Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.... 
II. NỘI DUNG....... 
 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ........
 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
 nghiệm .. 
 3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
 3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm 
 số
 3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài
 toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối..
 3.3. Các dạng bài toán .
 Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt 
 đối khi cho hàm số 
 Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt 
 đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của ...
 Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
 đối khi cho đồ thị ...
 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ..
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
Tài liệu tham khảo 
1
1
1
5
5
5
5 
6
6
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Mỗi giáo viên dạy toán ở trường THPT luôn trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất. 
	Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì thi Tốt nghiệp THPT, bài toán tìm cực trị của hàm số là một dạng bài toán thường gặp trong các đề thi THPT quốc gia môn Toán với các mức độ từ dễ đến khó, trong đó bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện trong các đề thi tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất, phân loại các bài toán cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, biết khai thác các giả thiết của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy, biết phân loại theo các dạng toán để tìm phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. 
Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài toán về cực trị của hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trôi chảy, có đáp án chính xác và nhanh thông qua việc biết phân loại bài toán và tìm phương pháp giải, tôi đã chọn đề tài 
"Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối"
Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất cả các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chỉ mạnh dạn nêu lên một số phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy và ôn thi cho học sinh. Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mong muốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả cao hơn qua các bài giảng.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
1.1. Cực trị của hàm số 
a. Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ; là ) và điểm .
+) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
+) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và 
thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
* Chú ý
+) Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
+) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
b. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
* Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó nếu hàm số có đạo hàm tại thì .
c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
* Định lí 2: Giả sử hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên hoặc trên , với .
+) Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực đại của hàm số .
+) Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực tiểu của hàm số .
Minh họa bằng bảng biến thiến
* Chú ý
+) Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập xác định của nó.
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng tại điểm 
nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .
* Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng với . Khi đó:
+) Nếu thì là điểm cực tiểu.
+) Nếu thì là điểm cực đại.
1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a. Định nghĩa: 
+) Hàm số với tập xác định gọi là hàm số chẵn nếu thì và 
+) Hàm số với tập xác định gọi là hàm số lẻ nếu thì và 
b. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
1.3. Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của các hàm số đó
a. Hàm số 
Ta có: 
Nhận xét: Hàm số luôn nhận giá trị không âm
Cách vẽ đồ thị: 
+> Vẽ đồ thị của hàm số 
+> Gọi là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của 
+> Gọi là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành của qua trục .
+> Vậy đồ thị hàm số gồm và 
Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành
b. Hàm số 
Ta có: 
Nhận xét: Hàm số là hàm số chẵn
Cách vẽ đồ thị: 
+> Vẽ đồ thị của hàm số 
+> Gọi là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của 
+> Gọi là phần đồ thị đối xứng với qua trục .
+> Vậy đồ thị hàm số gồm và 
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
c. Hàm số 
Cách vẽ đồ thị: 
Cách 1: 
+> Vẽ đồ thị của hàm số 
+> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số 
+> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số 
Cách 2: 
+> Vẽ đồ thị của hàm số 
+> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số 
+> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số 
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Với xu thế giáo dục phát triển năng lực học sinh một cách toàn diện, và đổi mới thi cử, đánh giá của ngành giáo dục, đặc biệt là việc thi và đánh giá năng lực học sinh bằng phương pháp thi trắc nghiệm. Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nội dung thi phủ rộng cả chương trình học. Vì vậy việc làm phong phú hệ thống câu hỏi và bài tập là điều hết sức cần thiết. Với bài toán tìm cực trị của hàm số khi xuất hiện trong các đề thi ở mức độ 1 và mức độ 2 học sinh thường đi theo các bước của quy tắc tìm cực trị của hàm số, nhưng với những bài toán tìm cực trị của hàm số ở mức độ khó hơn nếu chỉ áp dụng quy tắc tìm cực trị thì học sinh thường lúng túng, cách giải quyết vấn đề dài dòng, mất thời gian. Trong nhiều trường hợp bài làm sẽ rơi vào bế tắc không giải được. Đặc biệt các bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và điều đó càng bất lợi khi các bài kiểm tra thi cử dưới dạng trắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bài bị rút ngắn lại. 
Chính vì lẽ đó tôi đã tìm tòi nghiên cứu để phân loại các bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng các phương pháp đó vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh. Dưới đây là một số phương pháp cụ thể.
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số
+> Số điểm cực trị của hàm đa thức bằng tổng số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình 
+> Số điểm cực trị của hàm số bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số cộng với 1.
+> Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm số với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình .
3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối
	Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 
	Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số và 
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa với và với 
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
3.3. Các dạng bài toán
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số 
Bài toán 1.1: Sử dụng các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.
+> Giải phương trình . Xét xem các nghiệm của phương trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn.
+> Sử dụng các tính chất ở mục 3.1 để kết luận. 
Ví dụ 1. Cho hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số là.
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có 
Trong đó: 
 +> là nghiệm bội 2 nên không đổi dấu khi qua 
+> là nghiệm đơn và là nghiệm bội 3 đổi dấu khi qua 2 điểm nên hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị dương.
Do khi và hàm là hàm chẵn nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số là.
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có 
Trong đó: 
 +> là nghiệm bội 4 nên không đổi dấu khi qua 
+> là nghiệm đơn và là nghiệm bội 3 đổi dấu khi qua 3 điểm nên hàm số có 3 điểm cực trị trong đó có 2 điểm cực trị dương.
Do khi và hàm là hàm chẵn nên hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị của hàm số là: 
 A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Do chỉ đổi dấu khi đi qua điểm nên hàm số có 1 điểm cực trị .
Mà nếu và là hàm số chẵn nên hàm số có 1 điểm cực trị .
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
 A. 5.	B. 6.	C. 12.	D. 11.
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị và phương trình có tối đa 6 nghiệm phân biệt.
Do đó hàm số có tối đa điểm cực trị.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm
 với mọi . 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị?
 A. .	B. 7.	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Do tính chất đối xứng qua trục của đồ thị hàm số nên hàm số có điểm cực trị khi hàm số có điểm cực trị dương.
Ta có: 
Do là nghiệm bội 2 và là nghiệm đơn âm nên hàm số có điểm cực trị dương khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là: .
Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là .
Ví dụ 6. Cho hàm số liên tục trên , biết và . Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của bằng
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Ta có 
, 
vì 
Nên 
TXĐ: 
Bảng biến thiên của hàm 
Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số có điểm cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt. Khi đó ta có 
Vì nguyên nên . Suy ra 
Vậy tổng các phần tử của bằng 
Bài toán 1.2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 
Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số và 
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa với và với 
Trong đó: 
+> , , , , là các điểm biên của tập xác định D, là các điểm cực trị của hàm số . (Nếu thì còn có thêm nghiệm của phương trình , hay thì còn có thêm số 0)
+> Ở dòng thứ 2 ta điền các giá trị . Trên mỗi khoảng hoặc điền các số , , , , trong đó , , , là các điểm mà tại đó , không xác định; là các điểm cực trị của hàm số . Có thể dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số 
+> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số dựa vào bảng biến thiên bằng cách hoán đổi đóng vai trò của và đóng vai trò của 
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận. (Kết hợp với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra)
Ví dụ 7. Cho hàm số có . Số điểm cực tiểu của hàm số là.
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt 
Bảng biến thiên của hàm số 
Ta có: 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 3 điểm cực tiểu.
Ví dụ 8. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có . Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
 A. 2.	B. 5.	C. 7.	 D. 4.
Lời giải
Chọn D.
Đặt 
Ta có: 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 4 điểm cực tiểu.
Ví dụ 9. Cho hàm số liên tục trên và có và . Số điểm cực trị của hàm số là
 A. 2.	B. 4.	C. 3.	D. 5.
Lời giải
Chọn C.
Xét hàm số 
Đặt 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của 
Dựa vào bảng biến thiên của thì hàm số có 2 điểm cực trị.
Mà nên phương trình chỉ có một nghiệm đơn
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của 
Ví dụ 1.	Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ.
Hàm số có bao nhiêu cực trị?
 A. 	B. .	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số có được từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải đơn vị và lên trên đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 2 cực trị và 1 nghiệm đơn nên hàm số có 3 điểm cựu trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số có và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
 A. 2.	 B. 3.	C. 5. D. 7.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số 
Ta có 
.
Mà nên dựa vào bảng xét dấu của ta suy ra .
.
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. 
Ta có nên phương trình có hai nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn. Vậy có cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu hàm số như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại.
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt 
Ta có: 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 3 điểm cực đại.
Ví dụ 4. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có bảng xét dấu của như sau
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Đặt 
Ta có: 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của thì hàm số có 13 điểm cực trị
Suy ra đồ thị hàm số có 13 điểm cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 2021 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi). 
Ví dụ 5. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau:
Xét hàm số . Gọi là tập hợp các điểm cực trị của hàm số . Tổng giá trị tất cả các phần tử của là
 A. .	B. .	C. .	D. 5.
Lời giải
Chọn A 
Ta có 
Do 
Bảng xét dấu của 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên ta thấy hàm số 
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Hàm số đạt cực trị tại các điểm tương ứng với
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của bằng 10
Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị
Ví dụ 1. Cho hàm số là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 3.	B. 5.	C. 7.	D. 9.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên 
Đặt 
Ta có: 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Vậy hàm số có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải 
Chọn C
Xét hàm số có:
.
Đường cong cắt parabol tại ba điểm có hoành độ lần lượt là . 
Do đó .
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị và phương trình có tối đa bốn nghiệm . Vậy hàm số có tối đa điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hàm số như hình vẽ
Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực đại?
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải 
Chọn B
Đặt 
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có tối đa 5 điểm cực đại.
Ví dụ 4. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số là
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên
Trong đó , , và 
Đặt 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 9 điểm cực trị. 
Mà nên phương trình có 10 nghiệm đơn.
Vậy hàm số có 19 điểm cực trị.
Ví dụ 5. Biết rằng hàm số xác định, liên tục trên có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số .
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên
Đặt 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 4 điểm cực tiểu.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm rèn luyện cho học sinh biết sử dụng các dấu hiệu giải toán về cực trị của hàm số; biết ghép bảng biến thiên để giải các bài toán về hàm hợp, đặc biệt tôi đã áp dụng cụ thể trong bài toán tìm cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng phương pháp này ở lớp 12C1, tôi thấy các em học sinh tiếp thu bài tốt hơn, nắm bắt vấn đề nhanh hơn và đi đến kết quả chính xác hơn. Kết quả thi THPT QG trong năm học 2018 – 2019 điểm trung bình môn Toán lớp 12C1 là 8,17 điểm, có nhiều em đạt điểm từ 9 trở lên, có em đạt điểm 9,8. Phương pháp này còn kích thích khả năng tư duy, tìm tòi sáng tạo của học sinh sao cho đạt kết quả nhanh nhất.
Đây thực sự là một tài liệu hữu ích đã được tôi kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt. 
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Trong đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến một số phương pháp giải nhanh trong bài toán tìm cực trị mà tôi và các đồng nghiệp đã vận dụng. Tuy nhiên trong quá trình giải các bài toán tìm cực trị nói riêng và các bài toán về hàm số nói chung, không có một phương pháp nào là duy nhất và tuyệt đối. Mà nó cần sự bổ trợ của nhiều phương pháp, nhiều cách giải và sự vận dụng một cách nhuần nhuyễn, khéo léo của nhiều kiến thức khác nhau. Trong đó phương pháp giải nhanh được vận dụng một cách chủ đạo nhất, thuận lợi nhất. Tôi hi vọng đây là vấn đề được nhiều giáo viên cũng như học sinh quan tâm.
Với mục đích nghiên cứu của đề tài là áp dụng cho học sinh lớp 12. Đặc biệt dùng cho học sinh ôn tập thi THPT quốc gia. Với sự cố gắng của bản thân và đồng nghiệp tôi tin chất lượng giáo dục ngày càng được nâng cao.
Qua đề tài này tôi thiết nghĩ rằng: Phải kiên trì học hỏi, đầu tư nhiều công sức, vận dụng sáng tạo phương pháp dạy học toán học, thì sẽ có bài giảng thu hút được học sinh.
Mặc dù tôi đã cố gắng rất nhiều trong quá trình hoàn thành đề tài, song không thể tránh được các thiếu sót, rất mong được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các cấp lãnh đạo, đồng nghiệp và học sinh để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 (nhà xuất bản giáo dục).
2. Sách giáo khoa đại số 10 (nhà xuất bản giáo dục).
3. Các đề thi chính thức THPT quốc gia và đề thi thử THPTQG các trường trên cả nước.
 4. Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp. (Kênh PPT Tivi – Sưu tầm trên mạng Internet).