Sáng kiến kinh nghiệm Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình đại số ở trường THCS

Chuyên đề :
 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
trong chương trình đại số ở trường THCS
A. đặt vấn đề
I/Cơ sở lý luận:
 Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong chương trình học và dạy toán ở trường THCS
 Các bài toán này rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo, vì vậy các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất gọi chung là “toán cự trị” thường xuyên xuất hiện trong SGK, sách nâng cao toán của các khối lớp.
II/Cơ sở thực tiễn:
Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi trong phân phối chương trình của môn toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho HS những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ.
III/Phạm vi đề tài:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong giảng dạy toán
ở trường trung học cơ sở
B.Giải quyết vấn đề
I/Những việc đã làm: 
1)Những phát hiện 
 “ Những bài toán về cực trị” theo tôi là một dạng toán rất hay, giúp HS phát triển trí thông minh sáng tạo, khả năng tư duy toán học cao trong suốt quá trình giảng dạy của mình, đúc rút kinh nghiệm, học hỏi anh chị em đồng nghiệp dạy toán và trực tiếp bồi dưỡng toán cho HS giỏi. Tôi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của tôi khi dạy cho HS phương pháp giải toán cực trị trong đaị số ở trường THCS.
 2) Hệ thống các biện pháp thực hiện: 
 a)Yêu cầu giáo viên và học sinh: 
 * Với GV:
-Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị
-Phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu phương pháp giải từng dạng hệ thống từ bài dễ đến bài khó
-Rèn luyện, nâng cao tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi, chọn lọc. Tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu
-Trong suốt quá trình Giảng dạy phải chú ý tìm ra những vướng mắc, sai sót của HS trong khi giải bài tập
 * Với HS:
-Hiểu được bản chất loại toán
-Nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán
-Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải ngắn gọn nhất 
 b.Nội dung cơ bản:
 * Khái niệm về loại toán cực trị: trong thực tế có rất nhiều bài toán yêu cầu ta đi tìm cái “Nhất” trong những mối quan hệ cho biết. Đó là việc tìm giá trị lớn nhất “Max” hay GTNN “Min” của 1 đại lượng và được gọi chung là toán cực trị mà ta đang tìm hiểu
 * Các bài toán thường gặp trong đại số:
GTLN-GTNN của biểu thức đại số 
Lý thuyết chung:
 * Nếu với mọi giá trị của biến thuộc miền xác định nào đó mà giá tị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng( nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k được gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
+ Như vậy để tìm GTNN của một biểu thức A ta cần:
Chứng minh rằng: A với k là hằng số 
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra 
+ Để tìm GTLN của một biểu thức A ta cần:
Chứng minh rằng A với k là hằng số
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra
 *Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc G TNN của biểu thức
 .Ta ký hiệu MinA là GTNN của A
 .Ta ký hiệu MaxA là GTLN của A
 .Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có 1 trong 2 giá trị trên
(Ví dụ xét biểu thức x2 ta thấy x2 0; x2 = 0 (x=0) vậy biểu thức x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0 biểu thức này không có giá trị lớn nhất)
 .Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là vấn đề không đơn giản. ở đây tôi xin đề cập tới một số dạng phổ biến trong chương trình toán THCS 
Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ
 2.1) Cực trị của hàm đa thức 1 biến
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
 A = 2(x+3)2 - 3 
 Giải
 Ta thấy (x+3)2 với 
 hay x=-3
 Vậy MinA = -3x=-3
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
 B = (x-1)2 + (x-5)2
 Giải
 Ta có: B = (x-1)2 + (x-5)2= x2-2x +1 + x2 - 10x +25 
 = 2x2 -12x + 26
 = 2(x2 - 6x +9) + 8
 = 2(x-3)2 + 8
 = 2(x-3)2 + 8 
 MinB = 8 
 Vậy MinB = 8
 Chú ý: ở bài này HS có thể mắc sai lầm khi làm bài như sau:
 Thấy: (x-1)2 (1)
 (2)
 ở đây kết luận MinB = 0 là sai vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2) 
Ví dụ 3: Tìm GTLN của: C = -x2 + 6x - 15
 Giải
 C = -x2 + 6x -15 
 = - (x2 -6x +15)
 = - (x2 - 6x +9 +6)
 = - 
 vì (x -3)2 
 khi x -3 =0 hay x = 3
 Vậy maxC = -6 khi x=3
Ví dụ 4: Tìm GTNN của D=(x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)
 Giải
 Cách 1:
 D = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = (x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3)
 = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 4 + 2)
 = (x2 - 5x + 4)2 + 2(x2 - 5x + 4) + 1 -1
 = ((x2 - 5x + 4) + 1)2 - 1
	 Dấu “=” xảy ra 
	 Vậy minD = -1
 Cách 2: 
 Đổi biến x2 - 5x + 4 = t để giải
Ví dụ 5: Tìm GTNN của M = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9
Giải
	M = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9 = (x4 - 6x3 +9x2) + (x2- 6x +9)
 = (x2 -3x)2 + (x -3)2 
 Dấu “=” xảy ra 
	Vậy Min M = 0 hay x = 3
Ví dụ 6: Tìm GTNN của N = x4 - 2x3 +3x2 - 2x +1 
Giải
	Ta có N = x4 - 2x3 +3x2 - 2x +1
 = (x2 - x +1)2
	 có x2 - x +1 = nên N đạt GTNN là:
	vậy: MinN =
 Qua các ví dụ trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc 2 
 	 P = ax2 + bx + c hoặc có thể đưa về tam thức bậc 2 đều có thể sử dụng hằng bất đẳng thức A2 0 hoặc - A2 
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Tìm GTLN của P nếu a < 0
+ Các dạng bài tập tương tự 
Tìm GTNN của biểu thức 
 A = 2x2 + 3x + 1
 B = x(x+1)(x+2)(x+3)
 C = x4 + 2x3 + 3x2 +2x +1
Tìm GTLN của biểu thức
 D = -5x2 - 4x +1
 E = -x4 - 4x2 - 8
2.2)Tìm cực trị của hàm đa thức nhiều biến:
Ví dụ 1: Tìm GTNN:
 A = 2x2 + y2 - 2xy - 2x +3
 A = x2 - 2xy + y2 + x2 - 2x +1 +2
 = (x -y)2 + (x-1)2 + 2 
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy min A = 2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = x2 + xy +y2 - 3x -3y
Giải:
 B = x2 + xy +y2 - 3x -3y
 = x2 - 2x +1 +y2 -2y +1 -x -y +xy - 2
 Đặt x-1 = a; y-1 = b 
 Dấu “=” xẩy ra 
 Vậy Min B =-3 
Ví dụ 3: Tìm GTLN của D = -x2 -y2 + xy + 2x +2y
Giải:
 D = -x2 -y2 + xy + 2x +2y
 = (-x2 + 2xy - y2) - (x2 - 4x + 4) - (y2 - 4y + 4) + 8
 = 8 - ( x-y)2 - (x-2)2 - (y-2)2 
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy MaxD = 4 
Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức
 M = xy(x-2)(y+6) +12x2-24x+3y2+18y+36
Giải:
 M =x(x-2)y(y+6)+12(x2-2x)+3(y2+6y+12)
 = (x2-2x +3) (y2 +6y+12)
 Ta thấy: x2 -2x+3 = (x2-2x+1) + 2 = (x-1)2+2
 y2 +6y+12 = (y2 +6y+9)+3=(y+3)2+3
	Dấu “=”xảy ra 
	Vậy min M = 6 
	Vậy với hàm đa thức nhiều biến ta có thể giải quyết như với hàm đa thức 1 biến về phương pháp. 
 2.3) Cực trị của hàm đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: 
Tìm GTNN của A = 
Giải
 Cách 1: 
 Trong khoảng x<1 
 Do x-24-2x>2
 Trong khoảng x>3A=x-1+x-3=2x-4
 Do x>3 2x>6 2x-4>2
 Vậy : 
 	A=x-1+x+3=2
 So sánh các giá trị của A trong 3 khoảng trên ta thấy:
 Min A = 2 
 Cách 2:
 Ta có A = 
 Vậy Min A= 2(x-1)(3-x) 
 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 B = (x-3)2 + 
Giải
 Ta thấy (x-3)2 và 
 Dấu “=” xảy ra x=3; y=2
 Vậy min
*Vậy với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối điển hình là hai ví dụ nêu trên ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất bằng cách: 
+ Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị tuyệt đối của hàm đạt được trong các khoảng để chọn lựa giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
+Dùng tính chất:cách này nhanh hơn 
+ Đưa về dạng thông thường, dựa vào tính chất x2 để lý luận 
các bài tập tương tự tìm GTNN của biểu thức:
P = +
Q = 
I = 
N = (3x-1)2 - 4 nên đặt đưa về tam thức bậc hai
 2.4) Cực trị của hàm căn thức: 
 Ví dụ 1: Tìm GTNN của hàm.
 y = miền xác định x 
Giải
 y = 
 y = 
 Vậy Min y = 2 tức x 
Ví dụ 2: Tìm GTNN của:
 y = x - miền xác định x 
Giải
 Ta có y = x - 
 y = 
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy Min y = 
Bài tập tương tự 
 Tìm GTNN của các biểu thức:
 G = 
 H = 
 2.5) Cực trị của hàm phân thức
 a.Phân thức có mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 
Giải
Ta có: A = = 
Ta thấy (x -2)2 
 (x -2)2 + 4 
Vậy Min A = 
Ví dụ 2:
Tìm GTLN của B = 
Giải
Ta có 
Thấy 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy max B = 3,5 
 b. Phân thức có mẫu dạng bình phương nhị thức 
Ví dụ 3: Tìm GTNN của C= 
Giải
 Ta có: C = =
 	 =1- 
 Đặt t = thì C trở thành C = 
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy min C = 
Qua các ví dụ trên cho thấy phương pháp chủ yếu ở đây là viết những phân thức đầu bài dưới dạng tổng của các biểu thức mà mỗi biểu thức trong đó đều có thể xác định ngay được GTNN hoặc GTLN dựa vào tính chất avới a, b cùng dấu (ví dụ 1, và ví dụ 2)
Phương pháp 2: Là biến đổi phân thức, đặt ẩn phụ để dẫn đến tam thức bậc 2 (đã biết cách làm phần cực trị hàm đa thức một biến)
Ví dụ 4 : Tìm GTNN và GTLN của: y=
 - Để tìm GTLN và GTNN của y ta có thể làm theo phương pháp của những ví dụ trên 
 - Trong trường hợp phân thức có mẫu là đa thức bậc 2 và tử không quá bậc 2 như ví dụ 4 ta có phương pháp xác định được GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có) đó là phương pháp tìm nmiền giá trị của hàm số như sau
 - Cho hàm số y = f (x) có miền xác định là D . Miền giá trị của hàm số là tập hợp những giá trị của y sao cho tồn tại x D để f (x )= y . Nói cách khác miền giá trị của hàm số là tập hợp những giá trị của y để phương trình f(x) =y có nghiệm 
 x D
Giải :
 y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi PT
 y0= có nghiệm
 có nghiệm
 + Nếu y0 = 0 thì x = (2)
 + Nếu y0 (1) có nghiệm 
 =-(y0 +1)(y0-4) 
 Vậy min y = -1; max y = 4
Ví dụ 5: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức 
 F=có giá trị lớn nhất? tìm giá trị đó
Giải:
 Có F = 
 F lớn nhất lớn nhất; xét x> 4 thì 
 + Xét x < 4 thì phân số có tử số và mẫu số đều dương, tử số không đổi nên có GTLN khi mẫu số nhỏ nhất số nguyên dương 4 - x nhỏ nhất khi 
 4 - x = 1 
 +Vậy với x = 3 thì max F = 11
Như vậy ở ví dụ trên ta áp dụng tính chất P = với A >0
Min P =; maxP =
Một số bài tập tương tự
 1)Tìm giá trị nhỏ nhất của A
 2)Tìm giá trị nhỏ nhất của B
 3)Tìm giá trị nhỏ nhất của C
 4)Tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số:
 y=
y =
u = x2 +y2 với x, y thoả mãn(x2 - y2 +1)2 + 4x2y2 -x2-y2 = 0
 *Dùng bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức bunhiacopxki để tìm cực trị :
Như vậy tìm GTLN hay GTNN của 1 biểu thức đại số thường xuất hiện ở 2 dạng đa thức hoặc phân thức. Có nhiều phương pháp để giải quyết với từng loại xuất hiện ở 2 dạng đó. Tuy nhiên còn một số phương pháp được sử dụng rất phổ biến khi GTLN hay GTNN của một biểu thức ta chưa nói đến đó là bất đẳng thức cosi và bất đẳng thức bunhiacopxki. Thường khi sử dụng các bất đẳng thức này việc tìm cực trị của biểu thức nhanh hơn, dễ dàng hơn. Sau đây tôi xin nêu ra một vài ví dụ áp dụng hai bất đẳng thức này:
Bất đẳng thức cosi
Cho n số không âm a1;a2;...an có đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 =...= an
Chú ý: Từ đó ta suy ra 2 mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng sau:
+ Nếu a1 + a2 +...+ an là hằng số a1 . a2 .... an max a1 = a2 =...= an
+ Nếu a1 . a2 .... an là hằng số a1 + a2 +...+ an mix a1 = a2 =...= an
Bất đẳng thức bunhiacopxki 
Cho n cặp số bất kì a1;a2;...an; b1;b2;...bn ta có đẳng thức
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 P = với x
 P = 
P đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất 
Do áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
 dấu “=” xảy ra 
Min P = 4
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của Q = 
 * x =0 thì Q =0 giá trị này không phải giá trị lớn nhất của Q vì x luôn có Q >0
 +Do x nên chia tử số và mẫu số cho x2 ta được
 Q = 
 +Dễ thấy x2 +(áp dụng bất đẳng thức cauchy)
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy Max Q = 
Ví dụ 3: cho x, y là các số thay đổi sao cho 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =(3-x) (4-y) (2x+3y)
Giải
Ta có A = (3-x) (4-y) (2x+3y) = 
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số không âm, ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy A max = 36 
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = (x2 -3x+1)(21+3x-x2)
Thấy (x2 -3x+1)+(21+3x-x2) =22 (không đổi) nên A lớn nhất khi 
	(x2 -3x+1) = (21+3x-x2)
vậy max A =11.11=121 
(Bài này dựa vào phần chú ý trên để giải)
Ví dụ 5: Cho xy + yz + xz = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
 (1)
lại có (2) áp dụng lầ 2 bất đẳng thức bunhiacopxki
Từ (1) và (2) 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy min P =
Ví dụ 6: Cho a, b > 0 cho trước và x, y > 0 thay đổi sao cho 
 Tìm x, y để : x + y đạt GTNN
Giải:
 áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
 x + y =
 Dấu “=” xảy ra hay 
 Nghĩa là x = và y= 
 Vậy Min(x+y) = ; y= 
 Bổ xung một số bài tập tương tự 
 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a. P = (x > 3)
b. Q= (x>-2)
 Bài 2: Cho một số dương a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A= (a+b)(
 Một số chú ý khi giải bài toán cực trị:
 ở ví dụ hai phần tìm cực trị của hàm đa thức bậc cao có thể học sinh sẽ mắc sai lầm như sau:
Ví dụ: Tìm GTNN của N = x4 - 2x3 +3x2 -2x +1 học sinh có thể nhận định
 N= (x2 – x + 1)2 điều này không thể xảy ra vì không có giá trị nào của x để N = 0 hoặc học sinh có thể lập luận:
 N = x2(x2 -2x +1) + 2x2 -2x +1
 = x2(x-1)2 + 2(x-)2 +
	Dễ thấy điều trên là sai vì x không đồng thời nhận 2 giá trị là 1 và được (cách giải đúng ở phần trên đã trình bày)
- Học sinh thường mắc sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức cauchy là không cần chú ý đến điều kiện có thể áp dụng bất đẳng thức cauchy...
Trên đây là kinh nghiệm của bản thân tôi khi dạy loại toán cực trị để bồi dưỡng học sinh giỏi trong chương trình đại số THCS 
Kinh nghiệm này đã được các anh chị em dạy toán trong tổ bàn bạc, rút kinh nghiệm, bổ xung và áp dụng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Kết quả hầu hết các em trong lớp bồi dưỡng đã nắm được phương pháp giải loại toán này (nhất là học sinh khối 8 và 9). HS có kỹ năng nhận dạng nhanh rồi áp dụng phương pháp giải một cách linh hoạt đạt kết quả tốt
Thụy Phong, ngày 10 tháng 11 năm 2007
 Người viết sáng kiến
 Hoàng Văn Hiền