Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị bằng phương pháp “phương trình bậc hai”

Phần 1
THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
Số phỏch do Phũng GD-ĐT ghi
	1. Tờn sỏng kiến: 
Tỡm cực trị bằng phương phỏp “ phương trỡnh bậc hai”
2. Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Giỏo dục bậc Trung học cơ sở 
3. Tỏc giả: 
Họ và tờn: Nguyễn Trọng Dũng 
Sinh ngày: 25 – 12- 1983
Trỡnh độ chuyờn mụn: Đại học sư phạm Toỏn 
Chức vụ, đơn vị cụng tỏc: Giỏo viờn trường THCS Thanh Thủy
Điện thoại: 0975578158
	4. Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: Học sinh khối lớp 7, 8, 9 Trường THCS Thanh Thủy.
	5. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: Năm học 2010 – 2011.	 
HỌ TấN TÁC GIẢ (Kí TấN)
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
PHẦN MỘT
THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
Số phỏch do Phũng GD&ĐT ghi
1. Tờn sỏng kiến:
Tỡm cực trị bằng phương phỏp “ phương trỡnh bậc hai”
2. Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: 
3. Tỏc giả:
4. Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: 
5. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến lần đầu:	 
HỌ TấN TÁC GIẢ (Kí TấN)
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
TểM TẮT SÁNG KIẾN
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở khối THCS. Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng cỏc kiến thức đú một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Có nghĩa đây thực sự là một bài toán khó.
Vì vậy chúng thường xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng như các kỳ thi học sinh giỏi.
Để phần nào giúp các em học sinh THCS, đặc biệt là các em học sinh lớp 9 trong giải Toỏn, tôi xây dựng chuyên đề:
 “Giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình bậc hai”.
 Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. Cụ thể là :
* Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị.
* Củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai.
Việc thể hiện các nội dung trên được trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đến khó. Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải.
PHẦN HAI
NỘI DUNG
Giới hạn của đề tài
	1.1. Về kiến thức
Để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có thể trình bày theo 1 trong các cách sau :
	Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số :
	* TXĐ ( K1 = Const )
 Dấu “ = “ Có thể thực hiện được a fmin = K1.
	* TXĐ ( K2 = Const )
 	Dấu “ = “ Có thể thực hiện được a fmax = K2.
	Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2
Gọi y0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt được TXĐ/ f(x) = y0 (I)
Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm TXĐ ta tìm được miền giá trị T của hàm số f(x) từ đó tìm thấy fmax, fmin (nếu có).
Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2, đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm được cực trị của những biểu thức đại số dạng như thế nào?
	1.2. Về đối tượng áp dụng
Đề tài này dùng để ôn tập, trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi sau khi đã học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Viét.
Đồng thời đề tài này có thể dụng làm tài liệu tham khảo cho các đồng chí giáo viên giảng dạy bộ môn toán.
2.Tỡnh hỡnh nghiờn cứu và cụng việc đó làm được
2.1 Tình hình nghiên cứu
Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 9 nhiều năm và qua tham khảo tài liệu tôi thấy :
Khi gặp bài toán tìm cực trị của hàm f(x) hầu hết các tài liệu ôn tập đều hướng dẫn làm theo phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số”. Đây là một phương pháp hay, dễ trình bày đối với học sinh, học sinh có thể giải thành thạo bài toán trong trường hợp f(x) là một hàm số bậc hai hoặc dạng phân thức đặc biệt. Tuy nhiên khi gặp dạng f(x) là một phân thức hoặc một biểu thức căn thì phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số” lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phương pháp suy luận.
	Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Dương năm 1996, đề 3 câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : 
Giải : Phương pháp “dùng bất đẳng thức đại số”
Để tìm Min A ta biến đổi: 
Để tìm maxA ta biến đổi:
maxA = 2 
Vậy Max A = 2 khi x = 1; Min A = khi x = - 2
Rõ ràng cách giải này ngắn gọn nhưng mang tính áp đặt. Học sinh có thể thắc mắc “dựa trên cơ sở suy luận nào mà tách được A như vậy” nếu đối với một biểu thức B khác thì tách như thế nào? Trường hợp biểu thức C có cực trị là một giá trị vô tỉ thì làm thế nào để tách được?
Một ví dụ khác :
Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Dương năm 1997 có bài 
Cho Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải : “ Dùng bất đẳng thức đại số”
Nhận thấy x- y và là các thành phần của bất đẳng thức Bunhiacopski
. áp dụng bđt trên ta có:
 maxA = . Dấu “ = “ xảy ra khi :
 hoặc 
	Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên.
Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách “dùng bất đẳng thức đại số” sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tương tự, kết quả số học sinh làm được là không đáng kể.
Để giải quyết được phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cực trị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh “phương pháp miền giá trị” cơ sở lý luận của phương pháp này là điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9.
	Tôi nghĩ rằng phương pháp tìm cực trị này cần được tổng kết và áp dụng vào giảng dạy, ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích :
Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị.
Củng cố khắc sâu cách giải phương trình bậc hai.
	Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý.
3. Phương pháp nghiên cứu
. Nghiên cứu tài liệu tham khảo
Trước khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phương pháp nào để tìm cực trị của hàm số? Phương pháp nào phù hợp với học sinh cấp THCS ? Từ các câu trả lời tìm được tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình bậc 2, tam thức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị. Qua các chuyên đề đó tôi nghiên cứu lời giải, phân tích các ưu điểm, hạn chế của từng phương pháp nhằm nắm vững phương pháp suy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng bài tập.
. Nghiên cứu phương pháp dạy đại số 9
Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệm của phương trình bậc 2, định lý vi ét, bất phương trình bậc nhất, giải phương trình bậc nhất...
Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bước kiến thức, kỹ năng tính toán.
Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhưng luôn đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh.
 3.3. Nghiên cứu đến nội dung đề tài
*Xây dựng lý thuyết.
*Hệ thống bài tập từ dễ đến khó.
*Hệ thống bài tập luyện giải.
Nội dung chuyên đề
4.1. Kiến thức cơ bản.
4.1.1.Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên miền D nào đó. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (Max) trên D nếu thoả mãn (M = const)
Khi đó Max f(x) = M tại x = x0 .
Tương tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn :
 (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x0 .
Như vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác định xem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu “=” xảy ra hay không?
4.1.2.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai .
Phương trình bậc hai : . Với 
Nếu < 0 : Phương trình vô nghiệm
Nếu = 0 : Phương trình có nghiệm kép 
Nếu > 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
4.1.3.Hệ thức Viét.
Nếu phương trình có 2 nghiệm là x1, x2 thì: 
S = ; P = 
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu 
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm 
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương 
4.1.4. Phương pháp phương trình bậc hai.
Cho hàm số f(x) xác định trên D.
Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) được làm như sau:
Gọi y0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y0 = f(x) có nghiệm trên D (I).
* Với f(x) là hàm bậc hai ta có thể dễ dàng tìm được điều kiện của y0 thoả mãn (I).
 + Nếu và dấu “=” có thể đạt được thì Max f(x) = M
 + Nếu và dấu “=” có thể đạt được thì Min f(x) = m.
Như vậy bản chất của phương pháp này chính là việc tìm điều kiện để một phương trình bậc hai có nghiệm (). Việc này đối với học sinh lớp 9 không phải là việc khó.
*Trường hợp f(x) không phải là hàm bậc hai, 
 + Nếu y0 = f(x) có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai với TXĐ là thì bài toán quy về việc tìm điều kiện của y0 để phương trình mới có nghiệm trên .
 + Nếu y0 = f(x) không thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai thì dùng phương pháp này không làm được.
4.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm min của f(x) = 
Giải:
ĐKXĐ: R
Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 
y0 = có nghiệm ( ẩn x) có nghiệm
 . Dấu “=” xảy ra khi 
* chú ý : Đa thức f(x) = 
Với a > 0 có Min
Với a < 0 có Max
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
Giải:
ĐKXĐ: R
Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 
 có nghiệm
 có nghiệm 
 Giải bpt này được 
Xét y0 = 2 suy ra x = 1
Xét y0 = 1/2 suy ra x = -2.
Vậy Max f(x) = 2 khi x = 1 ; Min f(x) = 1/2 khi x = - 2.
Chú ý : Nếu 1- y0 = 0 suy ra y0 = 1 thì phương trình đã cho cũng có nghiệm, nhưng 1/2 < y0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi.
Ví dụ 3: Tìm Max, Min của 
Giải: 
Dễ thấy ĐKXĐ : R
Đặt Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 
 (*) phải có nghiệm không âm. (I)
	(*) có 
	 ; Do đó điều kiện (I) xảy ra khi:
	Hoặc (1)
	Hoặc (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra để phương trình có nghiệm không âm thì 
+ Với y0 = 2 suy ra m = 2 hay 
+ Với y0 = 6 suy ra 
Vậy Min f(x) = 2 tại ; Max f(x) = 6 tại x = 0
Nhận xét:
Qua 3 ví dụ trên ta thấy cách giải này rất có hiệu quả trong việc tìm cực trị của hàm bậc hai, hàm phân thức dạng: hoặc 
bằng cách đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Tìm Max của 
Giải:
ĐKXĐ : . 
Đặt ; 
Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) / , tức là có nghiệm (u ; v) không âm (*) có nghiệm không âm.
(*) có nghiệm không âm 
. Vì nên . 
Với y0 = 4 thì v = 2 suy ra x = 2 ( thoả mãn)
Vậy Max f(x) = 4 với x = 2.
Chú ý: 
 ở ví dụ 4 ta cũng có thể tìm được Min của f(x) bằng cách tìm điều kiện để hệ (*) có nghiệm không âm và ta tìm được điều kiện của y0 là . 
Do đó Min f(x) = với x = 6 hoặc x = -2
Nhận xét:
	Với dạng bằng cách đặt ẩn phụ rồi xây dựng const để đưa về dạng quen biết đã biết cách giải.
Ví dụ 5: Cho Tìm Max
Giải:
Gọi y0 là một giá trị nào đó của . Khi đó phải có nghiệm.
Dễ thấy hệ đã cho tương đương với một trong hai hệ sau:
 (*) hoặc (**)
Xét (*) có: , ta trở về bài toán quen biết. Tìm được dấu “=” xảy ra khi 
Tương tự, xét (**) được dấu “=” xảy ra khi 
Kết hợp cả hai khả năng ta có: Max = tại hoặc 
Ví dụ 6: Tìm Max, Min của: , với x2 + y2 > 0
Giải:
TXĐ = 
ở ví dụ này ta có thể áp dụng phương pháp phương trình bậc hai qua một số phép biến đổi trunh gian.
Nếu y = 0 suy ra f(x; y) = 0
Nếu chia cả tử và mẫu của f(x; y) cho 4y2 ta được .
Đặt . Biểu thức đã cho có dạng . Như vậy từ việc tìm cực trị của một hàm số hai biến ta trở về dạng bài toán quen biết.
Gọi t0 là một giá trị nào đó của .
t0 = có nghiệm. Giải ra ta được vì nên ta có Max f(x; y) = tại 
và Min f(x; y) = tại 
	Nhận xét : ở một số dạng bài toán phải qua một phép biến đổi trung gian để có thể áp dụng được phương pháp đã học.
Ví dụ 7: Cho (*)
Tìm Max, Min của 
Giải :
TXĐ : Căn cứ vào đề bài, ta biến đổi biểu thức ở vế trái của (*) về dạng xuất hiện A. Ta có:
Hay A2 – 3A + 1 = - 4x2 . Giải ra ta được 
Với A = suy ra 
Với A = suy ra 
Vậy Max A = tại Min A = tại 
	Nhận xét: Qua các ví dụ 5; 6; 7 ta còn thấy rằng phương pháp phương trình bậc hai còn áp dụng với cả hàm số hai biến dạng phân thức, đa thức bậc hai với x; y. Ngoài ra phương pháp này có thể áp dụngduwowcj với hàm số dạng nào nữa? điều đó còn phụ thuộc vào khả năng vận dụng linh hoạt của người làm toán.
4.3. Một số bài tập luyện giải:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của 
	a/ 
	b/ 
	c/ 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức
	a/ 	b/ 
Bài 3: Cho , Tìm a, b để Max f(x) = 9; Min f(x) = -1.
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của m sao cho giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau cũng nguyên 
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : 
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = với x; y thoả mãn 
Bài 7: Xác định giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 1.
Đáp số, hướng dẫn
Bài 1: Đưa về ví dụ 1
	a/ Min f(x) = , tại x = 
	b/ Max f(x) = , tại x = 
	c/ Min f(x) = , tại x = 
Bài 2: Xem ví dụ 2; ví dụ 3
	a/ Max f(x) = 3 tại x = 1; Min f(x) = 1/3 tại x = - 1
	b/ Max f(x) = 3 tại x = 0; Min f(x) = 5/2 tại x = - 1; x = 1
Bài 3: Đưa về ví dụ 3 rồi kết hợp điều kiện Max f(x) = 9, Min f(x) = -1. Giải ra được a = 8, b =7 hoặc a = - 8, b = 7
Bài 4: Tương tự bài 3, giải ra được m = 8, m= - 8
Bài 5: Như ví dụ 4, tìm được Max f(x) = 4 với x = -1
Bài 6: Như ví dụ 5, giải ra được Max f(x, y) = với hoặc với 
 	 Bài 7: m = -9/8
5. Kết quả khảo sát
*Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9
*Thời gian khảo sát: Năm học : 2010 – 2011, 2011 – 2012, 2013 – 2014.
*Thời gian làm bài là 90 phút
Đề bài: 
Bài 1: (5đ)
Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của 
a/ 
b/ 
c/ 
Bài 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức
a/ 	b/ 
Bài 3: (2đ)
 Cho , Tìm a, b để Max f(x) = 9; Min f(x) = -1.
Nếu dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phương pháp “ Dùng bất đẳng thức” kết quả khảo sát như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
(9; 10)
Khá
(7; 8)
TB
(5; 6)
Yếu
(4; 5)
Kém
( < 4)
9 (10 – 11)
30
0
5
15
8
2
9 ( 11 – 12)
33
0
7
12
11
3
9 (12 –13)
34
0
5
16
10
3
Nếu dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phương pháp “ Phương trình bậc hai” kết quả khảo sát như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
(9; 10)
Khá
(7; 8)
TB
(5; 6)
Yếu
(4; 5)
Kém
( < 4)
9 (10 – 11)
30
4
15
10
1
0
9 ( 11 – 12)
33
7
15
11
0
0
9 (12 –13)
34
5
13
13
3
0
Nhận xét :
	Qua thực tế khảo sát tôi nhận thấy :
Khi giảng dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phương pháp “dùng bất đảng thức” học sinh thường làm tốt vị dụ 1, một số em có tính sáng tạo đã dùng pháp đặt ẩn phụ để đưa các Ví dụ 2, 3, 4, 5 về dạng hạm bậc hai như ví dụ 1, tuy nhiên số học sinh làm được điều này rất ít. Hầu hết các ví dụ từ 2 đến 7 học sinh đề bó tay.
Nhưng nếu giảng cho học sinh phương pháp tìm cực trị bằng “phương trình bậc 2” thì số học sinh làm được các ví dụ từ 1 đến 7 là rất nhiều có thể lên tới 60% hoặc nhiều hơn.
Do những kết quả trên tôi thấy nên trang bị cho học sinh lớp 9 phương pháp này và năm học 2013 – 2014 tụi vẫn đang ỏp dụng SKKN và thấy kết quả tốt, tuy nhiên điều này chỉ áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Nhằm giúp các em củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai đồng thời thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị.
6. Những điểm còn hạn chế
6.1.Những vấn đề hạn chế
6.1.1.Về kiến thức
	Giải bài toán cực trị đại số thường xuất hiện từ lớp 8, tuy nhiên tìm cực trị bằng phương pháp “phương trình bậc 2” chỉ áp dụng được cho học sinh lớp 9 sau khi đã học xong công thức nghiệm của phương trình bậc 2. Về mặt này phương pháp “dùng bất đẳng thức” tỏ ra chiếm ưu thế vì học sinh lớp 8 có thể sử dụng được.
6.1.2.Về đối tượng áp dụng
	Tìm cực trị bằng phương pháp “phương trình bậc 2” chỉ áp dụng dạy đối tượng học sinh khá giỏi, không áp dụng được cho đối tượng đại trà.
6.1.3.Về dạng bài tập
Như trong phần lý thuyết chúng tôi đã trình bày. Nếu phương trình y0 = f(x) không biến đổi được về dạng phương trình bật hai thì phương pháp này không giải quyết được.
6.2 Đề xuất hướng tiếp tục nghiên cứu
Ta đã biết bằng phương pháp “phương trình bậc hai” ta có thể tìm được min, max của các hàm số f(x) nếu phương trình y0 = f(x) có thể đưa được về dạng phương trình bậc hai 1 ẩn (ẩn khác y0). Để làm được điều đó thì f(x) phải có dạng như thế nào?
Ngoài các dạng ở ví dụ 1 đến 7 thì dạng nào khác của f(x) mà ta có thể áp dụng phương pháp này để tìm cực trị?
kết luận
Qua thực tế giảng dạy và kết quả thực nghiệm chúng tôi thấy nội dung chuyên đề có tác dụng tương đối tốt cho việc giải toán của học sinh nói riêng, việc học toán của học sinh nói chung.
Bên cạnh việc tháo gỡ một số khó khăn của học sinh trong quá trình giải toán nó còn có tác dụng khơi sâu kỹ năng giải một phương trình bậc hai, khả năng nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Điều này rất quan trọng đối với học sinh lớp 9.
Cũng qua chuyên đề này, chúng tôi cảm thấy tự tin hơn trong quá trình giảng dạy nó cũng thúc đẩy việc tự nghiên cứu, tìm tòi của giáo viên làm phong phú hơn nội dung và phương pháp giảng dạy.
Sau cùng, rất mong các bạn đồng nghiệp và các em học sinh phê bình, góp ý để nội dung chuyên đề đầy đủ, chặt chẽ hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 MỤC LỤC
Đề mục
Trang
 1. Túm tắt sỏng kiến kinh nghiệm 
PHẦN HAI
NỘI DUNG
 Giới hạn của đề tài
 2. Tỡnh hỡnh nghiờn cứu và cụng việc đó làm được
 3. Phương pháp nghiên cứu
Nội dung chuyên đề
Kết quả khảo sát
 6. Những điểm còn hạn chế
 KẾT LUẬN
3
4
4 - 6
6 – 7
7 – 15
15 - 1 7
17
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ 9 
(Nhà xuất bản giỏo dục-2011)
2. SÁCH BÀI TẬP ĐẠI SỐ 9.
(Nhà xuất bản giỏo dục-2011)
3. ễN TẬP ĐẠI SỐ LỚP 9.
(Nhà xuất bản giỏo dục-2009)
4. ễN TẬP THI VÀO LỚP 10 MễN TOÁN.
(Nhà xuất bản giỏo dục- 2011)
5. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ CÁC ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 9
	( Hoàng Ngọc Hưng – Nhà xuất bản giỏo dục 2007)
6. TOÁN NÂNG CAO VÀ CÁC CHUYấN ĐỀ ĐẠI SỐ 9 
 (Vũ Hữu Bỡnh –Nhà xuất bản giỏo dục- 2008)
7. ễN KIẾN THỨC LUYỆN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 9 
 ( Tụn Thõn – Nhà xuất bản giỏo dục -2007)