Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳng

ình đường chéo AC và BD. VIết phương trình cạnh AB bằng cách sử dụng điều kiện tiếp xúc . Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh hình thoi.
LỜI GIẢI
Đường tròn có tâm , bán kính 
Ta có I chính là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD
Đường thẳng AC đi qua 2 điểm M,I nên có phương trình là: 
Vì 
Phương trình đường thẳng BD có dạng: 
Vì AB tiếp xúc với đường tròn 
TH1: Nếu b=-3a, chọn a=1, b=-3 
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
Vì là trung điểm của AC 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 
Vì là trung điểm của BD
TH2: Nếu 9a=3b chọn a=13, b=9
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
Vì là trung điểm của AC 
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
Bài 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): (x - 1) + (y + 1) = 20. Biết rằng AC=2BD và điểm B thuộc đường thẳng d: 2x - y - 5 = 0. Viết phương trình cạnh AB của hình thoi ABCD biết điểm B có hoành độ dương.
Hướng dẫn
Gọi I là tâm đường tròn (C), suy ra I(1;-1) và I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng AB . 
Ta có: AC=2BD 
Xét tam giác IAB vuông tại I, ta có: 
Ta lại có điểm BB(b, 2b-5) 
*IB=5 . Chọn b=4 (vì b>0) B(4;3)
Gọi là VTPT của đường thẳng AB, pt đường thẳng AB có dạng: 
 a(x-4)+b(y-3)=0
Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có: 
d(I,AB)= 
*Với a=2b, chọn b=1, a=2 pt đường thẳng AB là: 2x+y-11=0
*Với , chọn b=11, a=2 pt đường thẳng AB là: 2x+11y-41=0
BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT
A. Lý thuyết cần ghi nhớ
Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh của hình chữ nhật để tìm ra độ dài các cạnh còn lại, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng như phương trình các cạnh.
- Vận dụng tính chất song song, vuông góc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng.
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kết hợp với góc và diện tích tam giác, tứ giác; tính diện tích bằng cả 2 cách.
- Các điểm cùng thuộc đường tròn, điểm đối xứng qua điểm (thường qua tâm), điểm đối xứng qua đường thẳng (thường đường chéo).
- Một số công thức tính diện tích tam giác: 
B. Bài tập mẫu
Bài 1
Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N lần lượt thuộc hai cạnh BC,CD
sao cho gọi H là giao của AM và BN , H(2;1). Tìm tọa độ điểm B biết rằng B nằm trên đường thẳng 2x-y+1=0.
Hướng dẫn giải
Ta có suy ra tam giác BAM đồng dạng với tam giác CBN suy ra 
Suy ra AMBN
Gọi B(a;2a+1) suy ra 
Suy ra 3(a-2)-2.2a=0a=-6 vậy B(-6;-11)
Bài 2
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là d: . Viết phương trình cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Gọi K là trung điểm của HD. chứng minh AN vuông góc với MN. Gọi P là trung điểm của AH. Ta có AB vuông góc với KP, Do đó P là trực tâm của tam giác ABK.
Suy ra BP
Do K là trung điểm của HD nên D(0;2),suy ra pt (BD): y-2=0
AH: x-1=0 và A(1;0); AD có pt: 2x+y-2=0
Phương trình KM: đi qua M(9/2;3) và vuông góc với AN có pt: MK: Toạ độ K(1/2;2)
BC qua M và song song với AD nên BC: 2x+y-12=0
Bài 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có phương trình . Trên đường thẳng qua B và vuông góc với đường chéo AC lấy điểm E sao cho (D và E nằm về hai phía so với đường thẳng AC). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biêt điểm và đường thẳng AB đi qua điểm và điểm B có hoành độ dương.
E
F
D
A
B
C
H
Hướng dẫn giải
Ta có và AD đi qua F(4 ; -4)
. Khi đó
Ta có đường thẳng EF đi qua hai điểm E(2;-5) và F(4;-4)
Do đó ta lập được phương trình 
Suy ra tại F. Khi đó, ta có
 vì (cùng phụ với ) 
Ta có 
Vậy 
Ta có và BC đi qua B(2; 0) 
AC đi qua A(1; 2) và vuông góc với BE AC nhậnlà véc tơ pháp tuyến. Khi đó, ta có 
CD đi qua C(6; 2) và .
Khi đó . Vậy ta có tọa độ A(1;2), B(2;0), C(6;2), D(5;4).
Bài 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD biết điểm M(0;1). Đường thẳng AN có phương trình là: . Tìm tọa độ điểm A.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, .
Ta có SABCD = ab = .
SAMN = SABCD – SADN – SABM – SCMN = 
Mặt khác: 
Ta có hệ phương trình: 
Suy ra 
Vì A AN 
.
ậy điểm cần tìm là A(hoặc A.
Bài 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d:và điểm A. Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho MC = 2BC, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết N.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Ta có 5 điểm A,B,C,D,N cùng thuộc đường tròn đường kính BD.
Mặt khác đường tròn này có đường kính là AC nên .
Vì 
Ta có
Tọa độ tâm I của hình chữn nhật ABCD chính là trung điểm của AC
Gọi B
Ta có:
Mặt khác B nằm trên đường tròn tâm I bán kính IN
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy hai điểm cần tòm là
Nhận xét: Mấu chốt của bài toán này đó chính là 5 điểm A,B,C,D,N cùng thuộc một đường tròn. Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng véc tơ.
Bài 6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6 và phương trình đường chéo AC:. Đường thẳng AB đi qua điểm M, đường thẳng AD đi qua điểm N. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Vì
Ta có
Vì 
TH1: Nếu A khi đó đường thẳng AB đi qua hai điểm A,M nên có phương trình: 
Đường thẳng AD đi qua điểm A,N nên có phương trình:
Gọita có
-Với Cđường thẳng
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
Với C
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
TH2: Nếu Athực hiện tương tự.
Bài 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16 và đỉnh A. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD có phương trình là:và B có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Đường tròn có tâmvà bán kính
Tâm I cũng chính là tâm hình chữ nhật ABCD.
Vì I là trung điểm của AC
Phương trình đường
Ta có
Tọa độ điểm B,D là nghiệm của hệ phương trình:
Vì I là trung điểm của 
Vậy tọa độ ba điểm cần tìm là 
Bài 8
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai điểm A,B thuộc trục hoành và hai điểm C,D thuộc đường trònViết phương trình đường thẳng CD để diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Vì 
Tọa độ điểm C,D là nghiệm của hệ phương trình:
Không mất tính tổng quát giả sử.
Khi đó.
Ta có
Xét hàm sốtrên khoảng
Ta có
Lập bảng biến thiên suy ra
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất khi
Suy ra đường thẳng CD:.
Bài 9
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, đỉnh và đỉnh C thuộc đường thẳng. Gọi M là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D biết phương trình đường thẳng BM là: .
Hướng dẫn giải- đáp số 
Ta có thể tính tọa độ điểm C bằng cách viết phương trình đường thẳng BC tạo với BM một góc xác định hoặc chứng minhbằng véc tơ như sau.
Từ đó suy ra tọa độ điểm C.
Ta có:
Vậy
Đường thẳng
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Dựa vào giả thiết độ dài cạnh để tìm ra tọa độ 2 điểm B,D.
Bài 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Đường thẳng AB đi qua điểm, đường thẳng BC đi qua điểm,đường thẳng AD đi qua điểmvà CD đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD.
Hướng dẫn giải- đáp số 
Phương trình đường thẳng 
Đường thẳng
Theo giả thiết
TH1: Nếu 17a = 3b, chọn 
Đường thẳng.
Đường thẳng
Đường thẳng
Tọa độ điểmlà nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểmlà nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
TH2: Nếuthực hiện tương tự.
Tổng quát: Đề bài có thể yêu cầu cho AB = kBC hoặc có diện tích cho trước.
Bài 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD,đường phân giác trong gócđi qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình là:.Điểmthuộc đường thẳng AB. Tìm tọa độ các đỉnh D.q 
Hướng dẫn giải- đáp số 
Theo giả thiết
Đường thẳng .
Ta có
TH1:Nếu a=2b, chọn a=2,b=1
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Gọi là điểm đôi xứng của E qua đường thẳng 
Vì và trung điểm thuộc BM nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:
Đường thẳng BD đi qua 2 điểm B,nên có phương trình là: 
Suy ra 
Đường thẳng 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Ta có
Vậy tạo độ điểm D cần tìm là hoặc .
TH2:Nếu b=2a, chọn a=1, b=2
Thực hiện tương tự.
Bài 12
BÀI TOÁN: HÌNH VUÔNG
A. Lý thuyết cần ghi nhớ
Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh bằng nhau của hình vuông để tìm ra độ dài cạnh hình vuông, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng như phương trình các cạnh.
- Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau, có bốn góc bằng nhau và bằng 900. Từ đó suy ra hai cạnh của hình vuông luôn vuông góc
- Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hai đường chéo vuông góc với nhau và là đường phân giác của các góc trong hình vuông.
- Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình vuông có bốn trục đối xứng là:hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối và hai đường chéo của nó
B. Bài tập mẫu
Bài 1
Trong mpOxy,cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N trên CD sao cho CN=2ND. Biết và đường thẳng AN có phương trình: . Tìm tọa độ đỉnh A
Hướng dẫn giải
Đặt AB = a . 
Ta tính được: 
Tính được 
(AM) qua có dạng 
 . Điều kiện: 
Chọn b=1
Với 
Với 
Bài 2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM. 
Dễ thấy 
Điểm C Î d: 2x-y-7=0. ÞC(c;2c-7)
Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2)
Phương trình đường thẳng D trung trực của MN
đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+17=0
Điểm IÎD => I(5a - 17;a)
Vì DMIN vuông cân tại I và 
Với a=5 =>I(8;5) => A(11;9) (loại)
Với a=4 =>I(3;4) => A(1;1) (t/m)
Gọi E là tâm hình vuông nên 
Vì AC^BD ó 
Suy ra: C(7;7) => E(4;4)
Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x−7=0 ⇒B(7,1)⇒D(1,7)
Bài 3
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương trình đường thẳng DM: và .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
Hướng dẫn giải
Gọi A.Ta có khoảng cách: 
hay .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có Athoả mãn.
Gọi Dthì 
Do ABCD là hình vuông 
Hay D.
Kết luận A,, D
Bài 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), biết điểm M(-2;2) thuộc cạnh AB và điểm N(2;-2) thuộc cạnh CD. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông.
Hướng dẫn giải - đáp số
Đường thẳng AB: = 0, (a2+b2 > 0).
Đường thẳng CD: 
Vì ABCD là hình vuông nên d(I;AB) = d(I;CD).
TH1: Nếu a = b, chọn a = b = 1
Đường thẳng CD: 
TH2: Nếu a = -b, chọn a = 1, b = -1
Đường thẳng CD:
Ta có 
Ta có IA = IB = d.
Suy ra A,B nằm trên đường tròn tâm I bán kính R = 4.
Đường tròn này có phương trình là:
Tọa độ điểm A,B là nghiệm của hệ phương trình:
-Với A suy ra C
- Với A suy ra C.
Vậy tọa độ điểm cần tìm là A,Choặc A, C.
Bài 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết đỉnh A thuộc d1 và đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D nằm trên trục hoành.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Vì B,D 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Gọi I là tâm hình vuông thì I là trung điểm của AC
Mặt khác 
Ta có IA = IB = ID = 1.
Nên điểm B,D nằm trên đường tròn tâm I bán kính R = 1.
Tọa độ điểm B,D là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0).
Bài 6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1). Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa mãn MC = 2MD. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình là: 
Hướng dẫn giải - đáp số 
Ta có: cos
= .
Đường thẳng AC đi qua I(1;-1) có phương trình dạng:
AC: 
Ta có: 
TH1:a = 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Vì I là trung điểm của 
Đường thẳng
Gọi 
Do I,D khác phía với đường thẳng AM nên chỉ nhận 
Vì I là trung điểm của BD nên 
TH2: Thực hiện tương tự.
Bài 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d: . Đường thẳng BC đi qua điểm M, đường thẳng CD đi qua N thỏa mãn tam giác AMN cân tại A. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng MN là:
.
Do tam giác AMN cân tại A nên A nằm trên đường trung trực của MN.
Vậy tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng BC đi qua điểm Mcó phương trình:
BC:
Đường thẳng và đi qua Nnên có phương trình:
CD:
Vì ABCD là hình vuông nên 
TH1: Nếu a = 3b, chọn a = 3, b = 1AB:.
Đường thẳng CD:
Đường thẳng 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng
Tọa độ điểm D là nghiệm cử hệ phương trình:
TH2: Thực hiện tương tự.
Bài 8
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B,D thuộc trục hoành và điểm A thuộc đường thẳng , điểm C thuộc đường thẳngTìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD.
Hướng dẫn giải - đáp số
Vì 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ tâm I của hình vuông là trung điểmcủa AC nên .
Mặt khác 
Gọi ta có 
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là hoặc
Bài 9
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1). Gọi M là điểm nằm trên cạnh CD sao cho MC = 2MD, phương trình đường thẳng 
. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD.
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
.
Đường thẳng AC đi qua I có phương trình:
.
Ta có
TH1: Nếu b=0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Vì I là trung điểm AC
Đường thẳng .Ta có IB = ID = IA = 4.
Suy ra tọa độ điểm B,D là nghiệm của hệ phương trình:
Kiểm tra thấy B,D cùng phía với AM nên loại trường hợp này.
TH2: Nếu 4a = -3b, chọn a = 3,b = -4
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Vì I là trung điểm AC
Ta có
Ta có IB = ID = IA = 10.
Suy ra tọa độ điểm B,D là nghiệm của hệ phương trình:
Kiểm tra thấy B,D khác phía với AM nên thỏa mãn điều kiện.
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm làhoặc
Nhận xét: Với bài toán hình giải tích phẳng ta giải đa giác theo bài toán ngược nên cần kiểm tra lại do vậy rất dễ đưa đến kết quả sai nếu bỏ qua bước kiểm tra nghiệm.
Bài 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích băng 4 và tâm, đỉnh. Gọi K là điểm nằm trên CD sao cho góc giữa đường thẳng BK và CD bằng xác định bới. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,D biết K có tung độ dương.
Hướng dẫn giải - đáp số 
Vì I là trung điểm của 
Đường thẳng 
Đặt độ dài cạnh hình vuông bằng a > 0. Ta có 
Vì
Ta có 
Vậy K là điểm đói xứng của C qua D hoặc là điểm đối xứng của D qua C.
TH1: Nếu K là điểm đối xứng của D qua C.
Tam giác BDK vuông cân tại 
Ta có 
Vì K có tung độ dương nên 
Vì C là trung điểm 
Vì I là trung điểm 
TH2: Nếu K là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó ABDK là hình bình hành.
Giải hệ điều kiệnsuy ra tọa độ điểm
Bài 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh. Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa mãn MC = 2MB và N là điểm trên cạnh CD sao cho. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D biết phương trình đường thẳng MN là 
Hướng dẫn giải - đáp số 
Trước hết ta tìm vị trí của điểm N trên cạnh CD:
Ta có: 
Suy rado đó N là trung điểm canh CD.
Bài toán quy về dạng toán quen thuộc ta đi tính diện tích tam giác AMN theo hai cách để tìm ra độ dài cạnh hình vuông ABCD.
Đặt độ dài cạnh hình vuông ABCD bằng a > 0.
Ta có
Mặt khác
Do đó
Vì
.
TH1: Nếu tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
Đối chiếu với điều kiện A,C nằm khác phía với đường thẳng 
Ta có
Tọa độ trung điểm I của AC là.Vì I là trung điểm của .
TH2: Thực hiện tương tự.
Bài 12
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm nằm trên cạnh AC sao cho, phương trình đường thẳng MN là:.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết M có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải - đáp số
Đặt độ dài cạnh hình vuông bằng a > 0. Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có
Suy ra
Suy ra tam giác,vậy tam giác DMN vuông tại N.
Suy ra tọa độ điểm N là hình chiếu của D trên MN.
Dễ tìm được
Gọi
Ta có
Vì M có hoành độ dương nên
Ta có
Đường thẳng 
Đường thẳng BC đi quacó phương trình:
Ta có
TH1: Nếu a = 2b, chọn 
Đường thẳng
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Vì M là trung điểm Vì
TH2: Nếu a = -2b thực hiện tương tự.
Nhận xét: Để chứng minhta có thể dùng véc tơ hoặc nếu không nhân ra 
tính chất vuông góc ở trên các em vận dụng phương pháp tính diện tích tam giác DMN theo hai cách ta vẫn giải quyết được bài toán.
Bài 13
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểmlà trung điểm cạnh BC. Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADM là: . Tìm tọa độ đỉnh B biết A có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải - đáp số
Đặt độ dài cạnh hình vuông a > 0.
Theo giả thiết ta có
Gọi E là trung điểm của DM.
Trong tam giác ADM ta có:
Ta có
Mặt khác
Vậy ta có
Vì
Ta có phương trình:
Vì A có hoành độ dương nên .
Gọi . Ta có
Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy điểm cần tìm làhoặc
Nhận xét: Ngoài ra ta có thể viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và tạo với AM góc. Tính tọa độ điểm B theo hệ thức 
Để tìm điểm A ta viết phương trình đường thẳng AM đi qua A tạo với AE một góc xác định bởi:
Bài 14
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh .Gọi M là trung điểm cạnh AD, đường thẳng CM có phương trình là:. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Hướng dẫn giải- đáp số 
Ta có
Đường thẳng 
Ta có
TH1: Nếu a = 3b, chọn 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng
Ta có
Mặt khác B,D nằm khác phía so với CM nên nhận nghiệm .
Vì
TH2: Nếu b = 3a thực hiện tương tự.
Bài 15
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gỉa sử , tìm tọa đọ các đỉnh của hình vuông ABCD. 
Hướng dẫn giải-đáp số
Gọi suy ra B nằm trên đương tròn đường kính AM có phương trình:
Mặt khác 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
TH1: Nếu do M là trung điểm của 
Vì 
TH2: Nếu tương tự ta có ,
Vậy tọa độ 3 điểm cần tìm là hoặc 
Bài 16
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình vuông ABCD có tâm là gốc tọa độ và 2 cạnh AB,AD lần lượt đi qua các điểm và .Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD.
Hướng dẫn giải-đáp số
Đường thẳng
Vì 
Vì O là tâm hình vuông nên 
TH1: Nếu b=0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Vì O là trung điểm của 
Tọa độ điểm Blà hình chiếu vuông góc của C trên 
Tọa độ điểm D là hình chiếu vuông góc của C trên 
TH2:Nếu 2a=-b thực hiện tương tự.
KẾT LUẬN
Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây
Sáng kiến đã trình bày một số phương pháp giải các bài tập hình học phẳng trong các đề thi thi học sinh giỏi và Đại học, Cao đẳng.
Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải dạng toán này, từ đó các em có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh.
Nội dung của sáng kiến là một nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy. Hi vọng nó là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh, cũng như các bạn đồng nghiệp.
PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK – SBT Hình Học 10 (Cơ bản và nâng cao) – NXB Giáo Dục
2. Phương pháp giải toán Hình học giải tích trong mặt phẳng – Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội
3. Hình học giải tích – Phan Huy Khải – NXB Giáo Dục
4. Các đề thi thử Đại học, cao đẳng năm học 2013 – 2014 
5. Các đề thi thử kì thi THPT Quốc Gia năm học 2014 – 2015 
Xác nhận của lãnh đạo đơn vị
Bình Minh, ngày 20 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện
Đinh Hồng Chinh
Đỗ Thị Lan
Nguyễn Thị Lan Hương