Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng cho học sinh qua giải toán tương giao của hàm số

 của để đồ thị hàm số cắt parabol tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của và parabol là:
 (*) (Do không phải là nghiệm của phương trình)
Đồ thị hàm số cắt parabol tại ba điểm phân biệt
 Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
.
Ví dụ 31: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho . Tính tổng bình phương các phần tử của S.
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
Khi đó, và , với và là hai nghiệm của phương trình (*).
Hơn nữa, ta có , với và . Từ đó, ta có .
So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m trên. Do đó, .
Vậy, tổng bình phương các phần tử của S là 
Ví dụ 32: Cho hàm số có đồ thị Tìm tất cả giá trị thực của để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác vuông tại .
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
	Đường thẳng cắt đồ thịtại hai điểm phân biệt khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác .
Gọi lần lượt là hoành độ của và thì là nghiệm của phương trình . Theo định lí Vi-et, ta có: . 
Khi đó tọa độ giao điểm 
 vuông tại 
Bài tập tương tự
Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng với là tham số. Tổng tất cả các giá trị của để và có duy nhất một điểm chung.
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 2: Tập tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số và parabol có đúng một điểm chung.
A. . B. . 	 C. . D. .
Bài tập 4: Cho hàm số và điểm Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. .	C. .	D. .
Bài tập 5: Cho hàm số có đồ thị . Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt , sao cho .
A. .	B. .	C. .	D. 
II.3. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số qua các bài toán hàm hợp.	
Xét bài toán : Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số . Xét giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng .
Giải pháp 1: 
+ Đặt , xác định điều kiện của .
Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số , xác định các giao điểm của đồ thị với .
+ Với mỗi giao điểm có hoành độ , thay vào để xác định các giá trị của x tương ứng. Để xác định x trong phương trình ta thường hay phải vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của sau đó tìm giao điểm với 
Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng .
Tuy nhiên trong trường hợp để vẽ đồ thị hay lập bảng biến thiên của hàm số ta có thể dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị như sau:
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị (G) của hàm số ; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó:
1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số .
2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số .
3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số .
4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số .
Giải pháp 2: Dùng cách ghép trục như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định
. Ở đây có thể là .
Bước 2: Xét sự biến thiên của và hàm .
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa và .
Bảng này thường có 3 dòng dạng
Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm , sắp xếp các điểm này theo thứ
tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: ( đó là điểm biên
của tập xác định , các điểm cực trị của .).
Dòng 2: Điền các giá trị với 
 Trên mỗi khoảng cần bổ xung các điểm kỳ dị 
của của hàm . (đó là các điểm tại đó và không xác định; các điểm cực trị hàm số . 
 Trên mỗi khoảng cần sắp xếp các điểm theo thứ tự
chẳng hạn: hoặc 
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào BBT của hàm 
bằng cách hoán đổi: đóng vai trò của ; đóng vai trò của .
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợpta thấy được hình dạng đồ thị 
hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.
Ví dụ 33: Cho hàm số có bảng biến thiên sau
a) Tìm số nghiệm của phương trình (1)
b) Tìm số nghiệm của phương trình (2) 
c) Tìm số nghiệm của phương trình (3) 
d) Tìm số nghiệm của phương trình (4) 
e) Tìm số nghiệm của phương trình (5) trên khoảng 
f) Tìm số nghiệm của phương trình (6)
Hướng dẫn
Trong ví dụ 33 các câu tăng dần mức độ các hàm u=u(x) (từ câu b) thay đổi từ dễ đến khó,tư đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên, câu nào cũng làm được bằng hai cách, ngoài phương pháp đặt truyền thống ta còn có thể hướng dẫn học sinh cách ghép trục để quyết nhanh các câu đó. 
Đây là bài toán thuộc dạng cơ bản. Số nghiệm của phương trình bằng số giao 
điểm của đồ thị và đường thẳng y=0. Theo bảng biến thiên suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Cách 1: Dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị
Đồ thị của hàm số có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái 1 đơn vị, do đó bảng biến thiên của hàm số là
Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm của phương trình là 4 nghiệm 
Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình trở thành phương trình .
Số nghiệm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình .
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng và đồ thị hàm số có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x
Cách 1: Đặt . 
Khi đó phương trình trở thành phương trình .
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng và đồ thị hàm số có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt đó là 
Số nghiệm của các phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số và các đường thẳng . Dựa vào dồ thị ta thấy phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt.(Ta có thể có nhiều cách để tính nghiệm của 4 phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4)) 
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Phân tích: 
+) Đặt khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm cực trị của là x=1 
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số tại x=1 là t(1)=0. Đồng thời , trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=-2, trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=2.Nên ta bổ sung hai điểm cực trị của hàm này trên dòng 2 của BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
Lời giải
Đặt ta có bảng biến thiên
 -2
 0
 2
 -2
 1
 -2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Cách 1: Đặt . 
Khi đó phương trình trở thành phương trình .
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng và đồ thị hàm số có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt đó là 
Số nghiệm của các phương trình (4.1), (4.2),(4.3), (4.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số và các đường thẳng . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (4) có 8 nghiệm phân biệt. 
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Phân tích: 
+) Đặt khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm cực trị của là x=1 và x=-1
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số tại x=1,x=-1 là t(-1)=2; t(1)=-2. Đồng thời , trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=-2 và x=0 , trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=0, trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=0 và x=2. Nên ta bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
Lời giải: Đặt ta có bảng biến thiên
 -2
 0
 2
 0
 -2
 0
 2
 -2
 1
 -2
 1
 -2
 1
 -2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 8 nghiệm phân biệt
Cách 1: Đặt . 
Khi đó phương trình trở thành phương trình .
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng và đồ thị hàm số có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt đó là 
 y=d
y=c
y=b
y=a
Số nghiệm của các phương trình (5.1), (5.2),(5.3), (5.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số và các đường thẳng . Dựa vào 
đồ thị ta thấy phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt. 
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục. Tương tự như phân tích câu c) và d) ta có BBT của hàm số 
Đặt ta có bảng biến thiên
0 2
 0
 2
1 
 -2
 1
 -2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Cách 1: Đặt . 
Khi đó phương trình trở thành phương trình .
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng và đồ thị hàm số có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt đó là 
Số nghiệm của các phương trình (6.1), (6.2),(6.3), (6.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số và các đường thẳng . Dựa vào dồ thị ta thấy phương trình (6) có 6 nghiệm phân biệt. 
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
Đặt ta có bảng biến thiên
 0
 2
 0
 - 2
 0
 2
 -2
 1
 -2
 1
 -2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt
Trong những năm gần đây BGD thường rất hay ra các câu tương giao hàm hợp trong đề thi THPTQG cũng như trong đề thi tốt nghiệp lớp 12 mà một phương án tối ưu để học sinh tìm ra nhanh kết quả bài toán chính là phương pháp ghép trục, chẳng hạn đề thi năm 2019. 
Ví dụ 34 (Mã 101 đề thi THPTQG năm 2019): 
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn:
Cách 1: (Đáp án của BGD)
Xét phương trình: .
Đặt , ta có: ; . 
Ta có bảng biến thiên:
 Phương trình trở thành với .
Từ đồ thị hàm số ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số như sau:
Suy ra phương trình có các nghiệm .
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
+) có 1 nghiệm .
+) có 1 nghiệm .
+) có 3 nghiệm .
+) có 3 nghiệm .
Vậy phương trình có 8 nghiệm.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
b
a
Từ đồ thị ta gọi điểm cực đại, điểm cực của đồ thị của hàm số lần lượt là với và 
Đặt Khi đó 
Phân tích để đưa ra BBT
+) Đặt khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm cực trị của là x=1 và x=-1
+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số tại x=1,x=-1 là t(-1)=2; t(1)=-2. Đồng thời , trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a , trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a, trong khoảng hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a và x=b. Nên ta bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của BBT
+) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục.
+) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần
Ta có bảng biến thiên
 -1
 1
 a
 2 
 a
 -2
 a
 b
 f(a) 
 0
 f(a) 
 0
 f(a)
 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 8 nghiệm phân biệt
Ví dụ 35: Cho hàm số bậc ba có đồ thị trong hình vẽ dưới đây
Tìm số nghiệm phương trình 
Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Tìm số phần tử của tập.
Xét các số thực , khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Tìm các giá trị thực của tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng 
Hướng dẫn
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
 với .
. Số nghiệm phương trình (1), (2), (3) lần lượt là: 1, 3, 3.
Vậy phương trình có tất cả nghiệm.
Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục
 . Ta có BBT 
 -1
 1
 -1
 1 
 3
 1
 -1
 1
 3 
 -1
 f(3) 
 -1
 3
 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 7 nghiệm phân biệt (vì theo đồ thị f(3)>3)
Trong trường hợp bài toán chứa tham số thì ta thấy phương pháp ghép trục dường như chiếm ưu thế rõ rệt. 
Đặt . Khi đó ta có phương trình: 
Tương tự câu a) ta có bảng biến thiên 
 -1
0 1
 -1
 1 
 3
1 -1
 1
 3 
 -1
 f(3) 
 3
-1 
 -1
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng (0;1) 
Đặt Ta thấy 
Mặt khác .Xét với ,
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: .
Khi đó ta có bảng biến thiên của :
 -1 
 1
 3 
y=g(m)
 -1
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 
Đặt 
Ta có bảng biến thiên của trên 
-2 
 0 
 2
0 1 
 2 
 1
 0
1 
 -1 
 3 
 -1
 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có nghiệm thuộc nửa khoảng 
khi và chỉ khi 
Trong các ví dụ 33, 34, 35 ta đề cập tới vấn đề xét tương giao của đồ thị hàm hợp và đường thẳng có đồ thị song song với trục Ox . Tuy nhiên vấn đề đặt ra là với các bài toán tương giao của đồ thị hàm với các đồ thị các hàm số khác không phải là thì ta làm như thế nào? Có còn làm được hai cách nữa hay không? Ta đi xét tiếp các ví dụ sau
Ví dụ 36: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm nằm trong của phương trình .
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta có 
Do đó 
	Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có nghiệm nằm trong .Phương trình (2) có nghiệm nằm trong .
	Vậy phương trình ban đầu có tất cả nghiệm nằm trong . 
Ví dụ 37: Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình vẽ
Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn 
Hướng dẫn. Đặt .Với . 
Mỗi nghiệm của t cho duy nhất một nghiệm của x .
Biến đổi .
Phương trình trở thành .
Xét hàm số 
. Ta có 
Từ đó ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm nên phương
trình ban đầu có nghiệm.
Ví dụ 38 (Trích đề thi khảo sát chất lượng của tỉnh Nghệ An 2020-2021)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f’(x) trên và đồthị hàm y=f’(x) như hình vẽ.
y
2
1
-1
-2
1
x
O
Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc 
Hướng dẫn 
Biến đổi phương trình đã cho ta được 
Đặt . Với 
Khi đó phương trình trở thành:	 
Xét hàm số 
. 
Từ đồ thị suy ra với và nên hàm số đồng biến trên (0;1). Nhận thấy phương trình g(t)=0 có nghiệm duy nhất phương trình có ba nghiệm trên là 
Ví dụ 39: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi 
 là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của để phương trình có
nghiệm thuộc khoảng . Tổng các phần tử của bằng:
Hướng dẫn: 
Đặt với . Xét phương trình .
Để phương trình có nghiệm thì đồ thị hàm cắt đồ thị hàm số tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc .
Từ đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số nằm ở phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số và .
Từ đó suy ra . Vậy tổng các phần tử bằng .
	Tóm lại: +) Qua các ví dụ trên ta thấy khi xét tương giao hàm hợp với đường thẳng y=k (song song với Ox) ta có thể dễ dàng hướng dẫn học sinh làm theo hai phương pháp đặc biệt là phương pháp ghép trục giúp học sinh nhanh chóng tìm ra kết quả của bài toán. Tuy nhiên khi xét với các hàm số khác không phải dạng y=k thì phương pháp truyền thống vẫn là tối ưu hơn.
	+) Đặc biệt, sự tương giao của hàm số còn xuất hiện trong các ứng dụng khác của hàm số như: sự đồng biến,nghịch biến, cực trị của hàm sốcó nhiều bài toán dùng kiến thức tương giao của hàm số để tìm nghiệm của phương trình đạo hàm từ đó có thể tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số rất hay. Tuy nhiên trong đề tài này chúng tôi chỉ tập trung viết về các vấn đề sự tương giao để có thể viết sâu sắc nhất.
Bài tập tương tự
Bài tập 1(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 1)
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 2(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 2)
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới . Hỏi 
phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài tập 5: Cho hàm số liên tục trên có bảng biến thiên như sau:
	Số nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 6: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
	Số nghiệm của phương trình trong đoạn là
A. 1.	B. 2.	C. 3.	D. .
 Bài tập 7: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình 
 có nghiệm 
A. .	B. 	C. 	D.
Bài tập 8: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
	Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình 
A. 2020	B. 4.	C. 2019.	D. 3.
Bài tập 9: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập 10: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên.
Số giá trị nguyên của tham số để phương trình 
 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn là
A. .	B. .	C. .	D. .
III. Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm.
 Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 
2. Nội dung thực nghiệm
 Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
3. Tổ chức thực nghiệm
3.1 Địa điểm và đối tượng thực nghiệm
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Tây Hiếu, Thị Xã Thái Hòa, Tỉnh Nghệ An.
 + Lớp thực nghiệm: 12K 
 + Lớp đối chứng: 12H 
 Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng của các lớp 12K,12H là tương đương nhau.
 Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại các lớp 12K và lấy 12H làm lớp đối chứng.
3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 
 Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 19/10/2020 đến 07/11/2020 với số buổi dạy 9 tiết/ 1 lớp (khoảng 3 buổi chiều ôn tốt nghiệp) (trong đó có 1 bài kiểm tra). Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các buổi chiều ôn thi THPTQG, các tiết tự chọn, tiết luyện tập
3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện
a) Công tác chuẩn bị:
 - Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm
 - Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.
b).Tổ chức thực hiện:
 * Ở lớp dạy thực nghiệm:
- Dạy theo nội dung Sáng kiến trong các giờ luyện tập, các tiết tự chọn, các buổi ôn thi THPTQG
 - Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có rèn luyện được các kĩ năng cần thiết qua từng dạng bài hay không, như kĩ năng nhận thức, kĩ năng giải toán, kĩ năng quan sát,...
 - Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm.
 * Ở lớp đối chứng: 
 - Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng được Giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong SKKN nhưng không theo hướng đi của sáng kiến.
- Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm 
*Kết quả thực nghiệm
Lớp
Sĩ số
Điểm dưới 5
Điểm từ 5-6
Điểm từ 6-8
Điểm từ 8-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12H
35
14
40
11
31,1
7
20
3
8,9
12K
36
0
0
8
22,2
16
44,4
12
33,4
C. KẾT LUẬN
1.Ý nghĩa của đề tài.
Đề tài đã làm sáng tỏ các kĩ năng học sinh cần rèn luyện đặc biệt kĩ năng nhận thức và kĩ năng thực hành đó là hoạt động giải toán. Đề tài giúp học sinh tích cực chủ động nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số, biết phân tích, dự đoán và vận dụng các kiến thức vào làm các dạng bài tập. Phát triển và rèn luyện kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số, biết lập bảng biến thiên của các hàm phức tạp. Ngoài ra đề tài còn giúp cho học sinh một số kĩ năng giải phương trinh chứa tham số, tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 
Đề tài giúp học sinh giải được và giải thành thạo các bài toán về sự tương giao của hàm số, đặc biệt là các bài toán tương giao của hàm số hợp bằng phương pháp đặt truyền thống và phương pháp ghép trục tọa độ. Từ đó giúp học sinh tìm được nhanh kết quả bài
Qua mỗi dạng bài đều có các bài tập tương tự giúp học sinh có thể rèn luyện thêm và dựa trên cơ sở đó giáo viên có thể rèn luyện thêm cho học sinh kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, đồng thời đưa ra các hình thức kiểm tra phù hợp cho mỗi học sinh qua mỗi dạng bài toán
2. Phạm vi áp dụng của đề tài
3. Kiến nghị và đề xuất
TÀI LIỆU THAM KHẢO
	TÁC GIẢ
 	Phan Văn Đại
Lương Thị Lan Phương