho bài toán hình học
nhằm phát triển năng lực giải toán
cho học sinh lớp 7
Năm học 2006 - 2007
Mục lục
Mục lục
Mục lục
A. Mở đầu
B. Cơ sở lý luận
Mục đích của việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học.
Mục đích của việc TNLGBT hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp7
Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông qua việc giải một bài toán
C. Nội dung
Bài toán
áp dụng
Kết quả thực hiện
D. Kết luận
Tài liệu tham khảo
 Trang
2
A: Mở đầu
Toán học là một môn khoa học tự nhiên giúp học sinh phát triển trí thông minh, tư duy sáng tạo góp phần đào tạo ra những con người phát triển toàn diện.
	Thông qua thực tế giảng dạy môn toán, tôi nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản về các quan hệ hình học xung quanh chúng ta, mà nó còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ sáng tạo, tư duy logic. Lớp7 là lớp đầu tiên học sinh chính thức được học môn hình học do đó việc tiếp thu kiến thức, giải các bài tập hình học còn nhiều hạn chế.
	Để giảng dạy môn hình học đạt được kết quả cao, ngoài việc truyền đạt những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, thì người giáo viên còn phải biết hệ thống các kiến thức cơ bản đó, xây dựng các phương pháp giải toán. Một bài toán được giải dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo, giúp học sinh hiểu sâu nhớ lâu các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống, rèn luyện cho học sinh những kỹ năng, thói quen cần thiết tìm được hướng đi từ giả thiết đến kết luận một cách đúng đắn.
	Trong đề tài này tôi xin nêu một số phương pháp: “Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học”
B - Cơ sở lý luận
I. Mục đích của việc bồi dưỡng năng lực giải toán
1. Vị trí
Tìm nhiều lời giải (TNLG) cho một bài toán giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Thực vậy, do tính trừu tượng của toán học, đặc biệt là hình học, có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh óc trừu tượng, suy luận logic chặt chẽ. Việc tìm kiếm lời giải cho bài toán có tác dụng to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát, mò mẫm, dự đoán, chứng minh... và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo.
TNLG cho một bài toán tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng, đạo đức trong cuộc sống và lao động, xây dựng cơ sở của thế giới quan khoa học, giáo dục long yêu nước xã hội chủ nghĩa, rèn luyện nhiều đức tính quý báu như lao động có kỷ luật, kiên trì, tự lực, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lý. Nó có khả năng góp phần giáo dục học sinh năng lực cảm thụ cái đẹp: cái đẹp trong lao động sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học, cái đẹp của những lời giải hay.
2. Mục đích
TNLG cho một bài toán làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng giải toán, có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời sống, lao động sản xuất, vào việc học tập những môn học khác.
TNLG cho một bài toán nhằm phát triển học sinh những năng lực và phâm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành tri thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong việc học tập hiện nay và mãi mãi về sau.
II. Mục đích của việc TNLG cho một bài toán hình học 
Về kiến thức và kỹ năng
Hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm (tam giác, tam giác cân, tam giác vuông cân, tính chất các đường trong tam giác, hệ quả...) và nắm được phương pháp giải quyết một loạt vấn đề, giúp học sinh nắm được ngôn ngữ, ký hiệu toán học liên quan đến các khái niệm, tính chất.
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng các đoạn thẳng bằng nhau ,hai đoạn thẳng song song ,hai đường thẳn vuông góc , kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập và trình bày lời giải rõ ràng.
2. Về phát triển trí tuệ
- Phát triển ở học sinh tư duy logic, ngôn ngữ chính xác thông qua các khái niệm, định nghĩa, phân chia các khái niệm thông qua việc thành lập các phán đoán và suy luận
- Phát triển ở học sinh năng lực tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong quá trình nhận thức lời giải và các khái niệm định lý tính chất ngôn ngữ của hình học.
- Phát triển ở học sinh các phẩm chất trí tuệ: tư duy độc lập, tư duy linh hoạt, sáng tạo: tìm nhiều lời giải, nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh
- Phát triển óc quan sát và trí nhớ
3. Về tư tưởng đạo đức
Xây dựng cho học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn của toán học, nêu rõ quan điểm hành động và tương quan giữa các sự vật, giáo dục lòng yêu nước thông qua lời giải của một bài toán.
III. Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông qua việc giải một bài toán bằng nhiều cách
1. Rèn luyện các thao tác tư duy
a) Phân tích và tổng hợp
Phân tích giả thiết và kết luận, sự liên hệ giữa giả thiết và kết luận. Phân tích các ý, các bước chứng minh, mối liên hệ giữa định lý này và định lý khác rồi tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đã cho.
b) So sánh
So sánh giữa các cách giải của một bài toán như: cùng chứng minh một ý nào? các ý khác nhau chứng minh khác nhau như thế nào? Rồi tổng hợp lại các cách giải, xem cách giải nào hay, ngắn gọn, dễ hiểu, dễ nhớ.
2. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác thể hiện quá cách trình bày các cách giải khác nhau của bài toán.
3. Rèn luyện các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập và sáng tạo: biểu hiện ở khả năng tự mình thấy được vấn đề phải giải quyết và tự mình tìm ra lời giải đáp cho bài toán, không đi tìm những lời giải sẵn, không dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của người khác.
4. Rèn luyện các kỹ năng thực hành: đo đạc, vẽ hình... tạo cho học sinh tính cẩn thận, chu đáo, nhanh trí...
C. nội dung
 Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản .Giáo viên người hướng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh có thể tìm được những cách giải hay cho bài toán .Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 được giải bằng nhiều cách .
 I. Bài toán :
 1.Bài toán 1
 Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông .
 Chứng minh :
 + Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân .
Ta có : AM = BM = MC = BC (gt)
 D ABM và DAMC cân 
éB =é A1; é C =é A2
éA1 + éA2 = 900
Vậy tam giác ABC vuông tại A
 Đường trung bình của tam giác được giới thiệu trong chương trình lớp 8 .Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh được các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7
 Định lí 1: 
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba 
 Định lí 2:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy 
 Trong đề tài này tôi không đưa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra để áp giải các bài toán
+ Cách 2: Dùng kiến thức đường trung bình trong tam giác 
 Kẻ MN// AC .Khi đó :
 éBMN = é ACM (1)
é NMA = é MAC (2) 
DMAC cân (vì AM =MC (gt)) 
=> éACM = é MAC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra : é BMN = é NMA 
 MN là tia phân giác của DMAB cân
 MN AB (4)
Mà: MN // AB (5)
Từ (4) (5) suy ra : ACAB
Vậy tam giác ABC vuông tại A
+ Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho :
 AB = AB'
 Ta có AM là đường trung bình của DBCB,
ý
 = => B'C = BC 
=> DCB'B cân tại C có AC là đường trung tuyến
 nên suy ra : AC BB, AC ^ AB
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
+ Cách 4 : 
 Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông 
 Kẻ tia xy // BC
Ta chứng minh được tia AB ,AC
là hai tia phân giác của góc xAM và yAM	
 éA1 = éA2; éA3 = éA4
 é A2 + éA3 = 900 => BAC = 900
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
 + Cách 5 : Dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
 Giả sử góc : A < 900
 Từ DABM và DAMC cân ta có :
 éB =é A1; éA2 = é C 
 => éB + éC < 900
 é A + éB + éC < 1800 (Điều này vô lí)
Chứng minh tương tự :
 Nếu góc A > 900
=> é A + éB + éC > 1800 (Điều này vô lí )
 Vậy góc A=900 suy ra DABC vuông tại A 
 + Cách 6: Dùng kiến thức 
 Trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c)
 Trên tia đối của MA lấy MA=MD 
 Xét DAMB và DDMC có :
MD = MA (gt)
é BMA = é DMC (đối đỉnh ) DAMB = DDMC (c-g-c)
 MB =MC (gt)
=> éABC = éBCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau)
=> é BAC + é DCA = 1800 (1)
Xét DABC và DCDA có :
ý
AB =CD (vì DAMB =DDMC)
BC = AD (gt) DABC = DCDA(c.c.c)
AC cạnh chung
=> éBAC = éBCA (2)
 Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =900
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm được hệ thống kiến thức về tam giác cân, đường trung bình trong tam giác, tia phân giác, trường hợp bằng nhau của tam giác và các phương pháp chứng minh. Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác.
2. Bài toán 2 : 
 Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi AM là phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng :AM//BC
 GT Cho DABC có AB=AC
 éDAM = éMAC
 KL AM// BC
Chứng minh :
+ Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong 
 Ta có: éDAC = éB + éC 
 (Vì góc DAC là góc ngoài của DABC)
 mà éB = éC (gt)
=> éB = éC = 1/2é DAC (1) 
 éADM = é MAC = 1/2é DAC (tính chất tia phân giác ) (2)
Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau)
+ Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị 
 Chứng minh tương tự cách 1 :
 suy ra : éMAC =é B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau )
 + Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau 
 Ta có: éDAC = éB + éC (Vì góc DAC là góc ngoài của DABC)
 mà éB = éC (gt)
éB = éC = 1/2é DAC (1) 
 é AMC=1/2é DAC (tính chất tia phân giác ) (2)
 	Trong DABC : é BAC + éB + éC = 1800 (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra : é BAC + éB + éAMC = 1800 hay
 é MAB +é B = 1800 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù nhau )
A
B
C
M
D
 + Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình 
 Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB
 AD =AC (1) DADC cân tại A có 
 AM là tia phân giác (gt)AM là trung tuyến 
 MC=MD (2)
 Từ (1)(2)AM là đường trung bình của DBDC 
 AM// BC	
 + Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân 
 Kẻ AHBC(1)
AH là đường phân giác của góc A
 éHAM = 90 0 
(Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 
hai góc kề bù )
 HA AM(2)
 Từ (1) và (2) ta có : AM//BC 
Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống được các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song. Ngoài ra tìm thêm được một phương pháp mới đó là sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.
3.Bài toán 3:
 Cho tam giác ABC trung tuyến AM, gọi I là trung điểm của AM ,các 
đường thẳng CI và AD cắt nhau tại D .Chứng minh rằng AD=1/3AB.
 GT Cho DABC có MB =MC 
 IA=IM; AB cắt CI tạiD
 KL AD=1/3AB
Chứng minh :
+ Cách 1 : Sử dụng định lí về đường trung bình .
 Kẻ ME // CD 
 Dễ dàng chứng minh được :
 BE = ED; ED= AD
 AD = DE = BE
 Vậy AD= 1/3 AB
+ Cách 2 
Từ B đường thẳng song song với AM cắt CD tại K
Lấy điểm P và Q là trung điểm của BK và BD 
Ta chứng minh được DBPQ =DADI
 BQ=QD=AD
 Suy ra: AD=1/3AB
+ Cách 3:
Kẻ MN// AB 
 MN là đường trung bình của DDBC
 MN=BD(1) 
 Dễ dàng chứng minh được DAID =DMNI(g c g )
 	MN=BD(2)
 Từ (1) và (2) AD=1/2BD hay AD=1/3AB
II. áp dụng
 Tìm nhiều lời giải cho các số bài sau:
Bài 1: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân .
Bài 2: Cho DABC cân ở A, trung tuyến CD, trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK =BA. Chứng minh rằng CD = CK
 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, AC > AB, phân giác AD. Đường thẳng vuông góc với BC ở D cắt AC ở E . Chứng minh rằng BD = DE
Bài 4: Chứng minh rằng nếu một tam giác có trung tuyến cũng là phân giác thì tam giác ấy là tam giác cân .
Bài 5: Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân ở A. Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng DK = KE
C. Kết quả thực hiện:
1.Kết quả đối với học sinh:
 Khi chưa áp dụng đề tài trên, tôi nhận thấy phương pháp giải bài toán của học sinh chưa rõ ràng hoặc kĩ năng trình bày lời giải lủng củng, các kiến thức rời rạc, đôi khi kiến thức cơ bản còn chưa vững và học sinh còn cảm thấy ngại khi học môn hình học, không tự tin khi giải bài tập, suy nghĩ lời giải còn dựa dẫm người khác.
 Sau khi áp dụng đề tài trên các nhược điểm của học sinh nêu trên đã giảm. Khi đưa ra lời giải cho một bài toán hính học 7 học sinh đã biết lựa chọn những cách giải hay ,tìm được hướng đi đúng khi giải quuyết vấn đề 
 Tỉ lệ học sinh hiểu bài,nắm kiến thức cơ bản tốt hơn, khả năng trình bày lời giải có nhiều lời giải có nhiều tiến bộ và giờ học hình các em học sôi nổi hơn. Sau đây là bảng thống kê kết quả.
Năm học
áp dụng
Nắm vững kiến thức
Trình bày lời giải
Hứng thú học tập
2002-2003
Chưa áp dụng
58%
40%
35%
2003-2004
áp dụng
72%
65%
50%
2004-2005
áp dụng
85%
78%
75%
2.Bài học kinh nghiệm:
 Qua việc áp dụng đề tài , bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm trong dạy học :
 Việc giải bài toán dưới nhiều cách giải khác nhau tạo cho học sinh hứng thú học tập môn hình học ,khắc sâu kiến thức cơ bản một cách có hệ thống . 
 Giáo viên phải bám sát học sinh , tìm hiểu thông tin ngựoc từ phía học sinh để có phưong pháp giảng dạy dể hiểu . Giờ luyện tập ( hoặc chuyên đề , hoặc ngoại khoá , tự chọn ) là giờ học tạo niềm say mê toán học và bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh , giáo viên không nhất thiết phải giải nhiều bài tập hoặc giải bài tập một cách tràn lan không hệ thống mà cần chọn lựa bài tập phù hợp không những củng cố kiền thức vừa học mà còn củng cố các kiến thức đã học trước, rèn kỹ năng trình bày lời giải bài toán và cho học sinh (hoặc hoạt động nhóm) tìm các lời giải khác nhau tạo cho không khí buổi học sôi nổi hơn , vui vẻ hơn.
 Dưới hình thức cho về nhà một bài toán và yêu cầu tìm nhiếu cách giải cũng là phát huy năng lực giải toán cho học sinh. Nếu như không có thời gian chữa trên lớp thì có thể động viên các em gặp riêng các thầy cô giáo ngoài giờ học gợi ý hoặc chữa bài cho mình. Từ đó tạo ra không khí thi đua học tập trong lớp tốt hơn, và tình cảm thầy trò thân mật hơn.
d - Kết luận
Tìm nhiều lời giảicho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh không những làm cho học sinh giải được bài toán mà điều quan trọng là học sinh được củng cố kiến thức, rèn cho học sinh kỹ năng trình bày lời giải bài toán, tìm được mối liên hệ, móc xích giữa các kiến thức cơ bản. “Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 7” giúp học sinh được mở rộng kiến thức và cũng làm cho học sinh chủ động suy nghĩ, hứng thú hơn khi học toán, đặc biệt là môn hình học.
Với đề tài "Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 7" và tùy theo phương pháp tổ chức của mỗi giáo viên, tùy theo đối tượng học sinh, tôi hy vọng sẽ cung cấp ít nhiều niềm say mê yêu thích môn toán cho học sinh hiện nay.
Việc đưa ra một số bài toán đơn giản làm ví dụ cụ thể có nhiều cách giải và nếu tiếp tục suy nghĩ, chắc chắn chúng ta sẽ còn tìm thêm được nhiều cách giải khác .Rất mong sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp .
 Xin chân thành cảm ơn!
Tiên Dương, ngày 06 tháng 4 năm 2006
 Người viết
 Nguyễn Thị Thu Hà
Tài liệu tham khảo
1. Một số vấn đề phát triển Toán 7- Vũ Hữu Bình - NXBGD - 2004.
2. Toán nâng cao và phát triển toán 7 - Vũ Hữu Bình - NXB Giáo Dục 2003. 
3. Bồi dưỡng toán 7 - Đỗ Đức Thái NXB Giáo Dục 2003
4. Giúp em học giỏi hình học 7 - Nguyễn Đức Tấn, Võ Tẫn Lộc, Trần Chí Hiếu
 NXB Giáo dục 1996.
5. Th ực hành giải toán sơ cấp - Giáo trình CĐ Sư phạm Hà Nội 1997
6. Giải bài toán như thế nào - Gpolya - NXB Giáo dục - 1997.
7. Phương pháp dạy toán học ở trường PTTHCS - Hoàng Chúng -
 NXB Giáo dục - 2000.