Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hình học để giải một vài bài toán Đại số
Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó.Nếu bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đai số để giải nó Từ đó, ta có thể giải bài toán .Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng .
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hình học để giải một vài bài toán Đại số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó.Nếu bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp của đai số để giải nó Từ đó, ta có thể giải bài toán .Song nếu để ý kỹ hơn thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách giải của nó rất trong sáng .Để làm rõ thêm vấn đề này, tôi có một vài ví dụ sau. 1.Hệ phương trình Ví dụ 1 : Tìm ba số dương x; y ; z thoã mãn: Nhìn vào biểu thức ở vế trái ta thấy nó giống công thức cô sin trong tam giác.Trong tam giác ABC Xét điểm O ở trong △ ABC sao cho : x = OA > 0 . y = OB >0; z = OC > 0 góc giữa OA,OB = 1200. ( OC,OB) = 1200 (OA,OC) = 1200 như hình vẽ ( O là điêm Tolicelli) Theo ĐL cosin Ta có : AC2 = x2 + z2 + xz = 36 hay AC = 6 AB2 = x2 + y2 + xy = 4 hay AB = 2 BC2 = y2 + z2 + yz = 9 hay BC = 3 Nhưng AC > AB + BC nên không tồn tại x,y, z dương thoả mãn ĐK bài toán . Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau : Xét các điểm A( 2;4) ;B(5;8) , M(x;y) thì MA = Rõ ràng với ba điểm A,B,M tuỳ ý ta có MA + MB AB = 5 Dầu bằng khi Vậy ta có hệ : giải hệ này ta có : nghiệm của hệ x = 3,5; y = 6 Ví dụ 3 : (AN NINH -1999) Giải hệ phương trình Giải: Ta có hệ tương dương với xét véc tơ = (x;3) ; = (y;3) ;khi đó + = (x + y; 6) mà ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ + ∣ dấu bằng xảy ra khi x = y = 4 Vậy hệ có nghiệm (4;4) Ví dụ 4 : (Olimpic 30 – 4 - 2000) Cho x, y ,z dương thoả mãn Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx Xét các △ OAB ;△ OBC; OCA có OA = ; OB = y ; OC = x; góc AOB = 900; BOC = 1500; COA = 1200 thì △ ABC có . Lại có S△ OAB + S△ OAC +S△ OCB = S△ CAB Nên S = xy +2yz +3zx = 60 Ví dụ 5 : (Olimpic Liên xô 1984) Cho x, y ,z dương thoả mãn Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx Làm như VD trên ta có S = Ví dụ 6 : Tìm a để hệ sau có số nghiệm nhiều nhất. Giải : Ta thấy khi a < 0 hay a = 0 thì hệ vô nghiệm Khi a > 0 Thì phương trình đầu của hệ được biểu diễn là hình vuông ABCD phương trình sau là đường tròn tâm O bán kính Qua đồ thị ta thấy hệ có nhiều nghiệm nhất khi OH < R < OD hay Ví dụ 7: Cho hệ phương trình : Gọi (x1;y1);(x2;y2) là các nghiệm của hệ phương trình trên .Chứng minh rằng 1 (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 Giải Ta thấy hệ phương trình trên có dạng phương trình đấu là đường tròn tâm I(1/2 ; 0); R = ½ phương trình sau là đường thẳng luôn qua điểm A(0;1) Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn R hay 0<a< 4/3 Khi 0<a < 4/3 hệ có hai nghiêm phân biệt Qua hình vẽ ta có 2R AB 1 (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 2. Một số bài bất đẳng thức,tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất Ta xét ví dụ đơn giản sau Ví dụ 8 : Tìm Giá trị nhỏ nhất của : A = Trên mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn ba điểm A(0;1); B(1; 0) M(x , y).khi đó MA +MB AB Hay Dấu bằng khi cùng hướng Điểm M nằm trên đoạn AB Ví dụ 9 : Cho 2 số x, y thoả mãn (*).Tìm Giá trị lớn nhất ,Giá trị nhỏ nhất của S S = Bài giải : Trước hết, ta hãy tìm tập hợp các điểm M(x,y) trên mặt phẳng thoả mãn (*) Khi phá dấu GTTĐ tập các điểm đó là hình thoi ABCD như hình vẽ Xét điểm M(x; y) ;O(0;0) ; E ( 0; - 3) Khi đó MO + ME = Trên hình vẽ khi M trùng với B thì MO + ME lớn nhất Trên hình vẽ khi M trùng với D thì MO + ME nhỏ nhất Ví dụ 10 : Chứng minh rằng : ( với mọi x ) Bài giải : Khi 0 x ta có nên VT 7 > 5 (đúng ) Khi x > 0 xét các △ ACD; CDB có CD = x ; CA = 3;CB = 4 các góc ACD = 450; BCD = 450 như hình vẽ khi đó theo ĐL côsin ta có AD = ; BD = Trong △ ABD thì AD + DB AB Hay Dấu bằng khi D trên đoạn AB Ví dụ 11 : Chứng minh rằng : với mọi x Ta có ta thấy sin180 = (Dễ dàng c/m) Ta nghĩ đến các tam giác có cạnh liên quan đến giá trị = cos 360 Xét △ ABC có BC =1; AB =AC = y, BAC = BCA = 720 thì y2 = y2 + 1 – 2y vậy y = Đặt CD = x ; theo ĐL cosin trong tam giác BCD; ACD ta có BD = AD = Dễ thấy BD + AD AB Hay + Bài Tập1 Tìm ĐK của ba số dương a,b,c để hệ phương trình có nghiệm dương . Khi đó hãy xác định nghiệm của phương trình Bài 2: Cho x, y ,z dương thoả mãn : Tính tổng S = xy + yz Bài tập 3: Chứng minh rằng Bài tập 4 :Tìm gía trị nhỏ nhất của S = Với ĐK : x – y – 3 = 0 (Đ/s : )
File đính kèm:
SKKN_2010.doc
