Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh Hình học khối 8, 9

(c – g – c )
=> CF = AD và chứng minh được CF // AD.
Mà D Î AB => BD // CF; BD = CF 
=> DF // BC; DF = BC
Từ đó suy ra: DE // BC; 
Cách 2: 
Phân tích tìm lời giải: 
Củng với yêu cầu trên ta có thể khai thác theo khía cạnh làm giảm. ( Định lý 1 đã học trước)
Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng DE được không ?
Ta có thể đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng DE được không ? ( Kẻ EF//AB; xác định điểm trung gian F )
Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì? ( DE // BF; DE = BF)
Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh bằng nhau)
Cm: ADE = EFC.
Lời giải: 
Kẻ EF//AB (F Î BC) 
Ta cm: ADE = EFC => EF = AD = BD; DE = FC (1)
Do đó EF // BD; EF = BD =>DE // BF; DE = BF (2)
Từ (1)&(2) => DE // BC; DE = 1/2BC
Bài tập 2.2: Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF.
Phân tích tìm lời giải: 
Với yêu cầu như vậy ta có hai hướng giải quyết
Thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi.
Thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.
Cách thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi.
Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ ở đây là điểm N)
Khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF. ( sử dụng đoạn thẳng trung gian ở đây là BN)
Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).
Hình bình hành ABCN và chứng minh được cặp tam giác bằng nhau. DBDF = DCNB (c.g.c) 
Từ đó sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF.
Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N. 
Tứ giác ABNC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )
Từ đó suy ra NC = AB và . 
Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và 
nên BD = NC và .
Hai DBDF = DCNB (c – g – c)
Vậy DF = BN hay DF = 2BM 
*Cách thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.
GV: Đoạn thẳng nào bằng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình của DBDF)
GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian là đoạn thẳng HK)
Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều gì ? (DF = BM hay HK = BM)
Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều gì ? 
( DBHK = DPMB ) (yếu tố phụ ở đây là điểm P)
Lời giải: Gọi H là trung điểm BD; K là trung điểm BF.
=> HK là đường trung bình DBDF => HK = DF/2 (1)
Chứng minh: DBHK = DPMB ( c – g – c)
= > BM = HK (2)
Từ (1) & (2) => DF = 2BM 
Bài tập 2.3: Cho ABC, các đường cao BD (DÎAC), CE (EÎAB). CMR: B,C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải làm gì? ( Tìm tâm đường tròn và bán kính)
H: Điểm nào có thể cách đều các điểm đó. ( GV gợi ý: điểm nào cách đều B và C )
Xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OE. ( O là trung điểm của BC )
GV: Hãy xác định các đoạn thẳng bằng nhau? ( )
Lời giải: 
Gọi O là trung điểm BC.
DBDC vuông tại D, OB = OC => (1)
DBEC vuông tại E, OB = OC => (2)
Từ (1) & (2) => => B,C, D, E cùng thuộc đường tròn (O;).
Bài tập 2.4: Cho tứ giác ABCD, có . CMR: A, B,C, D cùng thuộc một đường tròn.
Tương tự bài tập 2.3 ta xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OB. ( O là trung điểm của AC)
Dạng 3: Chứng minh các các góc bằng nhau. ( Hai đại lượng bằng nhau)
Bài tập 3.1 
Bài tập 28/79 sgkToán 9: 
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tai A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì?
x
Sử dụng các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song?
()
H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?
( =sđ ; =sđ)
H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? 
( Yếu tố trung gian ở đây là: ; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng AB)
Lời giải: Nối AB
Xét (O) ta có: 
= = sđ (1) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung PB)
Xét (O’) ta có: 
= = sđ(2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung AB)
Từ (1) & (2) => => AQ //Px ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Bài tập 3.2
Bài tập 27/79 sgk Toán 9: 
Cho hai đường tròn (O) đường kính A B. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). 
Chứng minh: 
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh: ta cần chứng minh điều gì ?
H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?
(=? =sđ)
H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? 
( Yếu tố trung gian ở đây là: ; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng OP)
Lời giải: 
DOAP cân (OA = OP; bán kính) => (1)
Xét (O) ta có: 
=sđ(2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung PB)
Từ (1) & (2) => 
Dạng 4: Chứng minh hai góc bằng nhau ( Góc này gấp đôi góc kia)
Bài tập 4.1:
Bài tập 16/76 Sbt Toán 9
Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt CD tại S. 
Chứng minh rằng: 
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh: ta cần chứng minh điều gì ?
H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu? ( Bài này chỉ sử dụng góc nội tiếp và góc ở tâm)
=? ( )
H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? 
( Yếu tố trung gian ở đây là: )
Lời giải: 
Xét (O) ta có: =	( hệ quả góc nội tiếp)
= 	(cùng phụ )
=>
Dạng 5: Quan hệ giữa các góc trong hình học (Sử dụng góc ngoài tam giác)
Bài tập 5.1 Cho D ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh = - .
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh: = - ta cần xét khái niệm các góc trên? 
H: Vậy có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào? 
GV hướng dẫn kẻ phụ đoạn thẳng OI ^ AC (I ÎAC)
Từ yêu cầu bài toán ta có: =+ ta cần chứng minh điều gì? ()
Mà ( sử dụng yếu tố trung gian là)
Cách giải 1: 
Lời giải:
Ta có: = 
(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
= (cùng bằng sđ)
Trong DOAM thì: = + (Góc ngoài tam giác) 
Hay 
Vậy: (Đpcm)
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh: = - ta cần xét khái niệm các góc trên? 
H: Vậy có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào? ( )
GV hướng dẫn kẻ phụ tia tiếp tuyến AD (D ÎBC)
Từ yêu cầu bài toán ta có: =+ ta cần chứng minh điều gì? ()
Mà =? ( sử dụng yếu tố trung gian là)
Cách giải 2: 
Lời giải:
Ta có: (1) (Cùng chắn)
 (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) 
Ta được: 
Mà (góc ngoài tam giác)
Þ 	
	Vậy: (Đpcm)
Dạng 6: Chứng minh dựa vào quan hệ đại lượng trung gian.
Bài tập 6.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh OA vuông góc EF.
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh OA ^ EF ta cần chứng minh điều gì? 
H: Đoạn thẳng OA có thể vuông góc với đoạn thẳng nào? ( GV hướng dẫn kẻ phụ thêm tia tiếp tuyến Ax ) 
H: Như vậy ta cần chứng minh điều gì? ( EF // Ax; )
H: Hai góc như thế nào? Sử dụng phương pháp nào? ( Sử dụng yếu tố trung gian )
Lời giải: 
Kẻ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)
Xét (O) có: (cùng chắn cung AB)
Xét đường tròn đường kính BC có: (cùng bù với )
=> => Ax // EF ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Mà OA ^ Ax ( Ax là tiếp tuyến của (O)
Suy ra : OA ^ EF.
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh OA ^ EF ta cần chứng minh điều gì? 
GV hướng dẫn học sinh tính tổng số đo: 
H: Góc nào có thể bằng 900 ? ( GV hướng dẫn kẻ thêm đường kính AD, nối BD) 
H: Quan hệ các góc cần tính với các góc có trong hình? ( Sử dụng yếu tố trung gian là )
Lời giải: 
Kẻ đường kính AD của đường tròn (O)
Xét đường tròn (O) có: (cùng chắn cung AB)
Xét đường tròn đường kính BC có: (cùng bù với )
=> 
Xét đường tròn (O) có: ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> 
Suy ra : OA ^ EF.
Như vậy ta có thể khai thác bài toán trên theo một cách khác.
Bài tập 6.2 Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao BF, CE ( FÎAC; EÎAB). Chứng minh OA vuông góc EF.
	Bài tập này chúng ta giải quyết tương tự như trên
Bài tập 6.3 
Bài 4/ Đề thi học sinh giỏi Toán 8 (2008 – 2009)
Cho hình vuông ABCD. M là trung điểm AD. BM cắt đường chéo AC tại H. Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt đường chéo BD tại N. 
	a/ Chứng minh HN ^ CD
	b/ Tính tỉ số: 
Phân tích tìm lời giải: 
	Ở đây ta chỉ xét câu a
H: Để chứng minh HN ^ DC ta cần chứng minh điều gì? 
H: Quan hệ các đường thẳng ta xét như thế nào? ( DC // AB)
H: Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh điều gì? ( Sử dụng yếu tố trung gian là AB )
H: Nhận định gì về điểm H trong tam giác ABN ( H là trực tâm)
Lời giải: 
	Ta chứng minh H là trực tâm tam giác ABN
	=> NH ^ AB
	Mà AB // CD
	Suy ra : HN ^ CD.
Dạng 7: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào hai tỉ lệ cùng mẫu hay mẫu bằng nhau
Bài tập 7.1: Cho hình thang ABCD ( AB// CD). Gọi O là giao điểm AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song AB, cắt AD tại M, cắt AC tại N. CMR: OM = ON
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta cần phải chứng minh điều gì ?
GV gợi ý: 	
Lời giải:
Xét DADC có OM //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có: (1)
Xét DBDC có ON //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có: (2)
Mà AB//CD, theo định lý Talet ta có: (3)
Từ (1); (2) & (3) => => OM = ON ( Đpcm)
Bài tập 7.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho . Hạ AH ^ Oy, BK ^ Ox ( H Î Oy, K Î Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh: 
b/ HQ = HK 
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để chứng minh HQ = HK ta cần chứng minh điều gì? 
Lời giải: 
Ta có Ot là phân giác và OC ^ Ot nên OC là phân giác => OQ là phân giác 
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác OHK ta có: 	(1)
Lại có DOHA ~ DOKB (g – g) nên : 	(2)
Từ (1) & (2) => nên suy ra H là trung điểm QK hay HQ = HK
Dạng 8: Chứng minh hai tỉ lệ bằng nhau dựa vào tỉ lệ trung gian
Bài tâp 8.1: Cho ABC, kẻ các đường phân giác trong tại A cắt BC tại D, kẻ các đường phân giác ngoài tại A cắt BC tại E. CMR: 
H: Để chứng minh hai tỉ lệ: bằng nhau ta cần chứng minh điều gì?
GV gợi ý: 
Bài tập 8.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho . Hạ AH ^ Oy, BK ^ Ox ( H Î Oy, K Î Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh: 
a/ 
Phân tích tìm lời giải: 
H: Để ta cần chứng minh điều gì? 
Lời giải: 
Xét DOKB có Ot là phân giác , theo tính chất tia phân giác ta có: 	(1)
Ta có Ot là phân giác và OC ^ Ot nên OC là phân giác 
Xét DOHA có OC là phân giác , theo tính chất tia phân giác ta có: 	(2)	
Lại có DOKB ~ DOHA (g – g) nên : => 	(3)
Từ (1), (2) & (3) => 
Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng tạo cho học sinh. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán. Ngoài ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu học sinh được biết rằng dù khó như vậy nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong học sinh.
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
	Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả học sinh đại trà. Đặc biệt là đối với học sinh lớp 8, 9 các bài toán chứng minh đòi hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung và rất “sợ” các bài toán chứng minh. Hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
	Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8, 9 nhiều năm học liền gần đây thì kết quả cho thấy học sinh đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước.
Cụ thể : 
MINH CHỨNG KẾT QUẢ HSG KHỐI 8 HAI NĂM QUA
MINH CHỨNG KẾT QUẢ HAI KHỐI 8, 9
MINH CHỨNG KÌ THI TUYỂN 10
VI. NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG:
- Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán chứng minh hình học, sử dụng yếu tố phụ học sinh . Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan.	
- Muốn dạy học sinh biết cách “Khai thác từ kết quả một bài toán”, bản thân GV phải thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp. 
- Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho học sinh định hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên. 
PHẦN THỨ BA.
KẾT LUẬN: 
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:
- Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
	Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9”. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. 
Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng học sinh và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân tôi là chính. 
Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
	- SGK Toán 8, 9 - NXBGD
	- SBT Toán 8, 9 – NXBGD
	- 
	- Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD (dùng cho hệ CĐSP).
	- Nâng cao và phát triển Toán 8 – NXBGD.
	- Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III.
	- Một số tạp chí Toán tuổi thơ 2.
	- Một số tạp chí Thế giới trong ta.
Toán học Tuổi trẻ ( quyển 2) -NXBGD.
160 bài tập chứng minh hình học vẽ thêm đường phụ & chứng minh hình học lý thú – 
NSƯT Minh Trân – NXB TP HCM
-----------------------------------------------
5. Bài học kinh nghiệm:
 Để chất lượng học tập của học sinh ngày càng nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức bài dạy, kiến thức chương trình phải tốn thời gian tìm tòi suy nghĩ tạo ra những tình huống dấn dắt học sinh để các em học tập bằng cách tự học là chính. Trong quá trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích luỹ rút ra nhiều điều bổ ích cho mình. Bên cạnh đó cần phải thường xuyên kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng và nghiên cứu các chuyên đề để bổ sung một cách hợp lí chắc chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng là một việc làm có thể.
	- Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến các yếu tố trung gian nhiều hơn. 
	- Trong các phương pháp, các dạng bài tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích và áp dụng. 
	- Thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho mình.
	- Thường xuyên cập nhật thông tin nhất là Thư viện đề thi và đề kiểm tra trên Wed
6. Vấn đề cần giải quyết ở cơ sở nhằm đáp ứng yêu cầu của của sự phát triển: 
Để thực hiện được yêu cầu và nhiệm vụ của đề tài đáp ứng yêu cầu của sự phát triển, các cơ sở trường học phải có biện pháp xây dựng kế hoạch tổ chức cho giáo viên từng bước nghiên cứu tài liệu, từ đó định ra kiến thức và phương phương pháp cần truyền tải đến học sinh, trao đổi với đồng nghiệp trong nhóm, tổ chuyên môn, từng bước thực hiện thông qua từng giờ dạy.
- Kiểm tra, đánh giá học sinh thông qua các giờ trên lớp, các buổi phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi, thông qua các bài kiểm tra thường xuyên, định kỳ .
	- Phân chia các dạng thường gặp tuỳ theo mức độ từng đối tượng học sinh. Đầu tư nghiên cứu vận dụng các phương pháp cho phù hợp đối tượng.
	- Đầu tư hệ thống SGK, tài liệu tham khảo.