Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy sáng tạo qua một số dạng toán phương trình nghiệm nguyên

và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 
 y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ị 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3
 ị x2 – 2 y2 chia cho 5 dư 1 hoặc 2(loại)
 Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm
Ví dụ 21: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn
 x2 + = 3026
Hướng dẫn:
	Xét y = 0 ị x2 + 30 = 3026 ị x2 = 3025
 mà x є N ị x = 55
Xét y > 0 ị 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
ị x2 + chia cho 3 dư 0 hoặc 1
mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)
 Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)
VI. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố
Ví dụ 22: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn 
 xy + 1 = z 
Hướng dẫn:
Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ị z > 3
Mà z nguyên tố ị z lẻ ị xy chẵn ị x chẵn ị x = 2
Xét y = 2 ị 22 + 1 = 5 là nguyên tố ị z = 5 (thoả mãn)
Xét y> 2 ị y = 2k + 1 	(k є N)
ị 22k+1 + 1 = z ị 2. 4k + 1 = z
Có 4 chia cho 3 dư 1 ị (2.4k+1) 3 ị z 3 	(loại)
Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn
Ví dụ 23 : Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương
Hướng dẫn:
đặt 4p + 1 = x2	(x є N)
ị x lẻ đặt x = 2k + 1 	(k є N)
ị 4p + 1 = (2k + 1)2 Û 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 Û p =k(k+1)
	Û k(k + 1) chẵn ị p chẵn, p nguyên tố ị p = 2
VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng
Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
 Ta có x2 + y2 –x – y = 8
Û 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32
Û (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34
	Û (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52
Do đó ta có 	 = 3	hoặc	 = 5
	 = 5	 = 3
Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.
Ví dụ 25: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169
Û (x – 2y)2 + y2 = 169 
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
ị 	 = 0	hoặc 	 = 13
	 = 13	 = 0
 hoặc 	 = 5	hoặc 	 = 12
	 = 12	 = 5
Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
VIII .Phương pháp 8: Lùi vô hạn
Ví dụ 26: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình
 x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0 
ta có x - 5y = 0 ị x0 5 đặt x0 = 5 x1
Ta có (5x1) 2 – 5y = 0 Û 5x- y = 0
ị y0 5 đặt y0 = 5y1 ị x- 5y = 0 
Vây nếu (x0,,y0) là nghiệm của phương trình đã cho thì
(,) cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như vậy (,) với k nguyên dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi x0 = y0 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0
Ví dụ 27: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y đều là số lẻ ị x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1 
 	 x2y2 chia cho 4 dư 1	
	 x2 + y2 chia cho 4 dư 2	z2 chia cho 4 dư 3 (loại)
	 mà x2 + y2 + z2 = x2 y2
 ị x chẵn hoặc y chẵn
	* Giả sử x chẵn ị hoặc y chẵn
	* Giả sử x chẵn ị x2 , x2y2 chẵn
ị x2 4 ị x2 y2 4ị (y2 + z2) 4 ị y và z phải đồng thời chẵn 
Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta có
 x+ y+z = xy
 lập luận tương tự ta có x + y + z = 16 xy
 quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì (,,) là nghiệm của phương trình với k nguyên dương
 ị x1 = y1 = z1 = 0 
 Vậy pt có nghiệm là (0, 0, 0)
IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 
	Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số
Ví dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên 
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta có pt 	3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Û y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) ± 
Do y nguyên, x nguyên ị nguyên 
Mà = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – 4
ị x2 – 4 = n2 	(n є Z)
ị (x- n) (x+ n) = 4	ị x = ± 2
ị x – n = x + n = ± 2 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
Ví dụ 29: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
	Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 
Ta có 	x1 + x2 = y + 5
	x1 x2 = 5y + 2	Theo định lý Viet
 ị 	5x1 + 5x2 = 5y + 25
	x1x2 = 5y + 2
ị 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23
Û (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)
ị x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ị y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta tìm được các cặp số 
(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
X- Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức
Ví dụ 30: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 Û (x- )2 = 3 - 
Ta thấy (x- )2 ³ 0 ị 3 - ³ 0 ị -2 Ê y Ê 2
ị y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x 
Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
Ví dụ 31: Chứng minh rằng phương trình 
 + + = b không có nghiệm tự nhiên khi b = 1 hoặc b = 2 nhưng có vô số nghiệm tự nhiên khi b = 3
	Hướng dẫn:
Ta thấy x, y, z є Zị , ,> 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 
( + +)3 ³ 27 ( )= 27
ị + + ³ 3	Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Vậy phương trình + + = b không có nghiệm là số tự nhiên khi b = 1 hoặc 
b = 2 và có vô số nghiệm khi b = 3 chẳng hạn ( x = a, y = a, z = a) với a là số tự nhiên bất kỳ.
Chương III: Bài tập luyện tập rèn tư duy sáng tạo
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
	2x + 3y = 11
 	Hướng dẫn
Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1
Vì 2.4 + 3.1 = 11
ị( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0
Û 2(x-4) + 3(y-1) = 0
ị 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1
Đặt x – 4 = 3k và y – 1 = 2k với ( k ẻ Z)
Vậy nghiệm tổng quát của pt là :	x = 4 – 3k
	y = 1+ 2k 	( k ẻ Z)
*Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c
Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn.
Cách 2: Dùng tính chất chia hết.
Ta có 2x + 3y = 11
ị x= = 5- y-
Do x, y nguyên ị nguyên 
đặt = k ị y = 2k +1 ị x = 4- 3k (k ẻ Z)
 y = 2k +1 (k ẻ Z)
 Vậy nghiệm tổng quát:
 x = 4- 3k
Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình
6x2 + 5y2 = 74
 Hướng dẫn:
Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 
Û 6x2 –24 = 50 – 5y2
Û 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)
ị 6(x2 – 4) 5 	ị x2 – 4 5
 (6, 5) = 1
ị x2 = 5t + 4 	(t ẻN)
Thay x2 – 4 = 5t vào phương trình ị y2 = 10 – 6t
lại có 	x2 > 0 	Û 	 t >
y2 > 0	 t < 
ị t = 0 hoặc t = 1
với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại)
Với t = 1 ta có	x2 = 9	 Û	 x = ± 3
	y2 = 4	y = ± 2
mà x, y ẻ Z ị x = 3, y = 2 thoả mãn
Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn
Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn ị y chẵn
lại có 0< 6x2 ị 0< 5y2 < 74
Û 0 < y2 < 14 ị y2 = 4 ị x2 = 9
Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)
Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 
Û 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75
ị x2 + 1 5
mà 0 < x2 Ê 12 ị x2 = 4 hoặc x2 = 9
Với x2 = 4 ị y2 = 10 loại
Với x2 = 9 ị y2 = 4 thoả mãn 
cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)
 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + y2 = 2x2y2
Hướng dẫn:
Cách 1:
Đặt x2 = a, y2 = b
Ta có a + b = 2 ab ị 	a b	ị 	= ị a = ± b
	b a
Nếu a = b ị 2a = 2a2 ị a= a2 ị a= 0, a= 1
ị (a,b) = (0, 0); (1, 1) 
Nếu a = - b ị 2 b2 = 0 ị a = b = 0
ị (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)
ị (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)
Cách 2: 
Ta có x2 + y2 = 2x2y2
Do x2, y2 ³ 0 
Ta giả sử x2 Ê y2 ị x2 + y2 Ê 2 y2 
ị 2x2 y2 Ê 2y2 
Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0)
Nếu y 0ị x2 Ê 1 ị x2= 0 hoặc x2 = 1
ị y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 ị (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1)
Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)
Cách 3:
 Có x2 + y2 = 2x2y2 
Û 2x2 + 2y2 = 4 x2y2
Û 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1
2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1
Û (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1
Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) ị (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)
ị (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1)
Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
x2 –3xy + 2y2+ 6 = 0
 Hướng dẫn:
Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình
Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính = y2 – 24
Phương trình có nghiệm tự nhiên thì là số chính phương
ị y2 – 24 = k2 ị (y – k)(y + k) = 24	(kẻN)
mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y – k cùng chẵn
ị 	y+ k = 6	ị y = 5	 hoặc 	y+ k = 12	ị y = 7
y – k = 4 y – k = 2
Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5)
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = 0
 Hướng dẫn:
Cách 1: 
Ta có phương trình đã cho Û 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0
Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x
Xét = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81
Để nghiệm x nguyên thì là số chính phương
Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ị k2 + 3(2y + 1) = 84
ị (2y + 1)2 = 28 - Ê 28; (2y + 1)2 lẻ ị (2y + 1)2 = 1, 9, 25
ị y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn
Cách 2: 
Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ẻ Z ị a, b ẻ Z
phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0
 Û 2a2 – 4b + a – 10 = 0
Û 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0
Û (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0
Û (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21
lại có (x+ y)2³ 4 xy ị a2 ³ 4b
ị 8b + 21 Ê 2a2 + 21
ị (a+ 1)2 + 3a2 Ê 2a2 + 21
ị (a+ 1)2 Ê 21
mà (a+ 1)2 là số chính phương ị (a+ 1)2 ẻ {1, 4, 9, 16}
ị a ẻ {0, 1, 2, 3}
Với a = 0 ị 12 + 3. 0 = 8b + 21 ị 8b = 20 loại
Với a = 1 ị (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ị 8b = -14 loại
Với a = 2 ị (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ị 8b = 0 ị b = 0
Với a = 3 ị (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ị 8b = 22 loại
Vậy được a = 2, b = 0 ị xy = 0
 x + y = 2
ị (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn
Bài 6 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x, y sao cho 
 x2 + 4x – y2 = 1
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta có x2 + 4x – y2 = 1
Û (x + 2)2 - y2 = 5
Û (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5
mà x, y nguyên dương ị (x + 2+ y) > (x+ 2-y)
ị x+ 2 + y = 5 ị x = 1, y = 2
 x + 2 – y = 1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1, y = 2
Cách 2:
 Ta có x2 + 4 x – y2 = 1
 Û x2 + 4 x – (y2 + 1) = 0
 = 4 + y2 + 1 ị x = 
 Để phương trình có nghiệm thì là số chính phương ị 4 + y2 + 1 = k2
Û (k- y) (k+ y) = 5 ị y = 2
thay vào phương trình tìm được x = 1
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là x = 1; y = 2
Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ.
Hướng dẫn:
Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương )
Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) 
Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau 
Cách 1: Có xy = 4(x + y)
Û xy – 4x – 4y + 16 = 16
Û (x-4) (y - 4) = 16
mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 
lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ
ị x – 4 = 1 Û x = 5 hoặc x = 20
 y-4 = 16 y = 20 y = 5
Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử xÊ y
 Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y)
 Û + = 1
 lại có ³ Û + Ê Û Ê 1
 ị x Ê 8 ị x= 5, 6, 7, 8
 Mà Ê 1 ị x > 4
 Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn)
 Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ
Bài 8: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3.
Hướng dẫn:
 Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại
Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19 
Gọi năm sinh của Bác là 18 xy
(x, y nguyên dương, x, y Ê 9)
Theo bài ra ta có
1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3
Û 11x + 2y = 99
ị 2y 11 mà (2, 11) = 1 ị y 11
 mà 0Ê y Ê 9	
ị y = 0 ị x = 9
Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phương trình = 
Hướng dẫn:
 Ta có = Û 7 (x+ y) = 3 (x2 – xy + y2)
 Đặt x + y = p , x – y = q ị p, q nguyên
ị x = ; y = thay vào phương trình có dạng 28 p = 3 (q2 + 3 q2) ị p > 0 và p 3 đặt p = 3k (k ẻZ)
ị 28k = 3(3k2+ q2) ị k 3 và k có dạng 3m (mẻ Z+) ị 28 m = 27m2 + q
ị m( 28 – 27m) = q2 ³ 0
 ị m = 0 hoặc m = 1
Với m = 0 ị k = 0 ị q = 0 ị x = y = 0 (loại)
Với m = 1 thì k = 3; p = 9
ị 28 = 27 + q2 ị q = ± 1
Khi p = 9, q = 1 thì x = 5, y= 4
khi p = 9, q = 1- thì x = 4, y= 5 
Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (4, 5); (5, 4)
Bài 10: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị 
Hướng dẫn:
 Giả sử cạnh đo được 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7)
 ị b2 + c2 = 72 ị b2 + c2 7 ị b 7; c 7
 (vì số chính phương chia hết cho 7 dư 0, 1, 4, 2)
 lại có 0<b, c< 7 loại
 ị Cạnh đo được là cạnh góc vuông giả sử b = 7 
 Ta có a2 – c2 = 49 Û (a+c)(a-c) = 49
 ị a+ c = 49 ị a = 25	 Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh
 a – c = 1 c = 24	 là 7, 25, 24 
Thực nghiệm sư phạm 
Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải phương trình nghiệm nguyên.
I-Mục đích, yêu cầu:
1) Thông qua việc giải các bài tập hệ thống và khắc sâu thêm các kiến thức cơ bản về phương trình bậc 2, nghiệm của phương trình bậc hai.
2) Củng cố kiến thức về số chính phương, phép chia hết, phép chia có dư
3) Phát huy trí lực của học sinh trong dạy toán
II- Đồ dùng dạy học: 
Phiếu học tập, máy chiếu giấy trong hoặc bảng phụ
III-Các hoạt động trong giờ: 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Hoạt động 1 Kiểm tra bài cũ
Giáo viên nêu câu hỏi kiểm tra:
?1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 2 
 a x2 + bx + c = 0 (a ạ 0)?
?2. Sắp xếp phương trình bậc hai sau theo ẩn x; theo ẩn y
 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
?3.Nêu hệ quả của định lý Viet về phương trình bậc hai
Giáo viên nhận xét, đánh giá .
Ba em học sinh lên bảng trình bày.
HS1: Phương trình a x2 + bx + c = 0
 = b2 – 4 ac
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm
Nếu = 0 phương trình có 1 nghiệm kép x = 
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 x1, 2 = 
HS2:
- Đối với ẩn y:
y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0
- Đối với ẩn x:
 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0
HS3: Nếu phương trình a x2 + bx + c = 0 (a ạ 0 ) có hai nghiệm x1 và x2 thì : 
Học sinh đối chiếu kết quả với bài của mình, nhận xét
Hoạt động 2: Các ví dụ
Giáo viên đặt vấn đề: 
Giải phương trình nghiệm nguyên 
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1)
Gợi ý:
- Viết phương trình (1) thành phương trình bậc 2 ẩn y rồi tính ?
- Nếu pt bậc 2 có nghiệm thì nghiệm được tính bằng công thức nào?
- Do x, y nguyên có nhận xét gì ?
- Viết số 4 dưới dạng tích hai số nguyên?
- Em có nhận xét gì về x – k và x + k - Thay x và k vào (1) tìm y?
*Em hãy thực hiện tương tự với ẩn y?
Đã vận dụng kiến thức nào để giải phương trình đã cho. Yêu cầu HS kiểm tra các bước giải
Qua ví dụ trên em hãy nêu lại phương pháp giải?
( giáo viên đưa lên màn hình tóm tắt theo 6 bước )
Bước 1: Viết phương trình bậc hai theo ẩn x
Bước 2: Tính ị x1, 2 = 
Bước 3: Đặt = k2
Bước 4: Tìm y và k
Bước 5: Thay y và k vào phương trình để tìm x
Bước 6: Trả lời
Học sinh nghe và ghi chép
HS: Ví dụ 1: Giải pt nghiệm nguyên
 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (1)
HS: Û y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0
 = x2 – 4
 y1,2 = -(2x + 1) ± (*)
Do x, y nguyên nguyên ị là số chính phương . Đặt = k2 
ị x2 – 4 = k2
Û (x- k)(x+ k) = 4
Ta có 4 = 1.4 = 2.2 = (-1).(-4) = (-2). (-2)
x – k; x + k cùng chẵn ị x – k = x + k = ± 2
 ị k = 0, x = ± 2 thay vào (1) tìm y .
Vậy nghiệm của phương trình:(x, y) = (2, -5);(-2, 3)
HS: Phương trình (1) tương đương với:
 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + 5 = 0
 = y2 + 2y – 11
Do x, y nguyên nguyên ị là số chính phương . Đặt = k2 
 ị (y +1- k)( y + 1 + k) = 12
Mà y +1- k và y + 1 +k cùng chẵn
12 = 2.6 = ( -2). (-6)
 hoặc 
y = 3 hoặc y = - 5 . Thay vào (1)
Vậy nghiệm của phương trình: (x, y)= (2, -5); (-2, 3)
HS: Học sinh suy nghĩ, trả lời
Ví dụ 2: Giải pt nghiệm nguyên 
 x2 –(y + 5)x + 5y + 2 = 0
-yêu cầu học sinh nêu lại phương pháp giải như ví dụ 1?
-Ngoài cách giải theo ví dụ 1 còn cách nào khác không?
-Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 và x2 theo định lí Viet ta có điều gì?
- Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 và x2
-Phân tích số 2 thành tích của hai số nguyên.
-Tìm x1 và x2 sau đó tìm tổng của chúng 
-Trả lời bài toán trên
Hãy nêu lại các bước làm
Bước 1: - Viết hệ quả định lý Viet.
Bước 2: Tìm biểu thức liên hệ gữa x1 và x2
Bước 3: Tìm x1 và x2 sau đó tìm y
Bước 4: Trả lời bài toán
Học sinh nghe và ghi chép
Học sinh trả lời miệng
Học sinh suy nghĩ trả lời.
HS: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 
 x2 -(y + 5)x + 5y + 2 = 0
 Theo định lý Viet:
Ta có: 5x1 + 5x2 – x1x2 = 23
 hay ( x1 – 5)( x2 – 5) = 2
 Nên:
 hoặc 
ị x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ị y = 8 hoặc y = 2
Vậy (x, y) = (7,8); (6,8); (4, 2); (3, 2) là nghiệm của phương trình.
HS: Học sinh trả lời miệng
Hoạt động 3: Luyện tập
Đối với giải nghiệm nguyên của phương trình bậc 2 gồm những phương pháp nào?
Giáo đưa đề bài lên màn hình:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
 x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2)
Gọi học sinh lên bảng trình bày
Tìm nghiệm cuả từng hệ(I,II,III,IV) thay vào phương trình (2) tìm x
Phương pháp1: Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Phương pháp2:Dùng hệ quả của định lý Viet
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
 x2 – 3 xy + 2y2 + 6 = 0 (2)
Giải:
Tính = y2 – 24
ị là số chính phương. Đặt y2 – 24 = k 
ị (y-k)(y+ k) = 24 lại có y – k; y + k cùng tính chẵn lẻ 
(I) Ngiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5)
(II) Ngiệm (x,y)= ( -7;-5) ; (-8;-5)
 (III) Ngiệm (x,y)= ( 8;7) ; (13;7)
 (IV) Ngiệm (x,y)= ( -8;-7) ; (-13;-7)
Vậy phương trình có nghiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) ; ( -7;-5) (-8;-5);( 8;7) ; (13;7) ( -8;-7) ; (-13;-7)
Hoạt động 4 Kiểm tra đánh giá
GV phát phiếu học tập yêu cầu HS giải sau đó GV thu phiếu nhận xét
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 a, x2 – 4x- y2 = 1
 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 5x + 7y = 56
Hoạt động 5:Hướng dẫn về nhà
Xem lại vở ghi.
1.Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
 x2 + y2 = x + y + 8
2. Tìm giá trị nguyên của m để 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung
 2x2 + (3m - 1)x – 3 = 0 (1)
 6x2 – (2m – 3) x – 1 = 0 (2)
D. Kết quả thực hiện.
1) Kết quả chung
Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh không những nắm vững cách giải phương trình nghiệm nguyên mà còn vận dụng linh hoạt trong các dạng toán khác.
2) kết quả cụ thể
Kiểm tra 10 học sinh lớp 9 theo các đợt khác nhau dưới dạng phiếu học tậpthu được kết quả sau:
Đề bài
 Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 a, x2 – 4x- y2 = 1
 b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 5x + 7y = 56
Dưới điểm 5
 Điểm 5 - 7
Điểm 8 - 10
Điểm 5 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
20
4
40
5
40
8
90
C – Kết luận
 Đề tài này đã nhận được thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh nắm được bài và rất hứng thú học tập. Tôi nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú hơn.
 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên là phương pháp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán dạng toán. Song vì thời gian eo hẹp nên đề tài này không thể tránh được những sai sót.
Hải Dương, ngày 05 tháng 6 năm 2006
 	Người thực hiện
Xác nhận của trường THCS Trường Thành	
................................................................................................................
................................................................................................................
 Lê Văn Trung
................................................................................................................
................................................................................................................
Tài liệu tham khảo
STT
Tài liệu
Tên tác giả
1
Chuyên đề bồi dưỡng số học
Nguyễn Vũ Thanh
2
400 bài toán số học chọn lọc
Vũ Dương Thuỵ
Trương Công Thành
Nguyễn Ngọc Đạm
3
Tìm hiểu phương trình đại số
Vũ Hoàng Lâm
Nguyễn Đễ
4
351 bài toán số học chọn lọc
Nguyễn Đức Tấn
Đặng Anh Tuấn
Trần Chí Hiếu
5
Một số tạp chí toán học