Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp biểu đồ hình chữ nhật để hướng dẫn học sinh tiểu học giải các bài toán có 3 đại lượng

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
Trong chương trình Toán Tiểu học có rất nhiều dạng toán khó đối với học sinh. Mặc dù số lượng bài toán ở các dạng toán này không nhiều song đây là dạng toán có khả năng giúp học sinh rèn luyện và phát triền năng lực tư duy rất tốt. Các bài toán có 3 đại lượng, trong đó 1 đại lượng là tích của 2 đại lượng kia là một trong nhưng dạng toán như vậy. Trong quá trình dạy học sinh giải toán, khi gặp các bài toán dạng này hầu hết giáo viên đã sử dụng các phương pháp giải toán: phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp chia tỉ lệ, phương pháp giả thiết tạm... Song thực tế cho thấy các phương pháp giải toán này khi áp dụng để giải các bài toán có 3 đại lượng nói trên đều bộc lộ những hạn chế nhất định, làm cho học sinh rất khó hiểu và lúng túng trong việc tìm ra mối quan hệ toán học giữa các đại lượng của bài toán. Do đó rất ít học sinh thực hiện giải một cách đầy đủ, rõ ràng và logic.
Trước những khó khăn, vướng mắc của học sinh đã thôi thúc tôi trong nhiều năm qua luôn suy nghĩ,nghiên cứu để tìm ra phương pháp giải phù hợp, giúp học sinh giải dạng toán này dễ dàng hơn. Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi các phương pháp giải toán và vận dụng vào thực tế dạy học tôi thấy phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” thật sự là phương pháp hiệu quả giúp học sinh có thể giải các bài toán có 3 đại lượng nói trên với nhiều thuận lợi hơn.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm phương pháp giải toán hữu hiệu, dễ hiểu nhất để hướng dẫn học sinh Tiểu học giải các bài toán có 3 đại lượng, trong một đại lượng là tích của 2 đại lượng kia.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh giải các bài toán có 3 đại lượng: Bài toán chuyển động đều, bài toán về vòi nước chảy, bài toán về khối lượng công việc, bài toán về tính sản lượng công việc...
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện SKKN này tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu, tìm hiểu các tài liệu tham khảo liên quan.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp điều tra, khảo sát, đối chiếu...
- Ngoài ra trong quá trình nghiên cứu tôi còn tham khảo ý kiến của bạn bè đồng nghiệp, của hội đồng khoa học cấp trường và cấp huyện.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn.
1. Cơ sở lý luận.
1.1. Đặc điểm tâm lý nhận thức của học sinh Tiểu học:
Tâm lý nhận thức của học sinh Tiểu học chủ yếu là tư duy trực quan cụ thể, tư duy trừu tượng mới bắt đầu hình thành và phát triển ở các lớp cuối cấp song còn ở mức độ đơn giản. Khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các dữ kiện của bài toán ở các em chưa cao. Do đó khi gặp các bài toán mà trong đó các đại lượng có nhiều mối quan hệ ràng buộc rắc rối thì các em thường vấp phải những khó khăn trong việc tìm cách giải.
1.2. Bài toán có 3 đại lượng và phương pháp giải:
1.2.1. Bài toán có 3 đại lượng:
Bài toán có 3 đại lượng trong đó 1 đại lượng là tích của 2 đại lượng kia là một dạng toán điển hình trong chương trình toán ở Tiểu học, bao gồm các bài toán như: Bài toán chuyển động đều, bài toán về vòi nước chảy vào bể (hay bài toán tình thể tích bể nước), bài toán về tính sản lượng, bài toán về tính khối lượng công việc... Đây là dạng toán khá đa dạng, trừu tượng và khó hiểu đối với học sinh Tiểu học.
1.2.2. Một số phương pháp giải bài toán có 3 đại lượng:
Để giải các bài toán dạng này cần phải nắm vững mối quan hệ toán học giữa 3 đại lượng, từ đó tìm 1 dại lượng khi biết 2 đại lượng kia. Có nhiều phương pháp để giải các bài toán dạng này như:
1.2.2.1. Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng: Là phương pháp dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số cần tìm trong bài toán) để minh hoạ các mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán. Ta chọn các độ dài đoạn thẳng và sắp xếp chùng một cách thích hợp để dễ dàng thấy được mối liên hệ và phục thuộc giữa các đại lượng, tạo hình ảnh cụ thể, trực quan để giúp choviệc suy nghĩ tìm cách giải được dễ dàng.
1.2.2.2. Phương pháp giả thiết tạm: Là phương pháp thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có, thậm chí một tình huống vô lý nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để lập luận mà suy ra được cái cần tìm.
1.2.2.3. Phương pháp sử dụng “Biểu đồ hình chữ nhật”: Là phương pháp sử dụng các yếu tố của hình chữu nhật (chiều dài, chiều rộng, diện tích) để biểu thị các đại lượng của bài toán nhằm giúp học sinh thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trên cơ sở các yếu tố trực quan của hình chữ nhật, giúp các em tìm cách giải dễ dàng hơn.
2. Cơ sở thực tiễn.
2.1. Thực trạng:
Trong nhiều năm dạy ở Tiểu học, khi gặp các bài toán dạng này tôi thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định mối quan hệ toán học giữa các đại lượng thông qua dữ kiện của bài toán cụ thể. Do đó các em rất lúng túng trong việc tìm cách giải cho các bài toán dạng này:
- Giải bài toán theo cách thiếu cơ sở (chỉ tìm ra kết quả do tình nhẩm)
- Diễn đạt bài giải dài dòng, lúng túng, thiếu logic thậm chí có những bước trùng lặp nhau...
Rất ít học sinh giải được các bài toán dạng này một cách chặt chẽ, rõ ràng.
Thực tế ở năm học trước, khi chưa sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh giải các bài toán có 3 đại lượng ở trên thì chất lượng giải toán của học sinh do tôi phụ trách còn thấp. Kết quả khảo sát cụ thể như sau:
Tổng số HS
Giỏi 
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
35
3
8,6
7
20,0
13
37,2
12
34,2
2.2. Nguyên nhân:
Qua tìm hiểu những vướng mắc của học sinh, tôi thấy sở dĩ các em gặp khó khăn trong việc giải các bài toán dạng này là do các nguyên nhân sau:
- Do không được trang bị đầy đủ, da dạng các phương pháp giải toán.
- Giáo viên mới chỉ cung cấp và hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp giải: phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp giả thiết tạm để giải các bài toán dạng này. Rất ít giáo viên sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” nên không những học sinh mà chính giáo viên cũng rất lạ lẫm với trước phương pháp giải toán hữu hiệu này.
Trên cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học trong những năm qua tôi thấy: Phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” là một công cụ đắc lực để giải các bài toán dạng này một cách rõ ràng, cụ thể nhất, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Tiểu học.
Trong khuôn khổ bài viết này tôi muốn đưa ra một số ví dụ cụ thể về việc sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh Tiểu học giải các bài toán có 3 đại lượng mà bản thân đã áp dụng.
II. Sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh Tiểu học giải các bài toán có 3 đại lượng.
1. Phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật”
Phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật”là phương pháp sử dụng các yếu tố của hình chữ nhật như cạnh chiều dài, chiều rộng và diện tích để biểu thị các đại lượng của bài toán có 3 đại lượng, trong đó 1 đại lượng là tích của 2 đại lượng kia. Các bước giải như sau:
Bước 1: Biểu thị 3 đại lượng đã cho của bài toán bằng 3 yếu tố của hình chữ nhật (chiều dài, chiều rộng, diện tích). Chẳng hạn: biểu thị vận tốc của chuyển động trên cạnh chiều dài (hoặc chiều rộng), biểu thị thời gian chuyển động trên cạnh chiều rộng ( hoặc chiều dài) của hình chữ nhật thì quãng đường đi được của chuyển động sẽ được biểu thị bằng diện tích của hình chữ nhật.
Bước 2: Phân tích các dữ kiện của bài toán thông qua việc quan sát biểu đồ để tìm các bước giải.
Bước 3: Giải bài toán.
Lưu ý: Trong phương pháp này, các yếu tố của hình chữ nhật (chiều dài, chiều rộng, diện tích) chỉ được dùng để biểu thị cho các đại lượng của bài toán. Do đó khi giải toán, các số đo và các đơn vị đo trong bài toán phải được hiểu là số đo và đơn vị đo của các đại lượng, chứ không được coi là số đo hay đơn vị đo của các yếu tố của hình chữ nhật dùng để biểu thị. 
Chẳng hạn: Trong bài toán “Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc dự tính là 30km/giờ. Song thực tế xe máy chỉ đi với vận tốc 25km/giờ nên đã đến B muộn mất 2 giờ so với dự định. Tính quảng đường từ A đến B.” Trước hết ta hướng dẫn học sinh vẽ biểu đồ hình chữ nhật sau:
 Thời gian
N
P
2 giờ
30 km/giờ
C
E
O
D
Q
25 km/giờ
M
 Vận tốc
Sau đó phân tích để học sinh hiểu được:
- Vì biểu thị thời gian của xe máy nên trên đoạn DN ứng với 2 giờ. Như vậy “2 giờ” là số đo của đại lượng thời gian.
- Vì biểu thị vận tốc của xe máy nên đoạn DQ ứng với 25 km/giờ. Như vậy “25 km/giờ” là số đo của đại lượng vận tốc.
Do đó, diện tích của hình chữ nhật DNPQ là: 
SDNPQ = 25 x 2 = 50. Số đo “50” ở đây là số đo của đại lượng quãng đường (tức là 50 km), vì diện tích hình chữ nhật chỉ là yếu tố để biểu thị cho quãng đường xe máy đi được.
2. Một số ví dụ cụ thể về sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật”.
2.1. Bài toán chuyển động đều.
* Bài toán 1: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc dự tính 30 km/giờ. Song thực tế xe máy chỉ đi với vận tốc 25 km/giờ nên đến B muộn mất 2 giờ so với dự định. Tính quảng đường AB.
Hướng dẫn giải
Biểu thị vận tốc của xe máy trên một cạnh của hình chữ nhật và thời gian xe máy chạy trên cạnh kia của hình chữ nhật ấy thì quãng đường xe chạy sẽ được biểu thị bằng diện tích hình chữ nhật. (vì s = v x t)
 Thời gian
P
N
2 giờ
C
E
O
D
Q
25 km/giờ
M
 Vận tốc
30 km/giờ
Biểu thị thời gian đi từ Ađến B với vận tốc 30 km/giờ là đoạn OD thì thời gian đi với vận tốc 25 km/giờ sẽ là đoạn ON, ON dài hơn OD một đoạn DN tương ứng với 2 giờ.
Ngoài ra đoạn MC biểu thị hiệu hai vận tốc và ứng với: 
30 – 25 = 5 (km/giờ)
Vì cùng biểu thị quảng đường từ A đến B nên diện tích 2 hình chữ nhật OCED và OMPN bằng nhau.
Cùng bớt đi diện tích phần chung là SOMQD ta có: 
SCMQE = SDNPQ = DQ x DN = 25 x 2 = 50.
Do đó: MQ x MC = 50
Hay MQ x 5 = 50.
Suy ra: MQ = 50 : 5 = 10 (giờ).
Vậy quãng đường AB dài là: 
30 x 10 = 300 (km)
Đáp số: 300 km.
2.2. Bài toán tính sản lượng.
* Bài toán 2: Để thực hiện chỉ tiêu về sản lượng của vụ mùa năm nay, hợp tác xã A dự tính sẽ đạt năng suất lúa là 5 tấn/ha nên chỉ tiến hành sản xuất trên một phần diện tích ruộng được giao. Nhưng khi thu hoạch thì năng suất chỉ đạt 4,5 tấn/ha. Ông chủ nhiệm HTX tính toán: “Với năng suất thu hoạch như vụ mùa năm nay thì vụ mùa năm sau phải tăng diện tích thêm 3 ha nữa thì mới đạt chỉ tiêu sản lượng trên giao.”
Hỏi chỉ tiêu sản lượng trên giao cho hợp tác xã A là bao nhiêu tấn thóc?
Hướng dẫn giải
Biểu thị năng suất thu hoạch trên một cạnh của hình chữ nhật và diện tích ruộng trên một cạnh kia của hình chữ nhật thì sản lượng thu hoạch sẽ được biểu thị bằng diện tích của hình chữ nhật. (vì sản lượng thu hoạch = diện tích sản xuất x năng suất) 
 Diện tích
P
N
3 ha
A
C
O
B
Q
4,5 tấn/ha
5 tấn/ha
M
 năng suất
Biểu thị diện tích phần ruộng có năng suất 5 tấn/ha là đoạn OB thì diện tích phần ruộng có năng suất 4,5 tấn/ha là đoạn ON, ON dài hơn đoạn OB một đoạn BN tương ứng với 3 ha.
Mà đoạn MA biểu thị hiệu năng suất và ứng với:
5 – 4,5 = 0,5 (tấn/ha)
Vì cùng biểu thị sản lượng trên giao cho HTX nên diện tích hai hình chữ nhật OACB và OMPN bằng nhau.
Cùmg bớt đi diện tích hình OMQB ta có:
SAMQC = SBNPQ = BQ x BN = 4,5 x 3 = 13,5
Do đó: MQ x MA = 13,5
Hay MQ x 0,5 = 13,5
Suy ra: MQ = 13,5 : 0,5 = 27 (ha)
Vậy sản lượng trên giao cho hợp tác xã A là:
27 x 5 = 135 (tấn)
Đáp số: 135 tấn.
2.3. Bài toán về tính khối lượng công việc.
* Bài toán 3: Hai tổ thợ may phải làm một khối lượng công việc như nhau. Biết rằng tổ I mỗi ngày may được 18 bộ quần áo, tổ II mỗi ngày chỉ may được 15 bộ quần áo nên hoàn thành công việc chậm hơn tổ I 2 ngày.
Hỏi mỗi tổ được giao may bao nhiêu bộ quần áo?
Hướng dẫn giải
Biểu thị số ngày để tổ I hoàn thành khối lượng công việc bằng đoạn OB
 Thời gian
P
N
 2 ngày
A
C
O
B
Q
15 bộ/ngày
M
 Công suất
18 bộ/ngày
Vì biểu thị khối lượng công việc như nhau nên diện tích hai hình chữ nhật OACB và OMNP bằng nhau.
Cùng bớt đi diện tích phần chung là SAMQC ta có:
SAMQC = SBNPQ = BQ x BN = 15 x 2 = 30
Vậy: MQ x MA = 30
Hay MQ x 3 = 30
Suy ra MQ = 30 : 3 = 10 (ngày)
Vậy số bộ quần áo mà mỗi tổ thợ may được giao là:
18 x 10 = 180 (bộ)
Đáp số: 180 bộ.
 2.4. Bài toán về vòi nước chảy vào bể (hay bài toán thể tích bể nước).
* Bài toán 4: Một trường học vừa xây 2 bể chứa nước có thể tích như nhau, ở mỗi bể đều lắp một vòi nước để bơm nước vào bể. Biết rằng vòi nước ở bể thứ nhất có dung lượng nước chảy là 1 m3/giờ. Vòi nước ở bể thứ hai có dung lượng nước chảy 900 dm3/giờ. Nhà trường đã tiến hành cùng một lúc bơm nước vào 2 bể và thấy rằng: khi bể thứ nhất đầy nước thì bể thứ hai phải sau 30 phút mới đầy nước.
Hỏi mỗi bể chứa đước bao nhiêu lít nước?
Hướng dẫn giải
 Biểu thị thời gian để bơm nước vào bể trên một cạnh của hình chữ nhật và lưu lượng nước chảy của vòi nước trên cạnh kia của hình chữ nhật thì thể tích bể nước sẽ được biểu thị bằng diện tích của hình chữ nhật.
 Thời gian
P
N
30 phút
A
C
O
B
Q
900 dm3/giờ
M
 Lưu lượng
1 m3/giờ
Đổi: 30 phút = 0,5 giờ
1m3/giờ = 1000 dm3/giờ
Biểu thị thời gian vòi nước ở bể thứ nhất chảy với lưu lượng 1000m3/giờ là đoạn OB thì thời gian vòi nước ở bể thứ hai chảy với dung lượng 900 dm3/giờ là đoạn ON, ON dài hơn OB một đoạn BN tương ứng với 0,5 giờ.
Đoạn MA biểu thị hiệu dung lượng nước chảy của 2 vòi nước là:
1000 – 900 = 100 (dm3/giờ)
Vì cùng biểu thị thể tích như nhau nên diện tích hai hình OABC và OMPN bằng nhau.
Cùng bớt diện tích hình OMQB ta có: 
SAMQC = SBNPQ = MQ x BN = 900 x 0,5 = 450
Do đó: MQ x MA = 450
Hay: MQ x 100 = 450
Suy ra: MQ = 450 : 100 = 4,5 (giờ)
Vậy thể tích mỗi bể nước là:
4,5 x 1000 = 4500 (dm3)
4500 dm3 = 4500 lít
Đáp số: 4500 lít.
3. Kết quả:
Sau thời gian sử dụng phương pháp “Biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh giải các bài toán có ba đại lượng nói trên, tôi đã tiến hành khảo sát kết quả luyện tập giải các bài toán dạng này của học sinh tại hai lớp 5 có mặt bằng chất lượng xuất phát ban đầu như nhau: lớp 5A (giáo viên không sử dụng phương pháp “biểu đồ hình chữ nhật” để hướng dẫn học sinh giải toán) và lớp 5D (do tôi phụ trách). Kết quả thu được như sau:
Tại lớp 5A: số lượng học sinh 35em.
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
4
11,4
7
20,0
13
37,2
11
31,4
Tại lớp 5D (do tôi phụ trách): tổng số 35 học sinh.
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9
25,7
18
51,4
6
17,2
2
5,7
Việc áp dụng kinh nghiệm sử dụng phương pháp “biểu đồ hình chữ nhật” để giải các bài toán có 3 đại lượng nói trên của tôi đã giúp học sinh lớp 5 do tôi phụ trách luyện tập giải các bài toán dạng này một cách dễ dàng hơn. Các em hầu như không khó khăn trong việc tìm lời giải cho từng bài toán cụ thể. Đặc biệt có nhiểu em đã tìm ra cách diễn đạt và trình bày lời giải khác nhau nhờ việc phân tích các yếu tố của bài toán thông qua “biểu đồ hình chữ nhật” một cách linh hoạt. Ngay cả với những học sinh trung bình, các em cũng cảm thấy tự tin hơn trước những bài toán dạng này.
Nhờ thế mà học sinh của tôi ngày càng hứng thú và hăng say hơn trong các giờ học Toán; độc lập và tự giác trong quá trình giải toán, chất lượng học tập môn Toán của các em được nâng lên ngày càng rõ rệt.
C. KẾT LUẬN - KHUYẾN NGHỊ
I. Kết luận
Trên đây là kinh nghiệm của trong việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp “biểu đồ hình chữ nhật” để giải các bài toán có 3 đại lượng trong đó một đại lượng là tích của 2 đại lượng kia. Nhờ áp dụng kinh nghiệm này mà tôi dã giúp giải quyết được vướng mắc cơ bản và khá phổ biến của đa số học sinh trước những bài toán dạng này, đó là xác định được mối quan hệ toán học giữa các đại lượng của bài toán thông qua hình ảnh biểu thị trực quan của các yếu tố hình chữ nhật. Vì thế học sinh của tôi đã thực hiện giải các bài toán này một cách dễ dàng và nhẹ nhàng hơn. Các em thấy tự tin và hứng thú hơn trong các giờ luyện tập giải toán. Kiến thức về giải toán cũng như khả năg tư duy của học sinh ngày càng được nâng cao. 
Đây là một phương pháp mới nên lần đầu tiếp xúc các bạn có thể bở ngỡ nhưng khi đã quen ta sẽ thấy nó giúp ích rất nhiều trong việc trực quan hoá mối quan hệ toán học giữa 3 đại lượng và do đó làm cho cách giải trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh. Các em sẽ tìm được lời giải dễ dàng hơn vì thế sẽ tự tin và hứng thú trong các giờ luyện tập toán.
Chắc rằng, các bạn đồng nghiệp cũng đã sử dụng phương pháp này trong quá trình dạy học của mình. Song cũng hi vọng rằng một phần nào đó kinh nghiệm của tôi sẽ có tác dụng tích cực đối với các bạn. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng bạn bè đồng nghiệp để bài viết trên đây có thể hoàn thiện hơn và bản thân tôi cũng có thêm kinh nghiệm trong việc đúc rút sáng kiến kinh nghiệm, góp phần ngày càng nâng cao được chất lượng và hiệu quả giảng dạy và công tác. 
Xin chân thành cảm ơn! 
 Hà Tĩnh, tháng 5/2005