Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

 các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng và nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài toán, học sinh vẫn bị lúng túng trong định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công thức mà thầy, cô đã hướng dẫn. Điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày.
2.1.3. Nguyên nhân dẫn đến tình hình trên:
* Về giáo viên:
- Việc truyền tải kiến thức của căn thức bậc hai cho học sinh đang còn hạn chế.
- Chưa hình thành được cho học sinh kỹ năng giải, mô hình giải, cách giải ứng với từng trường hợp, từng bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9.
- Kỹ năng rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước một bài toán và khả năng phân tích đề bài chưa được chú trọng.
* Về học sinh: 
 - Động cơ thái độ học tập của nhiều học sinh chưa thật tốt. Học sinh vẫn quen với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia một cách tích cực, chủ động vào các nội dung học tập.
- Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 nên không chuẩn bị tốt tâm thế cho giờ học Toán. 
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn thức ở lớp 9 chưa thành thạo. 
- Học sinh chưa hình thành được mô hình giải toán, các bước để giải một bài toán.
- Kỹ năng phân tích đề bài và định hướng được cách làm của một bài, một dạng của học sinh còn khiêm tốn.
2.2. CÁC GIẢI PHÁP:
2.2.1. Cho học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh nắm chắc bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8.
Bình phương một tổng : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2	
Bình phương một hiệu : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Hiệu hai bình phương :	 a2 – b2 = (a + b).(a – b)
Lập phương một tổng :	 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Lập phương một hiệu : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Tổng hai lập phương :	 a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)
Hiệu hai lập phương :	 a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2)
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự) viết dưới dạng có dấu căn. (với a ; b > 0)
2.2.2. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai:
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
(với a0; a1)
Nhận xét đề bài: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : 
tương tự hằng đẳng thức số 3; 7 lớp 8. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái:
Giải
Đến đây ta lại thấy xuất hiện hằng đẳng thức:tương tự hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả: 
(với a + b > 0 và )
Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : 
Giải
 (vì a + b > 0) (đpcm) 
	Bài 2: Chứng minh đẳng thức:
(với a > b; a1)
Nhận xét: bài toán đã cho kết hợp phân tích đa thức thành nhân tử và dạng hằng đẳng thức thứ 2 lớp 8 ở mẫu thức:
Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái :
Giải 
Dạng 2: Rút gọn biểu thức:
Bài 1: Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Nhận xét: Bài toán cho có dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 8.
 để rút gọn biểu thức K. 
Giải:
a) Rút gọn biểu thức K:
 Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 
Ta có: a = 3 + 2 = (1 + )2 (dạng hằng đẳng thức thứ nhất)	
 Do đó: 	
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2: a) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức (với )
c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Nhận xét: Bài toán cho có dạng hằng đẳng thức số 3 lớp 8:
 để rút gọn biểu thức B. 
Giải:
a) Với x = 36, ta có : A = 
b) Với x 0, x ¹ 16 ta có :
B = = 
c) Ta có: .
Để nguyên, x nguyên thì là ước của 2, mà Ư(2) =
Ta có bảng giá trị tương ứng:
1
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK , để nguyên thì 
Bài 3: Cho biểu thức 
P = 
Tìm điều kiện xác định của P.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > .
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hằng đẳng thức số 2 và 3 lớp 8. 
Giải:
a) ĐKXĐ : x > 0, x 1
b)
 c) Với x > 0, x 1 thì . 
 Vậy với x > 2 thì P > .
Bài 4: Cho biểu thức:
Tìm điều kiện để A có nghĩa 
Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a 
Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử: 
	 Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải 
Biểu thức A không phụ thuộc vào a . 
 Bài 5: Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A?
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên?
Nhận xét: ta thấy 
Áp dụng cho bài toán trên ta có lời giải:
Giải:
b) Ta có:,
 A nhận giá trị nguyên khi là ước của 1
Với: 
Vậy thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức R = (Điều kiện c0;4).
a) Rút gọn biểu thức R.
b) Tìm c để R = 2
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 - 2009)
Nhận xét: bài toán đã cho sau khi quy đồng có hằng đẳng thức:
	và .	Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải:
a) Điều kiện c0;4
b) R = 2
Vậy khi R = 2 thì c =12
Bài 7: Cho biểu thức sau: 
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Với giá trị nào của a,b thì B = 0.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 - 2010)
Nhận xét: Bài toán sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa thức thành nhân tử rồi rút gọn xuất hiện hằng đẳng thức . Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải:
a) ĐKXĐ của biểu thức: 
c) (KTM)
Vậy không có giá trị nào của a,b thì B = 0 
Bài 8: Cho biểu thức với x >0 và x1.
a) Thu gọn biểu thức Q.
b) Tìm các giá trị của xsao cho x >và Q có giá trị nguyên.
(Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 - 2012)
Nhận xét: Bài toán đã cho phân tích đa thức thành nhân tử: rồi quy đồng và xuất hiện hằng đẳng thức, rút rọn. Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải:
a) Với x >0 và x1 ta có:
b) Ta có: 
Vì nên 
Suy ra : 1< Q < 4
Mà Q nhận giá trị nguyên nên 
Với Q = 2, ta có: 
Với Q = 3,ta có: 
Vậy thì Q nhận giá trị nguyên.
2.2.3. Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai:
* Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đôi khi còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì không nói gì, nhưng có những câu mà ở các bài khó hơn đưa ra lại có những biểu thức chứa căn chồng căn. Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẳn (thường viết dưới dạng bình phương) để khai phương . Muốn làm được điều đó, cần phải biết vận dụng thành thạo hằng đẳng thức (bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu). Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán 
Ví dụ 1: Rút gọn : 
Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn. Để làm được điều này ta làm các bước sau :
Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2
 ( bài toán đã cho ) 
Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là: 3 và 1 
Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) 
Chú ý : 
+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau:
" Nếu hai số a và b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 – SX + P = 0 ". Điều kiện tồn tại hai số a và b là: . 
+ khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương (số bị trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối. 
Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1, ta có lời giải sau:
 Giải
Ví dụ 2 : Chứng minh đẳng thức 
Nhận xét: Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1
() vì vậy ta phải biến đổichúng như sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2 
Bước 1 :
Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1 
Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )
Giải 
Hai ví dụ lấy phía trên là hai trường hợp mà chúng ta thường gặp. Tùy theo từng loại bài, ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng cơ bản là biết vận theo ba bước ở trên là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy. Sau đây là một số bài tập trong sách bài tập và một số bài trong các kì thi tuyển vào lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ở trên để giải, không phải làm chi tiết theo từng mục như ở trên. 
Bài 1 : Rút gọn biểu thức 
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
2.2.4. Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng hằng đẳng thức để giải một số bài toán rút gọn nâng cao 
4 nếu 2 a6
2nếu a > 6
Bài 1: Chứng minh :
Nhận xét : Làm tương tự như bài trên ta có lời giải sau :
Giải 
Nếu 2 a6 , ta có: 	
Nếu a > 6 , ta có
* Còn rất nhiều bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai. Những bài tập tôi đưa ra ở trên đã dược chọn lọc, để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ, qua đó các em có thể biết cách học và cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có dấu căn. Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường mà hiện nay có chiều hướng đi xuống bởi vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa biết cách vận dụng kiến thức vào làm bài tập.
2.2.5. Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình có chứa căn thức bậc hai
a. Các ví dụ: 
a) 
b) 
c) =3
d) 
b. Phương pháp chung: 
Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : 
 - Tìm ĐKXĐ của phương trình .
 - Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. 
 - Giải phương trình vừa tìm được .
 - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
c. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình):
* Giải phương trình dạng: 
Bài 1: Giải phương trình : (1) 
ĐKXĐ : x+10 x-1
Với x -1 thì vế trái của phương trình không âm. 
Để phương trình có nghiệm thì x-10 x1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình :
 x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0 x(x-3) = 0 Û 
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Bài 2: Giải phương trình: 
(1)
ĐKXĐ : (2)
 Bình phương hai vế của (1) ta được : 
 Phương trình này có nghiệm và. Chỉ có thoã mãn (2) .
 Vậy nghiệm của phương trình là 
* Giải phương trình dạng: 
Bài 3: Giải phương trình: (1)
ĐKXĐ: 
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
Phương trình này có nghiệm thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài 4: Giải phương trình: (1)
 Lập phương trình hai vế của (1) ta được: 
 (x-1) (7- x) = 0 x = -1
 x = 7 (đều thoả mãn (1).
Vậy là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng: 
Bài 5: Giải phương trình -= 
=+ (1)
ĐKXĐ: 
Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được :
 (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
 5x2 - 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x1 = và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x1 = và x2 = 8 là nghiệm của phương trình.
* Giải phương trình dạng: + 
Bài 6: Giải phương trình : + = + (1)
 ĐKXĐ : Û Û x ≥ -1 (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2 = x+2 + x+ 5 + 2
 2+ = (3)
Với x -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được
 = 1- x
Điều kiện ở đây là x -1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
 Û x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).
Nhận xét: 
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn 
Với hai số dương a,b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1, 2, 3.....) 
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau .
* KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC :
Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi nhận thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức hay giải phương trình có chứa căn thức bậc hai để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế các em không còn lúng túng khi giải các dạng bài tập này mà còn rất hứng thú. 
Kết quả bài kiểm tra số 2: (Sau khi triển khai kinh nghiệm.)
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu - kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
91
35
6
17,2
12
34,3
13
37,1
4
11,4
92
34
6
17,6
11
32,4
14
41,2
3
8,8
Để đạt được kết quả và chất lượng học sịnh được nâng lên rõ rệt là do học sinh đã hiểu thấu đáo vấn đề ở những góc độ áp dụng từng hằng đẳng thức khác nhau. Đặc biệt là ở học sinh đã hình thành được kỹ năng giải bài tập, biết phân tích nhận dạng bài toán. Tuy nhiên việc áp dụng từng phần trong nội dung của đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh. Đối với các lớp đại trà tôi chỉ rèn luyện cho các em dạng bài áp dụng những hằng đẳng thức đơn giản từ hằng đẳng thức thứ 1 đến hằng đẳng thức thứ 3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp dụng tất cả hằng đẳng thức sau đó mới đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh hình thành kỹ năng giải dạng bài tập này.
3. PHẦN KẾT LUẬN:
3.1. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI:
Trên đây là một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán chứa căn thức bậc hai mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường cho học sinh đại trà cũng như học sinh khá giỏi và tôi đã thu được kết quả như sau:
- Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và ngày càng yêu thích học chương có căn thức bậc hai từ đó thích học môn Toán.
- Học sinh phân loại được các dạng bài tập và từ đó tìm được các hằng đẳng thức để áp dụng cho từng dạng chứ không bị nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau.
-Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức để giải toán từ đó phát huy được tính tích cực của học sinh.
Bên cạnh đó để đạt được kết quả như mong muốn đòi hỏi giáo viên cần phải thường xuyên trau dồi kiến thức nâng cao kỹ năng giải toán, kỹ năng phân loại bài tập cho học sinh.
- Trong quá trình giảng dạy trên lớp bên cạnh giảng dạy những kiến thức cơ bản trong SGK người giáo viên cần tìm tòi đưa thêm các kiến thức, kỹ năng cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh khá giỏi.
- Hướng dẫn học sinh đọc sách báo, học hỏi mở rộng kiến thức trong thực tế .
- Người giáo viên không ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để làm chủ kiến thức tự tin trước bài giảng và học sinh .
- Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi kĩ năng được thiết lập mà để hình thành những kĩ năng cho học sinh thì không có gì khác ngoài quá trình rèn luyện. Bồi dưỡng thường xuyên cho các em.
 	Với phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ là một mảng kiến thức tương đối hẹp so với toàn bộ chương trình hoá học nhưng tôi hi vọng nó sẽ giúp ích cho các em học sinh và các thầy cô giáo trong việc giảng dạy phần kiến thức này, giúp các em và thầy cô có cách nhìn tổng quát hơn về dạng toán này và là tài liệu hữu ích cho việc ôn luyện thi vào các trường THPT. Các bài tập trong đề tài ở mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp các em rèn luyện được kỹ năng không chỉ giải được dạng bài tập phần này mà còn rèn được một số kỹ năng khác như kỹ năng tính toán, phân dạng bài tập để giải.
	Qua giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy phần kiến thức này, học sinh thường lúng túng khi gặp phải. Do vậy, khi các em được học và rèn kỹ năng tôi tin chắc rằng những lúng túng đó sẽ không còn mà thay vào đó là sự tự tin và yêu thích môn học. 
3.2. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:
* Về phía học sinh:
- Học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ năng vận dụng tốt lý thuyết vào giải bài tập. 
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
* Về phía giáo viên: 
- Giáo viên phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được khả năng tiếp thu của các em, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. 
- Giáo viên cần linh hoạt trong khi dạy các tiết học, luyện tập, ôn tập đó là cho các em phải nắm vững những hằng đẳng thức đã học đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng từng hằng đẳng thức vào từng nội dung, từng phần của bài toán. 
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, chỉ ra những điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em. Theo dõi kết quả tiến bộ của các em qua học trên lớp, qua các bài kiểm tra. 
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
- Đối với học sinh trung bình và yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để bố trí các buổi phụ đạo, kèm cặp những lúc rảnh, để các em có thể tiếp cận các kiến thức đã bị hỏng.
* Về phía tổ chuyên môn:
Thông qua các tiết dự giờ, thao giảng, thảo luận chuyên đề để góp ý, tư vấn chuyên môn. Giúp giáo viên học hỏi được kinh nghiệm cũng như phương pháp rồi vận dụng vào công tác giảng dạy của mình. Ngoài ra cần nhân rộng phong trào nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm không chỉ là trách nhiệm mà còn là để tự mình nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
* Về phía nhà trường:
- Nêu cao tinh thần việc tự học, viết sáng kiến kinh nghiệm của mỗi cá nhân một cách thường xuyên. 
- Tăng cường công tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm trong giảng dạy. 
Trên đây là kinh nghiệm được rút ra từ trong thực tế giảng dạy bộ môn Toán 9 theo suy nghĩ và hiểu biết của cá nhân xin được trình bày lại. Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành từ hội đồng khoa học các cấp, các đồng chí đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú đa dạng hơn và hoàn thiện hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!