Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải Toán chia hết, chia có dư lớp 6

A. đặt vấn đề
Cùng với việc phát triển và đổi mới của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng, các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học khác.
	Học toán như thế nào? Đối với học sinh THCS và THPT việc học toán chủ yếu thông qua hình thức giải toán, nên việc định hướng cho học sinh quy trình tiếp cận và giải một bài toán là vô cùng cần thiết bởi nó tạo cho các em có thói quen trong cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải một bài toán như : Nên bắt đầu từ đâu, suy nghĩ theo trình tự nào, nếu gặp khó khăn thì nên làm gì  Từ đó giúp việc học toán của các em ngày càng tốt hơn.
	Là một giáo viên dạy lớp 6, tôi nhận thấy trong chương trình toán 6 khi học sinh thực hành giải các bài toán đặc biệt là những bài toán về phép chia hết và phép chia có dư học sinh thường lúng túng không biết giải bài toán bắt đầu từ đâu, trong quá trình giải thì mắc nhiều sai sót. Nên để giúp học sinh học tập tốt và có kĩ năng trong giải toán liên quan đến phép chia hết và phép chia có dư nên tôi chọn vấn đề này để nghiên cứu. 
B. Giải quyết vấn đề
I. Giải một bài toán như thế nào?
Để giải một bài toán đặc biệt là bài toán chưa có thuật giải ngoài việc nắm vững kiến thức yêu cầu người giải phải có phương pháp suy nghĩ khoa học và kinh nghiệm giải. Phương pháp suy nghĩ và kinh nghiệm giải đó được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ.
	Để học sinh trình bày được lời giải bài toán một cách rõ ràng, chính xác và khoa học khi giảng dạy cho học sinh ta cần rèn luyện cho các em theo 4 bước sau:
	1. Tìm hiểu đề toán
	2. Tìm hướng giải
	3. Thực hiện lời giải 
	4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
	Vì mỗi bước cần chỉ rõ cho học sinh cần phải làm gì? Suy nghĩ như thế nào?
Cụ thể:
1. Tìm hiểu đề toán:
 	Để giải một bài toán trước hết phải hiểu bài toán hơn nữa phải có hứng thú giải bài toán đó bởi vậy để học sinh hiểu rõ bài toán ta nên yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề toán, nhìn bài toán một cách tổng quát, gạt đi những yếu tố, những cái không bản chất và hướng dẫn học sinh phân tích đề toán bằng cách trả lời những câu hỏi sau:
	+ Bài toán cho ta biết yếu tố nào? 
+ Yếu tố nào chưa biết, phải tìm?
+ Yếu tố đã biết, chưa biết có mối liên hệ gì?
Ví dụ: Với bài toán chứng minh rằng (CMR): m5 – m 30 với mọi m Z. Học sinh phải trả lời được:
+ Bài toán cho biết biểu thức: m5 – m với mọi m Z.
+ Bài toán yêu cầu chứng minh: m5 – m 30
2. Tìm hướng giải:
- Tìm hướng giải là một hoạt động quan trọng trong giải toán, nó quyết định thành công hay không thành công, thành công nhanh hay chậm của việc giải toán. Điều quan trọng là tìm ra con đường đi đúng. Để tìm ra con đường đi đó cần hướng cho học sinh suy nghĩ.
- Có thể dùng các bài toán đã giải của những bài toán tương tự (Có thể sử dụng về phương pháp, về kết quả hoặc kinh nghiệm).
- Có thể phải biến đổi bài toán để tạo ra những bài toán mới, khẩ năng mới có liên quan đến bài toán đã giải.
- Đôi khi phải mò mẫm, dự đoán bằng cách thử các trường hợp có thể sảy ra, xét trường hợp đặc biệt, xét trường hợp tổng quát của bài toán.
- Với ví dụ 1: CMR m5 – m 30 với mọi m Z cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ. Để chứng minh được ta làm thế nào? Có dấu hiệu chia hết cho 30 chưa? Vậy cần tách bài toán (Biến đổi bài toán) như thế nào? Một số chia hết cho 30 thì phải đồng thời chia hết cho những số nào? mà ta có thể sử dụng dấu hiệu chia hết. Từ đó học sinh phải suy nghĩ tách được bài toán về bài 3 toán đơn giản hơn.
1) m5 – m 2
2) m5 – m 3
3) m5 – m 5
3. Thực hiện lời giải:
	- Sau khi tìm được hướng giải thì việc thực hiện lời giải được tiến hành, việc thực hiện lời giải là công việc chủ yếu của quá trình giải toán. Khi thực hiện lời giải kết hợp rèn luyện cho học sinh cách trình bày lời giải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, làm rõ sự liên hệ giữa mỗi bước với toàn bộ bài toán. Với ví dụ 1 CMR m5 – m 30 với mọi m Z học sinh cần chứng minh 3 bài toán:
1) m5 – m 2
2) m5 – m 3
3) m5 – m 5
	- Lời giải: 
Nhận xét m5 – m = m.m4 – m.1 = m(m4 - 1). Và một số chính phương chia cho 2 có thể dư 0 hoặc 1, chia cho 3 có thể dư 0 hoặc dư 1, chia cho 5 có thể dư 0, dư 1 hoặc dư 4.
*Chứng minh: m5 – m 2 (1)
Nếu m 2 Thì m(m4 - 1) 2 => m5 – m 2
Nếu m 2 Thì m4 : 2 dư 1 => (m4 - 1) 2
Vậy m5 – m 2 với mọi m nguyên.
*Chứng minh: m5 – m 3 (2)
Nếu m 3 => m(m4 - 1) 3 Vậy m5 – m 3
 Nếu Nếu m 3 thì m2 : 3 dư 1 => m4 : 3 dư 1 => (m4 - 1) 3 
Vậy với mọi giá trị của m thì m5 – m 3
*Chứng minh: m5 – m 5 (3)
 Nếu m 5 => m(m4 - 1) 5 Vậy m5 – m 5
 Nếu m 5 thì m2 : 5 dư 1 hoặc dư 4
 m2 : 5 dư 1 => m4 : 5 dư1 => (m4 - 1) 5
 m2 : 5 dư 4 => m4 : 5 dư1 => (m4 - 1) 5
Vậy với mọi giá trị của m thì m5 – m 5 
 Vì 2, 3, 5 là ba số nguyên tố cùng nhau nên từ (1), (2), (3) ta có :
 m5 – m 2.3.5 hay m5 – m 30.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
	Đây là bước làm cần thiết và bổ ích nhưng nhiều em học sinh khi giải toán chưa thực hiện bước này. Trong quá trình thực hiện giải rất có thể mắc nhiều sai sót, nhầm lẫn, việc kiểm tra lại quá trình giải giúp học sinh sửa chữa được sai sót đó.
	Mặt khác, nhìn lại cách giải , phân tích lại kết quả và các bước đã giải, để tìm kiếm những lời giải khác cho bài toán, hay đưa đến bài toán tổng quát, từ đó học sinh có thể củng cố và phát triển khả năng giải các bài toán. Khi giảng dạy cho học sinh , sau mỗi bài làm cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại lời giải từ lý luận đến tính toán. Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh nghiên cứu lời giải để phát triển đối với các bài toán sau này hoặc các bái toán liên quan đã giải.
	Với ví dụ 1: Kiểm tra lại lời giải.
 Trong quá trình giải đã phân tích m5 – m = m(m4 - 1) và sử dụng các tính chất a c và b c thì a+ b c và a(a+b) nếu có a m thì a(a+b) m. Nếu nghiên cứu kĩ lời giải có thể tìm ra được điều kiện của m để biếu thức m5 – m 120.
II.vận dụng các vấn đề đã nêu ở phần b mục một để hướng dẫn học sinh cách giải bài toán về phép chia hết và phép chia có dư.
Bài toán 1: 
Một số chia cho 7 thì dư 6, chia cho 8 thì dư 5. Hỏi số đó chia cho 56 thì số dư là bao nhiêu?
	*Hướng dẫn học sinh: 
- Phân tích tìm hướng giải 
 Về lý thuyết: để tìm số dư r của phép chia số nguyên a cho số nguyên b ta tìm cách biểu diễn: a = b.q + r (0 r < ). Từ đó học sinh suy nghĩ để tìm lời giải. 
 	- Lời giải: 
 Cách 1: Nhận xét 56 = 7.8 và 8 – 7 = 1
 Gọi số cần tìm là a.
 Từ đề bài toán cho a chia 7 dư 6 và chia 8 dư 5 nên ta có:
 	a = 7q + 6 và 
	a = 8p + 5 (p, q Z) 
do đó: 	8a = 56q + 48
	7a = 56p + 35
Suy ra:	 a = 8a – 7a = 56(q - p) + 13
Vậy số dư của a chia cho 56 là 13
 Cách 2: 
	Từ a = 7q + 6 và a = 8p + 5 (*)
	Ta có: 7q + 6 = 8p + 5 => 7q – 7p = p -1 vì 7q – 7p 7 vậy p -1 7 
	Suy ra: p = 7t + 1 (tZ). Thay p = 7t + 1 vào (*)
 	Ta có a = 56t + 8 + 5 = 56t + 13
	Vậy a chia cho 56 có số dư là 13
 - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
 Trong quá trình giải đã định nghĩa về phép chia có dư. Với đặc điểm riêng của bài toán khi nghiên cứu hai cách giải ta có thể giải bài toán trong trường hợp tổng quát: 
 	“Số nguyên a chia cho số nguyên n dư r1, chia cho số nguyên n + 1 dư r2 hỏi số a chia cho số n(n + 1) thì số dư là bao nhiêu?”
 - Lời giải: 
Theo bài ra ta có: a = n.q + r1 và a = (n + 1)p + r2
	 Do đó: a(n + 1)	 = n(n + 1)q + (n + 1)r1 
	 a.n = n(n + 1)q + n.r2
Suy ra: a = n(n + 1)(q - p) + (n + 1)r1 – n.r2
 Ta thấy: < n(n + 1)
	+ Nếu (n + 1)r1 – n.r2 0 thì a chia cho n(n + 1) có số dư là (n + 1)r1 – n.r2
	+ Nếu (n + 1)r1 – n.r2< 0 thì khi đó 0 < n (n + 1) + (n + 1)r1 - n.r2<n(n + 1)
 ta viết a = n(n+1)(q – p – 1) + [n (n + 1) + (n + 1)r1 - n.r2] thì a chia cho n(n + 1) có số dư là: n (n + 1) + (n + 1)r1 - n.r2 
 (Có thể yêu cầu học sinh giải bài toán tổng quát theo cách 2 và áp dụng bài toán tổng quát vào giải các bài toán cùng loại.)
Bài toán 2:
	 Khi chia số nguyên a cho 3 thì dư 2; chia cho 8 thì dư 4. Hỏi số dư khi chia số a cho 48 
- Phân tích tìm hướng giải: tương tự bài toán 1
- Lời giải: (áp dụng lời giải bài toán 1 cách 2)
Theo giả thiết ta có: a = 3q + 2 và a = 8k + 4 (*) suy ra 3q + 2=8k + 4
 Do đó: k - 2 = 9k - 3q =3(3k - q) 3
Vậy k – 2 = 3t (tZ) hay k = 3t + 2. Thay vào (*) ta có: a = 24t + 16 + 4=24t + 20
Vì tZ nên t = 2u hoặc t = 2u + 1
Với t = 2u thì a = 48u + 20. Số dư của phép chia a cho 48 là 20
Với t = 2u + 1 thì a = 48u + 44. Số dư của phép chia a cho 48 là 44
Vậy số dư của a khi chia cho 48 là 20 hoặc 44.
 - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Như bài toán 1 cách 2
Bài toán 3: 
Chia số 1993 cho một số tự nhiên a, có thương là 30, hãy tìm cách biểu diễn số 1993 qua số bị chia , thương và số dư .
- Phân tích tìm hướng giải
Vận dụng định nghĩa về phép chia có dư
- Lời giải:
 Gọi r là số dư của phép chia 1993 cho a.
Ta có 1993 = 30a + r ( 0 r < a)
Do đó 0 1993 - 30a < a. Nghĩa là 30 a 1993 < a + 30a hay a 
và a > < a 66
Vì a là số tự nhiên nên a=65 hoặc 66
Nếu a = 65 ta có 1993 = 65.30 + 43 vậy r = 43
Nếu a = 66 ta có 1993 = 66.30 + 13 vậy r =13
 	- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Trong quá trình giải ta sử dụng tính chất a b + c < d thì a – b c < - b + d 
Bài toán 4:
Thêm vào bên trái của số 1986 một chữ số và vào bên phải số ấy một chữ số để được số mới chia hết cho 45 .
- Phân tích tìm hướng giải:
Ta có 45=5.9 và hai số 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau. Một số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 5 và cho 9. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta tìm được số thêm vào bên phải, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta tìm được chữ số thêm vào bên trái . 
- Lời giải:
Gọi chữ số thêm vào bên trái là x chữ số thêm vào bên phải là y
Ta có : 45 (0<x 9; 0y9) 
 Vì 45=5.9 và ƯCLN (5;9) =1
 Nên 45 khi và chỉ khi 5 và 9
 Để 5 ta phải có y=0 hoặc y=5
	+ với y = 0 ta có 9 khi (x+1+9+8+6+0) 9 khi và chỉ khi (x+24 ) 9
Vậy x = 3
	+ Với y=5 ta có 9 khi (x+1+9+8+6+5) 9 khi và chỉ khi (x+29) 9
Vậy x=7
 Ta có số 319860 và số 719865 đều chia hết cho 45
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Trong quá trình giải đã sử dụng tính chất ( dấu hiệu) chia hết cho 5 và chia hết cho 9. Yêu cầu học sinh kiểm tra kỹ lưỡng bước giải : từ suy luận đến cách trình bày và kết quả. áp dụng cách giải cho bài toán cùng loại.
Bài toán 5: 
CMR nếu hai số nguyên a và b chia cho số nguyên c mà có cùng một số dư thì a – b chia hết cho c.
- Phân tích tìm hướng giải 
 Để chứng minh a – b chia hết cho c ta tìm cách biểu diễn số nguyên a và b qua số chia và số dư.
	- Lời giải: 
	Vì a và b chia cho c có cùng một số dư là r nên ta có : 	
a = và b = (0 r < c) 
Từ đó a – b = c.q1 + r – (c.q2 + r) = c.q1 – c.q2 + r – r = c(q1 – q2)
Vì c(q1 – q2) c nên a – b c
Vậy nếu a và b chia cho c có cùng một số dư thì a – b chia hết cho c
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 
Học sinh kiểm tra lời giải 
Khai thác kết quả một số nguyên a chia cho số nguyên dương n có số dư là một trong các số 0; 1; 2.; n-1.
	Tứ đó ta có trong n +1 số nguyên bất kì khi chia cho n luôn có ít nhất 2 số có cùng số dư và hiệu của chúng cùng chia hết cho n. áp dụng kết quả này trong một số trường hợp sẽ có lời giải hay.
Ngoài ra có thể phát triển thêm về loại toán này chính là bài toán về đồng dư.
Bài toán 6: 
Tìm số tự nhiên n sao cho 
a) n + 2 chia hết cho n – 1
b) 2n + 1 chia hết cho 6 – n
`	- Phân tích tìm hướng giải:
 Để tìm số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu đề toấnt căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, dựa vào nhận xét nếu AB thì (mA - nB)B (m, n N*).
	- Lời giải:
 a) n + 2 n - 1 => [(n + 2) - (n – 1)] n – 1 hay (n + 2 – n + 1) n – 1 => 3 n – 1 vì 
n N* nên n – 1 phải là ước của 3.
 Mà Ư(3) = {1; 3; -1; -3} nên n - 1 = 1 hoặc n - 1 = 3 (Vì n N*)
 Với n - 1 = 1 => n = 2
 Với n – 1 = 3 => n = 4
 Vậy với n = 2 và n = 4 thì n + 2 n – 1
 b) Ta có (2n + 1) (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 – n)] (6 – n) hay 2n + 1 + 12 – 2n 6 – n
=> 13 (6 – n) mà n N* nên phải là ước của 13.
 Ư(13) = {1; 13; -1; -13}. Nên 6 – n = 1 hoặc 6 – n = 13 hoặc 6 – n = -1 hoặc 6 – n = -13
6 – n = 1 => n = 5
6 – n = 13 không có số tự nhiên nào thoả mãn
6 – n = -1 => n =7
6 – n = -13 => 19
 Vậy với n = 5; n = 7; n = 19 thì (2n + 1) (6 – n)
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
có thể áp dụng lời giải này cho bài toán cùng loại.có thể vận dùng bài toán cho bài toán 
tìm các giá trị để phân số là phân số tối giản.
Bài toán 7:
 Biết rằng A= 717 +17.3 -1 là một số chia hết cho 9. CMR B = 718 +18.3 -1 chia hết cho 9 
- Phân tích tìm hướng giải.
Để chứng minh B chia hết cho 9 ta phân tích số B thông qua A, và dựa vào tính chất chia hết của một tổng để chứng minh
- Lời giải:
Theo đầu bài : A = 717 +17.3 -1 chia hết cho 9 mà A = 717 +17.3 -1 =717 +51 -1= 717 +50 9
Ta viết B = 718 +18.3 -1 =718 +54 -1 =718 +53 = 7(717 +50 )– (7.50 -53)
 vậy B =7(717 +50 ) -297 =7. A -33.9 mà 7.A 9 và 33.9 9 nên B 9
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Học sinh kiểm tra lời giải. có thể dựa vàokết quả để chứng minh bài toán tổng quát: với mọi số tự nhiên n 7n +3.n -1 chia hết cho 9 thì 7n+1 +3.(n +1) -1 cũng chia hết cho 9.
Bài toán 8:
Bạn nam nghỉ ra một số có ba chữ số. Nếu bớt số đó đi8 thì được sốchia hết cho 7 ;nếu bớt số đó đi 9 thì được số chia hết cho8;nếu bớt số đó đi 10 thì được số chia hết cho 9.hỏi bạn nam nghĩ ra số nào?
 - Phân tích tìm hướng giải: 
 Để tìm được số bạn Nam đã nghĩ ta dựa vào các điều kiện đã cho trong bài toán: Bạn Nam nghĩ ra số đó nếu bớt đi 8 thì được số chia hết cho 7 vậy chứng tỏ số đó bớt đi 1 thì cũng chia hết cho 7. Tương tự số đó bớt đi 1 sẽ chia hết cho 8 và chia hết cho 9 kết hợp với điều kiện số đó có 3 chữ số để tìm ra số mà Nam đã nghĩ.
 	- Lời giải
Gọi số bạn Nam nghĩ là x vì Nam nghĩ là số gồm ba chữ số nên 100 x < 1000(1) 
Số đó bớt đi 8 thì chia hết cho 7 nên số đó bớt đi 1 thì cũng chia hết cho 7 vậy x – 1 7
	Tương tự số đó bớt đi 1 sẽ chia hết cho 8, cho 9.
 Nên x – 18 và x – 1 9
 Vậy x – 1 là bội chung của 7, 8, 9. Ta có BCNN(7 , 8, 9) = 504 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra x – 1 = 504 => x = 505.
Vậy số mà bạn Nam nghĩ ra là số 505
 - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 
Học sinh 	trả lời giải . Có thể áp dụng loại toán này cho các bài toán liên quan đến tìm số khi biết nó là bội chung của các số, và các bài toán cùng loại.
C. kết luận
I. Kết quả.
 Sau khi áp dụng phương pháp nêu trên vào giảng dạy cho học sinh khói 6 năm học 2006 – 2007 tai trường THCS Lũng Niêm nhìn chung học sinh nắm bắt vấn đề có nhiều tiến bộ hơn. Các em đã biết giải thành thạo các bài toán về pháp chia hết và phép chia có dư. Các em đã dần hình thành kĩ năng khi giải một bài toán. áp dụng cụ thể tôi thu được kết quả sau.
Lớp
Sĩ số
Chất lượng
Giỏi
%
Khá
%
TB
%
Yếu
%
6A
37
2
5,4
13
35,1
18
49,1
4
10,8
6B
38
3
7,9
12
42,1
19
50,0
0
0
Tổng
75
5
6,7
25
33,3
37
54,7
4
5,3
II. Bài học kinh nghiệm.
Để có chất lượng tốt, người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp, vốn kiến thức phong phú thường xuyên nghiên cứu tích luỹ vốn kinh nghiệm cho bản thân. Học sinh phải có đầy đủ SGK vở bài tập, vở ghi, phải cố gắng trong học tập. Các em phải có ý thức tốt về bộ môn mà mình được học, nhất là đối với chương trình SGK.
 Khi nghiên cứu đề tài này tôi thường vận dụng đối với học sinh khá giỏi, bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về môn toá. Mức độ bài tập và phương pháp suy luận trên cũng phù hợp với học sinh khá giỏi.
Đối vơi đối tượng học sinh đại trà cũng yêu cầu học sinh nắm chắc cách giải một bài toán như thế nào? nhưng lượng bài đưa ra phải phù hợp với đối tượng học sinh, ở mức độ bài tập SGK, SBT mà trong đề tài này chưa có thời gian đề cập đến. Có thể áp dụng các phương pháp và cách giải các bài toán đã nêu trong đề tài để áp dụng cho các bài toán cùng loại và là công cụ để giải các bài toán cùng loại trong chương trình các lớp tiếp theo.
III. Kết luận
	- Sau một thời gian nghiên cứu, tìm tài liệu, suy nghĩ vận dụng các phương pháp đã nêu để giảng dạy tôi đã đúc kết và viết thành kinh nghiệm như về hướng dẫn học sinh giải toán về phép chia hết và phép tri có dư. Do điều kiện thời gian, tài liệu cọn hạn chế nên trong đề tà này không hẳn không còn thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy cô để sáng kiến nhỏ này được đưa vào ứng dụng trong giảng dạy, và là một phần tài liệu tham khảo cho các em học sinh.
- Tôi vô cùng cảm ơn các ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, của các bạn đồng nghiệp để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm cũng như phương pháp giảng dạy tốt hơn.
Lũng niêm ngày 04 tháng 04
Người thực hiện
Lê Thanh Hải