Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh Lớp 12 Trung học Phổ thông

0 0
0
m
S m
P
          
(0;3)m  . 
Mặt khác, m   nên  1,2m  . Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài 
toán. 
Ví dụ 8. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm 2 2'( ) (2 1) ( 2 3)f x x x x x m     , 
x   . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (| |)y f x có 5 điểm 
cực trị. 
Lời giải: 
Ta có '( ) 0f x  2
2
0
(2 1) 0
2 3 0
x
x
x x m
 
  
    
2
0
1
2
2 3 0 (1)
x
x
x x m
 

  
    
. 
Ta thấy 1
2
x  là nghiệm kép , 0x  là nghiệm đơn nên 0x  là một điểm cực trị 
của hàm số. Ta đã biết số điểm cực trị của hàm số (| |)y f x bằng hai lần số điểm 
cực trị dương cộng với 1 . Do đó, hàm số (| |)y f x có 5 điểm cực trị khi và chỉ 
khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
' 0
0
0
S
P
   
4 0
2 0
3 0
m
m
     
(3;4)m  . Vậy, với (3;4)m  thì thỏa mãn yêu cầu bài 
toán. 
Ví dụ 9. Cho hàm số 3 2( ) ay f x x bx cx d     thỏa mãn 0, 2021a d  , 
8 4 2 2021 0a b c d     . Tìm số điểm cực trị của hàm số | ( ) 2021 |y f x  . 
Lời giải: 
Đối với bài này thì trước hết ta đi tìm số giao điểm của đồ thị ( )y f x với trục 
hoành. Chúng ta sử dụng kiến thức chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 
dựa vào tính liên tục của hàm số. 
Xét hàm số 3 2( ) a 2021y g x x bx cx d      ( 0a  ) 
Ta có (0) 2021 0g d   , (2) 8 4 2 2021 0g a b c d      
Vì lim ( )
x
g x

 , lim ( )
x
g x

  nên tồn tại 0, 2   sao cho ( ) 0, ( ) 0g g   
37 
Suy ra ( ). (0) 0, (2). ( ) 0g g g g    , (0). (2) 0g g  . Mặt khác, hàm số ( )y g x là hàm 
đa thức nên liên tục trên mỗi đoạn [ ;0],[0;2],[2; ]  suy ra phương trình ( ) 0g x  có 
ít nhất 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng ( ;0),(0;2),(2; )  . Mà phương trình ( ) 0g x  là 
phương trình bậc ba nên suy ra phương trình ( ) 0g x  có ba nghiệm phân biệt. Điều 
này chứng tỏ hàm số ( )y g x có hai điểm cực trị. Vậy hàm số 
| ( ) | | ( ) 2021 |y g x f x   có 5 điểm cực trị. 
5.3. Bài tập tương tự. 
Câu 1. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm 2 2'( ) (2 1) ( 4)f x x x x   . Số điểm cực trị 
của hàm số (| |)y f x là 
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 7 . 
Câu 2. Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị 
của hàm số | ( ) |y f x là 
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 3. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm 2 3'( ) ( 1)( 4 )f x x x x x   
Số điểm cực trị tối đa của hàm số | ( ) |y f x là 
A. 6 . B. 5 . C. 9 . 
 D. 7 . 
Câu 4. Cho hàm số ( )y f x có BBT như sau. Hàm số 
| ( ) |y f x có số điểm cực trị là 
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 5. Cho hàm số 4 24 2 1y x x m    . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 
[ 10;10] của tham số m để hàm số sau có ba điểm cực trị? 
A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 10 . 
Câu 6. Cho hàm số  y f x có đạo hàm     2 21 2 9f x x x x mx     với mọi .x  Có 
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số    g x f x có đúng 1 điểm cực trị ? 
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 
Câu 7. Cho hàm số  y f x có đạo hàm        4 5 31 3f x x x m x     với mọi 
.x  Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  5;5 để hàm số    g x f x có 3 
điểm cực trị ? 
A. 3. B. 4 . C. 3. D. 6. 
Câu 8. Cho hàm số  y f x liên tục trên  và có đạo hàm   2' 2f x x x   . Hàm 
số  | |y f x có số điểm cực trị ít nhất là bao nhiêu? 
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . 
38 
Câu 9. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình bên. Có bao 
nhiêu giá trị nguyên m để hàm số  | |
3
my f x  có 5điểm cực trị? 
A. 3 . B. 11. C.12 . D. 10 . 
Câu 10. Cho hàm số bậc bốn  .y f x Đồ thị hàm số  y f x như 
hình vẽ bên. Số điểm cực tiểu của hàm số    2 2 5g x f x x   là 
A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. 
Đáp số: 
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Đáp số A B C A B A C A B D 
6. Cực trị của hàm hợp. 
6.1. Phương pháp. 
Cho hàm số [ ( )]y f u x . Để tìm cực trị hàm số [ ( )]y f u x ta thực hiện theo các 
bước: 
B1. Tính ' '( ). '[ ( )]y u x f u x . 
B2. Giải phương trình ' 0 '( ). '[ ( )]=0y u x f u x  tìm nghiệm dựa vào BBT hoặc đồ 
thị hàm số ( )y f x . 
B3. Lập BBT hàm số hoặc bảng xét dấu 'y . 
B4. Kết luận về các điểm cực trị. 
Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số ( )y f ax b  bằng số điểm cực trị hàm số 
( )y f x . 
6.2.Ví dụ minh họa. 
Ví dụ 1. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số '( )y f x như 
hình bên. Số điểm cực trị của hàm số 2( 2 )y f x x  là 
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. 
Lời giải: 
Đầu tiên ta phải xem hàm số ( )y f x có mấy điểm cực trị? 
Dựa vào đồ thị hàm số '( )y f x ta thấy hàm số ( )y f x có hai điểm cực trị là 
1, 2x x   . Ta có 2' (2 2). '( 2 )y x f x x   . 
2' 0 (2 2). '( 2 ) 0y x f x x     2
2 2 0
'( 2 ) 0
x
f x x
 
   
2
2
1
2 2
2 1
x
x x
x x

  
   
+) 2 2 2x x  1 3x   (nghiệm đơn). +) 2 2 1x x   1x  ( nghiệm kép ). 
39 
Ta thấy khi 1 3
1 3
x
x
  

 
 thì 2 2 2x x  nên 2'( 2 ) 0f x x  . 
Ta có bảng xét dấu của 'y : 
Qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số 2( 2 )y f x x  có ba điểm cực trị. 
Đáp số A. 
Ví dụ 2. Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số  y f x như 
hình vẽ bên dưới. Hàm số    2 23 1g x f x x    
đạt cực đại tại điểm nào sau đây ? 
A. 2x . B. 1x . 
C. 0x . D. 1x . 
Lời giải: 
Ta có 
     2 2' 2 . ' 3 2 2 [ ' 3 1]g x x f x x x f x      ;
   2' 0 2 [ ' 3 1] 0g x x f x     
 22 [ ' 3 1] 0x f x     2
0
' 3 1
x
f x
    
+) Số nghiệm của phương trình  2' 3 1f x  bằng số giao điểm của đồ thị hàm 
số  2' 3y f x  và đường thẳng 1y  . 
 2' 3 1f x 
2
2
2
33 0
3 1 2
13 2
xx
x x
xx
            
. 
Trong đó 3x là nghiệm kép nên 3x không phải là điểm cực trị của hàm 
số. 
Ta có , dựa vào đồ thị ta có: 
 2' 3 1 0f x    2' 3 1f x  
21 3 2 ( 2; 1) (1; 2)x x         
Từ đó, ta có bảng xét dấu của '( )g x : 
Qua bảng xét dấu của '( )g x ta thấy hàm số    2 23g x f x x   có hai điểm cực đại 
là 1x . 
Ví dụ 3. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên 
tục trên  . Hàm số  'y f x có 
40 
 đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số 
 
2
( ) 2021
2
xg x f x   là 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 
Lời giải: 
Ta có:  ' '( )g x f x x  . 
 ' 0 '( ) 0g x f x x    '( ) (1)f x x  
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
'( )y f x ( )C và đường thẳng ( ) :d y x . Dựa vào đồ thị ta thấy 
phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt 2, 2, 4x x x    ( 
nghiệm đơn). 
Nếu bài toán chỉ hỏi số điểm cực trị thì đến đây ta có thể kết luận là hàm số 
 y g x có ba điểm cực trị. Nhưng bài toán hỏi số điểm cực đại thì ta phải lập 
bảng xét dấu biểu thức đạo hàm  ' '( )g x f x x  . 
 ' 0 '( )g x f x x   khi và chỉ khi đồ thị ( )C nằm phía trên 
 đường thẳng ( 2;2) (4; )x     , còn trên các khoảng còn lại thì  ' 0g x  . 
Từ đó, ta có bảng xét dấu của 
 ' '( )g x f x x  như bảng bên. 
Qua bảng xét dấu  ' '( )g x f x x  ta thấy 
hàm số có duy nhất 1 điểm cực đại là 2x  . 
Vậy đáp số A. 
Ví dụ 4. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm 
số    1 ( )g x f f x  . 
Lời giải: 
Ta có:    ' '( ). ' 1 ( )g x f x f f x  . 
   ' 0 '( ). ' 1 ( ) 0g x f x f f x     
'( ) 0
' 1 ( ) 0
f x
f f x
    
+) '( ) 0 0 2f x x x     ( dựa vào đồ thị ). 
+) 1 ( ) 0'(1 ( )) 0
1 ( ) 2
f x
f f x
f x
       
( ) 1
( ) 1
f x
f x
   
Phương trình   1f x  có hai nghiệm 0; 3x x  nhưng 0x là 
nghiệm kép nên nó không phải điểm cực trị hàm số. 
Số nghiệm của phương trình   1f x  bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
 y f x và đường thẳng 1y  . Nên phương trình   1f x  có ba nghiệm đơn. 
41 
Như vậy, ta thấy phương trình  ' 0g x  có 6 nghiệm đơn nên  'g x sẽ đổi dấu qua 
các nghiệm đó. Vậy hàm số đã cho có 6 điểm cực trị. 
Ví dụ 5. ( Đề Minh Họa 2019 – 2020 ). 
Cho hàm số bậc bốn  y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm 
cực trị của hàm số    3 23g x f x x  là 
A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 11. 
Lời giải: 
Đặt 3 2( ) 3u x x x  
Ta có:    2 3 2' '( ). '( ) (3 6 ). ' 3g x u x f u x x f x x    . 
   2 3 2' 0 (3 6 ). ' 3 0g x x x f x x      
2
3 2
3 6 0
' 3 0
x x
f x x
  
 
 
+) 23 6 0x x  0
2
x
x
   
. 
BBT của hàm số 3 2( ) 3u x x x  : 
+)  3 2' 3 0f x x 
3 2
1
3 2
2
3 2
3
3 (1)
3 (2)
3 (3)
x x t
x x t
x x t
  

  
  
với 1 2 30, (0;4), 4t t t   ( dựa vào đồ thị ở trên ). 
Dựa vào BBT của hàm số 3 2( ) 3u x x x  ta thấy phương trình (1) có 1 nghiệm duy 
nhất, phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm duy 
nhất. Suy ra  ' 0g x  có 7 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có 7 điểm cực trị và ta 
chọn đáp án C. 
Ví dụ 6. Cho hàm số  y f x có đạo hàm   2' ( 1)(4 )f x x x x   , x  . Tìm tất cả 
các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số   2( 6 3 )g x f x x m    có 7 điểm 
cực trị. 
Lời giải: 
Đầu tiên ta tính xem hàm số  y f x có bao nhiêu điểm cực trị? Ta tìm số nghiệm 
đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình  ' 0f x  . 
Ta có   2' 0 ( 1)(4 ) 0f x x x x    
1
0
4
x
x
x
 
 
 
;   2' ( 2 6). '( 6 3 )g x x f x x m      
42 
  2' 0 ( 2 6). '( 6 3 ) 0g x x f x x m        2
2 6 0
'( 6 3 ) 0
x
f x x m
  
     
2
2
2
3
6 3 0
6 3 1
6 3 4
x
x x m
x x m
x x m

        
   
2
2
2
3
6 3 (1)
6 3 1 (2)
6 3 4 (3)
x
x x m
x x m
x x m

      
   
. 
Như vậy, để hàm số  y g x có 7 điểm cực trị thì mỗi phương trình (1), (2), (3) đều 
có hai nghiệm phân biệt khác 3. 
Cách 1: ( Đưa về sự tương giao ) 
Số nghiệm của mỗi phương trình (1), (2), (3) lần lượt bằng số giao 
điểm của 2( ) : 6P y x x  với các đường thẳng 1( ) : 3d y m , 
2( ) : 3 1d y m  , 3( ) : 3 4d y m  ; 1 2 3, ,d d d cắt ( )P tại 6 điểm phân biệt 
3 4 9m    
5
3
m   . Mà m  nên 1m   . Vậy 1m   thì thỏa mãn yêu cầu 
bài toán. 
Cách 2: ( Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ). 
Mỗi phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
9 3 0
10 3 0
5 3 0
3 0,3 1 0,3 4 0
m
m
m
m m m
 
  
  
     
5 1 4( ; ) \ 0, ;
3 3 3
m       
 
. 
Mà m  nên 1m   . Vậy 1m   thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Qua hai cách trên thì ta thấy cách 1 học sinh sử dụng hình ảnh trực quan dễ phát 
hiện vấn đề hơn. 
Ví dụ 7. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm 
cực trị của hàm số  2( ) ( ) 2g x f x f x   là 
A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 6 . 
Lời giải: 
Bài toán yêu cầu tìm số điểm cực trị hàm số thì ta chỉ cần tìm số 
nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình  ' 0g x  . 
Ta có  
'( ) 0
'( ) 2 '( ). '( ) 0 1( )
2
f x
g x f x f x f x
f x
 
    
 
43 
Qua đồ thị hàm số  y f x ta thấy phương trình  ' 0f x  có hai nghiệm phân biệt 
là 0, 2x x  . 
Số nghiệm phương trình   1
2
f x  bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
 ( )y f x C và đường thẳng 1( ) :
2
d y  . Qua đồ thị (C) ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 
ba điểm phân biệt không trùng với hai nghiệm 0, 2x x  . 
Như vậy, phương trình  ' 0g x  có 5 nghiệm phân biệt nên  'g x đổi dấu qua mỗi 
nghiệm đó. Vậy hàm số có 5 điểm cực trị. 
Từ ví dụ 7, ta phát triển lên bài toán sau: 
Ví dụ 8. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm 
cực trị của hàm số  2| ( ) 2 |y f x f x   là 
A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 6 . 
Lời giải: 
Đặt  2( ) ( ) 2g x f x f x   . Theo ví dụ 7, ta thấy hàm số  y g x 
có 5 điểm cực trị. 
Số điểm cực trị hàm số  | |y g x bằng số điểm cực trị hàm số  y g x cộng với số 
giao điểm của đồ thị hàm số  y g x với trục hoành ( trừ những điểm tiếp xúc). 
Số giao điểm của đồ thị hàm số  y g x với trục hoành bằng số nghiệm của 
phương trình   0g x  
  0g x   2 ( ) 2 0f x f x    ( ) 1 (1)
( ) 2 (2)
f x
f x
   
Qua đồ thị ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 
nghiệm duy nhất. Suy ra đồ thị hàm số  y g x cắt trục hoành tại 4 điểm phân 
biệt. Vậy hàm số  2| ( ) | | ( ) 2 |y g x f x f x    có 9 điểm cực trị. 
6.3. Bài tập tương tự. 
Câu 1. Cho hàm số  y f x có đạo hàm       21 1 2 1f x x x x      với mọi 
.x  Hàm số     1g x f x x   có bao nhiêu điểm cực trị ? 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 2. Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số 
 'y f x như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số 
   3 2020 2019 2021g x f x x    là 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
44 
Câu 3. Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số 
 y f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số 
   
3
2 2021
3
xg x f x x x     đạt cực đại tại 
A. 1x . B. 0x . 
C. 1x . D. 2x . 
Câu 4. Cho hàm số  y f x có bảng biến thiên 
như hình vẽ bên dưới. 
Hỏi hàm số    2 3g x f x x  có bao nhiêu điểm 
cực trị ? 
A. 0 . B. 1. 
C. 2 . D. 3 . 
Câu 5. Cho hàm số  y f x có bảng biến thiên 
như sau 
 Số điểm cực trị của hàm số    | 3 |g x f x  là 
A. 7 . B. 4 . 
C. 5 . D. 6 . 
Câu 6. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có 
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
    22021g x f x m   có 5 điểm cực trị ? 
 A. 1. B. 2 . 
 C. 4 . D. 5 . 
Đáp số: 
III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM. 
1. Mục đích thực nghiệm. 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi 
của việc xây dựng hệ thống bài tập trong từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng 
giải các bài toán cực trị lớp 12 THPT. 
Câu 1 2 3 4 5 6 
Đáp số B A C D A B 
45 
2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm. 
Tiến hành dạy một số tiết bài tập về cực trị hàm số ở một số dạng toán đã khai thác 
và xây dựng. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi đã tiến hành cho làm bài kiểm tra. Sau 
đây là nội dung bài kiểm tra thực nghiệm. 
Câu 1. Số điểm cực trị hàm số 4 22 3 1y x x    là 
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. 
Câu 2. Cho hàm số ( )y f x có BBT như hình bên. 
Số điểm cực đại của hàm số là 
A. 0 . B. 3 . 
C. 1. D. 2 . 
Câu 3. Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình bên. 
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 
A. (0;1)M . B. ( 1; 1)N   . 
C. 1x  . D. 1y  . 
Câu 4. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 2'( ) ( 3 1)( 4),f x x x x       . Điểm cực đại 
của hàm số là 
A. 1
3
x  . B. 2x   . C. 2x  . D. 2x   . 
Câu 5. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 3 2 2 3'( ) ( 3) (16 ) ,f x x x x x      . Số điểm 
cực tiểu của hàm số đã cho là 
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 . 
Câu 6. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm '( ) (2 1)(2 2)...(2 2021)f x x x x    , x   . 
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 
A. 1011. B. 1010 . C. 2022 . D. 2021 . 
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 4 21 2( 3) 5
4
y x m x     đạt cực 
đại tại 1x  . 
A. 2m  . B. 13
4
m  . C. 3m   . D. 11
4
m  . 
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   3 22 3 1f x x x mx    có 
các cực trị trái dấu. 
A. 1m  . B. 0m  .. C. 1m  . D. 0m  
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 
 3 21 ( 5) 7
3
my x m x m x      có hai cực trị nằm về hai phía trục tung? 
46 
A. 2 .. B. 3 . C. 5 . D. 4 
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
3 21 3 1
3
y x mx x    có hai điểm cực trị 1 2,x x thỏa mãn 2 21 2 10x x  . Tổng các giá 
trị của S là 
A. 2 .. B. 1. C. 0 . D. 4 
Câu 11. Với giá trị nào của tham số m để đường thẳng : ( 1) 3d y m x m    
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 23 1y x x   ? 
A. 3
2
m  . B. 1
2
m   . 
C. 5
2
m   . D. 1
2
m  . 
Câu 12. Cho hàm số  y f x có đạo hàm     21 2 9f x x x x mx     với mọi .x 
Có bao nhiêu số nguyên dương m không quá 10 để hàm số    g x f x có đúng 
5 điểm cực trị ? 
 A. 6 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . 
Câu 13. Cho hàm số bậc bốn  .y f x Đồ thị hàm số  y f x như hình vẽ bên. Số 
điểm cực trị của hàm số    2 1g x f x x   là 
A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 14. Cho hàm số  y f x có đạo hàm 
      5 32 1 3f x x x x m x     với mọi .x  Có bao nhiêu số nguyên 
m thuộc đoạn  5;5 để hàm số    g x f x có 7 điểm cực trị ? 
 A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 6. 
Câu 15. Cho hàm số  y f x liên tục trên  và có đạo hàm   2' 2f x x x   . 
Hàm số  | |y f x có số điểm cực trị nhiều nhất là bao nhiêu? 
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . 
Câu 16. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu 
giá trị nguyên m để hàm số  | 2 |y f x m  có 5 điểm cực trị? 
A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 10 . 
Câu 17. Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số 
 'y f x như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số    3 2020 2021g x f x x    
là 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
47 
Câu 18. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị 
nguyên của tham số m để hàm số     22021g x f x m   có 6 
điểm cực trị ? 
A. 1. B. 3 . 
C. 4 . D. 5 . 
Câu 19. Cho hàm số 4 24 1y x x   . Số điểm cực trị của hàm 
số là 
A. 1. B. 3 . C. 4 . 
 D. 5 . 
Câu 20. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm 3 2'( ) (2 1) ( 4)f x x x x   . Số điểm cực 
tiểu của hàm số (| |)y f x là 
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 7 . 
Đáp án: 
Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 
1 D 6 A 11 A 16 C 
2 D 7 B 12 B 17 A 
3 A 8 B 13 A 18 B 
4 D 9 D 14 B 19 D 
5 C 10 C 15 D 20 A 
3. Đánh giá về kết quả thực nghiệm. 
3.1. Đánh giá định tính. 
 Về giáo viên thực nghiệm: Trình độ chuyên môn vững vàng hơn, khả năng 
nhìn nhận chức năng bài tập toán chính xác, khả năng xây dựng và khai thác 
các bài tập toán tốt hơn nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung củng 
như kĩ năng giải các bài tập toán cực trị cho học sinh 12 THPT nói riêng. 
 Ý kiến của giáo viên thực nghiệm: 
 - Biết cách xây dựng hệ thống bài tập đa dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến 
phức tạp theo từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị cho 
học sinh lớp 12 THPT. 
3.2. Đánh giá định lượng. 
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (12C) và lớp đối chứng 
(12K). 
48 
Vì bài kiểm tra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nên tôi thống kê kết quả dưới 
dạng sau: 
T.T Loại điểm Lớp đối chứng 
( sĩ số: 46 ) 
Lớp thực nghiệm 
( sĩ số 40 ) 
1 5 điểm. 15(32,6%) 5(12,5%) 
2 Từ 5 đến 6,5 điểm. 18(39,1%) 15(37,5%) 
3 Từ 7,0 đến 7,5 điểm. 8(17, 4%) 10(25%) 
4 Từ 8,0 đến 8,5 điểm. 5(10,9%) 9(22,5%) 
5 Từ 9,0 đến 10,0 điểm. 0(0%) 1(2,5%) 
C. KẾT LUẬN 
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI. 
1. Kết quả nghiên cứu. 
 Xây dựng được hệ thống bài tập trong từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải 
các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT bằng cách khai thác tài liệu 
từ nhiều nguồn khác nhau: Từ SGK, sách tham khảo, đề thi THPT quốc gia, đề thi 
tốt nghiệp THPT, tài liệu trên mạng internet,... 
 Sau khi áp dụng các kết quả trong nghiên cứu thì học sinh lớp 12 THPT hứng thú, 
chủ động và tự tin hơn khi giải các bài toán về cực trị hàm số. Phần lớn học sinh 
lớp 12 THPT hoàn thành tốt các bài tập về cực trị hàm số trong SGK, SBT và các 
sách tham khảo củng như trong kì thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT,... 
2. Hướng phát triển của đề tài 
 Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 12 THPT đang 
ôn thi tốt nghiệp THPT. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên phục vụ 
cho việc giảng dạy môn toán. 
II. KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT. 
 Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ 
thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán. 
Nghệ An, ngày 22 tháng 3 ngăm 2021