Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
 " Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số" 
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
Hoặc khi gặp bài toán: 
 Cho số : 
Tìm * để chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để chia hết cho 2. Rồi lại xét * để chia hết cho 3 .....
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy (,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau: 
"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 . 
(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).
Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình tích: 
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "" cả lỗi về dấu " "
( Thực chất của dấu "" là phép "Kéo theo" , dấu " " hay liên từ "và " là "Phép tuyển" trong lôgic toán học )
Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc nhiều lỗi không kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB" 
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh đã sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy diễn không hợp lôgic.
v.v và v.v...
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài các đợt khảo sát chất lượng, thi tốt nghiệp THCS thậm chí cả thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại.
III. Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những em có khả năng tư duy lôgic tốt. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khả năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những học sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có có khả năng tư duy lôgic.
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều "ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tôi rút ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp. 
 Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học, hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện khả năng tư duy có lôgic. 
Dẫn chứng: 
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận) 
 GT	ABCD là hình chữ nhật	
 KL	AC = BD	 
Hay: (Nếu ABCD là hình chữ nhật ) (AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến thức cần huy động.Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí.
Hay ở bài toán phức tạp hơn một chút: 
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồ sau:
 ( Nghĩa là: từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )
Thí dụ: 
Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý đến việc vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải.Chẳng hạn có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau(đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề nào), để có điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải: 
1.A1) Trong hình chữ nhật các góc đều vuông và Từ định nghĩa
các cạnh đối bằng nhau.
A2) ABCD là hình chữ nhật Giả thiết
A3) Do đó và AD = BC Từ A1 và A2 
2. A4) Nếu hai tam giác tam giác vuông có 2 cạnh Định lí đã biết 
góc vuông bằng nhau thì chúng bằng nhau.
A5) Hai tam giác vuông ABD và ABC có AB Theo A3
chung và AD =BC 
A6) Do đó hai tam giác vuông ABD và ABC T ừ A4 v à A5
bằng nhau.
3.A7) Nếu hai tam giác vuông bằng nhau thì Từ định nghĩa
cạnh huyền của chúng bằng nhau.
 A8)Hai tam giác vuông bằng nhau ABD và Theo A6
 ABC có các cạnh huyền là AC và BD
 A9) Do đó AC = BD Từ A7 và A8
4.A) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD.
Trong quá trình đó giáo viên khéo léo phân tích làm cho học sinh hiểu cách kết luận lôgic được rút ra trong bài làm (A3, A6, A9).
Chẳng hạn ở bước A3: 
 Từ A1 và A2 suy ra A3. Vì A1, A2 đúng suy ra A3 đúng.
Hay ở bước A6:
Từ A4 và A5 suy ra A6. Vì A4, A5 đúng suy ra A6 đúng.
(Cần khéo léo lồng ghép vấn đề này vào quá trình giảng dạy sao cho thông qua hàng loạt bài tập học sinh tiếp thu được một cách ẩn tàng cách suy luận này nhưng đòi hỏi kỹ năng vận dụng chúng lại phải "nổi " rõ. Đây cũng là một yêu cầu khó mà mức độ thành công rất cần đến kinh nghiệm của mỗi giáo viên).
1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày tốt lời giải.
Ngoài ra, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của phương pháp chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ đồ để giúp học sinh nhìn rõ hơn quá trình suy luận (Sơ đồ 1) Và cũng chính từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một cách lôgic.
 (GT)
 ( Định nghĩa)
ABCD là hình chữ nhật 
 (Định nghĩa)
Hai tam giác ABD và 
ABC có AB chung  = B = 900 AD = BC
 (c.g.c)
 ΔABD = ΔABC
 AC = BD
 (KL)
Sơ đồ1
Ví dụ 2: 
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác:
 "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".
* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh có dạng: 
(AD = DB) và (DE // BC) (AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là "phép hội" trong lôgic toán học ) 
 Hìnhvẽ 
* Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ quá trình suy luận(Sơ đồ 2).
DE // BC
 (GT) Vẽ EF//AB 
 (Góc có cạnh 
AD = DB
 tương ứng
 (GT) EF = DB song song) (Góc đồng vị)
 AD = EF 
 D2 =F4 A1 = E3
 (c.g.c)
 ΔADE = ΔEFC
 AE = EC
 (KL)
 Sơ đồ 2
Ví dụ 3:
"Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên c thì a + b chia hết cho c". 
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
a : m
b : m
 (Với a,b,m Z)	(GT)
 (GT) 
a = m.k
b = m.q
	(Khái niệm) 	 (Khái niệm)
	(k Z) )	(q Z)
a + b = m.k +m.q
 (Tính chất phân phối của phép 
a + b = m(k +q)
 nhân đối với phép cộng) 
a + b : m
 (khái niệm ) 
 (KL)	
Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán một cách có cơ sở hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ, phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic.
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
Bài tập tương tự:
Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:
a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.
b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn.
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn tàng, giáo viên cần quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp các em có thêm vốn tri thức phương pháp về các cách chứng minh khác như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng minh gián tiếp.
2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề .
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành phương pháp.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: x (x2 = x).
* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn x = 2 ) khi đó mệnh đề B là: 22 = 2. Nhưng do 22 = 4 nên mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
 Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn R
Đa giác đó có 4 góc ngoài là 4 góc tù S1
Tổng các góc ngoài của đa giác đó lớn hơn 4 góc vuông S
Theo phân tích trên ta có: 
R S1 và S1 S, do đó R S (Đây là quy tắc bắc cầu của phép kéo theo -(Suy ra)).
S là mệnh đề sai (Trái với định lý đã biết): Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi bao giờ cũng bằng 4 góc vuông, vậy R cũng sai. Trong nhiều trường hơp để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định của Q. Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng. Làm như thế có nghĩa là chứng minh gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho các em cách suy luận hợp lý trong giải toán.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".
Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P QR Vì vậy giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: thông qua cách viết : (ac) và (bc) suy ra (a//b)
Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ giữa a và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán:
- a// b
- a cắt b
 Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
(ac) và (bc) suy ra (a không song song với b) (giả sử a cắt b tại I )
 Ta có Qua I có hai đường thẳng a, b cùng 
 a cắt b tại I vuông góc với c (S)
Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước). S sai, vậy : là sai
Do đó là đúng. 
Trong một số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: "Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn".
Về mặt lôgic ta có thể viết gọn: (B >C) (AC > AB) (Theo hình vẽ) 
Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh xét các khả năng xảy ra về quan hệ giữa AC và AB:
- AC = AB
- AC < AB
- AC > AB
Từ đó suy ra cần chứng minh : 
(AC không lớn hơn AB) (B không lớn hơn C)
Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm được qúa trình suy luận(Sơ đồ 3):
AC không lớn hơn AB (AC AB)
 AC < AB AC = AB
 (Định lý thuận) (Định lý thuận) 
 B < C B = C
 B không lớn hơn C (B C )
 Sơ đồ 3	
Lưu ý: 
- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp(phản chứng) và phép chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.
- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng minh các định lý đảo(Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các mệnh đề có dạng " Có ít nhất một .... "...
 Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức bằng các bài tập tương tự:
Bài tập tương tự:
1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
c) Không có số hữu tỉ nào bình phương lên lại bằng 2.
d) Ở nước Việt Nam có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, giờ sinh.
Ngoài ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều sai lầm do vận dụng sai quy tắc lôgic. Vì thế không thể xem nhẹ vấn đề này,giáo viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm tra, các lần trình bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản nhất liên quan đến khả năng tư duy lôgic từ đó giúp các em tránh sai lầm đó.
4. Giúp học sinh tránh mắc sai lầm trong sử dụng các quy tắc lôgic khi giải toán.
4.1 Chẳng hạn khi giải bài toán sau:
Chứng minh hằng đẳng thức: (1)
Một học sinh làm như sau:
Thực vậy, từ (1) ta suy ra :
 (2)
Bỏ dấu ngoặc ta được: 
 (3)
(3) đúng, vậy (1) đúng . (điều phải chứng minh)
Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
 (1) (4), (4) đúng, vậy (1) đúng. 
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
 (1) (4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
 "Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau: 
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
 Chứng minh rằng góc C = 450 
Một học sinh đã giải như sau: 
 Thực vậy nếu BB' và CC' là các đường cao của tam giác ABC (Hình vẽ) thì:
ΔABB' = Δ HCB' Vì là các tam giác vuông có cạnh huyền AB = HC và 
ABB' = ACC'(hai góc cùng phụ với góc BAC). Suy ra BB' = B'C, tức là :
Δ BB'C là tam giác vuông cân và ACB = 450.
Như vậy ta đã chứng minh được rằng: Nếu một tam giác có khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh bằng chiều dài cạnh đối diện thì góc ở đỉnh đó bằng 450.
Sai lầm của học sinh là trong trường hợp góc C là góc tù thì không áp dụng được các lý luận trong chứng minh đã xét. Vì:
Nếu góc C tù thì ta có Δ ABB' = ΔHCB' (hình sau)
Từ đó suy ra: AB' = B'C , v à ΔAB'C là tam giác vuông cân 
Do đó ACB' = 450 và ACB = 1350
Hình vẽ: 
Như vậy trong khi hướng dẫn học sinh giải, cần lưu ý các em phân chia xem xét tất cả các trường hợp xảy ra rồi mới kết luận.
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức: ?
Học sinh giải: 
a2 + b2 > 2ab
a2 - ab > ab - b2 
a(a - b) > b(a - b)
a > b 
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với a > b.
Như vậy sai lầm của học sinh là do trong suy luận đã dựa vào tiền đề sai.
Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải toán là rất nhiều song phổ biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lôgic(4.1) hoặc dùng quy nạp không hoàn (4.2) toàn hay dựa vào tiền đề sai (4.3)...
Giáo viên cũng có thể cho học sinh phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài toán để các em không chỉ rèn tốt tư duy lôgic mà còn tránh được nhiều sai sót trong học toán và cả trong vận dụng thực tế.
Bài tập: 
Cho bài toán: Chứng minh rằng ( với a,b là số dương)
 Chỉ ra sai lầm trong cách giải sau:
"Muốn chứng minh (1) thì phải chứng minh (2)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh (a+b)2 - 4ab (3)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh a2+b2 - 2ab (4)
Hay (a - b )2 (5) 
 (5) đúng. Điều phải chứng minh" 
VI. Kết quả thực nghiệm
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại trường mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ nét. 
1.Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng minh(trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vân dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ hiểu nhất. Ch ứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh.
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài toán 
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học toán hơn trước đây. 
6. Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp dụng cách làm này đều học môn Toán rất tốt trong đó các khoá học sinh ra trường năm học 2005-2006, 2007-2008 học sinh đạt kết quả rất cao. 
VII. Đúc rút kinh nghiệm
Để học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thông qua dạy toán nhất là loại toán chứng minh cần lưu ý các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Toán THCS để từ đó đưa ra cho học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức.
2. Nghiên cứu kỹ các yếu tố lôgic trong chương trình Toán THCS.
3.Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy lôgic nói chung và tư duy lôgic toán nói riêng . Từ đó có sự điều chỉnh hợp lý các biện pháp thực hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
4. Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh.
5. Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng Toán cho học sinh.
C. KÕt luËn 
Trên đây tôi mới chỉ trình bày một số phương pháp giúp nâng cao khả năng tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy chứng minh toán học. Các nội dung toán học khác hoàn toàn có thể làm được điều này nếu giáo viên biết cách khai thác yếu tố lôgic trong mỗi dạng toán.
Biết rằng rèn luyện bất kỳ một kỹ năng nào cũng không dễ dàng thành công tuy nhiên chữ "nhẫn" trong trường hợp này còn đáng giá hơn cả "ngàn vàng". 
Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi khiếm khuyết. Vì thế tôi rất mong cũng có nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 3 năm 2011.
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa toán THCS các lớp 6,7,8,9. Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.
2. Hoàng chúng - Mấy vấn đề về lôgic trong giảng dạy toán học, NXB Giáo dục, 1969.
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB Đại học sư phạm, 2004.
4. Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch - Nguyễn Duy Thuận - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì III ( 2004 - 2007), NXB Giáo dục, 2007.