Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh

I) những vấn đề chung.
1) Lý do: Toán học ngày nay giữa vai trò quan trọng đối với cách mạng "khoa học kỹ thuật". Toán học ngày nay càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở các trường phổ thông, kích thích sự ham thích của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Một trong những nhiệm vụ hàng đầu được đặt ra đối với môn toán là rèn luyện tư duy logích, phát triển năng lực suy luận, tìm tòi và sáng tạo từ những vấn đề đơn giản (cụ thể) đến phức tạp (tổng quát) thể hiện đúng đặc trưng của toán học là trừu tượng hoá cao độ, có tính lôgic chặt chẽ.
Tuy vậy, trong thực tế giảng dạy mặc dù giáo viên đã nắm vững kiến thức cơ bản của từng tiết dạy từng và dạng toán nói chung, biết được con đường hình thành khái niệm cũng như định lý dẫn dắt giúp học trò hình thành khái niệm định lý và nắm vững, hiểu bản chất về mặt lý thuyết. Nhưng đến khi vận dụng lý thuyết vào thực hành giải bài tập học sinh vẫn còn nhiều lúng túng dẫn đến sai sót.
Với những lý do trên, bản thân tôi thấy rằng: Là giáo viên dạy toán, người thầy phải thật sự khéo léo linh hoạt dẫn dắt học sinh đi dần vào kiến thức từng bước uốn nắn sai lầm của học sinh, củng cố bằng hệ thống uốn nắn sai lầm của học sinh, củng cố bằng hệ thống các bài tập.
2) Mục đích: Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ nêu vài nét cơ bản về dạy, giải toán theo yêu cầu của phương pháp mới với mục đích, giúp học sinh thật sự có đường lối trong quá trình giải toán.
II: nội dung đề tài gồm:
1) Đối với việc giảng dạy lý thuyết: 
Giáo viên cần xác định hệ thống các kiến thức cơ bản của chương trình của từng vấn đề trong nội dung chương trình. Đồng thời cần xác định cả hệ thống kiến thức gốc của chương trình, giúp học sinh nắm chắc hiểu sâu sắc hệ thống các kiến thức cơ bản để vận dụng tốt các kiến thức liên quan vào việc giải toán.
Nếu không như vậy thì khi vận dụng để giải toán học sinh thường lúng túng hoặc thiếu sự chính xác. Chẳng hạn do nắm không chắc khái niệm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) nếu học sinh thường hay mắc sai lầm.
Ví dụ: Tìm GTNN của hàm số sau:
y = 2x2 + 6x + 18
Một số học sinh thường giải như sau:
y = 2x2 + 6x + 18 = x2 + x2 + 6x + 9 + 9
 = x2 + (x + 3)2 + 9
Nhận xét rằng x2 ³ 0 với mọi x.
(x + 3)2 ³ 0 với mọi x.
Do đó y = x2 + (x + 3)2 + 9 ³ 9, với mọi x.
Từ đó suy ra GTNN của y là 9.
Lập luận như vậy là không đúng do học sinh chưa hiểu sâu sắc về đường lối lý thuyết: y0 là GTNN của hàm số y nếu: y0 là một giá trị của hàm số và là GTNN trong mọi giá trị của hàm số.
+ Đòi hỏi y0 là một giá trị của hàm số các em thường hay lãng quên. Yêu cầu đó đòi hỏi trong bất cứ đẳng thức y³ y0, "x nhất thiết phải tồn tại dấu đẳng thức, nghĩa là phải có x0 thuộc miền xác định của hàm số để y(x0) = y0.
Sai lầm của lời giải trên chính là ở điểm này.
Thật vậy trong miền xác định xẻR của hàm số y đã cho không tồn tại x để x2 + (x + 3)2 + 9 = 9
(vì vế trái của đẳng thức đó luôn lớn hơn 9)
* Những sai lầm kiểu như trên xảy ra phần nào do lỗi của học sinh hiểu vấn đề không sâu sắc, nhưng người thầy cũng phải chịu một phần tránh nhiệm do việc giảng dạy các khái niệm cơ bản, các định lý chưa đạt yêu cầu của sự chính xác.
* Lời giải của ví dụ 1 phải là:
y = 2x2 + 6x 18 = 2(x2 + 2.x + + 13
 = 2(x + 1)2 + 13 
(x + 1)2³ 0, với mọi x
Do đó y = 2(x + 1)2 + 13 ³ 13 với mọi x
y =13 Û x + 1 = 0 Û x = -1
Vậy GTNN của y là 13 tại x = -1
2.1) Trong công việc xác định các hệ thống cơ bản của chương trình còn cần nêu rõ hệ thống các kiến thức gốc của chương trình.
Chẳng hạn khi dạy phần phương trình dạng: ax + b = 0 ơ
Với a, b là các số thực xác định x là ẩn số.
+ Nếu a ≠ 0 thì phương trình ơ có nghiệm duy nhất: x = -
+ Nếu a = 0 thì có hai trường hợp
a)	b = 0, ơ trở thành.	0 x = 0 nghiệm đúng với mọi x.
b) 	b ≠ 0 thì phương trình ơ vô nghiệm.
* Lý thuyết là như thế, nhưng khi vận dung học sinh vẫn lúng túng và thường là nhầm lẫn hoặc bỏ sót các trường hợp dẫn đến kết luận nghiệm sai.
Sau đây là một số bài tập thực hành và những sai sót học sinh thường mắc.
Bài 1: Giải phương trình (a là tham số).
a3x - a2 - 1 = 2a(x - 1) - a2x
+ Sau khi học sinh biến đổi đưa phương trình về dạng:
a (a - 1)(a + 2)x = (a - 1)2
Đến đây rồi khi học sinh vận dung lý thuyết sẽ xét được các trường hợp:
- Với a ≠ 0; a ≠ 1 và a ≠ 2, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 
- Với a = 0 hoặc a = -2 phương trình trở thành: ox = 1 hoặc ox =9 đều vô nghiệm.
- Với a = 1 phương trình trở thành 
ox = 0, nghiệm đúng với mọi x 	(vô số nghiệm)
Bài 2: giải phương trình: (m, n là tham số).
x - m2x - + m = 	ư
* Bài tập này không những đã chứa tới hai tham số mà còn chứa ẩn ở mẫu, nên trước hết các em phải tìm TXĐ rồi tìm cách biến đổi để đưa phương trình về dạng ax + b = 0.
Lời giải phương trình ư
TXĐ: x ≠ ±n
Phương trình trở thành 	x - m2x - + m = 0
	x - m2x - = 0
	(1 - m) (1 + m) x = 1 - m.
Nếu m = 1, phương trình 0x = 0 nghiệm đúng với mọi x ≠ ±n
Nếu m = -1, phương trình 0x = 2, vô nghiệm.
Nếu m ≠ ±1 thì nghiệm là: x = với điều kiện: ≠ ±n
Nếu = ±n thì phương trình vô nghiệm
* Với bài tập 2 này, sai lầm học sinh hay mắc là:
Trong trường hợp m ≠ ±1, sau khi chỉ ra được nghiệm: x = thường quên mất điều kiện: x≠ ±n để ≠ ±n.
Bài 3: Giải phương trình (m là tham số)
 + 6 = 	đ
TXĐ: x ≠ 2.
Phương trình đ trở thành.
m(m - 5)x + 6(x - 2) = m - 14.
(m2 - 5m + 6)x = m - 2
(m - 2)(m - 3)x = m - 2.
* Đến đây rồi, nếu học sinh chỉ hiểu lý thuyết một cách đơn thuần thì kết quả là:
- Nếu m ≠ 2 và m ≠ 3, nghiệm là x = 
- Nếu m = 2 có 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x
- Nếu m = 3 có 0x = 1, vô nghiệm.
* Kết quả trên đây là chưa chính xác, (đúng hơn đó là kết quả sai). Vì:
- Với m ≠ 2 và m ≠ 3 mà m = 3 thì
x = = 2; x = 2 ẽ TXĐ
Lời giải phương trình đ.
TXĐ: x ≠ 2.
Phương trình đ trở thành:
m(m - 5)x + 6(x - 2) = m - 14.
(m2 - 5m + 6)x = m - 2.
- Nếu m = 2 thì ox = 0 nghiệm đúng với mọi x ≠ 2.
- Nếu m = 3 thì ox = 1, vô nghiệm.
- Nếu m ≠ 2 và m ≠ 3 thì nghiệm là x = 
Với điều kiện ≠ 2 Û 2m ≠ 7 Û m ≠ 3
Vậy phương trình đ.
- Nghiệm đúng với mọi x ≠ 2 nếu m = 2
- Vô nghiệm nếu m = 3 hoặc m = 3
- Nghiệm duy nhất x = nếu m ≠ 2, m ≠ 3 và m ≠ 3
2) Đôi với việc giảng dạy bài tập.
Bài giảng không chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng, đảm bảo tính chính xác, ngăn gọn lôgic và chặc chẽ mà phải hết cách hướng dẫn học sinh thực hành giải toán theo yêu câu của phương pháp tìm tòi lời giải. Muốn thế giáo viên phải giúp học sinh rèn luyện các khả năng sau:
2.1 Phân tích bài toán: Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung với các điều kiện cụ thể có khi còn phải nhìn bài toán đã cho trong mối tương quan với các bài toán khác.
2.2 Xác định được đường lối giải bài toán:
Đây là khâu quyết định sự thành bại, hay hoặc dở.
 Việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và chủ yếu là xác định đúng thể loại của bài toán đó. Để làm tốt viêc này cần nghiên cứu kỹ bài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đòi hỏi để khẳng định đúng. Người làm toán cần nắm vững các đường lối chung rồi phát hiện các đặc thù, cái riêng của mỗi bài toán, để chọn đúng một đường lối, thích hợp sau đó lựa chọn đúng phương pháp và cách giải cụ thể để thực hiện.
Ví dụ: Giải phương trình (x2 - 4a2)2 = 1 + 8ax (với tham số a) 
Đường lối để giải bài này đã rõ ràng. Vấn đề đặt ra là chọn phương pháp thích hợp nhất.
Là một phương trình bậc 4 không có dạng đặc biệt nên việc nghĩ đến hạ thấp bậc của phương trình là cần thiết.
Chẳng hạn đưa ẩn phụ vào với hy vọng phương trình mới thu được với ẩn phụ có bậc thấp hơn, hoặc có thể biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tích.
Rõ ràng ở đây đưa ẩn phụ vào khó có thể thực hiện được vì không thể biến đổi phương trình về dạng có chưa các biểu thức biểu diễn được qua nhau. Như vậy phải nghĩ đến việc biến đổi phương trình thành phương trình tích. Khi đó cần để ý rằng.
1 + 8ax = ( 4ax + 1)2 - 16a2x2.
Phương trình đã cho được biến đổi thành các phương trình tương đương.
(x2 - 4a2)2 = (4ax + 1)2 - 16a2x2
Û(x2 + 4a2)2 - (4ax + 1)2 = 0
Û (x2 + 4a2 + 4ax + 1)( x2 + 4a2 - 4ax - 1) = 0
Û[(x + 2a)2 + 1][(x - 2a)2 - 1] = 0
mà (a + 2a)2 + 1 > 0 với mọi x
 x = 2a - 1
 x = 2a + 1
Nên (x - 2a)2 - 1 = 0
Û(x - 2a + 1)(x - 2a + 1) = 0 Û 
	Như vậy một phương pháp thích hợp được chọn cũng phải qua một quá trình phân tích. Suy luận hợp lý trên cơ sở bài toán đã cho.
2.3 Khả năng tìm các bài toán liên quan và sáng tạo các bài toán mới.
Việc làm này cần được rèn luyện thường xuyên khi giải toán. Vì khi giải bất kỳ bài toán nào thì câu hỏi tự nhiên được đăt ra là: Liệu bài toán này có liên hệ với bài toán nào? Hoặc là: có thể đưa bài toán này về bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Hoặc là: Có thể sử dụng những khía cạnh nào đó ở các bài toán liên quan để giải bài toán đã cho.
Làm được như thế thì sau khi giải xong bài toán rồi lại càng có tác dụngtốt hơn, đăc biết là rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là rất bổ ích.
3) Các vị dụ minh họa tổng hợp.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thoả mãn các điều kiện.
a + b + c = 0
ab + bc + ca = 0
Tính số trị của biểu thức:
P = (a - 1)2002 + b2003 + (c + 1)2004
Thông thường để giải bài toán dạng "Tìm số trị của biều thức A = f(x, y, z) qua h(x, y, z) và g(x, y, z) để sử dụng giả thiết nhưng ở bài toán này biểu thức P đã cho là quá phức tạp vì số mũ các luỹ thừa qúa cao.
Vì vậy ta phải nghĩ đến việc khai thác hết hiệu suất của giả thiết đã cho. Khi đó chỉ cần để ý đến hệ thức. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Từ giả thiết đã cho ta thu được. a2 + b2 + c2 = 0
Do đó a = b = c = 0.	ị P = 1 + 0 + 1 = 2.
Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hãy tìm trong tam giác đó một điểm M sao cho tổng các khoảng cách MA + MB + MC là nhỏ nhất.
1) Nhận xét: Rõ ràng tổng T = MA + MB + MC là một đai lượng thayđổi phụ thuộc vào ba đại lượng khác cũng thay đổi là MA, MB, MC khi thay đổi vị trí của M.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để chuyển bài toán về dạng sao cho T chỉ phụ thuộc vào số lượng thay đổi là ít hơn.
Muốn thế cần hướng cho học sinh tìm cách dưng 1 đường gấp khúc sao cho tổng độ dài 3 đoạn thẳng tạo nên đường gấp khúc đó đúng bằng T.
Đường gấp khúc đó có 2 dạng sau:
X
N
P
X
Y
N
X
Y
P
Khi đó có MA + MB + MC = XN + NP + PY ³ XY.
Lại có thể xảy ra 1 trong 2 khả năng sau:
* Nếu đoạn thẳng XY có độ dài không đổi thì tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất chính là độ dài đoạn XY, điều đó xảy ra khi N; P ẻ XY
(Đây là trường hợp đơn giản).
* Nếu đoạn thẳng XY có độ dài thay đổi thì cần xác định điều kiện để độ dài đoạn XY là nhỏ nhất.
Chính trong điều kiện đó MA + MB + MC cũng có GTNN. 
Với đường lối phân tích đó ta sẽ đưa bài toán từ nhiều ẩn về ít ẩn.
Cách giải quyết như sau:
A
B
C
B'
M'
M
Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa C xác định điểm M' sao cho ∆AMM' đều.
A
* Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C. Xác định điểm B' sao cho ∆ABB' đều.
Để từ đó suy ra AM = MM', BM = M'B'.
Do đó MA + MB + MC = CM + MM' + M'B' ³ CB' 
Hơn nữa do ∆ABC cho trước nên điểm B' cũng cố định và đoạn thẳng CB' có độ dài không đổi.
Từ đó rút ra kết luận: Tổng MA + MB + MC có GTNN chính là độ dài đoạn CB' và đạt được khi M và M' nằm trên CB'.
Chính nhờ kết luận này ta xác định được vị trí điểm M. Thật vậy, trong điều kiện đó thì:
AMC = 1800 - AMM' = 1800 - 60 = 1200
AMB = AM'B' = 1800 - AM'M = 1800 - 600 = 1200
BMC = 3600 - (1200 + 1200) = 1200
Vậy điểm M thoả mãn bài toán là điểm nhìn 3 cạnh của ∆ABC dưới cùng 1góc 1200. 
( Điểm như vậy tồn tại và duy nhất).
4) Cách thực hiện.
Giáo viên áp dụng phương pháp trên trong việc giảng dạy trên lớp, thông qua chấm chữa bài tập bài kiểm tra thường xuyên hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng mà giúp các em đúc rút dần.
III: Kết luận
Theo chủ đề của đề tài và nguyện vọng của bản thân có ham muốn nâng cao hiệu quả học toán. Đăc biệt là hình thành cho học sinh phương pháp học tập bộ môn nhằm giúp các em nắm vững được hệ thống các kiến thức và biết cách vận dụng đúng. Trên cơ sở đó nhen nhóm dần cho học sinh lòng ham mê, niềm tin vào khả năng của bản thân mình trong việc học toán.
Tuy nhiên việc rèn luyện khả năng tư duy nhạy bén của học sinh thì vấn đề cơ bản phải là mức độ thông minh của trí tuệ, phụ thuộc vào vốn kiến thức, phương pháp cần thiết của các em . Song nếu chỉ có những yếu tố đó thì chưa đủ để sản sinh ra khả năng tư duy nhạy bén. Muốn đạt kết quả tốt, thì phải thường xuyên miệt mài nghiên cứu luyện tập dưới sự chỉ đạo của thầy.
Về kết quả: Trong những năm học từ 2002 đến nay bản thân tôi đã và vẫn thường xuyên rèn luyện tư duy cho học sinh. Quá trình rèn luyện khả năng tư duy đã giúp các em không những xác định được đường lối giải toán mà còn biết lựa chọn các công cụ để giải toán. Chính vì thế mà trong học tập ở trường hàng năm các lớp, học sinh do bản thân tôi phụ trách hầu hết các em nắm chắc kiến thức toán làm nền tảng cho việc học toán lên các lớp trên.
Trên đây chỉ là vài ý kiến nho nhỏ của bản thân. Với khả năng có hạn do vậy không thể tránh khỏi sự thiếu sót.
Tôi rất mong được sự góp ý thêm của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.
Nga Sơn ngày30 /3/2005
Người thực hiện
Bùi Thị Mỹ