Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán về thể tích khối đa diện

ã cho. Nếu học sinh không giải được thì giáo viên có thể vẽ hình, phân chia lắp ghép khối đa diện từ đó gợi ý để học sinh sáng tạo các cách giải khác.
Cách 2. 
 Dựng hình chóp sao cho A,B,C lần lượt là trung điểm của , , . Khi đó dễ thấy hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc và . 
Ta có 
Vậy 
Cách 3.
Dựng hình lăng trụ như hình vẽ bên.
Từ giả thiết ta có: MNCB là hình vuông; Các tam giác MSC, NSB là các tam giác vuông cân, suy ra:
 và 
Cách 4.
Dựng hình lập phương như hình bên.
Ta có: 
. Suy ra
.
Cách 5.
 Với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh công thức: trong đó là khoảng cách giữa 2 đường thẳng và (ở đây ), là góc giữa 2 đường thẳng và . Từ đó ta cũng dễ dàng tính được .
Cách 6.
Gọi lần lượt là trung điểm của SB,AC,SC,AB,SA,BC và G là giao điểm của PQ,MN,IJ
 Ta thấy tứ giác MINJ là hình vuông. Dễ dàng chứng minh được PQ là đường vuuong góc chung của SC và AB nên suy ra P.MINJ là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Ta có
Vì Nên 
Ta tính được: 
Do đó .
Nhận xét.
 Như vậy chúng ta thấy rằng việc tính thể tích khối đa diện có thể tính trực tiếp theo công thức tính thể tích, tuy nhiên đôi khi chúng ta có thể phân chia, lắp ghép khối đa diện để tính, hoặc có thể dùng tỷ số thể tích
 Từ bài 1.5 với học sinh khá giỏi chúng ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau nhằm sáng tạo trong việc tìm lời giải bài toán. 
Bài 1.6. Tính thể tích của khối chóp biết , , .
Đáp số: .
Nhận xét. 
- Rõ ràng bài tập 1.6 là tình huống có vấn đề khi các em cố gắng tìm chiều cao của khối chóp. Tuy nhiên, giáo viên có thể định hướng để các em giải theo các cách giải còn lại của bài 1.5.
- Từ bài toán 1.5 giữ nguyên cạnh đáy, cạnh bên bằng a thay bởi b ta có bài 1.7:
Bài 1.7. Tính thể tích của khối chóp đều . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Hướng dẫn: Với cách giải tương tự cách 1 bài 1.4 ta có kết quả
 . 
 Vẫn cho khối chóp đều lúc đó đáy vẫn là tam giác đều nhưng ẩn đi bằng cách giữ nguyên cạnh bên bằng , cho chiều cao . Ta có bài toán 1.8
Bài 1.8. Tính thể tích của khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b, chiều cao .
Nhận xét. Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Giả thiết cho chúng ta biết những gì?(Câu trả lời mong đợi: Cạnh bên và chiều cao) Cần tính cái gì để tính được thể tích? (Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy) Hãy tìm mỗi liên hệ giữa các đại lượng của giả thiết để tính diện tích đáy? (Câu trả lời mong đợi: Từ giả thiết tính . Từ đó tính cạnh đáy và diện tích đáy).
Hướng dẫn giải.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác tính được
Đặt cạnh đáy bằng , áp dụng định lý Pytago ta tính được
. 
Nhận xét. Giữ nguyên cạnh bên bằng b, cho góc giữa cạnh bên và đường cao, hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy ta có các bài toán 1.9; 1.10; 1.11 như sau: 
Bài 1.9. Tính thể tích của khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và chiều cao bằng .
Hướng dẫn giải. 
Tam giác vuông tại có nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được: 
; . 
Từ đó tính được: 
 . (3)
Bài 1.10. Tính thể tích của khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng .
 Hướng dẫn giải.
Tương tự như trên áp dụng công thức 
Hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được
 . (4)
Bài 1.11. Tính thể tích của khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa 
mặt bên và mặt đáy bằng .
Lời giải. 
 Gọi M là trung điểm cạnh BC. Do là hình chóp đều nên chân đường cao H của hình chóp trùng với trọng tâm của tam giác đều ABC
Đặt , 
Ta có 
(do H là trọng tâm của tam giác )
Xét tam giác vuông tại , ta có
 thay vào ta được
(đường cao trong tam giác đều)
Vậy . (5)
Ngoài ra đối với đối tượng học sinh khá, giỏi để phát huy kỹ năng giải toán và năng lực sáng tạo trong giải toán giáo viên có thể định hướng tiếp: Từ bài 1.7 nếu cố định cạnh bên bằng b, còn cạnh đáy cho bằng x thay đổi. Tìm x để thể tích đạt giá trị lớn nhất, ta có bài 1.12:
Bài 1.12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng x thay đổi thỏa mãn . Tìm x để thể tích của khối chóp đã cho đạt giá trị lớn nhất. 
Hướng dẫn giải. 
Từ kết quả bài 1.7 ta suy ra 
Đặt với .
Khảo sát hàm số ta được đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
Từ bài các bài 1.8; 1.9; 1.10 cho cạnh bên bằng b cố định, các yếu tố còn lại thay đổi và yêu cầu tìm thể tích lớn nhất ta cho học sinh rèn luyện thêm các bài toán sau:
Bài 1.13. Cho khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b cố định, chiều cao thay đổi. Tìm x để thể tich khối chóp đã cho đạt giá trị lớn nhất.
 Bài 1.14. Cho khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b cố định, góc giữa cạnh bên và chiều cao bằng thay đổi. Tìm để thể tích của khối chóp lớn nhất. 
Bài 1.15. Cho khối chóp đều . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng .
Tiếp tục khai thác kết quả bài 1.7: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
Từ đó ta có bài toán 1.16
Bài 1.16. Cho khối chóp đều . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi V là thể tích của khối chóp đã cho. Chứng minh rằng: .
Tương tự bài 1.16 cho học sinh rèn luyện thêm các bài toán sau:
Bài 1.17. Cho khối chóp đều có cạnh đáy các cạnh bên bằng có thể tích là . Chứng minh rằng .
Bài 1.18. Cho khối chóp đều có cạnh đáy các cạnh bên bằng có thể tích là . Chứng minh rằng .
 Định hướng 2. Thay đổi giả thiết về đáy, hoặc kết hợp thay đổi giả thiết cả đáy lẫn chiều cao để tạo ra bài toán mới
Nhận xét. Từ bài toán 1 nếu thay đáy thành tam giác vuông, tam giác cân, tam giác thường, hoặc thay tam giác bởi tứ giác, ngũ giác chúng ta có thể sáng tạo ra một lớp bài toán nhằm phát triển tư duy và năng lực sáng tạo cho học sinh. Chẳng hạn trong bài toán 1 nếu chúng ta thay đáy là hình vuông cạnh a ta có bài toán 1.19
Bài 1.19. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và .
Lời giải.
Nhận xét: Từ bài toán 1.19 ta có và SC tạo với mặt đáy . Ta có bài toán 1.20:
Bài 1.20. Cho khối chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,,
các tam giác lần lượt vuông tại và , tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích của khối chóp .
Lời giải.
Kẻ đường cao . Suy ra
 (1)
Tương tự ta chứng minh được
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABHC là hình vuông cạnh a. Từ đó tính được: 
Do đó 
Từ bài 1.20 thay góc giữa với mặt đáy bởi góc giữa 2 mặt phẳng ta có bài 1.21:
Bài 1.21. Cho khối chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, , các tam giác lần lượt vuông tại và , góc giữa 2 mặt bên và bằng . Tính thể tích của khối chóp .
 ( Trích từ câu 49, đề minh họa, BGD, 2020)
Hướng dẫn.
Cách 1. Dựng đường cao SD và DH, DK lần lượt vuông góc với SB và SC (hình vẽ). Dễ dàng chứng minh được Góc giữa 2 mặt bên và chính là góc. Đặt , từ đó biểu diễn được DH, DK theo h và a và tính cos. Suy ra h=a. Tính được 
Cách 2. Dựng BM vuông góc với SA. Suy ra SA cũng vuông góc với CM. Chứng minh được góc . Tính được . Từ đó tính được thể tích
 Từ bài toán 1.19 ta thay hình vuông ABCD bởi hình chữ nhật có chiều dài bằng , chiều rộng bằng a ta có bài toán 1.22, từ đó ta có bài 1.23 như sau:
Bài 1.22. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có chiều dài bằng 2a, chiều rộng bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và .
Bài 1.23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
, , tạo với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp . 
Hướng dẫn giải.
 Hoàn toàn tương tự bài toán 2.2 bằng cách dựng đường cao SH. Từ đó chứng minh được tứ giác ABHC là hình chữ nhật. Suy ra
, 
Tiếp tục thay đáy bởi hình thoi cạnh a, góc , ta có bài 1.24:
Bài 1.24. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi a. Biết góc , cạnh vuông góc với đáy và.
Từ bài 1.24 ta có thể sáng tạo bài toán khó hơn như sau:
Bài 1.25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, , tạo với đáy một góc , tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp biết .
Hướng dẫn. Dựng đường cao ta đưa bài toán về bài toán 1.24
Bằng cách tương tự chúng ta có thể giúp các em sáng tạo ra bài toán từ các bài toán như: Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, lăng trụ xiên
2. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp
Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương tứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó . 
 (Bài 4, SGK, trang 25, hình học 12-CB)
Chứng minh:
Ta có 
 (đpcm)
Trong đó: 
Vì (=)
Chú ý: 
 - Bài toán 2 chỉ áp dụng được cho khối chóp tam giác, các khối chóp khác ta phải phân chia lắp ghép khối đa diện để tính.
 - Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm . Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu, 
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’B và C’C ta được
	(1’)
Ta lại có 
 Vậy: 	(2)
Trở lại bài toán 1, bằng cách thêm giả thiết và yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài 2.1. Cho hình chóp biết tam giác đều cạnh a, và . Gọi K là trung điểm cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABK.
Lời giải.
Cách 1. Ta có 
 và 
.
Cách 2.
Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Suy ra
// và . KH là đường cao của khối chóp 
.
Cách 3. Ta có .
Xét 2 khối chóp và có chung đáy . Dựng , . Dễ thấy ba điểm thẳng hàng, từ đó suy ra ( Do ~ )
Cách 4. Sử dụng kết quả bài toán 2 ta có
Thêm điểm P thuộc cạnh SB ta có bài toán sau:
Bài 2.2. Cho hình chóp biết tam giác đều cạnh a, và . Gọi K là trung điểm cạnh SC, điểm P thuộc cạnh SB sao cho . Tính thể tích khối chóp S.APK.
Hướng dẫn giải.
Cách 1. Áp dụng bài toán 2 ta có
Cách 2.
Tương tự cách giải 3 của bài 2.1
; 
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải theo cách khác. Tiếp tục cho thêm điểm Q thuộc cạnh SA sao cho . Ta có bài toán 2.3
Bài 2.3. Cho hình chóp biết tam giác đều cạnh a, và . Gọi K là trung điểm cạnh SC, điểm P thuộc cạnh SB sao cho , điểm Q thuộc cạnh SA sao cho . . Tính thể tích khối chóp S.PQK.
Hướng dẫn giải.
Cách 1. Áp dụng bài toán 2 ta có
.
Cách 2. Thực hiện tương tự như bài 2.2 ta được
Cách 3. Ta có
,
Từ đó tính các thể tích thành phần dựa vào tỷ lệ diện tích đáy và chiều cao ta cũng được kết quả như trên.
Nhận xét. Đôi khi để tính thể tích của một khối đa diện chúng ta có thể xem xét tính thể tích khối đa diện liên quan rồi sử dụng tỷ lệ về chiều cao, diện tích đáy, hoặc phân chia lắp ghép khối đa diện để tính. Tuy nhiên, không phải bài nào cũng dễ phát hiện ra các yếu tố trên. Chẳng hạn nếu sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện để giải bài toán 2.3 sẽ gặp khó khăn hơn sử dụng tỷ lệ về chiều cao và diện tích đáy. Trong trường hợp đó ta sử dụng bài toán 2 sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách gọn gàng..
Bài 2.4. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải:
Ta có 
 AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau nên ta có 
Tương tự 
Do đó VS.AMN =.VS.ABC =.VS.ABC. 
Suy ra
 VA.BCMN =.VS.ABC =(đvtt)
Ghi chú: 
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây: 
( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
3. Vận dụng bài toán thể tích để giải các bài toán khác
Nhận xét. Nếu 2 khối chóp có cùng đáy thì tỷ lệ thể tích chính là tỷ lệ 2 chiều cao tương ứng của chúng, với đối tượng học sinh khá giỏi ta có thể khai thác bài toán tỷ lệ thể tích theo các định hướng như sau:
Bài 3.1. Cho khối chóp S.ABC điểm M nằm trong khối chóp. Gọi h, x lần lượt là khoảng cách từ S và M đến mặt phẳng (ABC). Tính tỷ số 
Dễ dàng chứng minh được: .
Từ bài toán 3.1 kết hợp với phân chia lắp ghép khối đa diện ta có bài toán 3.2:
Bài 3.2. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm nằm trong hình chóp. Gọi x, y, x, t lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (ABC), (SBC), (SAC), (SAB). lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh S, A, B, C đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng: 
Lời giải.
Ta có
; ;
;
Vậy 
 Đặc biệt hóa khi M trùng với các điểm đặc biệt của hình chóp thì chúng ta có thể tạo ra một số bài toán liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức, hoặc
GTLN-GTNN. Chẳng hạn trong bài toán trên cho M thuộc mặt phẳng ABC ta có bài toán 3.3:
Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng qua M song song với SA cắt mặt phẳng (SBC) tại A’, đường thẳng qua M song song với SB cắt mặt phẳng (SAC) tại B’, đường thẳng qua M song song với SC cắt mặt phẳng (SAB) tại C’. Chứng minh rằng: không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
 (Trích nội dung đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng B, năm 2010)
Hướng dẫn giải. 
Áp dụng kết quả bài 3.2 khi x=0 suy ra 
Kết hợp với bất đẳng thức Côsi cho 3 số ta có bài toán sau:
Bài 3.4. Cho tứ diện SABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCS), (ACS), (ABS) tại A’, B’, C’. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.
 (Trích nội dung đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng A, năm 2010)
Lời giải
Theo bài 3.3 ta có
Ta có 
Suy ra MA’.MB’.MC’ ≤ SA.SB.SC
Vậy giá trị lớn nhất MA’.MB’.MC’ là SA.SB.SC, đạt được khi 
 Hay M là trọng tâm tam giác ABC
Nhận xét. Nếu điểm M trùng với trọng tâm G của đáy , cắt hình chóp bởi mặt phẳng, chúng ta có các bài toán liên quan đến thiết diện: 
Bài 3.5. Cho hình chóp S.ABC. Mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, SG tại A’, B’, C’, G’.Trong đó G là trọng tâm tam giác ABC
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có 
(Hai khối chóp có cùng chiều cao)
Do đó
 . (1)
Tương tự: (2)
 (3)
= 
= (*)
Mặt khác (**). Từ (*) và (**) ta có 
Cho G là trọng tâm tam giác BCD đóng vai trò như bài 3.5 và thay điểm G’ bởi điểm I là trung điểm đoạn AG ta có bài toán sau
Bài 3.6. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD.mặt phẳng đi qua trung điểm I của AG cắt các điểm AB,AC,AD tại các điểm khác A.Gọi hA,hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ A,B,C,D đến mp
Chứng minh rằng : 
(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng A, năm học 2012-2013)
Lời giải.
 Gọi lần lượt giao điểm của mp với các cạnh . 
Ta có (*)
Vì và (*) nên 
Mặt khác ta có 
Suy ra (**)
Ta có: 
 ( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được 
Hay .
Bài 3.7 Cho điểm nằm trong tứ diện . Các đường thẳng lần lượt cắt các mặt phẳng tại thỏa mãn đẳng thức . Gọi lần lượt là thể tích của các khối tứ diện và . Chứng minh rằng 
(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ an, bảng B, năm 2011- 2012)
Lời giải.
Gọi lần lượt là thể tích của tứ diện 
Tương tự ta có :
 , , 
từ và ta có : 
Đẳng thức xảy ra khi . Suy ra (đpcm).
4. Thực nghiệm sư phạm
4.1. Mục đích thực nghiệm
 Mục đích của thực nghiệm Sư phạm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài.
4.2. Nội dung thực nghiệm
 Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
4.3. Tổ chức thực nghiệm
4.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Tương Dương 2, Huyện Tương Dương, Tỉnh Nghệ An.
+ Lớp thực nghiệm : 12A1, 12A2 ( Năm học 2019- 2020 )
+ Lớp đối chứng : 12A1, 12A2 ( Năm học 2020- 2021)
+ Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Nguyễn Đình Tứ, Trần Đình Mạnh( Tác giả ) 
+ Giáo viên dạy lớp kiểm chứng: Trần Quốc Minh, Nguyễn Văn Huấn.
 Qua các năm trực tiếp giảng dạy tại trường thì tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán của các lớp dạy thực nghiệm và các lớp dạy đối chứng là tương đương.
 Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại lớp 12A1, 12A2 ( Năm học 2019- 2020), và lấy các lớp 12A1, 12A2 ( Năm học 2020- 2021 ) làm lớp đối chứng.
 BGH Trường, Thầy tổ trưởng tổ Toán- Lý – Tin - CN và các Thầy giáo tại hai lớp đối chứng đã chấp nhận đề xuất và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm. 
4.3.2.Thời gian thực nghiệm sư phạm 
 Thực nghiệm được tiến hành trong tháng 15/10/2019 đến 20/01/ 2021 với số tiết dạy là 16 tiết ( Trong đó có một bài tiêt kiểm tra 45 phút ). Phần lớn số tiết này được giảng cho học sinh trong các buổi học ôn khối vào buổi chiều, bồi dưỡng học sinh giỏi.
4.3.3.Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện
 - Công tác chuẩn bị:
 * Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm
 * Soạn Giáo án giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.
- Tổ chức thực hiện:
* Ở lớp dạy thực nghiệm
* Dạy theo nội dung Sáng kiến trong các giờ ngoại khoá, bồi dưỡng học sinh giỏi;
 * Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính tích cực, chủ động và có giải được các bài toán hay không.
 * Tiến hành các bài kiểm tra ( 45 phút ) sau khi thực nghiệm. 
 * Ở lớp đối chứng Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng được Giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung về thể tích khối đa diện nhưng không theo hướng đi của sáng kiến.
* Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm. 
4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
4.4.1. Đánh giá định tính
 Thực tế cho thấy rất nhiều em học sinh học tập bị động, máy móc, bí về phương pháp.
 Khi quá trình thực nghiệm mới được bắt đầu, quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, giải các bài tập chỉ dừng ở mức sử dụng các phương pháp thông thường hoặc không biết cách giải, học tập không thật sự tích cực và ngay cả lớp thực nghiệm cũng rơi vào tình trạng như vậy.
 Mặc dù vậy, chúng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực hoạt động, học tập sôi nổi, không có cảm giác khiên cưỡng. Các giờ học đã phát huy được tính tích cực, chủ động, độc lập suy nghĩ của các em học sinh. Còn ở lớp đối chứng , hoạt động học tập còn chưa nhiều, các em chủ yếu bí tiếp thu một cách rời rạc, không chủ động.
4.4.2. Đánh giá định lượng
 Điểm
Lớp
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số bài
Thực nghiệm 1
12A1 (2019 - 2020) 
0
0
0
0
3
4
5
6
7
4
1
30
Đối chứng 1
12A1 (2020 - 2021)
0
0
3
4
6
7
10
2
0
0
32
Thực nghiệm 2
12A2(2019-2020)
0
0
0
0
3
4
6
8
8
3
0
32
Đối chứng 2
12A2(2020-2021) 
0
0
0
4
6
10
7
3
2
1
0
33
Lớp thực nghiệm 1: 
 Yếu: 10% ; Trung bình: 30%; Khá: 43,3%; Giỏi: 16,7%.
Lớp đối chứng 1: 
 Yếu: 21,9%; Trung bình: 40,6%; Khá: 37,5%; Giỏi: 0%.
Lớp thực nghiệm 2: 
 Yếu: 9,4%; Trung bình: 31,2%; Khá: 50%; Giỏi: 9,4%.
Lớp đối chứng 2: 
 Yếu: 30,3%; Trung bình: 51,5%; Khá: 15,2%; Giỏi: 3%.
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc dạy học thể tích khối đa diện tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình dạy học.
C. KẾT LUẬN
Qua thực nghiệm đề tài này trong thực tế dạy học tôi thấy thu được các kết quả sau: 
 - Các bài toán cơ bản được học sinh tiếp cận một cách dễ dàng.
 - Bài toán cơ bản được khai thác một cách tự nhiên, có hệ thống, không khiên cưỡng, không bị gò ép, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, khuyến khích giải bài toán bằng nhiều cách. Điều này phù hợp với các hoạt động toán học phổ biến ở trường phổ thông nhằm phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
 - Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Nhiều em khi được học đề tài này đã có những chuyển biến tích cực. Đặc biệt, trong năm học 2019 - 2020 học sinh do hai tác giả giảng dạy đã có nhiều em đạt điểm cao trong kỳ thi TN THPT lấy điểm xét tuyển đại học trong đó có nhiều em đạt điểm trên 8 và một số em đạt điểm trên 9. chất lượng đại trà ở các lớp do 2 tác giả giảng dạy đã được nâng lên rõ rệt, mặc dù chưa thật sự mỹ mãn nhưng có thể nói với đầu vào thấp nhất tỉnh, đồng thời đó là thành tích tốt nhất trong bộ môn toán của trường THPT Tương Dương 2 từ trước đến nay. 
 Mặc dù đã có nhiều cố gắng tuy nhiên trong quá trình viết chắc vẫn còn những thiếu sót. Với tinh thần cầu tiến chúng tôi rất mong các Thầy Cô giáo, bạn bè đồng nghiệp và Hội đồng khoa học đóng góp ý kiến, giúp đỡ để Đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Tương Dương, ngày 10 tháng 03 năm 2021
TÀI LIỆU THAM KHẢO
G. Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD.
G. Polya (1997), Giải một bài toán như thế nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội.
Sách giáo khoa Hình học 11, 12 THPT hiện hành, NXBGD.
Đề thi THPT quốc gia môn Toán.
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố.
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD.