Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình

Së gi¸o dôc&®µo t¹o thanh ho¸
Tr­êng thpt tÜnh gia IV thanh ho¸
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
§Ò tµi 
"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"
	Gi¸o viªn: MAI TIẾN LINH
	Tæ : TOÁN
	§¬n vÞ : Tr­êng THPT TÜnh gia IV 
TÜnh gia - tháng 5 năm 2010
A. Đặt vấn đề
1.Lý do chọn đề tài 
- Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán.Đối với những bài toán mà đã biết trước được phương pháp giải thì bài toán đó chưa thực sự thu hút được tâm trí và quyết tâm giải đến cùng.
- Rèn luyện giải toán cho học sinh nó bao gồm cả hai nội dung chính sau.Một là rèn luyện khả năng tìm lời giải.Hai là rèn luyện kỹ năng giải bài toán ,trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên có thể tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành 2 quá trình riêng biệt.Người giải toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó.
- Với bài toán giải phương trình mỗi dạng toán thì có một phương pháp giải khác nhau.Việc giải phương trình đặc biệt là phương trình chứa căn thường gây ra nhiều khó khăn phức tạp đối với học sinh nhất là học sinh yếu, kém bởi lẽ nếu giải bài toán bằng phương pháp nâng lên lũy thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phương trình bậc cao và không biết cách giải.Tuy nhiên nếu biết cách đặt ẩn phụ một cách thích hợp thì có thể chuyển phương trình chứa dấu căn về hệ phương trình hai ẩn nên sử dụng được cách giải quen thuộc.Thông qua bài toán này có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trình và giải hệ phương trình
2. Thực trạng của vấn đề
- §èi víi ch­¬ng tr×nh to¸n THPT phÇn gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû lµ mét phÇn to¸n khã ®ßi hái häc sinh ph¶i t­ duy nh¹y bÐn vµ cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp linh ho¹t. Mµ ë ®©y phÇn lín c¸c em th­êng rÊt ng¹i lµm nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lý do lµ biÕn ®æi nã phøc t¹p vµ viÖc t×m ra ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i tæng qu¸t lµ kh«ng cã, tïy vµo d¹ng to¸n mµ cã c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i kh¸c nhau.Cho nªn khi ®­a ra c¸c bµi tËp liªn quan ®Õn ph­¬ng tr×nh d¹ng nµy phÇn lín c¸c em kh«ng lµm ®­îc hoÆc cã lµm ®­îc nh­ng ®¸p sè l¹i sai.Do vËy ®Ó gióp c¸c em gi¶i quyÕt tèt phÇn bµi tËp nµy t«i nghÜ cÇn ph¶i ®­a ra mét hÖ thèng bµi tËp vµ c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n trong ph¹m vi kiÕn thøc to¸n c¸c em ®· ®­îc häc. Do vậy tôi làm ®Ò tµi : '' Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình '' dµnh cho häc sinh cuèi cÊp chuÈn bÞ cho thi tèt nghiÖp, ®¹i häc, cao ®¼ng. Víi s¸ng kiÕn nµy t«i hy väng gãp phÇn nhá bÐ vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp to¸n , gióp c¸c em cã ®­îc mét sè kü n¨ng, kü x¶o khi lµm bµi tËp.
3. Giải pháp
- Ý tưởng của phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là sử dụng các phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi hệ quả để đưa đến một phương trình chỉ còn một ẩn số .Tuy nhiên trong đề tài này tôi xin đưa ra quy trình ngược lại tức là các phương trình đã cho tuy có 1 ẩn, nhưng tính chất phức tạp của chúng. Để bài toán có thể dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện ra ẩn phụ để chuyển việc giải bài toán một phương trình một ẩn phụ khó giải thành hệ phương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán mà việc giải phương trình dẫn đến giải hệ phương trình.
B.Giải quyết vấn đề :
1. Cơ sở lý luận của phương pháp
Kiến thức cơ bản mà khi học phần này cần nắm được
- Phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3( Trong trường hợp tìm được một nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ), phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit,bất phương trình bậc nhất, bậc 2 và tập xác định của hàm số ( chứa căn chẵn)
- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi cơ bản
- Nắm vững được 2 phương pháp giải hệ đối xứng loại I và loại II.phương pháp giải loại I và II như sau
Phương pháp giải hệ đối xứng loại I
Bước 1 : Sử dụng ẩn phụ , điều kiện s2- 4p 
Bước 2 : Tìm S , p. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : t2 - st + p = 0
Phương pháp giải hệ đối xứng loại II
Bước 1 : Trừ 2 vế của 2 phương trình trong hệ bao giờ cũng thu được phương trình tích : (x - y)(f(x, y)) = 0 
Bước 2 : Giải hệ cho từng trường hợp
2. Nội dung chính của đề tài
Các dạng toán
Dạng 1 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với 2 ẩn phụ.Tùy theo đặc tính của bài toán đã cho, ta thu được các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng, ta có phương trình dạng cơ bản sau
. khi đó ta có thể đặt .Từ đó dẫn tới hệ phương trình sau : Nghiệm của phương trình
Các bài toán
Bài 1: Giải phương trình sau : (1)
Giải:
Điều kiện : (2)
Đặt 
Khi đó phương trình đã cho được chuyển thành hệ phương trình
(vì u,v )
Khi 
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -3, x = 6
Bài 2: Giải phương trình sau : 
Giải :
Đặt .Khi đó ta có hệ phương trình sau 
Với 
Với 
Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 3, x = 1
Bài 3 : Giải phương trình sau 
Giải :
Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình
. Thay (2) vào (3) ta có 
Với u = , phương trình có nghiệm : x = 3
phương trình (5) có nên phương trình (5) vô nghiệm
Vậy phương trình có 1 nghiệm : x = 3
Dạng 2 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình thông thường là hệ đối xứng.Để giải các bài toán loại này ta tiến hành các bước sau
Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình
Bước 2 : Biến dổi phương trình về dạng : f[x, ] = 0
Bước 3 : Đặt t = ta biến đổi phương trình thành hệ phương trình
Các bài toán
Bài 4 : Giải phương trình sau : (1)
Giải :
Điều kiện (*)
Đặt .Vậy ta được hệ phương trình sau
.Thay (2) Vào (3) ta được phương trình sau
(1 -v )3 = 1 - v2 
Với u = 1, v = 0 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*))
Với u = 0, v = 1 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*))
Với u = - 2, v = 3 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*))
Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = , x = , x = 
Bài 5 : Giải phương trình sau (1)
Giải :
Điều kiện : 
Đặt t = .(*) Khi đó ta có hệ phương trình sau
.Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) Ta có
t - x = t2 - x2 t - x = (t -x)(t + x) (t - x)( t + x - 1) = 0 
Với t = x từ phương trình (*) ta có x = 2 - x2 x2 + x - 2 = 0 ( Vì x )
t = 1 - x khi đó (*) trở thành x2 - x - 1 = 0 ( vì 2 - x2 < 0)
Kết luận phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 1 , 
Bài 6 : Giải phương trình sau : (Đề thi đại học và cao đẳng khối A năm 2009)
Giải :
Điều kiện : (*)
Đặt (1).Khi đó ta có hệ phương trình sau
 Thay vào (1) ta được nghiệm : x = -2 (Thỏa mãn (*)
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -2
Bài 7 : Giải phương trình sau: 
Giải:
Tập xác định : 
Đặt khi đó ta có hệ phương trình sau
Thay phương trinh (2) vào phương trình (1) ta có phương trình sau : 2v3 + 3v2 +2v -32 = 0 .Vậy với v = 2 ta có (thỏa mãn điều kiện (*))
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 2
Bài 8 : Giải phương trình sau : 
Giải :
 Tập xác định : (*)
Đặt .Khi đó phương trình (1) đưa về hệ phương trình sau
(1) 
Hệ này là hệ đối xứng nên ta có thể giải bằng phương pháp đặt 
với s2 (2)
(s - 2p)2 -2p2 = 5
hoặc . (Vì s2 )
Với u = 2 (Thỏa mãn điều kiện (1))
Với u = 2 ( Thỏa mãn điều kiện (1))
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 16 và x = 81
Bài 9 : Giải phương trình sau :	 (1)
Giải :
Đặt (*)
Điều kiện : x + 5 .Khi đó phương trình (1) chuyển thành hệ phương trình Trừ theo từng vế (2) và (3) ta có x2 - y + x - y2 = 0 
Với : x - y = 0 x = y thay vào (*) ta có phương trình x2 - x - 5 = 0 thỏa mãn điều kiện (1)
Với x + y + 1 = 0 y = -x -1 thay vào (*) ta có phương trình : x2 +x - 4 = 0 thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy phương trình có 2 nghiệm : ; 
Bài 10 : Giải phương trình sau : 
Giải :
Điều kiện : (*)
Đặt ẩn phụ : .Phương trình (1) chuyển thành hệ phương trình sau
Vì t nên từ (2) ta có x
(2) 1 + t = x2( 1 + 2t )2 (4), thay (3) vào (4) ta có phương trình : 4t4 + 4t3 - 3t2 - 3t = 0 t(t +1)(4t2 - 3) = 0 (Vì t )
t = 0 ta có ( vì )
t = ta có ( )
Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm : x = 1 và 
Bài 11 : Giải phương trình sau	 (1)
Giải :
Đặt t = x2 + 6x - 14 ( t) (2).Ta có 98 - 35x - 6x2 = -6(x2 + 6x - 14) +x + 14 
= x - 6t +14. Khi đó phương trình (1) trở thành : (3)
Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình
x - 6t +14
Trừ theo vế phương trình (4) và (5) ta có
x2 - t2 +6(x - t) = t - x(x - t)(x + t + 7) = 0
Thay (6) vào (5) ta có t2 + 6t - 14 = t t2 + 5t - 14 = 0 ( t0)
Khi t = 2 x = 2
Thay (7) vào (5) ta có t2 + 6t - 14 = - t - 7 t2 + 7t - 7 = 0 ( t0)
Khi t = x = 
Kết luận : phương trình có 2 nghiệm : x = 2 , x 
Bài 12 : Giải phương trình sau : (1)
Giải :
Đặt 2x2 - 2x - 5 = y ( y ).(2) Ta có 4x2 - 4x - 10 = 2y4x2 - 3x - 5 = 2y +x + 5 Phương trình (1) trở thành : y = (3).Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình Trừ theo từng vế hai vế phương trình (4) và (5) ta có
2(x2 - y2 ) - 2(x - y ) = y - x (x - y )( 2x +2y -1) = 0
Khi x = y (2) 2x2 - 3x - 5 = 0 ( vì x = y )
Khi x = (3) 2y2 - 2y - 5 = 2y2 - y - 
	 ( vì y 0).Thay vào (2) ta có 
Vậy phương trình có 2 nghiệm : ; 
Bài 13 : Giải phương trình sau : (1)
Giải:
Ta có : = x2 + ( x + 2 )2 với mọi x.Đặt t = (t >0) t2 = 2x2 +4x +4 (2)xx2 +2x +12 = t2 + 106t = t2 + 10t2 -12t+ 20 = 0
t = 2 (2) x2 + 2x = 0
t = 10 (2) x2 + 2x - 48 = 0
Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x = 0 ; x = -2 ; x = 6 ; x = -8
Bài 14 : Giải phương trình sau : (1)
Giải :
Đặt t = 
Phương trình (1) trở thành 2t3 + 1 = 3t (3) 2t3 -3t + 1 = 0(t - 1)(2t2 +2t - 1) = 0
t = 1 (2) x2 - 3x + 2 = 1 x2 - 3x + 1 = 0 
t = ta có (2) vô nghiệm vì 
t = ta có (2) 
Vậy phương trình có 4 nghiệm : ;
Bài 15 : Giải phương trình sau : (2)
Giải :
b) Đặt u = . Từ phương trình(2) ta có : u = v3 + 6 (4).Mặt khác ta lại có u3 = x - 9 u3 + 6 = x - 3 = v ( 5).Từ (4) và (5) ta có hệ phương trình sau
Vì u2 + uv + v2 +1= 
u = v = -2 x = 1
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 1
Bài 16 : Giải phương trình sau : 
Giải :
Điều kiện : (*)
Đặt : (b ).Từ phương từ phương trình (1) ta có hệ phương trình 
Với b = 2 ta có ( Thỏa mãn (*))
Kết luận : Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 17 : Giải phương trình sau : (1)
Giải :
 Đặt u = sinx với điều kiện : , v = với điều kiện (*).Khi đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình sau : (3) Thay vào (*) : Ta có sinx = 1 
Bài 18 : Giải phương trình sau 	: 	
Giải :
Đặt .
Ta có nhận xét sau u.v = (2x-1 + 1)( 21-x + 1) = 2x -1 + 21-x +2 = u + v. 
Khi đó phương trình (1) trở thành 
Khi u = v = 2 Ta có 
Khi u = 9 và ta có 
Kết luận phương trình có 2 nghiệm : x = 1 và x = 4
Bài 15 : Giải phương trình sau 	(1)
Giải :
Đặt 2x = u ( u > 0 ) 
(1) 
Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình
Với u = v ta có u2 - u - 6 = 0 
Với u + v + 1 = 0 ta có u2 +u - 5 = 0 
Kết luận : Nghiệm của phương trình là , 
Bài 20 : Giải phương trình sau (1)
Giải :
Đặt u = 3x , u > 0, phương trình (1) Trở thành (2)
Đặt .
Khi đó phương trình (2) được chuyển thành hệ 
Thay u = v vào phương trình (3) ta có 
u3 - 3u + 2 = 0 (u - 1)(u2 + u - 2) = 0 
Kết luận : nghiệm của phương trình là x = 0
Bài 21 : Giải phương trình sau 
Giải :
Điều kiện : (*) 
Đặt .Khi đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình
( Thỏa mãm điều kiện (*))
Kết luận : phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 100, x = 10, x = 1010
C. Kết luận :
I. Kieåm nghieäm laïi keát quaû:
1. Keát quaû cuûa bieän phaùp môùi:
Ban ñaàu hoïc sinh chöa laøm quen ñöôïc phöông phaùp môùi, caùc em coøn nhuùt nhaùt, thuï ñoäng, ñôïi ñeán giaùo vieân goïi thì caùc em môùi phaùt bieåu. Vaø caùc em khoâng töï mình phaân tích ñöôïc baøi giaûi maø phaûi coù söï gôïi yù cuûa giaùo vieân neân keát quaû tieát daïy khoâng cao. Daàn veà sau hoïc sinh hoaït ñoäng tích cöïc vaø coù tính töï giaùc, caùc em maïnh daïn ñöùng leân phaân tích vaø töï mình trình baøy baøi giaûi moät caùch logíc, coù khoa hoïc.
	2. Phaïm vi taùc duïng cuûa saùng kieán kinh nghieäm:
a. Ñoái vôùi baûn thaân:
- Giaùo vieân phaûi nghieân cöùu saâu, kyû veà kieán thöùc chuyeân moân vaø caùc kieán thöùc lieân quan ñeán baøi daïy. Neân töø ñoù ñaõ xoaù ñi tính chuû quan cuûa giaùo vieân, daàn theo thôøi gian giaùo vieân ñaõ töï boài döôõng cho mình moät kieán thöùc chuyeân moân vöõng vaøng.
- Nhöõng caùch giaûi quyeát vaán ñeà khaùc nhau cuûa hoïc sinh laøm cho giaùo vieân coù nhieàu kinh nghieäm trong döï ñoaùn caùc tình huoáng vaø xöû lyù tình huoáng.
b. Ñoái vôùi hoïc sinh:
- Hoïc sinh hoïc moân khoâng coøn goø boù theo khuoân maãu, maø caùc em phaùt huy ñöôïc tính cöïc, ñoäc laäp, saùng taïo trong hoïc taäp. 
- Hoïc sinh hoïc moân töø nhöõng böôùc ñi cô baûn vöõng chaéc, daãn ñeán ñam meâ, roài caùc em hieån nhieân trôû thaønh moät hoïc sinh gioûi toaùn 
c. Ñoái vôùi ñoàng nghieäp, toå nhoùm chuyeân moân:
Ñaây laø phöông phaùp khoâng khoù, giaùo vieân naøo cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc. Vaø ñaëc bieät laø aùp duïng ñöôïc ñoái vôùi taát caû caùc ñoái töôïng hoïc sinh. Neân toâi ñaõ ñem phoå bieán trong toå, caùc anh em trong toå cuõng coù nhieàu goùp quí baùu vaø ñaõ maïnh daïn aùp duïng phöông phaùp naøy vaøo lôùp mình phuï traùch vaø böôùc ñaàu ñaõ mang laïi thaønh coâng.
	3. Nguyeân nhaân thaønh coâng vaø toàn taïi:
a. Nguyeân nhaân thaønh coâng:
- Baûn thaân, ñaõ coù söï ñam meâ moân toán hoïc töø luùc khi coøn ngoài döôùi gheá nhaø tröôøng phoå thoâng.
- Ñöôïc söï giuùp ñôõ, ñoùng goùp yù kieán nhieät tình cuûa caùc anh em ñoàng nghieäp trong toå chuyeân moân.
- Lôùp toâi phuï traùch phaàn lôùn hoïc sinh ñeàu coù tinh thaàn vöôït khoù, töï giaùc hoïc taäp.
b. Toàn taïi:
- Caùc baøi toaùn coù liên quan đến căn thức nên các em không có mấy hứng thú vì nó khó và không có định hướng trước để giải được nó.
- Caùc baøi toaùn liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau đòi hỏi các em phải có kiến thức vững vàng về phương trình và hệ phương trình nắm được các phương pháp giải cơ bản các .
	4. Baøi hoïc kinh nghieäm:
Ñoái vôùi caùc baøi toaùn đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng toán ở trên, thì hoïc sinh ñoâi luùc phaân tích höôùng giaûi khoâng ñuùng vôùi yù ñoà cuûa giaùo vieân. Khi ñoù giaùo vieân phaûi toân troïng vaø phaân tích theo höôùng giaûi cuûa caùc em, sau ñoù chæ roõ caùc öu khuyeát ñieåm cuûa höôùng giaûi maø caùc em ñaõ ñöa ra. 
Theo phöông phaùp treân laøm cho hoïc sinh tieáp thu baøi hoïc moät caùch tích cöïc vaø giaûi quyeát vaán ñeà moät caùch saùng taïo coù khoa hoïc. Keát quaû thu ñöôïc goùp phaàn khoâng nhoû, ñaùp öùng nhu caàu ñoåi môùi phöông phaùp maø ngaønh giaùo duïc ñeà ra.
	Tôi xin chân thành cảm ơn
	Tĩnh gia, ngày : 20/05/2010
	Người thực hiện 	
	Mai Tiến Linh
PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH ĐÃ THAM KHẢO
1
Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp - Nhà xuất bản Hà Nội
Trần Phương - Lê Hồng Đức
2
Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản Hà Nội
Phan Huy Khải
3
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit - Nhà xuất bản Hà Nội
Lê Hồng Đức
4
Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất bản giáo dục
Nhiều tác giả
5
Chuyên đề nâng cao đại số THPT - Nhà xuất bản giáo dục
Phạm Quốc Phong