Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cách chứng minh môt bài toán Hình 8

h th­êng lµ nh÷ng chi tiÕt bËc cao h¬n gÇn h¬n víi c¸c gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n h¬n. Tuy nhiªn khi nghiªn cøu bµi to¸n gi¸o viªn còng cÇn l­u ý häc sinh kh«ng nªn nh×n nhËn ph©n ®Þnh ranh giíi qu¸ r¹ch rßi, bëi thùc ra cã thÓ c¸c chi tiÕt ®Æc biÖt ®ã kh«ng hoµn toµn lµ ch×a kho¸ ®Ó gi¶i bµi to¸n . Khi b¾t ®Çu nghiªn cøu bµi to¸n, gi¸o viªn cÇn h­íng dÉn cho häc sinh xem xÐt bµi to¸n trong c¸i toµn bé, kh«ng nªn ®Ó cho mét sè chi tiÕt thu hót lµm l¹c h­íng vµ lóc mµ chóng ta ch­a hoµn toµn mæ xÎ ®­îc b¶n chÊt cña vÊn ®Ò , ch­a n¾m ®­îc môc ®Ých ®Æt ra th× chóng ta nªn nh­êng quyÒn suy nghÜ cho tæng thÓ bµi to¸n, sau ®ã h·y xem c¸c chi tiÕt ®Æc biÖt trong mèi liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a gi¶ thiÕt bµi to¸n, kÕt luËn cña bµi to¸n, ®Þnh h­íng t­ duy gi¶i bµi to¸n ( nÕu cã) 
VÝ dô ¸p dông.
Bµi to¸n 3: 
Cho Tø gi¸c låi ABCD : Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm hai c¹nh AD vµ BC. Chøng minh r»ng : MN ≤ AB + CD ? ( Yªu cÇu ph©n tÝch dù ®o¸n) 
 2
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ?
Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh vÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt kÕt luËn.
GT
Tø gi¸c ABCD . MA = MD, NB = NC 
KL
C/m : MN ≤ AB + CD 
 2
E
A
B
N
I
M
P
D
C
F
H­íng dÉn 
Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh lµm theo c¸c b­íc sau.
- Lµm thÕ nµo ®Ó chøng minh ®­îc MN ≤ AB + CD ( yªu cÇu ph©n tÝch dù ®o¸n)
 2
- Gi¶ thiÕt bµi to¸n cho ®· sö dông ®Ó chøng minh trùc tiÕp yªu cÇu cña bµi to¸n ch­a ? ( yªu cÇu khai th¸c bµi to¸n.)
Víi bµi to¸n nµy gi¸o viªn nªn l­u ý häc sinh ph¶i bæ sung l¹i bµi to¸n b»ng c¸ch kÎ thªm ®­êng kÎ phô .
- L­u ý c¸c ®iÓm ®Æc biÑt cña bµi to¸n : Trong bµi to¸n nµy cã nh÷ng yÕu tè nµo ®Æc biÖt ? ( Yªu cÇu cÇn x¸c ®Þnh yÕu tè ®Æc biÖt).
DÔ dµng nhËn ra r»ng 2 ®iÓm M vµ N lµ c¸c yÕu tè ®Æc biÖt, bëi chóng cã liªn quan nhiÒu ®Õn yªu cÇu cña bµi to¸n .
XuÊt ph¸t tõ yªu cÇu bµi to¸n MN ≤ AB + CD . Khi M lµ trung ®iÓm hai 
 2
c¹nh AD vµ BC . Th× ta th¸y bÊt ®¼ng thøc nµy cã liªn quan tíi sù tån t¹i cña mét tam gi¸c cã ®é dµi 3 c¹nh lµ MN ; AB , CD . Ta ®Æt chóng vµo mèi liªn quan víi 
 2 2
 c¸c yÕu tè kh¸c cña bµi to¸n nh­ MA = MD vµ NB = NC.
Tíi ®©y nÕu nh­ häc sinh vÉn ch­a dùng ®­îc gi¸o viªn tiÕp tôc h­íng dÉn c¸ch t­ duy, suy luËn trong mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè .
NÕu nh­ MN ≤ AB + CD . Nh­ vËy sÏ cã mét ®iÓm P bÊt kú nµo ®ã sao cho MN≤ 
 2 
PN + PM, trong ®ã MP = 1 DC, NP= 1 AB.VËy ®iÓm P sÏ n»m ë ®©u?
 2 2
 Häc sinh dÔ nhËn ra nÕu MP = 1 CD th× MP ph¶i lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ABC 
 2 
NÕu NP = 1 AB. Th× NP ph¶i lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ ABC do ®ã ®iÓm P lµ 
 2
trung ®iÓm cña AC.
VËy lµ viÖc kÎ thªm ®­êng phô xuÊt ph¸t tõ c¸c yÕu tè ®Æc biÖt vµ xÐt c¸c yÕu tè ®Æc biÖt ®ã trong mèi liªn hÖ víi yªu cÇu cña bµi to¸n ,c¸c yÕu tè kh¸c cña bµi to¸n,häc sinh ®· bæ sung l¹i bµi to¸n dùa trªn nh÷ng t­ duy chÆt chÏ.Do ®ã sau khi kÏ xong ®­êng kÏ phô ,viÖc gi¶i bµi to¸n chØ cßn lµ viÖc s¾p xÕp l¹i c¸c c«ng ®o¹n cña qu¸ tr×nh suy luËn trªn b»ng c¸ch vËn dông c¸c kiÕn ®· häc cã liªn quan.
Häc sinh cã thÓ tr×nh bµy l¹i bµi to¸n nh­ sau:
Gä P lµ trung ®iÓm cña AC. Theo tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña ∆ ta cã : 
MP = 1 DC vµ NP = 1 AB.
 	2 2 
Do ®ã : MP + NP = 1/2 ( AB + CD ) . MÆt kh¸c trong ∆ NMP ta lu«n cã MN < PN + PM.
 V× vËy MN ≤ 1/2 (AB + CD ).
 	DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi 3 ®iÓm M,N,P th¼ng hµng. Nh­ng do MP // CD; PN //AB nªn AB //CD. V× vËy tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang.
Víi ®­êng lèi ®i nh­ trªn gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh khai th¸c chøng minh nhanh ®èi víi tr­êng hîp E lµ trung ®iÓm AB, F lµ trung ®iÓm CD. Râ rµng theo c¸ch vÏ ®­êng phô nh­ trªn häc sinh chøng minh mét c¸c dÔ dµng: EF ≤ (AB + CD ) / 2.
Bµi to¸n 4: Cho h×nh thang ABCD ( AD// BC, AD > BC ) cã c¸c ®­êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Trªn ®¸y AD lÊy ®iÓm M sao cho AM b»ng ®é dµi ®­êng trung b×nh cña h×nh thang. Chøng minh r»ng ∆ ACM c©n.
GT
ABCD cã AD // BC, AC ⊥ BD; EF = 1/2(AD+BC);
 MÎ AD; AM = EF
KL
 C/M D ACM c©n
B
C
I
E
F
D
N
A
M
§èi víi bµi to¸n nµy ,gi¸o viªn cÇn lµm râ cho häc sinh hiÓu r»ng muèn dùng ®­îc ®­êng kÏ phô cÇn xuÊt ph¸t tõ nh÷ng yÕu tè ®Æc biÖt, nh÷ng chi tiÕt ®Æc biÖt cña bµi to¸n vµ sau ®ã ph¶i ®Æt ®­îc chóng vµo trong mèi liªn hÖ gi÷a c¸c chi tiÕt kh¸c cña gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n. Gi¸o viªn gióp häc sinh dùa vµo mèi liªn hÖ ®ã ®Ó suy luËn vµ t×m ra c¸ch dùng cho bµi to¸n. TÊt nhiªn c«ng viÖc cña häc sinh ph¶i nghiªn cøu tØ mØ c¸c khÝa c¹nh cña bµi to¸n vµ viÖc lµm tiÕp theo lµ ph¶i ®i t×m nh÷ng kh¶ n¨ng gi¶i bµi to¸n theo h­íng ®· x¸c ®Þnh b»ng nh÷ng thãi quen suy luËn mét c¸ch khoa häc.
(Trong bµi to¸n nµy h­íng x¸c ®Þnh lµ chøng minh cho 2 c¹nh cña tam gi¸c AMC b»ng nhau v× gi¶ thiÕt cho liªn quan nhiÒu ®Õn ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh.)
H­íng dÉn : 
+ Tam gi¸c AMC c©n t¹i ®iÓm nµo? ( yªu cÇu ph¸n ®o¸n)
+ Muèn chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n ta chøng minh nh­ thÕ nµo ? ( ph­¬ng ph¸p chøng minh ).
§Ó chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n th× häc sinh dÔ dµng nghÜ ngay tíi viÖc chøng minh hai c¹nh bªn b»ng nhau hoÆc hai gãc kÒ mét c¹nh b»ng nhau.
+ Muèn chøng minh tam gi¸c AMC c©n ta chøng minh theo c¸ch nµo? H·y suy nghÜ chøng minh ( yªu cÇu kiÓm tra ph¸n ®o¸n ).
+ V¬Ý bµi to¸n nµy ta nªn dùng thªm ®­êng kÎ phô nµo ®Ó cã thÓ chøng minh 2 c¹nh MA = MC ? ( Bæ sung vµo t×m h­íng gi¶i quyÕt ).
+ Bµi to¸n cho cã yÕu tè hoÆc chi tiÕt nµo ®Æc biÖt liªn quan nhÊt ®Õn yªu cÇu cña bµi to¸n? ( yªu cÇu chØ ra chi tiÕt ®Æc biÖt vµ ®Æt vaß mèi liªn hÖ).
Gi¶ thiÕt ®· cho EF = 1/2 ( AD + BC), AM = EF .
Nh­ vËy môc ®Ých cña chóng ta chØ cßn lµ chøng minh cho CM=1/2 (AD+BC)
+ §Ó viÖc so s¸nh nµy trë nªn dÔ dµng ng­êi ta th­êng ®­a tæng ®é dµi 2 ®o¹n th¼ng vÒ b»ng ®é dµi cña mét ®o¹n th¼ng. H·y t×m c¸ch thùc hiÖn ®iÒu ®ã ? ( yªu cÇu suy luËn dùa vµo mèi liªn hÖ võa x¸c ®Þnh ) .
Häc sinh dÔ dµng x¸c ®Þnh trªn tia ®èi cña DA lÊy ®iÓm N sao cho DN = BC, ta cã h×nh b×nh hµnh BCND vµ AM = 1/2 ( AD + BC ) = 1/2 AN.
+ B©y giê chóng ta chØ cßn ph¶i chøng minh ®iÒu g× n÷a bµi to¸n sÏ ®­îc gi¶i quyÕt? ( yªu cÇu häc sinh sö dông kiÕn thøc ®· häc ®Ó chøng minh ®iÒu võa suy luËn).
Häc sinh dÔ dµng nhËn ra v× CM lµ trung tuyÕn do ®ã ph¶i chøng minh cho CM = 1 /2 AN . Suy ra ph¶i chøng minh cho tam gi¸c CAN vu«ng t¹i C.
+ Gi¶ thiÕt cho BD vu«ng gãc víi AC cã môc ®Ých g× ? ( NÕu häc sinh vÉn ch­a nhËn ra th× gi¸o viªn tiÕp tôc gîi më cho häc sinh ) .
Häc sinh cã thÓ tr×nh bµy l¹i bµi to¸n nh­ sau:
*Trªn tia ®èi cña DA lÊy ®iÓm N sao cho DN = BC suy ra tø gi¸c BCND lµ h×nh b×nh hµnh ( v× AD // BC nªn BC // DN ).
 Ta cã 	BD // CN 	Þ AC ⊥ CN hay D ACN lµ tam 
	BD ⊥ AC (gt)	gi¸c vu«ng t¹i C (1)
* MÆt kh¸c ta l¹i cã: EF lµ ®­êng trungb×nh cña h×nh thang ABCD nªn 
EF = 1/2(AD + BC) mµ AM = EF (gt) Þ AM = 1/2(AD+BC) = AN/2
Þ M lµ trung ®iÓm cña AN nªn CM lµ trung tuyÕn cña D ACN (2).
Tõ (1) vµ (2) ta cã CM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng ACM nªn:
 CM = 1/2 AN hay CM = AM
VËy D ACM c©n t¹i M.
	Sau khi h­íng dÉn häc sinh mét vµi bµi to¸n nh­ trªn, häc sinh sÏ h×nh thµnh c¸ch suy luËn mét c¸ch cã lý ®Ó kÎ thªm ®­êng kÎ phô cÇn thiÕt bæ sung thªm c¸c yÕu tè cã Ých cho viÖc gi¶i bµi to¸n vµ chÝ Ýt lµ c¸c em kh«ng ph¶i mµy mß mét c¸ch v« ®Þnh vµ nÕu nh­ viÖc suy luËn nh­ trªn ch­a gióp c¸c em thµnh c«ng trong mét vµi tr­êng hîp th× còng gióp c¸c em hiÓu s©u h¬n b¶n chÊt cña bµi to¸n. §Ó tõ ®ã t×m h­íng gi¶i quyÕt kh¸c.
3. Qu¸ tr×nh huy ®éng tri thøc cò:
T×m c¸ch gi¶i dùa trªn c¬ së “khoanh vïng kiÕn thøc” cÇn sö dông trong bµi to¸n, “c¸ch ly, liªn hîp” c¸c yÕu tè cña bµi to¸n vµ “håi t­ëng l¹i kiÕn thøc” ®· tÝch luü vËn dông vµo gi¶i to¸n.
Nh­ t«i ®· tr×nh bµy ë trªn, sù ph¸t triÓn trÝ tuÖ cña häc sinh kh«ng ph¶i ®¬n thuÇn lµ sù tÝch luü thËt nhiÒu tri thøc mµ vÊn ®Ò lµ viÖc chóng ta sö dông nh÷ng tri thøc tÝch luü ®ã nh­ thÕ nµo vµ ph¸t triÓn chóng nh­ thÕ nµo. §ã lµ ch­a nãi ®Õn viÖc ®ßi hái cao h¬n n÷a lµ chóng ta gi¶i quyÕt ®­îc nnh÷ng vÊn ®Ò hoµn toµn xa l¹ nh­ thÕ nµo? §iÒu nµy còng gièng nh­ nÕu chóng ta gi¶i ®­îc mét bµi to¸n nµo ®ã trong sè 100 bµi to¸n chóng ta ®· tõng gi¶i th× ®ã chØ lµ viÖc lµm b×nh th­êng cña qu¸ tr×nh nhí l¹i c¸c thao t¸c cò, ch­a thÓ hiÖn sù ph¸t triÓn trong t­ duy. Cßn nÕu nh­ chóng ta lµm ®­îc mét bµi to¸n thø 101 nµo ®ã kh«ng thuéc trong sè 100 bµi ®· gi¶i nh­ng nã cã d¹ng nh­ nh÷ng bµi ®· lµm hoÆc cã ph­¬ng ph¸p t­¬ng tù th× viÖc gi¶i ®­îc bµi to¸n ®ã ®· chøng tá sù ph¸t triÓn trong t­ duy cña chóng ta.
Do ®ã, t«i muèn nãi r»ng viÖc h­íng dÉn häc sinh “huy ®éng tri thøc cò” ®Ó t×m hiÓu hoÆc vËn dông cã chän läc ®Ó kh¸m ph¸ nh÷ng tri thøc míi lµ mét viÖc lµm rÊt quan träng. Tuy nhiªn, viÖc huy ®éng ph¶i thùc sù lµ qu¸ tr×nh håi t­ëng cã chän läc trong mèi liªn hÖ cña nh÷ng yÕu tè ®· biÕt víi nh÷ng yÕu tè ®ang nhËn biÕt. Muèn thùc hiÖn thµnh c«ng qu¸ tr×nh nµy, gi¸o viªn ph¶i h­íng dÉn häc sinh biÕt “ khoanh vïng kiÕn thøc” sau ®ã “c¸ch ly, liªn hîp” c¸c vïng kiÕn thøc ®ã kÕt hîp víi viÖc c¸ch ly, liªn hîp c¸c yÕu tè cña bµi to¸n ®Ó t×m ra h­íng gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch hîp lý, khoa häc.
T¹i sao ph¶i khoanh vïng tri thøc? Cã thÓ hiÓu mét c¸ch ®¬n gi¶n, mét bµi to¸n nãi chung hoÆc chøng minh mét bµi h×nh häc líp 8 nãi riªng gièng nh­ viÖc chóng ta t×m mét c¸i bót võa bÞ mÊt.NÕu chóng ta cø m·i suy nghÜ vµ t×m xem chóng ë chæ nµo th× cã thÓ sÏ mÊt thåi gian mµ ch­a ch¾c ch¾n ®· cã kÕt qu¶.Ng­îc l¹i nÕu chóng ta chÞu b×nh tÜnh ngåi l¹i vµ b¾t ®Çu khoanh nh÷ng vïng kh¶ nghi cã liªn quan nhiÒu ®Õn chøc n¨ng th­êng sö dông cña c¸i bót: bµn lµm viÖc , ng¨n kÐo,t¹i cuéc häp,....vµ t×m thËt kÜ trong nh÷ng ph¹p vi ®· x¸c ®Þnh ®ã cã thÓ sÏ t×m thÊy nhanh h¬n vµ dÔ dµng h¬n.
ViÖc khoanh vïng kiÕn thøc nh­ vËy gióp chóng ta cã ®Þnh h­íng ban ®Çu mét c¸ch râ rµng cho viÖc t×m ph­¬ng ¸n gi¶i quyÕt chø kh«ng ph¶i lµ t×m mét h­íng chung chung, mÆc dï nh÷ng ý ®å gi¶i to¸n cã thÓ lµ kh¸c nhau nh­ng ®Òu n»m trong vïng kiÕn thøc ®ã.
T¹i sao ph¶i c¸ch ly, liªn hîp c¸c yÕu tè cña bµi to¸n? Lóc nghiªn cøu mét chØnh thÓ phøc t¹p , cã thÓ chi tiÕt nµy hay chi tiÕt kia mµ ta c¶m thÊy cã lîi cho viÖc cho viÖc chøng minh sÏ thu hót sù chó ý cña chóng ta. Chóng ta sÏ tËp trung vµo chi tiÕt ®ã vµ t¸c chi tiÕt ®ã ra ( c¸ch ly chi tiÕt ®ã) tiÕp theo l¹i sÏ t¸ch c¸c chi tiÕt kh¸c . Cuèi cïng chóng ta nghiªn cøu vµ ®¸nh gi¸ l¹i mét c¸ch hîp lý vÞ trÝ c¸c chi tiÕt vµ ®Æt chóng trong mèi liªn hÖ chØnh thÓ liªn hîp cña ba× to¸n nh»m thóc ®Èy qu¸ tr×nh nhËn ®Þnh h­íng gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch ch¾c ch¾n.
TÊt c¶ nh÷ng viÖc lµm nµy kh«ng ngoµi môc ®Ých lµ t×m ra mét c¸ch gi¶i hîp lý nhÊt , nhanh nhÊt vµ chÆt chÏ nhÊt cho bµi to¸n. V× vËy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn ph¶i gióp häc sinh thÊy ®­îc tÇm quan träng cña “ ph­¬ng ph¸p” gi¶i to¸n, mét khi chóng ta ®· n¾m ®­îc c¸c d¹ng to¸n vµ ph­¬ng ph¸p chøng minh, chóng ta sÏ kh«ng ph¶i mµy mß ®Ó t×m kÕt qu¶ cña bµi to¸n n÷a mµ c«ng viÖc cßn l¹i cña chóng ta chØ lµ huy ®éng tri thøc ®· tÝch luü ®­îc vËn dông vµo chøng minh bµi to¸n ®ã. Ph©n tÝch bµi to¸n víi ph­¬ng ph¸p x¸c ®Þnh nh­ vËy sÏ gióp chóng ta thÊy ®­îc c¸c b­íc ®i liªn tiÕp quan träng vµ v¹ch ra ®­îc nh÷ng luËn cø cho nh÷ng bø¬c ®i ®ã.
VËy lµm thÕ nµo ®Ó x¸c ®Þnh ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n ? 
C¸ch thø nhÊt lµ thö tÊt c¶ c¸c ph­¬ng ph¸p ®· v¹ch ra ®èi víi bµi to¸n ®ã ( c¸ch nµy sÏ mÊt thêi gian ) 
C¸ch thø hai lµ sau khi ®· ph©n tÝch, ph¸n ®o¸n chóng ta khoanh vïng kiÕn thøc råi c¸ch ly, liªn hîp c¸c yÕu tè cña bµi to¸n ( gi¶ thiÐt, kÕt luËn) vµ lùa chän ph­¬ng ph¸p nµo gÇn víi nh÷ng yÕu tè ®ã. Bëi ®èi víi bÊt cø mét bµi to¸n nµo còng cã tÝnh hîp lý, tÝnh hîp lý nµy thÓ hiÖn sù ¨n khíp trªn mäi khÝa c¹nh gi÷a ph­¬ng ph¸p chøng minh víi c¸c yÕu tè cña bµi to¸n. Do ®ã khi cã sù ¨n khíp, hîp lý gi÷a c¸c yÕu tè cña bµi to¸n víi ph­¬ng ph¸p mµ ta ®· lùa chän th× viÖc chøng minh cña chóng ta cã thÓ sÏ thµnh c«ng.
ViÖc lùa chän ph­¬ng ph¸p thÝch hîp cho mét bµi to¸n gièng nh­ viÖc chän dông cô ®Ó chÆt mét c¸i c©y to. Cã 5 dông cô ®Ó chÆt c©y : Dao, r×u, bóa, c­a, xÎng. Chóng ta hiÓu r»ng kh«ng nªn chän xÎng ®Ó chÆt mét c¸i c©y to mµ phô thuéc vµo c¸i c©y to nªn ta chän c­a hoÆc r×u. C¸ch vÝ nµy ®Ó chóng ta dÔ dµng hiÓu ®­îc tÝnh hîp lý trong mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè cña bµi to¸n víi ph­¬ng ph¸p cÇn lùa chän. Tuy nhiªn ®èi víi mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc muèn viÖc lµm nµy trë nªn dÔ dµng häc sinh ph¶i n¾m thËt v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ thµnh th¹o c¸c thao t¸c chøng minh theo ph­¬ng ph¸p ®ã.
VÝ dô ¸p dông:
Bµi to¸n 5: Cho tam gi¸c ABC ( AB< AC ). KÎ ®­êng ph©n gi¸c AD. Qua trung ®iÓm E cña c¹nh BC, ta kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD, c¾t c¹nh AC ë F vµ c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i G. Chøng minh CF = BG.
GT
D ABC ( AB < AC), AD lµ ph©n gi¸c cña gãc BAC, 
EB = EC, EG// AD 
KL
C/m CF = BM 
G
A
F
B
C
E
D
H­íng dÉn :
+ Cã mÊy c¸ch chøng minh 2 ®o¹n th¼ng b»ng nhau mµ em ®· biÕt ? ( yªu cÇu khoanh vïng tri thøc ).
Yªu cÇu häc sinh nhí ®­îc ë líp 8 ®· häc : 
- G¾n vµo hai tam gi¸c sau ®ã chøng minh 2 tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
- Chøng minh 2 ®o¹n th¼ng ®ã cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thø 3.
- Chøng minh chóng cïng céng víi mét ®o¹n th¼ng thø 3 b»ng nhau.
- G¾n vµo tam gi¸c c©n, ®Òu.
-T Ø sè cña chóng b»ng 1... 
+ §èi víi bµi to¸n nµy chóng ta nªn sö dông c¸ch nµo ? ( yªu cÇu c¸ch ly, liªn hîp c¸c yÕu tè bµi to¸n ®Ó lùa chän ph­¬ng ph¸p thÝch hîp).
Ta nªn lùa chän ph­¬ng ph¸p chøng minh tØ sè cña chóng b»ng 1 bëi c¸c lý do sau : 
-Bµi to¸n cã chøa ®ùng néi dung : §o¹n th¼ng song song, nªn cã thÓ ¸p dông ®­îc ®Þnh lÝ Ta let ®Ó rót ra tØ sè, c¸c cÆp ®o¹n th¼ng tØ lÖ. 
-Bµi to¸n cã chi tiÕt E lµ trung ®iÓm nªn cã 2 ®o¹n th¼ng b»ng nhau.
-Bµi to¸n cã yÕu tè AD lµ ph©n gi¸c cã thÓ ¸p dông tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cho ta c¸c cÆp ®o¹n th¼ng tØ lÖ.
	+ lµm thÕ nµo ®Ó chøng minh CF/ BG = 1? ( yªu cÇu håi t­ëng l¹i tri thøc cò ) 
Häc sinh sÏ dùa vµo c¸c néi dung gi¶ thiÐt cho mµ gi¸o viªn ®· ph©n tÝch ë trªn ®Ó rót ra tØ sè. NÕu häc sinh ch­a rót ra ®­îc th× gi¸o viªn tiÕp tôc h­íng dÉn: 
+ EG// AD cho ta ®iÒu g× ? ( yªu cÇu c¸ch ly c¸c yÕu tè bµi to¸n vµ håi t­ëng l¹i tri thøc cò ).
	Häc sinh : V× EG// AD suy ra CF / CA = CE / CD ( 1) vµ BG / BA = BE / BD (2).
+ Tõ hai ®¼ng thøc nµy lµm thÕ nµo ®Ó xuÊt hiÖn tØ sè CF / BG ? 
	 Häc sinh: Chia (1) cho (2) cã ngay CF/ BG . AB/ AC = CE / BE . BD / CD.
+ E lµ trung ®iÓm BC cho ta ®iÒu g× ? AD lµ ph©n gi¸c cho ta ®iÒu g× ? .
(NÕu häc sinh ch­a t×m ra ®­îc kÕt qu¶, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh tiÕp tôc c¸ch ly c¸c yÕu tè cña bµi to¸n sau ®ã liªn hîp c¸c kÕt qu¶ thu ®­îc ).
Häc sinh : CE / BE = 1, AB/AC = BD /CD. VËy CF / BG . AB /AC = CE /BE . BD /CD = 1, 
hay CF = BG.
	Häc sinh cã thÓ tr×nh bµy bµi to¸n nh­ sau:
+ V× EG// AD ( gt) suy ra CF /CA = CE /CD (1) vµ BG / BA = BE / BD (2)
+ Chia (1) cho (2) ta cã : CF /BG . AB/ AC = CE /BE . BD /CD .
+ MÆt kh¸c E lµ trung ®iÓm cña BC (gt) nªn CE /BE = 1.
AD lµ ph©n gi¸c gãc BAC nªn theo tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ta cã : AB/AC = BD /CD. 
VËy CF / BG . AB/ AC = CE /BE . BD /CD suy ra CF /BG = 1 hay CF = BG ( ®pcm)
Tãm l¹i: Khi b¾t gÆp mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc c¸c häc sinh yªu cÇu ph¶i n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh d¹ng ®ã vµ lùa chän ph­¬ng ph¸p thÝch hîp cho bµi to¸n cÇn chøng minh . §Ó thùc hiÖn tèt viÖc lµm nµy c¸c em nªn khoanh vïng tri thøc cò, c¸ch ly , liªn hîp vµ håi t­ëng l¹i tri thøc ®· lÜnh héi ®Ó chøng minh theo ph­¬ng ph¸p ®· lùa chän.
Bµi to¸n 6: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i ®iÓm A, c¸c ®iÓm E,F,D lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh Ab,AC,BC. M,N,P,Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AF,AF,FD,DE.
Chøng minh r»ng tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
GT
D ABC , AB = AC , EA = EB , FA = FC, DB = DC
MA = ME, NA = NF, PD = PF, QD = QE.
KL
Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
A
N
M
E
F
Q
P
D
C
B
Theo ph­¬ng ph¸p gi¶i nh­ trªn häc sinh cã thÓ suy lËn nh­ :
* Khoanh vïng kiÕn thøc, t×m ph­¬ng ph¸p gi¶i : T×m ra ®­îc 4 c¸ch chøng minh h×nh ch÷ nhËt .
+ Tø gi¸c cã 3 gãc vu«ng.
+ H×nh thang c©n cã mét gãc vu«ng.
+ H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng.
+ H×nh b×nh hµnh cã 2 ®­êng chÐo b»ng nhau.
*C¸ch ly liªn hîp c¸c yÕu tè cña bµi to¸n, håi t­ëng l¹i kiÕn thøc ®Ó t×m mèi liªn hÖ víi c¸c ph­¬ng ph¸p, lùa chän ph­¬ng ph¸p thÝch hîp .
- T×m ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh lµ : H×nh b×nh hµnh cã mät gãc vu«ng.
* Huy ®éng kiÕn thøc cò ®Ó chøng minh 2 ®iÒu kiÖn .
	+ MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh.
	+ MNPQ cã mét gãc vu«ng.
* TiÕp tôc khoanh vïng kiÕn thøc, t×m ph­¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh. Cã 4 c¸ch chøng minh :
+ Hai cÆp c¹nh song song.
+ C¸c c¹nh ®èi ( hay gãc ®èi) b»ng nhau.
+ Mét cÆp c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau .
+ §­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng.
* ThiÕt lËp mèi liªn hÖ víi c¸c yÕu tè cña bµi to¸n ®Ó chän ph­¬ng ph¸p chøng minh lµ : Tø gi¸c cã mét cÆp c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh.
* Liªn hîp c¸c yÕu tè cña bµi to¸n chøng minh h×nh b×nh hµnh MNPQ cã 1 gãc vu«ng.
Lêi gi¶i cô thÓ.
Ta cã
MN lµ ®­êng trung b×nh cña DAEF nªn : MN // EF vµ MN = 1/2 EF .
PQ lµ ®­êng trung b×nh cña DDEF nen: PQ //EF vµ PQ = 1/ 2 EF.
Suy ra: MN // PQ vµ MN = PQ suy ra MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh (1) 
MÆt kh¸c : ED //AC , ED = 1/ 2 AC = AF ( v× : ED lµ ®­êng trung b×nh cña D ABC)
FD//AB , FD = 1/ 2 AB = AE ( V× : FD lµ ®­êng trung b×nh cña D ABC)
AB = AC ( gt) suy ra ED = FD = AE = AF suy ra AEDF lµ h×nh thoi suy ra AD ⊥ EF.
Mµ MN //EF , NP //AD suy ra MN ⊥ NP (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ( ®pcm)
4-Qu¸ tr×nh tæ chøc gi¶i.
X¾p xÕp l¹i c¸c thao t¸c suy luËn ®Ó tr×nh bµy l¹i c¸c bµi to¸n mét c¸ch chän vÑn, hoµn chØnh.
Sau khi häc sinh biÕt c¸ch suy luËn t×m ra h­íng gi¶i quyÕt bµi to¸n chøng minh h×nh häc líp 8, gi¸o viªn tæ chøc cho häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i cña bµi to¸n . Bëi trong qu¸ tr×nh suy luËn c¸c em ®· thùc hiÖn tæ hîp c¸c thao t¸c rÊt phøc t¹p, do ®ã viÖc tæ chøc cho c¸c em tr×nh bµy l¹i bµi to¸n kh«ng nh÷ng gióp c¸c em ®iÓm l¹i c¸c qu¸ tr×nh suy luËn võa thùc hiÖn mµ cßn kiÓm tra ®­îc tÝnh chÝnh x¸c cña c¸ch chøng minh , ®ång thêi bµi to¸n trë nªn s¸ng tá h¬n, dÔ hiÓu h¬n ... ®Ó cã thÓ tæ chøc gi¶i bµi to¸n mét c¸ch nhanh chãng gi¸o viªn gióp c¸c em thµnh th¹o c¸c qu¸ tr×nh nãi trªn ®Ó c¸c em cã thÓ tù suy nghÜ mét c¸ch ®éc lËp khi kh«ng cã sù h­íng dÉn cña gi¸o viªn .
D-Nh÷ng kÕt qu¶ ®¹t ®­îc sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi :
Sau khi gióp häc sinh h×nh thµnh thãi uquen suy luËn nh­ trªn , t«i nhËn thÊy ®a sè häc sinh líp 8 D ®· tiÕn bé râ rÖt trong qu¸ tr×nh chøng minh c¸c bµi to¸n h×nh häc líp 8. C¸c em ®· lµm ®­îc c¸c bµi to¸n chøng minh trong s¸ch gi¸o khoa, mét sè em tù ®éc lËp chøng minh c¸c bµi to¸n cña ch­¬ng tr×nh h×nh häc n©ng cao. C¸c em ®· cã biÓu hiÖn thÝch thó víi viÖc häc h×nh häc h¬n tr­íc.
Cô thÓ kÕt qu¶ t«i kh¶o s¸t sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nh­ sau:
SÜ sè líp
Giái
Kh¸
Trung b×nh
YÕu
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
36
1
2 %
15
42
20
56%
0
0
PhÇn III: KÕt luËn
Qua phÇn néi dung trªn mét lÇn n÷a t«i thÊy khi b¾t gÆp mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc, häc sinh cÇn l­u ý r»ng phaØ ph©n tÝch kü bµi to¸n, khoanh vïng tri thøc ®Ó håi t­ëng l¹i tri thøc vµ ®Òu quan träng lµ ph¶i lùa chän ®­îc ph­¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó gi¶ng d¹y to¸n ®ã. Sau ®ã huy ®éng toµn bé tri thøc cò ®· l×nh héi ®­îc ®Ó gi¶i bµi to¸n theo ph­¬ng ph¸p ®· lùa chän vµ cuèi cïng tæ chøc gi¶i bµi to¸n mét c¸ch chÆt chÏ, ng¾n gän, dÔ hiÓu. NÕu gi¸o viªn gióp häc sinh thµnh th¹o c¸c qu¸ tr×nh suy luËn cã lý nãi trªn, häc sinh sÏ kh«ng ph¶i mß mÉm hiÕu c¬ së khi b¾t gÆp mét bµi to¸n chøng minh n÷a mµ chØ Ýt c¸c em biÕt m×nh ph¶i lµm nh÷ng c«ng viÖc g× vµ biÕt c¸ch suy nghÜ nh­ thÕ nµo.
Th«ng qua ®ã còng rÌn luyÖn tÝnh tù lËp, tù nghiªn cøu cho häc sinh trong qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n. RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen lµm viÖc khoa häc vµ ®Ó lùa chän con ®­êng ®i ®óng ®¾n trong qu¸ tr×nh t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n còng nh­ trong cuéc sèng.
	Víi thêi gian gi¶ng d¹y ng¾n ngñi, nghiªn cøu ®Ò tµi trong thêi gian ch­a ®­îc dµi ( chØ tõ th¸ng 9 – 2004 ®Õn 03 – 2005) kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cßn Ýt ái nh­ng t«i m¹nh d¹n ®­a ra mét sè kinh nghiÖm nh­ trªn mong sù gãp ý ch©n thµnh cña ®ång c¸c thÇy c«./.
V¹n hµ, ngµy 15 th¸ng 3 n¨m 2005
 Ng­êi thùc hiÖn
 T« ThÞ T­