Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT

A/. Lý do chọn đề tài:
- Trong chương trình Toán học THPT bài toán “Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm hay vô nghiệm” chiếm một lượng lớn. Đây là một trong những bài toán khó và được đề cập đến không ít trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng – THCN.
- Để giải được các bài toán đó có rất nhiều phương pháp như: Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp toạ độ phẳng, phương pháp lượng giác và phương pháp đạo hàm và bảng biến thiên của hàm số. Việc nắm vững bản chất và ý nghĩa của bảng biến thiên của hàm số giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về miền giá trị của hàm số và tính chất của hàm số và nếu biết sử dụng nó thích hợp trong từng bài toán thì nó có thể cho những lời giải ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu hơn so với những phương pháp khác. Tuy nhiên phương pháp sử dụng đạo hàm và BBT của hàm số không phải là phương pháp tối ưu trong tất cả các bài toán. Nhưng khi sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 thì đại đa số học sinh không loại trừ được hết các điều kiện xảy ra, sử dụng phương pháp tọa độ thì nói chung học sinh không sử dụng được vì liên quan đến hình học...
- Trong bài viết này tôi đưa ra một số ví dụ minh chứng cho điều đó và sử dụng hoàn toàn bằng phương pháp đạo hàm và BBT của hàm số để giải. Tuy nhiên trong các bài toán đó có thể áp dụng được một số phương pháp đơn giản để tìm điều kiện của bài toán như là sử dụng: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm; các bất đẳng thức cơ bản là BĐT Cô si, BĐT Bunhiacôpski...
B/. Nội dung:
Bài toán 1:
Tìm m để bất phương trình: thoả mãn với mọi 
Hướng dẫn: 
Đặt 
Ta có BBT:
x
-
-2
+
t’
-
0
+
t
+
-1
+
Vậy với mọi .
Khi đó ta có: (*)
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi .
Xét hàm số: với 
Có 
BBT: 
t
-
1
+
y’
-
0
0
+
y
+
-1
-2
+
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để : nghiệm đúng với mọi 
Hướng dẫn:
* TXĐ: .
Đặt với 
Có 
BBT:
x
-¥ 
-2
-1
4
+¥
u’
+
0
-
u
0
3
0
Vậy: 
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: 
Xét hàm số: với 
Có : 
BBT
x
-¥ 
0
2
3
+¥
u’
-
0
+
u
10
6
7
Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi 
Bài toán 3: Tìm m để phương trình:
 có nghiệm.
có nghiệm?
Hướng dẫn : 
* TXĐ: 
Đây là một dạng phương trình “không mẫu mực”, tức là ta không thể luỹ thừa 2 vế của phương trình để giải. Đối với các loại phương trình này người ta thường giải bằng cách đánh giá giá trị của 2 vế của phương trình đó. ở bài toán này ta sẽ khảo sát hàm số 
trên tập xác định của nó là đoạn . Khi đó việc tìm m để phương trình có nghiệm hoàn toàn có thể thực hiện được.
Ta có 
Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và:
; 
Ta có BBT sau:
x
-¥ 
1
5
+¥
y’
+
y
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm khi : 
; 
Bài toán 4: Tìm điểu kiện để phương trình:
Hướng dẫn :
* TXĐ: 
Đây là một bài toán thường gặp trong các bài thi Đai học. Đối với bài toán này ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: Phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp chuyển hệ phương trình và sử dụng điều kiện đường tròn... 
Đặt: , 
Ta có: 
x
-¥ 
-3
3/2
6
+¥ 
t’
+
0
-
t
3
3
Vậy 
Khi đó ta có: 
Vậy phương trình đã cho trở thành: 
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn t có nghiệm .
Xét hàm số: , .
có: 
BBT:
t
-¥
1
3
+¥
y’
0
-
y
6
Vậy phương trình có nghiệm khi:
Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
. (1)
Hướng dẫn:
Vì nên ta có:
(1) 	
Đặt:	
Xét 	
Ta có bảng biến thiên sau:
x
 0
1
 2
-()
y’
2x-2
2-2x
2x-2
y’
-
+ 0 -
+
1
 0 
 0 
Từ BBT ta thấy: Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình 
Hướng dẫn:
TXĐ: R
Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0.
Với ta có: 
Xét hàm số: 
Vậy hàm số nghịch biến với mọi .
Và: 	
Ta có BBT sau:
x
-
0
+
y’
-
-
y
-1
-
+
+1
Kết luận: 	Với 	Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
	Với 	Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=0
Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình : (I) có nghiệm?
Hướng dẫn: 
* Với y=0 , hệ trở thành:. Hệ có nghiệm khi .
* Với , ta đặt . Khi đó hệ trở thành (II)
Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y).
Từ hệ (II) xét phương trình : ta có: 
Do đó hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y) có nghiệm .
Xét hàm số: trên 
Ta có: ; 
Lập bảng biến thiên:
t
-¥ 
-1
+¥
f’(t)
-
0
+
+
0
-
-
f(t)
+¥
+¥
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 
Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Hướng dẫn:
Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta có: 
TH1: Nếu y=x thay vào phương trình (1) ta có: .
Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình: 
Xét hàm số 
Ta có: 
BBT: 
x
-¥
0
+¥
f’(x)
-
0
+
0
-
f(x)
+¥
0
-¥
Vậy:	- Với 	Hệ có một cặp nghiệm.
	- Với 	Hệ đã cho có 2 cặp nghiệm phân biệt.
	- Với 	Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm phân biệt.
TH2: Nếu vì 
Thay vào phương trình (1) ta có: 
Xét hàm số với 
Ta có: 
Vậy 
BBT:
x
-¥
-2
-1
0
+¥
g’(x)
-
0
+
-
0
+
g(x)
+¥
12
+¥
+¥
0
+¥
Vậy:	- Với a<0 	Hệ phương trình vô nghiệm.
	- Với a=0 	Hệ có 1 cặp nghiệm.
	- Với 	Hệ có 2 cặp nghiệm.
	- Với a=12 	Hệ có 3 cặp nghiệm.
	- Với 	Hệ có 4 cặp nghiệm.
Kết luận: Vậy với m<0 Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất.
Bài toán 9: 
1/. Tìm miền giá trị của hàm số: 
2/. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: .
Hướng dẫn: 
1/. Đặt , như vậy bài toán trở thành tìm miền giá trị cử hàm số: 
Ta có: 
Vậy ta có BBT sau:
t
-¥ 
-1
0
1
6 +¥
y’
-
0
+
y
0
Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là: 
2/. Xét phương trình:	 
Vì m=0 không thoả mãn phương trình nên ta có: 
Từ câu 1/. ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu: 
Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình: có nghiệm 
Giải: Với ta có 
Phương trình đã cho tương đương với: 
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 
Xét phương trình: 
Đặt 
Khi đó ta có: m=(2-t2).t=-t3+2t
Xét hàm số y=-t3+2t trên đoạn
Ta có: 
Và có:
Vậy ta có BBT như sau:
t
-∞
1
+∞
y'
0
0
y
1
Vậy phương trình có nghiệm khi 
Bài 11: Cho tam giác ABC có góc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: Ta có: 
Đặt x=sinA. Theo bài ra có và A+B+C=1800 vậy 
Vậy 
Khi đó ta có: 
Xét hàm số: với 
Ta có: 
Vây y'=0
Ta có bảng biến thiên như sau:
x
1
y'
0
-
0
y
6
Vậy 
Kết luận: khi và chỉ khi: 
 C:/ Kết luận :
	Hàm số và ứng dụng của nó có một vai trò quan trọng trong chương trình THPT, nó có tác dụng rất lớn trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất phương trình... Mặt khác các bài toán này thường được đề cập rất nhiều trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi thuyển sinh vào các trường Đại học - Cao đẳng - THCN.
	Với chuyên đề này tôi đã áp dụng đối với một số lớp 12 và học sinh khá giỏi và nhận thấy là hiệu quả tương đôi khả quan trong các bài toán biện luận phương trình và hệ phương trình Đại số.
Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụng BBT của hàm số trong việc giải toán phổ thông. Tuy nhiên trong bài viết này có nhiều vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Mong bạn đọc thông cảm và bổ sung ý kiến để đề tai hoàn thiện và có tác dụng tốt hơn nữa.
D/. Một số bài toán tương tự:
1/. Tìm điều kiện của m để phương trình: có nghiệm duy nhất.
2/. Tuỳ thuộc vào m biện luận số nghiệm của hệ phương trình: 
3/. Biện luận số nghiệm của phương trình: theo m
4/. Tuỳ thuộc vào a biện luận số nghiệm phương trình: 
5/. Tìm điều kiện để phương trình: có nghiệm
6/. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm 
7/. Tìm điều kiện của m để phương trình:
có nghiệm