Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng

t công cụ khá mạnh và hữu hiệu để giải một số bài toán hình học một cách nhanh gọn và dễ hiểu. Xét về mặt khoa học, phương pháp vectơ khá trừu tượng, có nhiều công thức khó nhớ và nhiều bài toán khó hiểu và cái khó hơn nửa là việc chuyển các sự kiện hình học của bài toán được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại. Tuy nhiên, đây là một chủ đề khá “lôi cuốn”đối với những học sinh đam mê với toán học, bởi nó đòi hỏi người học phải tư duy, tìm tòi và sáng tạo. Để giúp học sinh thấy được những mặt ưu việt của phương pháp vectơ đồng thời hiểu một cách sâu sắc hơn kiến thức về vectơ, tôi tổng hợp một vài dạng bài toán nhằm giúp học sinh làm quen và sử dụng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng.
 2. Ý nghĩa
	Việc nghiên cứu đề tài này là thực hiện yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung, dạy học môn Toán trong chương trình THPT nói riêng. Trong đó, việc phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập có ý nghĩa rèn luyện các em trở thành những con người năng động, có khả năng chủ động giải quyết được các vấn đề đặt ra trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này.
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu
Thực trạng của việc học môn toán, giải bài tập toán của học sinh THPT
2. Phạm vi nghiên cứu:
	* Cơ sở của việc nghiên cứu: từ thực trạng của việc dạy và học chương “Vectơ” ở phân môn Hình học.
* Về chương trình: Hình học lớp 10
* Thực nghiệm và khảo sát: ở lớp 10A3
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
	Phương pháp tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp và một số tài liệu của các thầy cô đi trước.
B. NỘI DUNG
Chúng ta biết rằng không có một chìa khoá vạn năng nào có thể dùng để mở khoá “giải” mọi bài toán. Vì vậy trong đề tài này tôi đã phân chia, sắp xếp các bài tập thành những nhóm khác nhau, và trong mỗi nhóm đó tôi cố gắng lựa chọn các bài tập điển hình nhất, qua đó nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng biến đổi vectơ đơn giản làm tiên đề cho các kĩ năng chuyển các sự kiện của bài toán diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại. 
Các bài tập minh hoạ cho các nhóm bài toán:
NHÓM I
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ
Nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi các biểu thức véctơ, kĩ năng sử dụng các phương pháp toán học diễn đạt bằng ngôn ngữ véctơ.
A. Cơ sở lý thuyết: 
 * Các đẳng thức véctơ cần chứng minh có thể đưa về dạng: 
 Chứng minh đẳng thức này về cơ bản dựa vào các tính chất sau:
Véctơ bằng khi và chỉ khi . Từ đó: 
Nếu là véctơ đối của thì + = 
B. Bài tập minh họa:
Bài 1.1: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho . Chứng minh rằng với S là một điểm bất kỳ ta luôn có: (1)
* Nhận xét: 
Bản chất của bài toán là phân tích vectơ theo các vectơ . 
Khi C là trung điểm AB thì (1) là tính chất trung điểm khá quen thuộc.
Giải:
Theo giả thiết: 
C
B
A
S
Vậy 
 (Đpcm)
*Hệ quả: Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. 
 Ta có: 
Bµi 1. 2: Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh ®èi diÖn víi c¸c ®Ønh A, B, C lÇn l­ît lµ a, b, c. §­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lÇn l­ît tiÕp xóc víi BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1. Chøng minh r»ng: 
* Nhận xét: 
Ta có A1 thuộc cạnh BC và tính được BA1, A1C theo a, b, c nên có thể áp dụng kết quả của bài tập 1.1 giải quyết bài toán này.
Nếu phát hiện được hệ quả của bài tập 1.1 thì có thể giải quyết bài toán một cách ngắn gọn . 
Gi¶i:
*Cách 1: (Áp dụng bài tập 1.1)
B
C
B1
A
A1
C1
Theo gi¶ thiÕt ta cã: BA1+ CA1+AC1= (1)
MÆt kh¸c: CA1+AC1 = CB1 + AB1 = b. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 BA1 = 
T­¬ng tù: CA1=
Do ®ã: . 
V× A1 thuéc ®o¹n BC nªn ¸p dông kÕt qu¶ cña bµi 1.1 ta cã: 
 víi 
Chứng minh tư¬ng tù : 
Céng tõng vÕ 3 ®¼ng thøc trªn ta cã: (đpcm)
* Cách 2: (Áp dụng hệ quả của bài 1.1)
Ta có: 
Tương tự: 
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
Bµi 1.3: Cho tam gi¸c ABC, gäi H lµ trùc t©m, I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh:
 (a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c)
, trong ®ã M lµ mét ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c; Sa, Sb, Sc theo thø tù lµ diÖn tÝch c¸c tam gi¸c MBC, MCA, MAB.
Gi¶i
I
C
C1
A1
A
B
A’
B’
B1
Ph©n tÝch theo vµ và sử dụng tính chất đường phân giác.
 * Cách 1:
Dựng hình bình hành IA’CB’, ta có: 
 Vì , cùng phương nên: 
 ( Định lý Thales và t/chất đường phân giác)
Tương tự: 	 
Vậy: 	 
*Cách 2:
Ta có: 
Mặt khác: 
Vì BI là phân giác trong của ABA1 nên: 
H
C
C1
A1
A
B
A’
B’
B1
Xét trường hợp ABC có 3 góc đều nhọn
 Dựng hình bình hành HA’CB’ ta có:
 Lập luận tương tự câu a) ta có:
Vậy: hay 
 (Trường hợp ABC có 1 góc tù , chứng minh tương tự)
3. * Cách 1: Gọi giao điểm của các tia AM, BM, CM, với BC, CA, AB lần lượt là A1; B1; C1. Lập luận như câu a) và b) ta có:
 ( chú ý: < 0, < 0) và 
 (MBC, MBA chung đáy MB, có 
 các đường cao CH, AI) 
Tương tự: 	
Vậy 	, 
từ đó có: 
M
C
A
B
A’
*Cách 2: Gọi A’ là giao điểm của MA và BC.
Ta có: (Áp dụng bài 1.1)
Nhưng: 
 (*)
Mặt khác: . 
 Thay vào (*) được: (đpcm)
* Nhận xét: Sử dụng kết quả câu 3) ta có thể tìm lại được kết quả câu 1), 2) và trong việc giải các bài toán khác. Chẳng hạn ở câu 3) chỉ cần chọn: 
 ( r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC) 
 ta có: 
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi N, M, K lần lượt là chân các đường phân giác từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Giải:
Theo tính chất đường phân giác ta có: 
N
C
A
B
K
M
Áp dụng kết quả bài 1.1 ta có: 
Tương tự ta có:
Từ ba đẳng thức trên ta suy ra: 
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta được:
Vậy 	 
C. Bài tập đề nghị:
Bài tập 1 :
 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt M, N, P. Chứng minh rằng: 
Bài tập 2: 
 Cho tam giác ABC, J là một điểm bất kỳ trong tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của J trên các cạnh BC, CA, AB. 
Chứng minh : 
Bài tập 3: 
 Cho tam giác ABC với BC = a; CA = b, AB = c.
 Tìm điểm I sao cho: 
Bài tập 4 :
 Cho tam giác ABC, gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác. 
 Chứng minh:
 1. (ABC không vuông) 
 2.
 3. (A, B, C nhọn)
 4. 
NHÓM II
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Cơ sở lý thuyết: 
Khi gặp dạng toán chứng minh hệ thức chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạn thẳng , chúng ta có thể chuyển hệ thức trên về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ tương ứng hay tích độ dài các vectơ. Từ đó sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán thuộc dạng trên.
B. Bài tập minh họa:
Bài 2.1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm M bất kỳ. 
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) 
 với BC = a, CA = b, AB = c (Công thức Leibnitz)
Giải:
Ta có:
 MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 +
 = 3MG2 + 
 = 
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) 
Bài 2.2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O, I, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. Và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng:
 1. 
 2. OI2 = R2 – 2Rr ( Công thức Euler)
Giải:
 1. Theo công thức Leibnitz, ta có: (1)
 Mà: 
Thay vào (1) ta có: 
 3r2 + (p-a)2 + (p-b)2 + (p-c)2 = 3IG2 + (a2 + b2 + c2)
 3r2 -2p(a + b +c) + a2 + b2 + c2 = 3IG2 + (a2 + b2 + c2)
 3IG2 = 3r2 – 4p2 + (a2 + b2 + c2)
 (đpcm)
2. Ta có: (Theo bài 1.3a)
Vậy OI2 = R2 – 2Rr 
A
M
A
B
C
Bài 2.3: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Điểm M thuộc đoạn AB. Chứng minh rằng: c2.CM2 = a2.AM2 + b2.BM2 + (a2 + b2 – c2).AM.BM
Giải:
Áp dụng bài 1.1, ta có: 
Vậy c2.CM2 = a2.AM2 + b2.BM2 + (a2 + b2 – c2).AM.BM
*Chú ý: Khi M trung điểm của AB, ta có: 
 . 
 Đây là công thức trung tuyến trong tam giác ABC
Bài 2.4: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng: 
 (Đề thi đề nghị Olympic 30 – 4 lần 6)
D
B
C
K
A
M
S
Giải:
Đặt: 
Ta có: (1)
Do: cùng phương nên: 
Mặt khác: MA.MB = MC.MD = a > 0 
Từ (1) và (2) suy ra: 
C.Bài tập đề nghị:
Bài tập1: Cho ABC có IG IC ( I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm tam giác ABC).
 Chứng minh rằng: ( với BC = a, CA = b, AB = c)
 (Đại học Cảnh sát Nhân dân năm 2000)
Bài tập 2: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếpABC với các cạnh BC =a,CA=b,AB = c. Chứng minh rằng: 
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hạ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các BC, CA, AB. 
Chứng minh rằng: 
Bài tập 4: Cho hai trung tuyến AA’ và BB’ của ABC vuông góc nhau. 
Chứng minh rằng: cotgC = 2(cotgA + cotgB)
 (Bộ đề tuyển sinh)
Bài tập 5: Giả sử MN là một đường kính bất kỳ của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC và AA1, BB1, CC1 là ba dây cung của (O) và cùng vuông góc với MN. 
Chứng minh rằng: NA4 + NB4 + NC4 = MA4 + MB4 + MC4 = AA14 + BB14 + CC14
 ( Tạp chí “Toán học và tuổi trẻ”)
NHÓM III
CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN MỘT BIỂU THỨC HÌNH HỌC
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng đã hình thành qua các bài toán nhóm I, II, vừa rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Bài tập minh họa:
Bài 3.1: Cho ABC có AB = 3; AC = 4. Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I. Tính 
Giải:
* Phân tích theo các vectơ 
M
C
B
A
I
D
Ta có: 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Bài 3.2: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM = 3MC, NC = 2NB, gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1.
N
B
A
M
C
O
Giải:
* Nếu biết tỉ số thì sẽ tính được SABC.
Vì A, O, N thẳng hàng nên: 
Tương tự: 
hay (1)
 Đặt , 
Ta có: 
Thay vào (1) ta có: 
Từ đó ta có: 
Với x = 
 . 
Vì SONB = 1 SNAB = 10 SABC = 30
Bài 3.3: Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c. 
 Tính : theo a, b, c ( với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC) 
 ( Đề thi Olympic toán quốc tế)
Giải:
Ta có: (áp dụng bài 1.3a)
 = abc
* Nhận xét:
Theo kết quả trên ta có: = abc
 ( Bđt Côsi )
 Dấu “=” xảy ra a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = 
 đều. Đây là đề thi Olympic Toán quốc tế 
Bài 3.4: Cho lục giác đều A1A2A3A4A5A6 tâm I, hình tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các tia IAi () cắt (O) tại Bi (). 
 Tính theo R tổng sau: 
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4- lần 7)
Giải:
 *Nhận xét: Để giải bài tập trước hết ta cần có bổ đề sau: 
Cho ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O1;R1).
 Khi đó với mọi M có tổng : MA2 + MB2+MC2 không đổi.
 Chứng minh bổ đề: 
Ta có: 
 = 6R2
 Chứng minh bài toán:
 Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B1B4, B2B5, B3B6. Ta có các điểm O, I, H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI. 
A1
A6
A5
A4
A3
A2
J
H
K
O
B6
I
B2
B1
B3
B5
B4
.
 Do đó: HJK đều 
 IH2 + IJ2 + IK2 = OH2 + OJ2 + OK2 ( do bổ đề)
Mặt khác: 
Chứng minh tương tự: 
Vậy: 
B.Bài tập đề nghị: 
Bài tập 1: Xác định vị trí điểm M trong ABC để: aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a, b, c.( a = BC, b = AC, c = AB)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 năm 2001)
Bài tập 2: Cho ABC , BC = a, AC = b, AB = c, phân giác trong góc A cắt BC tại D. Tính AD = la theo a, b, c. ( Công thức tính độ dài đường phân giác trong của một tam giác)
Bài tập 3: Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh rằng giá trị của không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
Bài tập 4: Cho đa giác đều A1A2An (n 3) nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm tùy ý thuộc đường tròn (O;r). Tính các tổng sau theo R, r : 
Bài tập 5: Cho đường phân giác trong và ngoài góc C của ABC cắt AB tại L và M, biết CL = CM. Tính tổng AC2 + BC2 theo R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ) (Đề thi Olympic Toán Bungari năm 1981) 
NHÓM IV
CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC .
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng đã hình thành qua các bài toán nhóm I, II, III vừa rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Cơ sở lý thuyết:
 - Sử dụng quy tắc ba điểm và bất đẳng thức trong tam giác, chú ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
 - Dùng các bất đẳng thức: 
 * . Đẳng thức xảy ra khi 
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng phương
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng
 *. Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng.
B.Bài tập minh họa:
Bài 4.1: Cho tam giác ABC. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 abc
Giải:
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC, ta có:
 a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = 
 do (bài 1.3)
 Do đó: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 (1) (do (a + b + c)MI2 0)
 Mặt khác do: = abc (2) ( bài 3.3)
 Từ (1) và (2) suy ra: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 abc
 Đẳng thức xảy ra khi M trùng I.
Bài 4.2: Cho ABC và 3 số dương x, y, z. 
Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 2yz.cosA + 2zxcosB + 2xy.cosC (1)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 7)
Giải
Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. 
Khi đó: 0 
 (đpcm)
*Nhận xét: 
Có thể giải bài toán theo cách khác:
(1)x2 (sin2B + cos2B) + y2(sin2A + cos2A) + z2 - 2yz.cosA - 2zxcosB +2xy.cos(A+B) 
 (x.cosB + y.cosA – z)2 + (x.sinB – y.sinA)2 0 ( luôn đúng) 
Dấu “=” xảy ra 
* Qua cách chứng minh trên dễ thấy bất đẳng thức trên vẫn còn đúng với mọi x, y, z R
Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: . 
 Đây là bất đẳng thức quen thuộc trong ABC.
Khi chọn y = z = 1, ta được bất đẳng thức mới: 
Bài 4.3: Cho ABC. Chứng minh rằng: 
Giải:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: 
* Nhận xét: 
Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: 
Khi chọn: , ta có: 
 Đây là bất đẳng thức quen thuộc trong ABC.
 Dấu”=” xảy ra 
C. Bài tập đề nghị:
Bài tập 1: Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 và BC=a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M nằm trong ABC, ta luôn có: 
 a2(b2 + c2 – a2) MA + b2(c2 + a2 – b2) MB + c2(a2 + b2 – c2) MCa2b2c2 
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 5)
Bài tập 2: Cho ABC với BC = a, CA = b, AB = c. r và R lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC. 
 Chứng minh rằng: (a - b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 8R(R-2r)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 6)
Bài tập 3: Cho ABC và điểm M tùy ý trong mp(ABC). 
 Chứng minh: 
Bài tập 4: Cho ABC .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:
NHÓM V
CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC, QUAN HỆ SONG SONG GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG.
Nhằm giới thiệu các ứng dụng đa dạng của phương pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng, qua đó rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của hệ thống kiến thức Toán được học trong chương trình. 
A. Cơ sở lý thuyết:
* Chứng minh hai đường thẳng a và b song song:
Giả sử là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b. Ta có: a // b = k với k 0 và 
 Chú ý : 
Nếu chỉ có điều kiện = k thì mới chỉ kết luận được a trùng b hoặc a song song với b.
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Hai vectơ và (khác vectơ – không) vuông góc với nhau kck .= 0 .
Từ đó, nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng a (có thể chọn A, B a) và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b (có thể chọn C, D b) thì 
 a b = 0
 Chú ý: 
Nhờ định lý cosin trong tam giác, biểu thức tích vô hướng của hai vectơ , có thể viết dưới dạng: 
B. Bài tập minh họa :
Bài 5.1: Cho tứ giác ABCD.Đường thẳng đi qua đỉnh A song song với BC cắt BD tại điểm M, đường thẳng đi qua đỉnh B song song với cạnh AD cắt AC tại điểm N. 
 Chứng minh rằng : MN // DC
* Nhận xét : Để chứng minh MN// CD ta phải chứng minh . Vậy cần phân tích vectơ theo vec tơ 
A
B
C
N
D
M
O
Giải:
Gọi là giao điểm của hai đường chéo tứ giác. 
Đặt: 
Ta có: 
 (2)
Do BN // AD nên: (3)
Do AM // BC nên: (4) 
Từ (3) và (4) suy ra: 
 (5)
Từ (2) và (5) ta có: 
Vậy MN // DC.
Bài 5.2: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm C1, A1, B1 sao cho: . Trên các cạnh A1B1, B1C1, C1A1 của tam giác A1B1C1 theo thứ tự lấy các điểm C2, A2, B2 sao cho: 
Chứng minh rằng: A2C2 // AC; C2B2 // CB; B2A2 // BA
Giải:
C
B
C1
A
B1
A2
B2
C2
Lấy điểm O bất kỳ và đặt: 
Ta có: 
Suy ra: 
Đẳng thức này chứng tỏ: A2C2 // AC
Tương tự, ta cũng chứng minh được: C2B2 // CB; B2A2 // BA
Bài 5.3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh: AM DB
A
H
C
B
D
M
Giải:
* Cần chứng minh: = 0
Ta có: và 
Do đó: 
Mà: 
Suy ra: 
Vậy: AM DB
Bài 5.4: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD.
Chứng minh: 
Tìm điều kiện của hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân.
* Nhận xét: - Phân tích các vectơ theo các vectơ gốc: 
 - Chứng tỏ: 
Giải:
B
C
D
N
M
A
K
Đặt và BA = a; BC = b; BK = c.
Ta có: 
 Do đó: 
Vì = 0 và nên 
Suy ra: 
Ta có: BM = MN 
 (1)
Mặt khác: Vì ab = AC.c nên . 
Thay vào (1) ta được:
Vậy điều kiện cần và đủ để tam giác BMN vuông cân là ABCD là hình vuông.
Bài 5.5: Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO. Và I, J lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh rằng: HK IJ
A
C
B
D
K
H
I
J
.
.
Giải:
* Cần chứng minh: 
Ta có: 
Suy ra: 
Vậy KH IJ
C.Bài tập đề nghị:
Bài tập 1: Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn . Gọi I là giao điểm của AM và CN. Chứng minh: 
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD. E, F là các điểm xác định bởi . Gọi I là giao điểm của AE cắt BF . 
 Chứng minh: AI IC
Bài tập 3: Cho ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và E là trọng tâm ACD.
 Chứng minh: IE CD
 ( Đề thi Olympic Toán Anh năm 1981)
Bài tập 4: Cho tam giác cân ABC tại B, hai điểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh bên BA, BC sao cho: . Tính các góc của tam giác ABC nếu AE CD
.....................................................
C. KẾT LUẬN
I. KẾT LUẬN CHUNG:
Trong những biÖn ph¸p c¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y m«n to¸n, kh«ng thÓ kh«ng ®Ò cËp ®Õn viÖc n¾m v÷ng ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i ®óng ®¾n mét bµi tËp. §èi víi m«n To¸n nãi chung, phÇn ph­¬ng ph¸p vectơ nãi riªng, nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®­îc biÓu hiÖn ra ë phÇn bµi tËp gióp häc sinh t×m ra ®­îc nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp. Vừa cñng cè tri thøc, võa rÌn luyÖn kü n¨ng nh­ng ®ång thêi gi¸o dôc c¸c em tÝnh năng động, sáng tạo, nghiªm tóc, thËn träng khi t×m ra ph­¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n nãi riªng vµ mét vÊn ®Ò cuéc sèng nãi chung. V× thÕ ®Ò tµi nµy cã tÝnh cÇn thiÕt ®èi víi ng­êi d¹y vµ häc. 
Cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy ngay cho các học sinh của mình từ đó kiểm nghiệm và bổ sung thiếu sót, cùng với việc tiếp thu có chọn lọc các ý kiến của đồng nghiệp. Tuy nhiên, đề tài này chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu xót và không trọn vẹn, mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
II. ĐỀ XUẤT:
1. §èi víi gi¸o viªn :
Cung cÊp cho häc sinh c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n vÒ vectơ mét c¸ch hoµn chØnh vµ cã hÖ thèng.
Trong viÖc d¹y lý thuyÕt, ph¶i t×m nhiÒu bµi to¸n minh ho¹. Nªu lªn vÝ dô ®Ó h×nh thµnh nªn ph­¬ng ph¸p.
Trong tiÕt d¹y ph¶i ®­a ra c¸c vÝ dô hîp lý, s¸t víi ®èi t­îng ®Ó ®¬n gi¶n c¸c vÊn ®Ò phøc t¹p, nh»m gióp häc sinh tõ ®ã kh¸m ph¸ ®­îc nh÷ng bµi tËp khã h¬n.
2. §èi víi häc sinh :
Cã kiÕn thøc c¬ b¶n thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng tøc lµ chuyÓn ®­îc ng«n tõ tõ h×nh häc thuÇn tuý sang ng«n ng÷ vectơ.
X©y dùng thêi gian häc tËp mét c¸ch hîp lý, nhÊt lµ thêi gian rÌn luyÖn gi¶i bµi tËp.
BiÕt ph©n tÝch, nhËn xÐt vµ vËn dông c¸ch gi¶i thÝch hîp
..Hết.
Tài liệu tham khảo
Phương pháp véc tơ trong hình học phẳngNguyễn Văn lộc
Ứng dụng phương pháp vectơ và toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp.
 Ths. Võ Giang Mai
3. Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ.Nguyễn Mộng Hy