Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp "phân tích đi lên" để tìm lời giải cho bài toán

Sử dụng phương pháp “phân tích đi lên” để tìm lời giải cho bài toán
A- Lý do chọn đề tài:
Một trong những yêu cầu đặt ra của đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào học tập và thực tiễn. Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán - đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp tư duy, suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy GV cần chỉ cho HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh mới được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống.
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu sót; đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện 
Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải toán. Hầu hết GV chưa cung cấp cho HS phương pháp giải toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán GV ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường GV giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều GV coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động. GV chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ sung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới khó thực hiện được.
Một trong các phương pháp giải toán mà tôi thấy HS tiếp thu và vận dụng tốt là “phân tích đi lên” để tìm lời giải. Đó là lí do mà tôi giới thiệu sáng kiến đã được bản thân công phu tìm hiểu. Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới.
B- Nội dung nghiên cứu của đề tài:
I - Phần lý luận
1- Quan niệm vấn đề dạy học giải toán:
Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung cơ bản:
+ Tìm tòi lời giải bài toán (đường lối).
+ Trình bày lời giải (Diễn đạt). 
Trong quá trình giảng dạy hai nội dung này nhiều lúc tiến hành đồng thời nhưng nhiều khi tách thành hai quá trình. Do vậy trong thực hành cần phân biệt hai nội dung trên và độc lập với nhau vì:
- Giải một bài toán khi có một đường lối là kết quả của một quá trình bao gồm nhiều khâu và là cái đích cuối cùng của người làm toán song dù sao quá trình này vẫn là thứ yếu bởi lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo trong các thao tác nhưng chưa có đường lối thì chưa có lời giải bài toán. Mặt khác trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phương hướng là giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật không chứa đựng những yếu tố sáng tạo như trong giai đoạn tìm tòi lời giải.Chỉ trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh mới có cơ hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận, khả năng phán đoán và lập luận chứng minh, khả năng phát hiện kiến thức mới, vấn đề mới 
- Mặt khác khi đã có đường lối thì việc trình bày, diễn đạt mới dễ dàng, lôgic, trật tự, khoa học. Rèn luyện được cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ chính xác và từ đó phát triển được tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. Giúp học sinh tự tin hơn, chủ động hơn.
2- Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thông qua giải toán.
* Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau:
+ Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề.
+ Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách đã học.
+ Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau.
* Tính độc lập biểu hiện:
+ Kĩ năng tự mình thấy được vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của người khác.
+ Có khả năng đánh giá ý nghĩ của người khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản thân.
* Tính sáng tạo biểu hiện:
+ Tự mình biết tìm ra phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới từ vấn đề.
+ Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề (Biết khai thác và phát triển bài toán, biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rrộng kiến thức, ).
3- Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trên:
+ Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp,  để học sinh tự mình phát hiện vấn đề.
+ Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp nào đó cần đưa ra các bài tập có cách giải quyết riêng.
+ Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán. Việc tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác nhau mở đường cho sự sáng tạo phong phú.
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch
+ Đưa ra nhiều bài toán không theo mẫu.
Sau đay tôi xin đưa ra một số bài toán minh hoạ các công việc cần làm của giáo viên khi hướng dẫn học sinh giải toán hình học 9.
II - Phần vận dụng
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
a) ?AMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
Hướng dẫn tìm tòi lời giải:
a)- HS dự đoán thông qua quan sát: (∆AMN cân tại A)
Chứng minh: ∆AMN cân tại A
	(?1)	 
	(?2)	 
 và và AmB = AnB
(Góc nội tiếp)	( Góc nội tiếp) ( (O) bằng (O’))
(?1) Chứng minh ?AMN cân bằng cách nào?
(?2) Chứng minh như thế nào để có ?
Từ sơ đồ học sinh trình bày lời giải:
( Góc nội tiếp ) (1)
 ( Góc nội tiếp ) (2)
(O) bằng (O’) nên ta có: AmB = AnB (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ Þ ?AMN cân tại A.
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
	 (?3) 
	(?4)	(kề bù)
	(?5)	( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
	(?6)	 
	(?7)	 AM = AN
	?AMN cân tại A
(?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp cần chứng minh điều gì ?
(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng 1800 ? ta cần chứng minh điều gì ?
(?5) Muốn chứng minh cần chứng minh được điều gì ?
(?6) Muốn chứng minh cần chứng minh được điều gì ?
(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách nào ?
Học sinh trình bày lời giải:
?AMN cân tại A AM = AN ( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (kề bù) tứ giác ACPD nội tiếp.
c) HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )
Để chứng minh BCPQ là hình thang
(?8) BQ // CP
(?9)	 ( ở vị trí đồng vị )
(?10)	 và 
(? 11)( = sđAmB ) 	 (= sđ AC ) (?12)
	(Tứ giác ACPD nội tiếp )
(?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang cần chứng minh được điều gì ?
 (?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần chứng minh được điều gì ?
(?10) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh ?
(?11) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh ?
(?12) Sử dụng phương pháp nào để chứng minh?
Học sinh trình bày:
Tứ giác ACPD nội tiếp (= sđ AC ) (4)
Mặt khác lại có: ( = sđAmB ) (5)
Từ (4) và (5) ( ở vị trí đồng vị ) BQ // CP Tứ giác BCPQ là hình thang.
Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh mục đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
+ PP chứng minh tam giác cân.
+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra tổng hai góc đối bằng 1800.
+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
+ PP chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.
Sau khi củng cố GV khuyến khích học sinh tìm tòi cách giải khác.
b) Cách 2:Dễ thấy tứ giác AMPN nội tiếp vì có hai góc vuông. như vậy nếu tứ giác ACPD nội tiếp thì . Giáo viên củng cố PP chứng minh một tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng tứ giác bên cạnh nội tiếp để chỉ ra tổng hai góc đối bằng 1800.
Cách 3: Nếu tứ giác ACPQ nội tiếp thì GV củng cố PP chứng minh tứ giác ACPD Bằng cách chứng minh 
GV: -Em có thể thay đổi yêu cầu phần a, b, c để có một yêu cầu tương tự mà quá trình chứng minh không thay đổi.
- Nếu hai đường tròn không bằng nhau thì kết quả bài toán còn đúng không ? vì sao ?
GV bổ sung yêu cầu
d) Chứng minh: PM.PC = PD.PN.
e) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di dộng trên cung nhỏ BC thì E luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D là hai điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N.
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
	c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn.
Hướng dẫn tìm tòi lời giải:
Khai thác giả thiết: 
-Ta có: 
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
 (?1)	 
	(?2)	? ADC ~ ? AMN
(?3)	Góc A chung và 
(?4)	sđAC và 
	(Góc nội tiếp)	 (Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Câu hỏi dẫn dắt
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(?2) Để có cần chứng minh điều gì ?
(?3) Để chứng minh ? ADC ~ ? AMN cần chỉ ra các điều kiện nào ?
(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng kiến thức nào để chứng minh ?
Học sinh căn cứ đường lối trình bày lời giải
(Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) (1)
 sđAC( Góc nội tiếp)	(2)
Từ (1) và (2) 
Xét ADC và AMN có:
 ? ADC ~ ? AMN AC.AM=AD.AN.
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
	(?5)	
	(?6)	 (Kề bù)
	(?7)	
Câu hỏi dẫn dắt
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp ta sử dụng phương pháp nào ? và cần chỉ ra điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh 
(?7) Muốn có cần chứng minh được điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đưa ra bài tập điền khuyết bảng phụ
 ..
C) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D di động mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo kiến thức nào đã học .
GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng cố
+ Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi đi tìm lời giải bài toán đó ?
+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
+ Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hướng sử dụng góc kề bù để chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800.
+ GV có thể đưa ra một căn cứ để phán đoán khi chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn như sau.
Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M
 mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.
Hoặc
Nếu tứ giác ABCD có AC cắt BD tại I
Mà IA.IC = IB.ID thì tứ giác ABCD nội tiếp.
GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác.
Trên đây tôi đã trình bày một số công việc cần thiết khi giáo viên tiến hành tổ chức hướng dẫn học sinh giải toán hình học. Theo tôi nghĩ các việc làm trên có ý nghĩa to lớn trong quá trình rèn luyện cho học sinh các tư duy hình học. Đương nhiên đối với mỗi tiết dạy người giáo viên trong khâu soạn bài cũng như lên lớp cần chuẩn bị chi tiết hơn.
C- Kết quả nghiên cứu và ứng dụng của đề tài:
- Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thể nghiệm trên hai đối tượng là học sinh lớp 8Avà 9B. Trong quá trình giảng dạy vừa thể nghiệm vừa rút kinh đồng thời kiểm tra khảo sát đánh giá bản thân thấy được rằng kết quả ứng dụng tương đối khả quan có nhiều hiệu quả. Đại đa số các em đều có hứng thú giải hình học, hệ thống kiến thức được củng cố vững chắc, mỗi học sinh đều có phương pháp suy luận ở cấp độ nhất định.
- Qua kết quả khảo sát chất lượng và thi học kỳ gần như 100% các em đều đạt điểm khá giỏi về môn toán.
- Kết quả theo dõi và phân tích :
+số học sinh tích cực: gần 95%.
+Số học sinh sử dụng thành thạo kí hiệu và thuật ngữ có kỹ năng diễn đạt tốt: gần 76,9 %.
Còn lại số học sinh cần sự gợi ý giúp đỡ của GV đối với những bài có nội dung dài, phức tạp hơn.
Cùng với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận dụng đổi mới PPDH trong quá trình dạy học hiện nay. Dạy học theo hướng trên rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hành giải toán cũng như kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế đời sống. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất trí tuệ cần thiết của người học toán. Đặc biệt là tính tích cực, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.Không những vậy nó còn thể hiện một mục tiêu cũng không kém phần quan trọng là dạy người thông qua dạy chữ.
- Riêng đối với bản thân tôi luôn có ý thức nghiên cứu tìm tòi và áp dụng những phương pháp có hiệu quả nhất trong quá trình dạy học của mình.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS QUỲNH LÂM
 ĐỀ TÀI:Sử dụng phương pháp “phân tích đi lên” để tìm lời giải cho bài toán
 Người thực hiện : Nguyễn Quyết Thắng
 Tổ khoa học : Tự nhiên