Sáng kiến kinh nghiệm So sánh phân số như thế nào

so sánh phân số như thế nào?
người viết: Nguyễn Hồng Quang
Đơn vị: Trường TH hồng đức
Ninh giang-hải dương
 Hồng đức-tháng 3 năm 2006
Mục lục
Trang
1
2
3
4
4
5
5
6
7
8
15
17
18
Nội dung
Trang
Mục lục
2
Phần 1: Đặt vấn đề
3
I. Cơ sở lí luận
3
II. Cơ sở thực tiễn.
4
III. Phương pháp nghiên cứu.
4
IV.Tài liệu tham khảo.
4
 Phần 2: Giải quyết vấn đề
 A. Một số khó khăn của học sinh khi so sánh hai phân số.
6
I. Một số khó khăn của học sinh.
6
Khảo sát chất lượng.
7
Nguyên nhân và ý kiến.
8
Các cách so sánh hai phân số.
9
Một số bài tập ứng dụng.
16
Kết quả khảo sát.
18
Phần 3: Đánh giá chung và kết luận.
20
Phần 1: Đặt vấn Đề
i. Cơ sở lí luận
 Trong những năm gần đây, hoà chung với sự nghiệp đổi mới của đất nước, ngành giáo dục đang thực hiện những đổi mới toàn diện đồng bộ để góp phần chuẩn bị năng lực học vấn và thích ứng chủ động cho thế hệ trẻ, cho người lao động Việt Nam trong công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Một trong những đổi mới cơ bản của ngành là đổi mới phương pháp dạy và học, hơn thế nữa “ở các bậc học càng thấp, phương pháp dạy học lại càng quan trọng” (Giáo sư Trần Hồng Quân). Định hướng chung của đổi mới phương pháp dạy học là coi trọng học tập của học sinh, rèn luyện cho học sinh tính năng động, sáng tạo, việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo bằng cách tích cực hoá hoạt động học tập của chúng. Để thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh trở thành những người lao động, tự chủ, năng động, sáng tạo, việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng của nhà trường, trong đó cần sự đóng góp không nhỏ của giáo viên dạy bộ môn Toán.
ii.Cơ sở thực tiễn
	Tôi ra trường cách đây 11 năm, nhưng thật may mắn cho tôi là có 10 năm tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Quả là những điều đã biết chỉ là giọt nước, năm đầu tiên tôi hoàn toàn thất bại vì kiến thức và cách thức bồi dưỡng còn nhiều hạn chế. Rút kinh nghiệm cho năm sau, tôi đi sâu vào nghiên cứu các đề đã thi và các sách tham khảo. Sau hai năm bồi dưỡng và học hỏi tôi đã dần dần phân loại được các dạng toán. Giờ đây sau 10 năm tích lũy kinh nghiệm, theo dõi các đề thi của các nơi tôi thấy có mảng toán về so sánh phân số xuất hiện ở rất nhiều đề thi. Qua thực tế tham gia công tác giảng dạy bồi dưỡng và chấm thi, tôi thấy rằng học sinh còn lúng túng khi chọn lựa các phương pháp so sánh phân số; nhầm lẫn khi thực hiện. Do vậy tôi thấy rằng cần phân loại chỉ ra tính chất đặc trưng của các phương pháp so sánh phân số là cần thiết mà học sinh cần đạt. Quan điểm bồi dưỡng HS giỏi của tôi là "bồi dưỡng sâu chứ không bồi dưỡng cao". Với quan điểm đó, trong phạm vi của đề tài này tôi muốn đi sâu vào lĩnh vực "So sánh phân số như thế nào ?" 
iii.phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thống kê.
Phương pháp trực quan.
Phương pháp thực nghiệm.
Phương pháp điều tra.
IV. tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa lớp 4, lớp 5.
Sách giáo viên lớp 4, lớp 5.
Hỏi đáp về dạy học toán 5.
Toán tuổi thơ từ số 1 đến số 72.
Học vui toán 4, toán 5.
Phần 2: giải quyết vấn đề
a. một số khó khăn của hs khi so sánh phân số.
I. một số khó khăn của học sinh
	Thông thường HS được học ở trong sách giáo khoa cách so sánh phân số với một hoặc cùng mẫu số hoặc cùng tử số. Hiện nay trong sách giáo khoa đã xuất hiện nhiều bài toán yêu cầu học sinh so sánh một cách linh hoạt hơn. Các bài toán nâng cao hoặc thi học sinh giỏi thì lại không cho phép quy đồng mẫu số hoặc quy đồng tử số. Nghĩa là học sinh có rất ít cách so sánh phân số. Học sinh được học thêm một số cách so sánh phân số như phần bù tới 1, phân số trung gian ... Nhưng tìm phân số trung gian như thế nào đây? Khi so sánh hai phân số thông qua phân số trung gian thì học sinh thường tìm phân số trung gian bằng cách lấy tử số của phân số này ghép với mẫu số của phân số kia để được phân số trung gian. Ví dụ khi so sánh hai phân số và thông qua phân số trung gian thì nhiều học sinh dễ dàng lấy 8 làm tử số và 16 làm mẫu số của phân số trung gian để được phân số . Cách này chỉ là may mắn nhiều trường hợp không làm được. Ví dụ so sánh hai phân số và .
	 Trong phạm vi đề tài này tất cả những vướng mắc trên sẽ được giải quyết.
ii. khảo sát chất lượng.
	Đầu năm học, sau phần ôn tập lớp 4 tôi đã tiến hành khảo sát hai lớp 5A và 5B, mỗi lớp 10 em. Đề bài và kết qua như sau:
Đề bài
Bài kiểm tra số 1 (thời gian làm bài 45 phút)
 Bài 1.
	So sánh hai phân số sau:
 và 
Bài 2.
	So sánh hai phân số sau bằng cách không quy đồng tử số và mẫu số:
 và 
Bài 3.
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
 ; ; ; ; và 
Lớp
Số HS
G
K
TB
Y
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5A
10
0
0
3
30
5
50
2
20
5B
10
0
0
4
40
4
40
2
10
iii. nguyên nhân và ý kiến
1. Nguyên nhân:
	- Học sinh nắm không chắc 2 phương pháp so sánh phân số cơ bản đã học trong chương trình.
	- Học sinh không biết các phương pháp so sánh phân số thông dụng.
	- Sự vận dụng còn máy móc, miễn cưỡng.
 2. ý kiến:
	- Cần giúp học sinh có được các phương pháp so sánh phân số.
	- Cần có kĩ năng xác định và lựa chọn phương pháp so sánh phân số một cách hợp lí nhất.
	- Học sinh phải linh hoạt trong khi giải một số bài tập để đưa về cách so sánh phân số.
	Đề tài này được áp dụng tại lớp 5A, trường...
B. các cách so sánh hai phân số.
	- So sánh phân số với 1 (với đơn vị)
	- So sánh hai phân số bằng cách đổi ra hỗn số.
	- So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù tới 1.
	- So sánh hai phân số bằng cách đổi ra số thập phân.
	- So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
	- So sánh hai phân số bằng cách cộng thêm với cùng một phân số.
	- So sánh hai phân số bằng cách chia hai phân số.
	- So sánh hai phân số bằng cách gấp lên cùng một số lần.
	- So sánh hai phân số bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng.
	- So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số hai phân số.
	- So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số hai phân số.
	- So sánh bằng cách nhân chéo (Tích trung tỉ, tích ngoại tỉ).
	- So sánh hai phân số bằng cách so sánh hai phân số đảo ngược của hai phân số đó.
1) So sánh phân số với 1 (với đơn vị)
	Đây là cách làm đặc biệt thú vị, nó đem lại kết quả bất ngờ và nhanh nhất.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: > 1 (Phân số có tử số lớn hơn mẫu số)
 < 1 (Phân số có tử số bé hơn mẫu số)
	Vì > 1 ; .
2) So sánh hai phân số bằng cách đổi ra hỗn số.
	Đây là cách phát huy tính sáng tạo của học sinh mà không lệ thuộc vào cách quy đồng mẫu số hoặc tử số.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: = 	;	= 
	Vì 5 > 4 nên > hay > .
	* Lưu ý: cách này chỉ áp dụng cho các phân số có tử số lớn hơn mẫu số. 
3) So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù tới 1.
	Đây là một trong những cách mà thông thường học sinh giỏi nào cũng phải nắm chắc.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 	+ Phần bù tới 1 của là: 1 - = 
 	+ Phần bù tới 1 của là: 1 - = 
	Ta thấy > nên < (phân số nào được bù ít hơn thì lớn hơn).
4) So sánh hai phân số bằng cách đổi ra số thập phân.
	Cách này chủ yếu là tiền đề cho cách so sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: = 0,3125 ; = 0,45.
	Ta thấy: 0,3125 < 0,45 nên < .
	* Lưu ý: Trong các đề thi học sinh giỏi thường không cho phép đổi ra số thập phân nên cách này chỉ dùng để đối chiếu so sánh. 
5) So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Từ việc đổi hai phân số ra số thập phân ta sẽ tìm một số thập phân X sao cho 0,3125 < X < 0,45. Nhưng X lại phải dễ dàng đổi ra được phân số. 
 Từ yêu cầu trên ta có thể tìm ra được các số thập phân X là 0,333 hoặc 0,4 ... Mà 0,333 = ; 0,4 = 
	Như vậy ta đã chọn được vài phân số trung gian, chẳng hạn như so sánh qua phân số trung gian là .
	Ta có: = 
	Vì < < nên < 
6) So sánh hai phân số bằng cách cộng thêm với cùng một phân số.
	Cách này là cách khá hay nó phát triển được tư duy của học sinh nhưng thường phù hợp với các phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên nhỏ.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: + = < 1
	 + = > 1
	Như vậy: + < + hay < .
7) So sánh hai phân số bằng cách chia hai phân số.
	Cách này dựa trên cơ sở so sánh thương số với 1 để biết được số bị chia lớn hay số chia lớn: Ta có hai phân số A và B. 
	Nếu A : B > 1 thì số bị chia lớn hơn số chia hay A > B
	Nếu A : B = 1 thì số bị chia bằng số chia hay A = B
 	Nếu A : B < 1 thì số bị chia nhỏ hơn số chia hay A < B
	Điều này xuất phát từ cơ sở so sánh phân số với 1, nhưng A và B không phải là tử số và mẫu số mà là một phân số.	
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 	Ta có: : = = 
	 Ta thấy thương của phép chia : là < 1 nên số bị chia của phép chia nhỏ hơn số chia hay < .
	Hoặc là: : = = 
 Ta thấy thương của phép chia : là > 1 nên số bị chia của phép chia lớn hơn số chia hay > .
8) So sánh hai phân số bằng cách gấp lên cùng một số lần.
	Đây là cách so sánh rất đơn giản nhưng mang lại hiệu quả rất cao.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: 1 
	Ta thấy: 1 nên < hay < .
9) So sánh hai phân số bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng.
	Đây là cách so sánh trực quan rất dễ hiểu. 
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Ta thấy phần đoạn thẳng biểu thị phân số ngắn hơn phần đoạn thẳng biểu thị phân số nên < .
*Lưu ý: Cách làm này dễ hiểu nhưng nhược điểm của nó là chỉ hiệu quả với những phân số có tử số và mẫu số là những số tự nhiên nhỏ.
10) So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số hai phân số.
	Cách so sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số hay tử số chỉ là để nhằm nêu và thống kê cho nhiều cách so sánh hai phân số, chứ trong các đề thi HS giỏi thường không cho phép quy đồng mẫu số hoặc quy đồng tử số.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: = ; = 
	Vì < nên < .
11) So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số hai phân số.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
	Ta có: = ; = 
	Vì < nên < .
12) So sánh bằng cách nhân chéo (Tích trung tỉ, tích ngoại tỉ).
	Cách này phù hợp với lớp 6, tôi đưa ra đây chỉ mang tính giới thiệu để tham khảo.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Ta có: 5 20 = 100 ; 16 9= 144
 Vì 5 20 < 16 9 nên < .
13) So sánh hai phân số bằng cách so sánh hai phân số đảo ngược của hai phân số đó.
	Ta có > thì ta khẳng định được rằng < (miễn chứng minh).
	Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Ta đảo ngược phân số thành phân số và thành phân số .
 Ta có: = 	;	= 
	Vì 3 > 2 nên > hay > .
Ta thấy phân số (là phân số đảo ngược của phân số ) lớn hơn phân số (là phân số đảo ngược của phân số phân số ) nên < .
	Trên đây là một số cách so sánh phân số, có thể nó chưa tổng hợp hết được các cách nhưng phần nào cũng đã đủ trang bị để học sinh tự tin trong quá trình làm bài tập về so sánh phân số. Với mỗi bài tập cụ thể thì học sinh phải biết vận dụng linh hoạt những kiến thức học được để làm bài một cách hợp lí. Sau đây là một số bài tập củng cố, ứng dụng lí thuyết so sánh phân số ở trên.
 C. một số bài tập ứng dụng.
 Bài 1.
	So sánh hai phân số sau bằng cách không quy đồng tử số và mẫu số:
 và 
Bài 2.
	So sánh hai phân số sau:
 và 
 Bài 3.
So sánh hai phân số sau bằng nhiều cách.
 và 
Bài 4.
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
 ; và 
Bài 5.
 Cho:A = và B = 
Hãy so sánh A và B.
Bài 6.
 Cho:A = và B = 
Hãy so sánh A và B.
 Bài 7.
So sánh hai phân số sau.
 và 
	Bài 8.
Chọn hai phân số trong các phân số sau rồi tìm thương của chúng sao cho thương đó là lớn nhất.
 ; ; ; và 
Bài 9.
Chọn hai phân số trong các phân số sau rồi tìm thương của chúng sao cho thương đó là nhỏ nhất.
 ; ; ; và 
Bài 10.
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
 ; ; ; ; và 
Bài 11.
So sánh hai phân số sau bằng ít nhất 5 cách.
 và 
Bài 12.
So sánh hai thương số sau:
A = 2006 : 2007 và B = 20 000 000 006 : 20 000 000 007 
D. Kết quả khảo sát
1. Khảo sát kiểm chứng.
	Đến cuối tháng 1 năm 2007, tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng 20 em học sinh ở hai lớp 5A và 5B đã tham gia khảo sát đầu năm. Đề bài và kết qua như sau:
Đề bài
Bài kiểm tra số 2 (thời gian làm bài 45 phút)
 Bài 1.
	So sánh hai phân số sau bằng cách không quy đồng tử số và mẫu số:
 và 
 Bài 2.
	So sánh hai phân số sau:
 và 
 Bài 3.
So sánh hai phân số sau bằng cách hợp lí nhất.
 và 
Bài 4.
So sánh hai phân số sau bằng nhiều cách.
 và 
Bài 5.
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
 ; và 
Lớp
Số HS
G
K
TB
Y
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5A
10
5
50
3
30
2
20
0
0
5B
10
1
10
3
30
4
40
2
20
2) Đánh giá kết quả.
	Qua lần khảo sát đầu ta thấy các em có trình độ ngang nhau, nhưng đến bài khảo sát thứ hai ta thấy kết quả của lớp 5A tốt hơn lớp 5B. Theo tôi để có được kết quả học tập tốt thì bên cạnh việc cố gắng không ngừng của học trò, nhưng điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp. Người giáo viên phải trang bị được các kiến thức cơ bản và nâng cao một cách phù hợp cho học sinh. Trong quá trình áp dụng sáng kiến này, các giờ học toán nói chung và những tiết toán về phân số đã nhẹ nhàng hơn, hiệu quả hơn. 
phần 3: đánh giá chung và kết luận.
- Mọi giáo viên dạy học sinh lớp 4 lớp 5 đều có thể tham khảo, áp dụng đề tài này trong việc lên kế hoạch, giảng dạy cho học sinh.
- Đề tài này nếu được các đồng chí nghiên cứu, áp dụng sẽ đem lại hiệu quả cao trong giảng dạy các bài tập về phân số cũng như các dạng toán cơ bản liên quan đến phân số.
- Học sinh nắm chắc các phương pháp so sánh phân số sẽ hứng thú và học tập hiệu quả cao hơn khi học các dạng toán liên quan.
- Với giáo viên trong quá trình dạy không chỉ chú ý tới kiến thức mà còn phải quan tâm đến phương pháp làm bài. 
	- Trên đây là những kinh nghiệm của tôi trong quá trình lao động làm việc. Song, đó chỉ là những kinh nghiệm vận dụng của riêng bản thân tôi, kính mong sự góp ý tận tình của đồng nghiệp, mong được sự giúp đỡ chỉ bảo của các cấp lãnh đạo.
	Tôi xin trân trọng cảm ơn !
	Hồng Đức, thỏng 3 năm 2006
	Nguyễn Hồng Quang