Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số

ện (10a). 
Kết luận, PT đã cho có nghiệm là 
31 8 15
4
x  và 
31 8 15
4
x  . 
Bài 11 Giải PT 
4 1 1 3
1 2 4 2
x x
x x

 

 (11) 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 13 
Giải Điều kiện 
4 0
1
1 0
4
x
x
x
x
  

 

 (11a) 
Với điều kiện (11a), ta thấy 
4 1. 1
1 4
x x
x x



Do vậy, nếu đặt 
4
1
x u
x


, thì 1 1
4
x
x u

 . Điều kiện u > 0. 
PT (11) trở thành 
1 3
2 2
u
u
  
 2u2 - 3u + 1 = 0 ( Do u > 0 ) 
 u = 1 hoặc u = 1
2
. 
Với u = 1, trở về tìm x, giải 4 1
1
x
x


 4x = x - 1 
 1
3
x   ( thoả mãn điều kiện (11a)) 
Với u = 
1
2
, trở về tìm x, giải 4 1
1 2
x
x


4 1
1 4
x
x


 1
15
x   (thoả mãn điều kiện (11a)) 
Kết luân. Phương trình đã cho có nghiệm x = 1
3
 và x = 1
15
 . 
Chú ý Khi đặt điều kiện cho PT có thể giải điều kiện ra miền nghiệm, hoặc 
giữ nguyên ( với trường hợp học sinh chưa được học về bất phương trình). 
Nếu không giải, sau khi tìm được nghiệm ta sẽ thay vào điều kiện xem có 
thỏa mãn hay không, từ đó có kết luận nghiệm. 
Bài 12 Giải phương trình 
 4
6 12 122 0
2 2 2
x x x
x x x
  
   (12a) 
Giải. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 14 
 Điều kiện 
2 0
12 0
2
x
x
x
 


 
 (12a) 
 Đặt 
 4
12
2
x u
x

 . Khi đó, 
212
2
x u
x


; 
46 1
2 2
x u
x

 . 
PT (12) trở thành 
4 21 2 0
2
u u u   
 u( u - 2 )( u2 + 2u + 2 ) = 0 
 u = 0 hoặc u = 2 
Với u = 0, trở về tìm x, ta được 4
12 0
2
x
x


 x = 0 (thỏa mãn (12a)). 
Với u = 2, trở về tìm x, ta được 4
12 2
2
x
x


12 16
2
x
x


 4x = 32 x = 8 ( thỏa mãn điều kiện (12a)). 
Kết luận. Phương trình (12) có nghiệm x = 0 và x = 8. 
Bài 13 Giải PT    24 4 2 2 8x x x x      (13) 
Giải. 
 Điều kiện (4 - x)(2 + x) ≥ 0 (13a) 
Với điều kiện (13a), PT (13)  2 22 8 4 2 8 0x x x x        
 Đặt 2 2 8x x u    . Điều kiện u ≥ 0. 
 Khi đó, - x2 + 2x + 8 = u2 
PT (13) trở thành u2 - 4u = 0. 
 u = 0 hoặc u = 4. 
Với u = 0, trở về tìm x ta được 2 2 8 0x x    
 - x2 + 2x + 8 = 0 
 x = - 2 hoặc x = 4 ( thỏa mãn điều kiện (13a)) 
Với u = 4, trở về tìm x ta được 2 2 8 4x x    
 - x2 + 2x + 8 = 16 
 - x2 + 2x - 8 = 0. PT này vô nghiệm. 
 Kết luận. PT đã cho có nghiệm x = - 2 và x = 4. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 15 
Bài 14 Giải phương trình 
 22 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x        (14) 
 ( Đề thi tuyển sinh Bộ Quốc Phòng 2002 Khối D ) 
Giải. 
 Điều kiện 
2
2 3 0
1 0
2 5 3 0
x
x
x x
  

 
   
 (14a) 
Với điều kiện (14a) ta có nhận xét 
 22 3. 1 2 5 3x x x x     
 Đặt ẩn phụ 2 3 1u x x    . Điều kiện u ≥ 0 . 
 Khi đó, 2 23 2 5 3 4x x x u     . 
PT (14) với ẩn phụ có dạng u2 - 4 - 16 = u 
 u2 - u - 20 = 0 
 u = 5 hoặc u = - 4 < 0 (loại) 
Với u = 5 trở về tìm x, giải 
 2 3 1 5x x    
 23 4 2 2 5 3 25x x x      
 22 2 5 3 21 3x x x     
  2 2
21 3 0
4 2 5 3 441 126 9
x
x x x x
 
 
    
 2
7
146 429 0
x
x x

 
  
 x = 3 ( thoả mãn điều kiện (14a)) 
Kết luận. PT (14) có nghiệm duy nhất x = 3. 
Bài 15 Giải PT 
 27 2 7 35 2x x x x x      (15) 
Giải. Điều kiện 
2
0
7 0 0
7 0
x
x x
x x
 

   
  
 (15a) 
 Nhận xét 2. 7 7x x x x   
 Đặt ẩn phụ 7u x x   . Điều kiện u ≥ 0. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 16 
 Khi đó, 2 22 2 7 7x x x u    . 
PT (15) với ẩn phụ có dạng u2 + u – 42 = 0 
 u = 6 hoặc u = - 7 < 0 ( loại ) 
Trở về với ẩn x, ta được 
 7 6x x   
 22 7 2 7 36x x x     
 22 7 29 2x x x    
  2 2
29 2 0
4 7 841 116 4
x
x x x x
  
   
29
2
144 841
x
x
 
 
 
841
144
x  , thỏa mãn điều kiện (15a). 
Kết luận. PT (15) có một nghiệm duy nhất 
841
144
x  . 
Bài 16 Giải PT 
2
2
44 1212 44 63 0x x
x x
     (16) 
Giải. Điều kiện x ≠ 0. (16a) 
Với điều kiện (16a), PT 2 2
1 112 44 63 0x x
x x
          
   
Đặt 
1u x
x
  . Điều kiện 2u  . (16b) 
Khi đó, 
2 2
2
1 2x u
x
   . PT (16) với ẩn phụ có dạng 
 12( u2 - 2 ) – 44u + 63 = 0 
 12u2 – 44 u + 39 = 0 
 u = 13
6
 hoặc u = 3
2
 < 2, không thoả mãn điều kiện (16b) (loại) 
Với 
13
6
u  , trở về tìm x ta được 
1 13
6
x
x
  
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 17 
 6x2 – 13x + 6 = 0 
2
3
x  hoặc 
3
2
x  . Cả hai nghiệm đều 
thỏa mãn điều kiện (16a). 
Kết luận. PT (16) có hai nghiệm 
3
2
x  và 
2
3
x  . 
Bài 17 Giải PT x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0 (17) 
Giải. 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (17),chia cả hai vế của (17) cho x2 ta 
được PT 
2
2
1 15 2 0x x
x x
      
 
 (17a) 
Đặt 
1u x
x
  . Điều kiện 2u  (17b) 
 Khi đó, 2 22
1 2x u
x
   
PT (17a) với ẩn phụ u có dạng 
 u2 + 5u = 0. 
 u = - 5 
 hoặc u = 0(loại do không thoả mãn điều kiện (17b)) 
Trở về tìm ẩn x ta giải 
1 5x
x
   . 
 x2 + 5x + 1 = 0 
5 21
2
x    hoặc 
5 21
2
x   . 
Kết luận. PT (17) có hai nghiệm là 
5 21
2
x   và 
5 21
2
x   . 
 Nhận xét: Học sinh không học công thức nghiệm tổng quát của PT bậc 4, 
nên không thể giải PT (17) theo cách thông thường mà phải đưa về PT bậc 
hai với ẩn phụ u, sau đó mới giải PT ẩn phụ, rồi trở về tìm nghiệm x. 
Bài 18 Giải PT 
4 2
3 2
3 1 3x x
x x x
 

 
 (18) 
Giải. Điều kiện x3 + x2 – x ≠ 0. (18a) 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 18 
Vì x = 0 không là nghiệm của PT (18), chia cả hai vế của (18) cho x2 ta được 
PT 
2
2
1 3
31 1
x
x
x
x
 

 
 . Đặt 
1x u
x
  . Khi đó, 2 22
1 2x u
x
   . 
PT với ẩn phụ có dạng 
2 5 3
1
u
u



 u2 - 3u + 2 = 0 
 u = 1 hoặc u = 2. 
Với u = 1, trở về tìm x ta được 
1 1x
x
  x2 – x – 1 = 0 
1 5
2
x  hoặc 
1 5
2
x  ( thoả mãn (18a)) 
Với u = 2, trở về tìm x ta được 
1 2x
x
  x2 – 2x – 1 = 0 
 1 2x   hoặc 1 2x   .(thỏa mãn (18a)) 
Kết luận. PT đã cho có 4 nghiệm. 
1 5 1 5; ; 1 2
2 2
x x x     và 1 2x   . 
Bài 19 Giải PT 
4 2 21 1 2x x x x      (19) 
Giải. 
 Điều kiện 
2
2
2
1 0
1 0 1
1 0
x
x x x
x x
  

    

  
 (19a) 
Để ý rằng   2 21 1 1x x x x     . 
Với điều kiện (19a), PT (19) 
2
4 2
1 1 2
1
x x
x x
   
 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 19 
 Đặt 4 2 1u x x   .Do 1x  , nên 1u  . PT đã cho với ẩn phụ trở thành 
 2
1 2u
u
  u3 – 2u + 1 = 0 (u – 1)(u2 + u – 1) = 0 
 u = 1 hoặc 
1 5
2
u   ( loại do không thoả mãn 1u  ) 
Với u = 1, trở về tìm x , giải PT 4 2 1 1x x   
 2 1 1x x   21 1 0x x    (do x ≥ 1) 
 2
1 0
1 0
x
x
  
 
 x = 1.(thoả mãn điều kiện (19a)). 
Kết luận. PT có nghiệm duy nhất x = 1. 
*) Bài luyện tập Giải các phương trình sau 
 1) 2 22 2 4 3x x x x     
 2)   2( 1) 2 3 4x x x x     
 3) 3x4 + 7x3 + 7x +3 = 0 
4) x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0 
 (Hướng dẫn chia 2 vế cho x3 ) 
 5) 2 2
2 13 6
3 4 1 3 2 1x x x x x
 
    
 (Hướng dẫn, đưa PT về dạng 
2 13 61 13 4 3 2x x
x x
 
   
) 
 6)   2
421
1
x x
x x
 
 
 7)  22 2 2
151
1
x x
x x
  
 
 (Ẩn phụ u = x2 + x +1 ) 
 8)   5 3 1 5 3x x x x         
 9) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x        
10) 
22 7 2 7 35x x x x x      
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 20 
Dang 2: Chuyển bài toán từ phương trình ẩn x về phương trình với ẩn 
phụ nhưng hệ số vẫn còn chứa biến x 
*) Tóm tắt lý thuyết 
 +) Đặt điều kiện cho ẩn (nếu có). 
 +) Biến đổi PT về dạng có biểu thức chung. 
 +) Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ (nếu có). 
 +) Giải PT với ẩn phụ. 
 +) Giải PT với ẩn chính sau khi tìm được ẩn phụ. 
*) Bài tập mẫu 
Bài 20. Giải phương trình 
   2 24 1 1 2 2 1x x x x     (20) 
Giải. 
 Đặt 2 1u x  . Điều kiện u ≥ 1 (20a) 
 (20 )    2 24 1 1 2 1 2 1x x x x      
PT với ẩn phụ u có dạng 
 ( 4x - 1 )u = u2 + 2x - 1 
 2u2 - ( 4x - 1 )u + 2x - 1 = 0 
 Phương trình với nghiệm u có nghiệm 
 u = 2x - 1 và u = 
1
2 . 
 Nghiệm 
1
2
u  < 1, không thoả mãn (20a) nên bị loại. 
Với u = 2x - 1, trở về tìm x, ta được 
 2 1 2 1x x   
  22
2 1 0
1 2 1
x
x x
 
 
  
2
1
2
3 4 0
x
x x
 
 
  
4
3
x  . 
 Kết luận. PT (20) có nghiệm duy nhất 
4
3
x  . 
Bài 21 Giải PT 
 24 1 1 3 2 1 1x x x x       (21) 
Giải. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 21 
 Điều kiện 
2
1 0
1 0
1 0
x
x
x
  
  
  
 - 1 ≤ x ≤ 1 (21a) 
Đặt 1u x  . Điều kiện 0 ≤ u ≤ 2 (21b) 
(20)  4 1 2 2 1 2 1 1 . 1x x x x x x          
      1 2 1 1 2 1 2 1 0x x x x x          
Khi đó PT với ẩn phụ u có dạng 
    2 2 1 2 1 2 1 0u x u x x        
PT với ẩn u có nghiệm 
 2 1u x  và 2 1u x   . 
Trở về tìm x, ta giải 
 1 2 1x x   3
5
x   , thoả mãn (21a). 
và 1 2 1x x    1 1 2x x    
 22 2 1 4x   
 21 1x  x = 0, thoả mãn (21a). 
Kết luận. PT (21) có hai nghiệm x = 0 và x = 
3
5
 . 
Bài 22 Giải PT   2 22 1 2 1 2 1x x x x x      (22) 
Giải. 
 Điều kiện x2 + 2x - 1 ≥ 0 (22a) 
 (22)    2 22 1 2 1 2 1 4x x x x x x       
 Đặt 2 2 1u x x   . Điều kiện u ≥ 0. 
Ta có được PT với ẩn phụ u 
 2(1 - x) u = u2 - 4x u2 - 2(1 - x) u - 4x = 0 
 PT ẩn u có nghiệm u = 2 và u = - 2x. 
Trở về tìm x, giải 
 2 2 1 2x x   x2 + 2x - 5 = 0 
 1 6x    , thoả mãn điều kiện (22a). 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 22 
và 2 2 1 2x x x    2 2
2 0
2 1 4
x
x x x
 

  
 2
0
3 2 1 0
x
x x


  
, vô nghiệm. 
Kết luận. PT (22) có hai nghiệm 
 1 6x    và 1 6x    . 
*) Bài luyện tập Giải các PT sau bằng cách sử dụng ẩn phụ 
1) 2 21 2 4 1 2 1x x x x      
 ( Hướng dẫn, đặt 2 1u x  . Đáp số x =1 và x = 
1
2
 ) 
2) 2 12 1 36x x x    . 
 ( Hướng dẫn, đặt 1u x  . Đáp số x = 3 ). 
3) 4( x + 5 )( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3x2 
 ( Hướng dẫn, đặt u = x2 + 16x + 60. Đáp số x = - 8 và x = 15
2
 ) 
4)  3 23 1 3 1x x x x     
 ( Hướng dẫn, đặt ẩn phụ 2 1u x  . Đáp số 2 2x   ) 
5) 
1 1 12 1 3 0xx x
x x x

      , tìm nghiệm dương. 
 ( Hướng dẫn, đặt ẩn phụ 1xu
x

 . Đáp số 
1 5
2
x  . 
PHẦN III: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ, PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ 
VỚI NHIỀU HƠN MỘT ẨN PHỤ. 
*) Tóm tắt lý thuyết 
+) Đặt điều kiện cho ẩn x (nếu có). 
+) Đặt ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) 
+) Biểu diễn mối quan hệ giữa các ẩn phụ, kết hợp với PT ban đầu để được 
một hệ PT. 
+) Giải hệ PT với ẩn phụ. 
+) Giải PT với ẩn x 
*) Bài tập mẫu 
Bài 23 Giải PT 
 3 7 1x x   (23) 
 ( Đề thi Đại Học Luât Hà Nội 1996) 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 23 
Giải. Điều kiện x ≥ 0. (23a) 
Đặt 
3 7u x
v x
  


 , điều kiện v ≥ 0. 
 Ta có được 
3
2
7x u
x v
  


 => u3 - v2 - 7 = 0. Kết hợp với PT (23) ta có hệ 
 3 2
1
7 0
u v
u v
 

  
, thay v từ PT đầu vào PT sau ta được PT 
 u3 - u2 + 2u - 8 = 0 u = 2 và v = 1. 
Trở về giải x ta được 
3 7 2
1
x
x
  


 x = 1 , thoả mãn (23a). 
 Kết luận, PT có nghiệm duy nhất x = 1. 
Bài 24 Giải PT 
31 1x x   (24) 
 (Đề thi ĐH Ngoại Thương Hà Nội 1996) 
Giải. Điều kiện x + 3 ≥ 0 x ≥ - 3. 
 Đặt 
3
3u x
v x
  


, điều kiện u ≥ 0 
 Ta có được 
2
3
3x u
x v
  


 => v3 - u 2 + 3 =0 
Kết hợp với (24) ta được hệ 
 3 2
1
3 0
u v
v u
 

  
 => v3 - v2 - 2v + 2 = 0 
 v = 1 (u = 2) hoặc 2v  ( 2 1u   ) 
 hoặc 2v   ( 1 2u   < 0, loại) 
Với v = 1, trở về tìm x, giải PT 3 1x  x = 1. 
Với 2v  , trở về tìm x, giải PT 3 2x  
 2 2x  . 
Kết luận. 
 PT (24) có hai nghiệm x = 1 và 2 2x  . 
Bài 25 Giải PT 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 24 
 3 2 1 1x x    (25) 
 (Đề thi ĐH Tài Chính Kế Toán 2000) 
Giải. Điều kiện x - 1 ≥ 0 x ≥ 1. (25a) 
 Đặt 
3 2
1
u x
v x
  

 
. Điều kiện v ≥ 0. 
Ta ẩn phụ ta có được 
3
2
2
1
x u
x v
  

 
. => u3 + v2 = 1 
Kết hợp với PT ban đầu ta có hệ 
3 2 1
1
u v
u v
  

 
 3 2
1
4 3 0
u v
v v v
 

  
0
1
v
u



, hoặc 
1
0
v
u



, hoặc 
3
2
v
u


 
Với v = 0, trở về tìm x, ta được x = 1. 
Với v = 1, trở về tìm x, ta được x = 2. 
Với v = 3, trở về tìm x, ta được x = 10. 
 Cả ba nghiệm x đều thỏa mãn điều kiện (25a). 
Kết luận. 
 PT đã cho có ba nghiệm x = 0, x = 2 và x = 10. 
Bài 26 Giải PT 
 3 3 2 3 6 5 8x x    (26) 
 (Đề thi Đại Học Khối A- 2009) 
Giải. 
 Điều kiện 6 - 5x ≥ 0. (26a) 
Đặt ẩn phụ 
3 3 2
6 5
u x
v x
  

 
. Điều kiện v ≥ 0. 
Từ ẩn phụ ta có được 
3
2
2
3
6
5
ux
vx
 


 
 => 5u3 + 3v2 - 8 = 0. 
Kết hợp với PT (26) ta được hệ
3 25 3 8
2 3 8
u v
u v
  

 
3 2
8 2
3
15 4 32 40 0
uv
u u u
 

    
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 25 
  2
8 2
3
2 15 26 20 0
xv
u u u
 

    
2 0
8 2
3
u
uv
 



2
4
u
v
 


( thoả mãn 
điều kiện v ≥ 0 ) 
 Với u = - 2, trở về tìm x, giải PT 3 3 2 2x    
 3x - 2 = - 8 
 x = -2 ( thoả mãn (26a). 
Kết luận. PT (26) có nghiệm duy nhất x = - 2. 
Bài 27 Giải PT 
 32 21 2 1 3x x    (27) 
 (Đề thi Đại Học Giao Thông Vận Tải 1999) 
Giải. 
 Điều kiện 1 - x2 ≥ 0. (27a) 
 Đặt ẩn phụ 
2
3 2
1
1
u x
v x
  

 
. Điều kiện u ≥ 0. 
Từ cách đặt ẩn phụ ta có 
2 2
2 3
1
1
x u
x v
  

 
. Kết hợp với PT ban đầu ta được 
hệ 2 3
2 3u v
u v
 


 3 2
3 2
4 12 9 0
u v
v v v
 

   
   2
3 2
1 3 9 0
u v
v v v
 
    
1
1
v
u



(thỏa mãn điều kiện u ≥ 0) 
Với 
1
1
u
v



, trở về tìm x, giải 
2
3 2
1 1
1 1
x
x
  

 
 x = 0.(thoả mãn điêu kiện (27a). 
Kết luận. 
 PT (27) có nghiệm duy nhất x = 0. 
Bài 28 Giải PT 
 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x       (28) 
Giải. Điều kiện 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 26 
8 1 0
3 5 0
7 4 0
2 2 0
x
x
x
x
 
  

 
  
 (28a) 
Đặt ẩn phụ 
 8 1; 3 5; 7 4; 2 2u x v x z x t x        
Điều kiện u ≥ 0; v ≥ 0; z ≥ 0; t ≥ 0. 
Ta thu được hệ 2 2 2 2
u v z t
u v z t
  

  
       
u v z t
u v u v z t z t
  
     
 Vì u ≥ 0; v ≥ 0, nên u + v > 0 và không đồng thời bằng không. 
Ta thu được hệ 
u v z t
u v z t
  

  
 u = z. 
Trở về tìm x, giải 8 1 7 4x x   x = 3 (thỏa mãn (28a)) 
Kết luận 
 PT (28) có nghiệm duy nhất x = 3. 
*) Bài luyện tập Giải các PT sau bằng cách đặt ẩn phụ. 
1) 2 23 10 5x x    . Đáp số 1x   . 
2)  23 9 3 6x x    . Đáp số x = 1. 
3) 
   3 3
3 3
34 1 1 34
30
34 1
x x x x
x x
    

  
. Đáp số x = 7 và x = 26. 
4) 3 24 12 6x x    . Đáp số x = - 88; x = - 24; x = 3. 
5)    41 2. 1 2. 1 1x x x x x x        
 Đáp số 
1
2
x  . 
C. Kết quả đã đạt được khi áp dụng đề tài 
 Năm học 2009 - 2010, tôi đã thực hiện đề tài này đối với học sinh các lớp 
10A11, 10A12, 10A13 là các lớp học sinh diện đại trà khối lớp 10. Kết quả 
các số liệu đối chứng như sau: 
 Đầu tiên, tôi cho các em làm các bài tập về PT hữu tỷ, PT vô tỷ có sử dụng 
ẩn phụ như bài 6, bài7, bài 8, bài 9 ra giấy và tôi thu được kết quả như sau 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 27 
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0 - 2 
 10A11 35 0 1 3 6 25 
 10A12 43 1 4 5 15 18 
 10A13 45 0 2 4 16 23 
 Với kết quả tổng hợp bảng trên và thực tế làm bài của học sinh tôi thấy 
hầu như các em chưa có kỹ năng sử dụng ẩn phụ và biến đổi PT về dạng cơ 
bản đã được học về PT bậc hai, PT vô tỷ hay hữu tỷ. 
 Tôi đã tập trung dạy cho các em về kỹ năng sử dụnh ẩn phụ vào các giờ 
học tự chọn, nhằm cung cấp cho các em kỹ năng sử dụng ẩn phụ vào giải các 
PT vô tỷ, PT hữu tỷ nhằm khai thông sự bế tắc của con đường tri thức về 
giải PT đại số của học sinh. Với nội dung chuyển PT sang ẩn phụ và không 
có ẩn x trong PT ẩn phụ thì đa phần học sinh đã biết quan sát cái chung, cái 
riêng của mỗi PT và có kết quả khả quan. Nội dung chuyển PT sang ẩn phụ 
nhưng trong PT mới vẫn còn ẩn x thì việc tiếp thu chậm hơn, vì khi đăt ẩn 
phụ các em thường không có thói quen tách được ẩn x ra khỏi PT và coi đó 
là tham số của bài toán và giải PT theo tham số x. 
 Với nội dung chuyển ẩn x sang bài toán sang bài toán có nhiều hơn một 
ẩn phụ thì kết quả cũng có phần khả quan. Khi chuyển bài toán một ẩn x 
sang bài toán hai ẩn phụ u, v thì đa phần học sinh có được cách nhìn nhận ẩn 
phụ, học sinh biết cách chuyển từ PT một ẩn sang hệ PT hai ẩn để đi đường 
vòng và dễ đi đến đích hơn. Nhưng với nội dung chuyển một ẩn x sang 
nhiều hơn hai ẩn phụ thì kết quả còn hạn chế. 
 Tôi đã cho học sinh làm các bài tập 17, 18, 20, 22, 23, 26, 28, kết quả thu 
được như sau: 
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0 - 2 
 10A11 35 1 7 12 10 5 
 10A12 43 5 10 19 8 1 
 10A13 45 3 10 23 8 1 
 Với kết quả như trên và thực tế làm bài của các em, tôi nhận thấy cách sử 
dung ẩn phụ trong giải toán đã có kết quả tốt, tuy không được như mong đợi. 
Đó cũng là một công cụ rất hữu hiệu để giúp các em có cách giải PT đại số 
một cách thành thạo và làm cho các em tự tin hơn khi chuyển sang bất PT 
đại số, PT lượng giác, tính tích phân bằng cách sử dụng ẩn phụ của các 
phần sau bậc THPT. Chính vì thế tôi nghĩ cách sử dụng ẩn phụ trong giải PT 
đại số của tôi đưa ra là khả quan. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 28 
IV. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
 Với cách sử dung ẩn phụ trong giải PT đại số nói riêng và trong toán học 
nói chung có thể nói là cách đi theo đường vòng, nhưng cách đến đích dễ 
dàng hơn. 
 Với đề tài “ Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số ”, bản thân 
tôi nhận thấy rằng: Bên cạnh những phương pháp dạy học theo hướng tích 
cực hoá hoạt động của học sinh thì xu hướng dạy học theo định hướng phát 
triển tư duy là cần thiết, đặc biệt là với đối tượng học sinh khá giỏi. Các bài 
tập được đưa ra tôi đã cố gắng chọn lọc sắp đặt và trình bày theo một trình 
tự từ dễ đến khó để học sinh dễ dàng tiếp cận và vận dụng hiệu quả. Bên 
cạnh những thành công nói trên, song do thời gian còn eo hẹp nên khó tránh 
khỏi những thiếu sót. 
 Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của đòng nghiệp và của hội 
đồng khoa học cấp cơ sở để đề tài đạt được kết quả cao hơn trong những 
năm học tới. 
 Xin chân thành cảm ơn! 
 Quốc Oai, ngày 16 tháng 4 năm 2010 
 Tác giả Nguyễn Đình Tú 
Tài liệu tham khảo 
1) Đại số 10 - Cơ bản . 
 Nhà xuất bản Giáo Dục. 
2) Đại số 10 - Nâng cao . 
 Nhà xuất bản Giáo Dục. 
3) Dùng ẩn phụ để giải toán. 
 Nguyễn Thái Hoè. Nhà xuất bản Giáo Dục. 
4) Tạp chí Toán Học & Tuổi Trẻ. 
 Các số ra năm 2009. Nhà xuất bản Giáo Dục. 
 Nhận xét, đánh giá của hội đòng khoa học cấp cơ sở. 
SKKN - Sử dụng ẩn phụ trong giải phương trình đại số 
Nguyễn Đình Tú Trường THPT Quốc Oai 29