Sáng kiến kinh nghiệm Sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức

Phần mở đầu
Lý do chọn đề tài
 Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí quan trọng, học tập tốt bộ môn Toán là góp phần tích cực trong việc học tập tốt các bộ môn khoa học khác. Đồng thời, nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh. Trong những năm qua bản thân đã được dạy qua các lớp từ 6 đến 9. Bên cạnh đó, cũng tham gia dạy học tự chọn lớp 8. Nhận thấy rằng, ngay từ lớp 6 học sinh đã được học tập số nguyên đến lớp 8 được học kỹ về đa thức. Trên thực tế, có quá nhiều học sinh thấy rất khó khăn khi học tập về nội dung này. Vì lẽ đó, chúng tôi cố gắng phác hoạ lại sự tương tự giữa các số nguyên là cái đã biết với tập hợp các đa thức là nội dung mới được xây dựng khá hoàn chỉnh ờ phần Đại số lớp 8. Để từ đó giúp các em học tập hiệu quả hơn. 
Mục đích và phương pháp nghiên cứu
1. Mục đích: 
 Giúp người giáo viên có cái nhìn bao quát hơn chương trình Toán THCS mà tập trung là thấy được sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Để trong quá trình giảng dạy chúng ta khắc sâu từng phần cho học sinh. Để các em thấy được sự tương tự mà giải quyết vấn đề tiếp cận kiến thức mới bằng sự mở rộng kiến thức đã học trước đó. Mặt khác từ vấn đề này sẽ giúp cho học sinh thấy được sự tương tự trong học tập môn Hình học góp phần nâng cao năng lực học tập và niềm say mê học Toán.
 2. Phương pháp: So sánh, phân tích, kết hợp phân tích và tổng hợp, khái quát hoá. 
Giới hạn của đề tài
 Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi chỉ cố gắng thông qua một số ví dụ đơn giản, minh họa vai trò quan trọng của sự tương tự nói trên trong nghiên cứu về số học. Mà tập trung vào chương Đa thức ở đại số 8 trong quá trình dạy học tự chọn.
Kế hoạch thực hiện
 Từ 20 tháng 8 năm 2011 đến 25 tháng 8 năm 2011 nghiên cứu lựu chọn đề tài: “Sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức”
 Tháng 9 năm 2011 đăng ký đề tài với tổ chuyên môn, với trường.
 Tháng 10 năm 2011 đến tháng 12 năm 2011, viết bản thảo.
 Từ tháng 1 năm 2012 đến tháng 2 năm 2012, chỉnh sửa nội dung, kiểm nghiệm thực tế và hoàn chỉnh đề tài. 
Phần nội dung
Cơ sở lý luận
 Sự phát triển của Toán học gắn liền với sự phát triển phân môn số học, đây là bộ phận quan trọng tạo nên một bức tranh sinh động với nhiều điều thú vị và phục vụ tốt vào các lĩnh vực khoa học khác liên quan: nhất là góp phần quan trọng trong việc ứng dụng vào công nghệ thông tin. Đặc biệt trong thời gian gần đây, chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Nói cách khác, khi có giả thuyết nào đó chưa chứng minh được đối với số nguyên, người ta cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức. Điều đó, thường dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu là vì đối với đa thức, ta có phép tính đạo hàm, trong khi đó đạo hàm trên mọi số nguyên đều triệt tiêu. 
 Trước hết ta thấy rõ, giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức có nhiều tính chất rất giống nhau sau đây:
Các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn như nhau cho cả hai tập hợp. 
Ví dụ: (-3)+ 11; 25x2y- (-5x2y); 11xy+ (-xy);. 
Nếu đối với các số nguyên, ta có số nguyên tố, thì với các đa thức, ta có đa thức bất khả qui 
Ví dụ: 3; -7; 13; x+ 3; x2+ 1; 
 Định nghĩa: Đa thức bất khả qui là đa thức không thể phân tích thành tích của hai đa thức. 
Đối với các số nguyên, cũng như đối với hai đa thức, ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất. Hơn nữa, trong cả hai trường hợp, ước chung lớn nhất này tìm được bằng thuật toán Euclid.
“Thuật toán Euclid tìm Ưcln được nhắc lại như sau:
 Nếu giữa các số nguyên a, b, q, r có hệ thức a= b.q+ r, thì ta có (a, b)= (b, r)
a/ Cho a, b là các số nguyên dương. Nếu một trong hai số là ước của số kia, chẳng hạn b là ước của a thì ta có (a, b)= b.
b/ Nếu trường hợp trên không xảy ra và giả sử rằng a> b, thì ta thực hiện một dãy các phép chia sau đây, với a= r0, b= r1:
 r0= r1q0+ r2, 0< r2< r1
 r1= r2q1+ r3, 0< r3< r2
 r2= r3q2+ r4, 0< r4< r3
 ..
 rn-2= rn-1qn-1+ rn, 0<rn<rn-1
 rn-1= rnqn
Ta đã làm n phép chia. Trong các phép chia đó, ta có: 
r1 >r2 > .> rn-1> rn > rn+1= 0
Vì vậy, quá trình trên kết thúc với rn+1=0. Dãy phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán Euclid thực hiện trên hai số a, b. 
Ta có: (a, b)= (r0, r1)= (r1, r2)=..=(rn-1, rn)= rn
Vậy ƯCLN(a, b)= số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid thực hiện trên hai số đó”
Mỗi số nguyên có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố, mỗi đa thức có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả qui.
Ví dụ: 
 ;
Các số hữu tỉ tương ứng với các hàm hữu tỉ.
Ví dụ: ;
Giá trị tuyệt đối của một số nguyên tương tự như bậc của đa thức.
Ví dụ: 
 có bậc là 3
 Trong sự tương tự giữa phân tích bất khả qui và phân tích ra thừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tương ứng các ước nguyên tố của số nguyên.
 Do đó, số các nghiệm phân biệt của một đa thức có vai trò như số các ước của một số nguyên.
Cơ sở thực tiễn
 Từ thực tế đứng lớp giảng dạy trong nhiều năm cũng như qua việc trao đổi với đồng nghiệp ở tổ bộ môn. Hơn nữa, việc tiếp cận kiến thức mới của học sinh được tích lũy dần suốt 4 năm học tập 	bậc THCS.
 Số nguyên được học ngay từ lớp 6. Ngay những giờ đầu: làm quen với số nguyên âm thông qua một số ví dụ cụ thể, như là số tiền nợ, độ sâu của thềm lục địa so với mực nước biển, nhiệt độ, . Từ đó, giúp cho học sinh thấy rằng khi học về tập số tự nhiên nhiều vấn đề đặt ra như thế không thể giải quyết trọn vẹn được. Do đó, việc mở rộng tập số tự nhiên là vấn đề hết sức cần thiết hoàn toàn do tính khách quan từ thực tế cuộc sống. 
 Đa thức được trình bày khá đầy đủ lớp 7, học sinh được học khái niệm đa thức, biểu thức nguyên, biểu thức phân, giá trị của biểu thức đại số, bậc của đa thức và cộng trừ các đa thức nói chung và đa thức của một biến nói riêng. Ở đây học sinh được tiếp cận việc tìm nghiệm của đa thức một biến (làm cơ sở để giải phương trình sau này và thực tế là học sinh đã giải bài toán tìm x, y ở những lớp dưới). Đến lớp 8 đa thức được trình bày một cách hoàn chỉnh hơn: Việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức và nhiều phép toán về đa thức liên quan. Đến lớp 9 tìm nghiệm của đa thức bậc hai và một số vấn đề về đa thức bậc hai và ứng dụng của các đa thức đối xứng trong việc nghiên cứu sâu các vấn đề về đa thức bậc hai.
 Từ sự gắn kết chặt chẽ như thế, rõ ràng số nguyên và đa thức có nhiều sự tương đồng phụ thuộc nhau, không thể tách rời nhau, đồng thời số nguyên bổ sung rất nhiều cho đa thức. Tuy nhiên, có nhiều bài toán khó từ số nguyên phải được giải quyết trên đa thức. Chính sự lí thú này đã làm phong phú thêm bức tranh tổng thể toán học. 
 Chúng ta ngày ngày đứng trên bụt giảng do vậy, sự cần thiết phải hiểu rõ và phát họa một cách tổng thể sự tương tự từ tập hợp số nguyên và tập hợp đa thức để có phương pháp tốt trang bị kiến thức cơ bản cần thiết nhất giúp cho học sinh tiếp thu một cách bền vững góp phần khắc phục tình trạng học tập thụ động, hay tiếp thu nhưng chưa rõ vấn đề.
Thực trạng và những mâu thuẫn
 - Đề tài này được vận dụng trong toàn khối THCS, nội dung sát với những kiến thức chuẩn và có sự mở rộng cần thiết. Do đó, sự tiếp cận không quá khó đối với đại đa số học sinh. Có cả sự nâng cao đối với nhiều học sinh giỏi say mê Toán học
 - Người dạy có điều kiện tổng kết và kiểm nghiệm lại, vấn đề nào cần thiết trang bị cho học sinh vấn đề nào để học sinh khá giỏi tự mình xem xét vấn đề dù chỉ là ở khía cạnh nhỏ mang tính hệ thống lại hoặc chỉ là trình bày lại. Thấy được sự tương tự khi đã dạy tập hợp số nguyên sang tập hợp các đa thức.
 Đây là đề tài về chuyên môn, Toán học là lĩnh vực rộng và khó. Do vậy, chỉ đề cập một khía cạnh nhỏ về sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Đồng thời, phát triển thêm từ suy nghĩ trong quá trình giảng dạy.
 Đa phần học sinh là ham học. Tuy nhiên, trong tình hình hiện nay thái độ học tập của học sinh nói chung cũng như thái độ học tập môn Toán của một số học sinh, tính chuyên cần cũng còn những hạn chế nhất định, điển hình là các em ít đọc sách Toán trước ở nhà, tài liệu tham khảo rất ít chỉ tập trung vào sách giáo khoa là chính. Vì vậy, phần nào hiệu quả chưa cao đối với những đối tượng học sinh này.
Các biện pháp giải quyết vấn đề
 Như đã nêu trong phần I, ở đây chúng tôi xin trình bày một số điểm minh họa trong quá trình nghiên cứu cũng như giảng dạy liên quan đến tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Ta cần liên hệ một cách hệ thống như sau:
Sự tương tự
Số nguyên
Đa thức
1.a.Phép cộng
b. Phép trừ 
c. Phép nhân 
d. Phép chia
3+ 5= 8
(-3)+ (-5)= -8
(-3)+ 5 = 2
3+ (-5)= -2
a- b= a+ (-b)
(-11)- 3= (-11)+ (-3)
 = -14
6.4 = (-6).(-4)= 24
(-15).3= (-3).15= -45
66 : (-22)= -3
3xy+ 5xy= 8xy
(-3xy)+(- 5xy)= -8xy
(-3xy)+ 5xy= 2xy
3xy+ (-5xy)= -2xy
(-11x2y)- 3x2y=(-11x2y)+ (-3x2y)
 = -14 x2y
6xz.4xz= (-6xz).(-4xz)
 = 6.4xz.xz= 24x2z2
(-15y4).3y2= 15y4.(-3y2)
 =-15.3y4+ 2= -45y6
66x2y3 : (-22xy)= -3xy2
2. Số nguyên tố, đa thức bất khả qui
2; 3; 5; 7; 11; . là các số nguyên tố .
x, 2y+ 1, y2+ 3, x2- 3x+ 8,.. là các đa thức bất khả qui trên R (gồm đa thức bậc nhất; đa thức bậc hai vô nghiệm trên R)
3. ƯCLN
ƯCLN(56; 140)= 28
(bài 139a tr56 SGK T6, tập 1)
ƯCLN(36 ; 1)= 1
ƯCLN(7x2+14x+7; 3x2+3x)=(x+1)
(bài 12b tr40 SGK T8, tập 1)
ƯCLN(3x2+1; x- 5)= 1
4. Có thể phân tích số nguyên thành tích các thừa số nguyên tố, phân tích đa thức thành tích các đa thức bất khả qui.
Xét 225= 32.52
(bài 127a tr50 SGK T6, tập 1)
1000000= 106
P(x)= x3- 2x2+ x
 = x(x2- 2x- 1)
 = x(x-1)2
Cả x và (x-1) đều là đa thức bậc nhất bất khả qui
Q(x)= x4+ 4 vô nghiệm trên R nhưng lại khả qui trên R. Ta có:
Q(x)= x4+ 4x2+ 4- 4x2
= (x2+ 2)2- (2x)2
=(x2+ 2x+ 2)(x2- 2x+ 2)
= f(x).g(x)
Cả f(x), g(x) có 
 f(x), g(x) bất khả qui trên R
an+ an-1b+an-2b2+ .
a2bn- 2+abn- 1+bn =(a+ b)n
5. Số hữu tỉ, hàm hữu tỉ (hay phân thức hữu tỉ)
viết dạng tổng quát 
, trong đó:
P(x), Q(x) là các đa thức một biến
6. Giá trị tuyệt đối, bậc
Mở rộng :
Cho 
(?2c §4 tr13 SGK T7, tập 1)
Cho P(x)= 15- 2x, trong các số sau, số nào là bậc của đa thức:
3 5 1
(bài 43c, tr43 SGK T7 tập 2)
Bậc của đa thức -8 là 0 ;
Số 0 là đa thức không có bậc.
Hiệu quả ứng dụng
 Sáng kiến đã toát lên bức tranh tổng thể về sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Thấy được sự mắc xích chặt chẽ thông qua các phép tính cụ thể tương tự. Được vận dụng rất nhiều ở từng bài giảng. Do đó, đã đạt được nhiều kết quả tạo niềm tin rất lớn đối với các em, một cách học mang tính tư duy suy luận và trải nghiệm thể hiện như sau:
 Học sinh rất linh hoạt trong sự liên hệ việc cộng, trừ, nhân số nguyên sang cộng, trừ, nhân đa thức (Lớp 8).
Học sinh nắm việc giải phương trình bậc cao phải qui về giải phương trình tích (gồm tích các đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai).
Các qui tắc tính toán trên tập số được hệ thống lại chặt chẽ hình thành mạch tư duy cao, đảm bảo tính hệ thống và kế thừa, các em học sinh nhận thấy được về sự tương tự khi tìm hiểu bài và nhỡ lại một chuỗi kiến thức suy nghĩ và tìm ra cách giải quyết bài toán.
Hầu hết bài làm đạt yêu cầu tốt. Tính chặt chẽ và linh hoạt được thể hiện rõ qua bài kiểm tra đánh giá. Tuy nhiên, đây đó vẫn còn một vài học sinh nắm bắt còn chậm. Trình bày thiếu mạch lạc, rời rạc chưa rõ vấn đề.
 Nhiều học sinh khá giỏi thích tìm tòi, trao đổi với giáo viên. Đặc biệt, việc tìm nghiệm đa thức ở lớp 7 và việc giải phương trình bậc cao một ẩn, phương trình đưa được về dạng tổng các bình phương bằng 0, Từ đó, góp phần đáng kể vào thành tích vượt khó trong học tập. Vì vậy đã kích thích tính tò mò học tập đã phát huy được tính chủ động tích cực học tập.
 Chính sự tương tự này đã giúp cho học sinh giải quyết nhiều bài toán phức tạp có liên quan đến đa thức. Chẳng hạn: 
 Bài 1. Cho ba số a, b, c khác 0 và . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc vào 
 Bài 2: Cho a, b, c không đồng thời bằng 0 và . Rút gọn biểu thức 
 Gợi ý: Bài 1. 
Từ giả thiết 
Ta xét: 
Tương tự: ; 
Do đó, 
Bài 2. 
Ta xét 
Vì nên 
Từ giả thiết 
Do đó: 
Tương tự: 
Vậy (do )
Kết luận
Ý nghĩa của đề tài đối với công tác
 Đề tài là một sự phát triển thêm về mặt lí luận và đã kiểm nghiệm trong thực tiễn công tác, tính tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp của đa thức đã được xem xét nghiên cứu rất nhiều ở những góc độ khác nhau. Nhưng chung qui lại sự nối tiếp ấy xuất phát từ thực tế khách quan. Cái cần là ở chỗ chúng ta tiếp cận như thế nào để hướng dẫn học sinh học tập có chất lượng. Vì vậy, chúng tôi đã phác hoạ khá rõ tính tương tự để làm sinh động thêm bài giảng của mình mỗi khi lên lớp dạy học Tự chọn phần đa thức phân môn Đại số 8 (ở những bài toán liên quan liên quan). 
 Qua những năm công tác cũng như việc tìm đọc trong sách báo, bản thân luôn trăn trở cho mình là cố gắng tập dần thói quen nghiên cứu, tìm tòi để làm sao cùng với các anh, chị đồng nghiệp có thêm những ý nghĩ tốt, bày dạy hay để góp công sức của mình trong việc giáo dục thế hệ trẻ hôm nay. Thế hệ với nhiều khát vọng và hoài bảo và cũng không kém phần lo âu. Qua đó, để cho học sinh thấy rằng cần phải có động cơ học tập đúng đắn. Để xứng đáng là những đứa con ngoan, trò giỏi góp phần xây dựng bản lĩnh con người Việt Nam trong thời đại mới.
 Nhân dịp xem xét tính khả thi của đề tài này, về chuyên môn chúng tôi mong nhận được sự chia sẻ của quí đồng nghiệp của tổ trưởng bộ môn. Nhằm giúp đề tài được vận dụng tốt hơn. Về phần bản thân cảm ơn lãnh đạo nhà trường, quí thầy cô giáo đã động viên, góp ý trong quá trình thực hiện xong sáng kiến này. 
Khả năng áp dụng
 Đề tài áp dụng rất nhiều trong hệ thống các bài tập liên quan đến tập hợp các số nguyên và bài tập có liên quan đến đa thức lớp 8. Đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi theo cấu trúc mới đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- 2012 của Sở Giáo dục và đào tạo Đồng Tháp “Câu 2: Biểu thức đại số, phép nhân chia đa thức, phân thức đại số”.
 Đề tài này là sự mở rộng có lựa chọn theo hướng phù hợp với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nâng cao năng lực học tập môn Toán, góp phần đáng kể trong công tác tạo nguồn học sinh giỏi tham gia dự thi học sinh giỏi cấp Thị lớp 9 hằng năm. Một minh chứng sinh động cho thấy số học sinh đạt được qua các năm là khá tốt, số liệu được thống kê như sau:
TT
Năm học
Số HSG cấp thị
Giải
1
2009- 2010
1
Khuyến khích
2
2010- 2011
4
Nhì, Ba, 2 KK
3
2011- 2012
4
Nhì, Ba, 2 KK
Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển
 Để giảng dạy ngày càng đạt hiệu quả, nắm được dụng ý của Sách giáo khoa, làm cho học sinh nắm chắc kiến thức từng phần. Sự cần thiết là phải có sự đầu tư sâu về chuyên môn. Tức là phải nghiên cứu xem xét vấn đề ở mọi khía cạnh khác nhau. Từ bài toán cụ thể có thể chuyển thành bài toán tổng quát hoặc thêm bớt điều kiện. Hay từ bài toán tổng quát ta lại đặc biệt hóa để tìm cách giải quyết. Nhẫm nghiệm là một bài toán điển hình để tiến hành chia đa thức đưa phương trình bậc cao về bậc thấp hơn. 
 Do vậy, sự tìm tòi và sáng tạo sẽ giúp cho bản thân có thêm kiến thức tổng quát góp phần nâng cao chất lượng của từng tiết dạy giúp học sinh hứng thú học tập. Đây cũng là xu hướng chung của việc dạy và học tích cực hiện nay.
Đề xuất, kiến nghị
 Như đã nói ở trên Toán học là một lĩnh vực rất rộng, kiến thức rất sâu. Để có thêm nhiều ý tưởng mới về phía tổ chuyên môn cần tập trung khai thác một số nội dung cụ thể như việc giải phương trình tìm nghiệm nguyên hay các bài toán hình học tìm số đo của các cạnh là số nguyên thoả mãn điều kiện cho trước. 
 Trong điều kiện có thể sớm thành lập câu lạc bộ học sinh yêu Toán để thầy và trò cùng làm việc. Góp phần cùng nhà trường phát động phong trào vui để học, tạo sân chơi lành mạnh bổ ích đối với các em. 
 Nhân dịp viết xong đề tài chúng tôi nhận được sự động viên và giúp đỡ nhiệt tình của đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy cũng như lúc dự giờ, họp tổ, nhiều ý kiến bổ ích đã giúp bản thân tự tin hơn để mở rộng và phát triển ý tưởng khi viết bổ sung để làm phong phú nội dung sáng kiến này. 
Sa Đéc, ngày 25 tháng 2 năm 2012
 Người viết
 Phan Văn Tâm
Tài liệu tham khảo
 [1]. Giáo trình Đại số và số học của Ngô Thúc Lanh. NXB ĐHSP. 
 [2]. Giáo trình Số học của Nguyễn Thành Quang năm 2003. ĐH Vinh.
 [3]. Giáo trình Vành đa thức của Thanh Hà- Đại Học Huế .
 [4]. Sách giáo viên Toán THCS. NXB GD Việt Nam.
 [5]. 500 bài toán chọn lọc của Ngô Long Hậu năm 2008. NXB ĐHSP.