Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau

lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm AB. Cho biết , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
Giải:
Phân tích: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Giáo viên có thể rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh bằng một số câu hỏi:
Định nghĩa về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian?
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì cần dựng đường vuông góc chung. Vậy hãy nêu các bước dựng đường vuông góc chung của và ?
Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung đó?
Trả lời các câu hỏi đó cho ta định hướng giải bài toán theo định hướng sử dụng đường vuông góc chung như sau:
Định hướng 1: dựng đường vuông góc chung
Gọi O là hình chiếu của A lên , I là trung điểm của AO, H là hình chiếu vuông góc của O lên IC, kẻ HM // IE, kẻ MN vuông góc với tại N. Ta chứng minh được MN là đường vuông góc chung của và 
Ta có 
	Nhận xét: Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng chấp nhận phương pháp giải trên, không phải học sinh nào cũng dựng được mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng. Chẳng hạn, có học sinh phản bác lại rằng bài toán này được giải bằng phương pháp khác. 
	Khi đó, giáo viên như người “trọng tài” để phân tích và giải thích cho học sinh hiểu rõ từng phương pháp, một bài toán có nhiều phương pháp để giải, vấn đề quan trọng là chọn phương pháp giải phù hợp, ngắn gọn và dễ hiểu.
Định hướng 2: tính khoảng cách giữa đường thẳng đó đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại và song song với đường thẳng đó.
Ta có:
Gọi F là trung điểm của suy ra
Sử dụng tính chất tứ diện vuông A.EFC tại A ta có:
Định hướng 3: tính khoảng cách 2 đường thẳng quy về tính khoảng cách giữa một điểm đến một mặt phẳng.
Ta có:
Gọi F là trung điểm của ta có:
Định hướng 4: sử dụng phương pháp véc tơ.
Ta có:
Gọi M, N lần lượt thuộc ta có:
Để MN là đường vuông góc chung của thì:
Định hướng 5: sử dụng tích có hướng của 2 véc tơ.
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: .
Do E là trung điểm của AB nên 
Ta có:
Định hướng 6: sử dụng phương pháp tính khoảng cách dựa vào phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng.
Ta có: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: 
Do E là trung điểm của AB nên 
Ta có:
Mặt phẳng (P) qua CE song song với nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình 
.
2.2.2 Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả
Một trong những biện pháp quan trọng rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh là để học sinh tự trình bày lời giải cho bài toán, tự đưa ra những nhận xét, đánh giá với bản thân, với bạn bè.
Bài 2.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: 
a) SC và BD.
b) AC và SD.
Hướng dẫn giải:
Tính d (SC, BD) 
Để tính khoảng cách giữa SC và BD ta cần tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này.
Ta thấy SC và BD là hai đường thẳng chéo và vuông góc nhau. Do đó, ta xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. Giả sử ta chọn mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD . Mặt phẳng này chỉ có thể là (SAC) .
Khi đó ta có 
Nếu kẻ tại H thì ta có OH là đoạn vuông góc chung.
Vậy ta chỉ cần tính độ dài OH.
Dễ nhận thấy đồng dạng với nên ta có 
Suy ra: 
b) Tính d ( AC , SD)
Ta nhận thấy đây là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này ta cần xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Giả sử ta chọn mp(P) chứa SD và song song với AC.
Nếu kẻ Dt // AC thì . Khi đó ta có 
Để tính được khoảng cách từ A đến mp(S, Dt) ta cần xác định hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (S, Dt) . Do đó ta cần tìm một mặt phẳng chứa A và vuông góc (S, Dt).
Nếu kẻ thì ta có , khi đó
 (với tại E ).Vậy .
Để tính độ dài AE ta để ý rằng vuông tại A có AE là đường cao nên ta có được hệ thức:
.
Qua bài toán này giáo viên có thể cho học sinh trình bày lời giải và cho những học sinh khác nhận xét về lời giải, xét xem bài toán này có thể giải theo các cách khác hay không? Nên lựa chọn phương pháp nào để bài toán giải tối ưu nhất? Hoặc có thể tổng quát hóa, tương tự hóa, ...Qua đó rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh.
2.3. Phát triển tư duy sáng tạo
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình cần nhiều thời gian và phải được tiến hành ở tất cả các khâu của quá trình dạy học. Trong quá trình dạy học toán ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức giáo viên cần chú trọng nhiều đến việc phát triển tư duy đặc biệt là tư duy sáng tạo. Để làm được điều đó giáo viên cần chú trọng rèn luyện các đặc trưng của tư duy sáng tạo trên cơ sở trang bị kiến thức và rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
2.3.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải
Tìm thêm những lời giải khác giúp học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiều giải pháp cho một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau, điều này giúp học sinh phát triển năng lực giải toán ở những phương diện sau:
	- Rèn luyện khả năng phân tích bài toán;
	- Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải;
	- Rèn luyện kỹ năng chọn phương pháp và công cụ giải;
	- Rèn luyện kỹ năng kiểm tra lời giải;
	- Rèn luyện khả năng tìm các bài toán, các kiến thức liên quan. 
Các phương diện này được áp dụng trong các ví dụ sau:
	Bài 3.1 [Đề thi TNTHPT năm 2020 – mã đề 103 - câu 48] Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Định hướng 1: Sử dụng công thức chuyển đổi khoảng cách
Phân tích: Để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng , thì ta chuyển về tính khoảng cách từ chân đường vuông góc, tức là từ điểm B đền .
Gọi và là trung điểm . 
Ta có .
Xét tam giác có .
Vậy .
	Định hướng 2: Sử dụng tích vô hướng
Gọi là trung điểm chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 
.
	 	Vậy 	.
2.3.2. Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới
	Sáng tạo bài toán mới là một bước quan trọng trong quá trình giải toán, một phương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong những mục tiêu chính của học tập sáng tạo. Để xây dựng bài toán mới, có thể hướng dẫn học sinh theo các con đường sau đây:
	- Sử dụng các thao tác tư duy như: tương tự, đặc biệt hoá hay tổng quát hoá... để đi đến bài toán tương tự, bài toán đảo, đặc biệt hoá hay tổng quát hoá.
	- Nghiên cứu sâu bản chất của bài toán, đoán nhận được cơ sở sự hình thành bài toán...để xây dựng các bài toán cùng dạng.
	- Xét sự vận động giả thiết, dẫn đến sự vận động tương ứng của kết luận, từ đó xây dựng bài toán mới...
Từ bài toán 1.1 giáo viên có thể rèn luyện tư duy sáng tạo, bằng cách cho học sinh thay đổi giả thiết các cạnh bên bằng nhau bởi hình chóp đều, hoặc hình chóp khi biết đường cao hoặc hình lăng trụ,... thay đáy là tam giác đều bởi đáy là hình vuông, tam giác cân, hình chữ nhật hoặc đáy là hình chóp đều, hình lăng trụ, thì ta có thể tạo ra được nhiều bài toán mới tương tự:
Bài 3.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
 Bài 3.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có , và . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Bài 3.1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có , và . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Bài 3.1.4 Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau và , . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 3.1.5 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ A đến mp(A1BD).
Bài 3.1.6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có . Tính khoảng cách từ A đến mp(A1BD).
Bài 3.1.7 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có . Tính khoảng cách từ A đến mp(A1BC).
Bài 3.1.8 Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, và . Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD).
Bài 3.1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều có cạnh , cạnh bên ,. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SC và BD.
b) AC và SD.
Bài 3.1.10 Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC = a , AD = 2a , SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SC và BD.
b) AC và SD.
Bài 3.1.11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a , BC = a , BD = a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD. Biết SG = 2a, tính khoảng cách giữa:
a) SC và BD.
b) AC và SD.
2.3.2 Tư duy sơ đồ
Tư duy theo sơ đồ còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy, là một hình thức ghi chép theo mạch tư duy của mỗi người nhằm tìm tòi đào sâu và mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức,  bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Đặc biệt đây là một sơ đồ mở, không yêu cầu tỉ lệ, chi tiết chặt chẽ như bản đồ địa lí, có thể vẽ thêm hoặc bớt các nhánh, mỗi người vẽ một kiểu khác nhau, dùng màu sắc, các cụm từ diễn đạt khác nhau, cùng một chủ đề nhưng mỗi người có thể “thể hiện” nó dưới dạng sơ đồ tư duy theo một cách riêng, do đó việc lập sơ đồ tư duy phát huy được tối đa khả năng sáng tạo của mỗi người.
Sơ đồ tư duy về khoảng cách
Sơ đồ tư duy về khoảng cách của một điểm đến một mặt phẳng
Sơ đồ tư duy về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 3.3 [Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2019 – 2020 môn toán mã đề 112 câu 43]: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy và , gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM: 
A. , 	B. , 	C. , 	D. 
Phân tích: Để rèn luyện tư duy theo sơ đồ cho học sinh, cần hướng dẫn học sinh xuất phát từ giả thiết, lựa chọn định hướng giải, từ đó lựa chọn các bước giải, liệt kê tuần tự các bước, hình thành sơ đồ tư duy giải toán qua sơ đồ này học sinh dễ dàng nắm được kiến thức. Đưa bài toán từ phức tạp chuyển hóa thành bài toán đơn giản hơn, qua đây phát huy được tư duy sáng tạo trong học sinh.
Sơ đồ tư duy theo chuyển đổi về khoảng cách.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau 
+) .
+) Dựng MF // AC.
+) 
Bài 3.4 [Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2019 – 2020 môn toán mã đề 112 câu 43]: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy và , gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM: 
A. .	 	B. . 	C. . 	D. 
Sơ đồ tư duy về phương pháp tọa độ:
Qua những gì đã trình bày ở trên tôi đã đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện một số tư duy toán học, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung giải bài toán “khoảng cách trong không gian” theo những định hướng khác nhau. Trong đó tôi đã xây dựng hệ thống các ví dụ đa dạng và phong phú phù hợp với năng lực và trình độ của học sinh. Thông qua giải các ví dụ đó rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt khi tiến hành các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ, chuyển đổi từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, rèn luyện lối suy nghĩ không dập khuôn máy móc, rèn khả năng nhìn nhận bài toán dưới tình huống và nhiều góc độ, khả năng phát hiện ra các sai lầm, thiếu lôgic, có khả năng đề xuất các bài toán tương tự, các bài toán tổng quát, các bài toán mới qua đó phát triển tư suy sáng tạo và tư duy phê phán nói riêng và tư duy toán học nói chung của học sinh.
2.4 Kết quả đề tài
2.4.1 Thực nghiệm Sư phạm.
a) Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đưa ra trong đề tài.
b) Đối tượng thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành tại khảo sát học sinh như sau. Tôi chọn hai lớp 12D3 và 12D4 – Ban cơ bản làm lớp thực nghiệm và cũng là lớp đối chứng.
c) Tiến hành thực nghiệm
Nội dung thực nghiệm :
Chúng tôi tiến hành dạy luyện tập cho học sinh bằng cách vận dụng một số kỹ năng trong tính khoảng cách trong không gian. Với thời lượng là bốn buổi dạy phụ đạo (mỗi buổi 03 tiết kể cả thời gian kiểm tra lấy kết quả làm thông tin so sánh) theo lịch và kế hoạch của nhà trường với sự đồng ý tự nguyện của phụ huynh và học sinh.
Trước khi dạy thử nghiệm tôi tiến hành kiểm tra 20 phút và sau khi tiến hành dạy thử nghiệm xong rèn luyện các kỹ năng tính khoảng cách trong không gian cho học sinh. Dưới đây là đề kiểm tra và kết quả kiểm tra:
Tại các lớp 12D1 và 12D4.
Đề kiểm tra 20’ trước khi dạy thử nghiệm 
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Đáp án. Hình vẽ đúng và đẹp 1đ. 
Vậy (đvđd) (5 đ).
 (đvđd) (4đ). 
Đề kiểm tra 20’ sau khi dạy thử nghiệm 
Đề bài: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mp(ABC) bằng 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BB’. Tính theo a, khoảng cách từ M đến mp(BCC’B’) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BC’.
Đáp án. Hình vẽ đúng đẹp (1đ)
 (5đ). Vậy (đvđd) (4đ).
Một số hình ảnh học tập của học sinh sau khi được tiếp thu các phương pháp khác nhau để tìm khoảng cách. 
2.4.2 Xử lí kết quả thực nghiệm
Kết quả kiểm tra ở Lớp 12D3.
Điểm
Sỹ số
8-10
5-8
< 5
Đề 1
43
6
21
16
Tỉ lệ %
13,95%
48,84%
37,21%
Đề 2
29
12
2
Tỉ lệ %
67,44%
27,91%
4,65%
Kết quả kiểm tra ở lớp 12D4.
Điểm
Sỹ số
8-10
5-8
< 5
Đề 1
38
2
17
19
Tỉ lệ %
5,26%
44,74%
50%
Đề 2
38
16
18
4
Tỉ lệ %
42,11%
47,37%
10,52%
(Đề 1: Đề kiểm tra trước khi dạy thử nghiệm; Đề 2: Đề kiểm tra sau dạy thử nghiệm).
2.4.3 Kết luận thực nghiệm.
Từ kết quả kiểm tra trên chúng tôi thấy: 
Chất lượng đầu vào của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng như nhau. Độ đồng đều đầu ra của lớp thực nghiệm hơn lớp đối chứng.
Tỷ lệ học sinh khá, giỏi của lớp thực nghiệm hơn lớp đối chứng. Chất lượng đầu ra của lớp thực nghiệm hơn lớp đối chứng.
Kỹ năng thực hiện một số thao tác hoạt động trí tuệ và một số năng lực tư duy toán học của học sinh đã được nâng lên.
Giáo viên đã nắm được những kỹ năng, kiến thức cơ bản cần thiết của người giáo viên toán và nhận thức được đầy đủ tầm quan trọng của việc rèn luyện 
và phát triển một số tư duy toán học cho học sinh trong dạy học phần khoảng cách trong không gian và trong việc phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Thực nghiệm được tiến hành là ví dụ minh họa cho tính hiện thực và khả thi của các biện pháp đề xuất phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phần khoảng cách.
Trong dạy học khoảng cách, nếu giáo viên thường xuyên rèn luyện một số các thao tác hoạt động trí tuệ cơ bản và một số năng lực tư duy toán học cho học sinh, sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực trí tuệ, kỹ năng giải toán, khả năng quan sát và tư duy sáng tạo. Góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất, mục đích thực nghiệm đã hoàn thành. Giả thuyết khoa học đã được kiểm nghiệm là đúng.
PHẦN 3. KẾT LUẬN
1. Quá trình nghiên cứu của đề tài.
Đề tài được nghiên cứu bắt đầu từ đầu năm học 2020 – 2021 đến nay. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã nghiên cứu kỹ các đề thi của các năm và các đề thi thử THPT Quốc gia, tìm hiểu một số bài viết của một số thầy cô trên mạng internet. Nghiên cứu kỹ về sách giáo khoa hình cơ bản và nâng cao của lớp 11, 12. 
Tìm hiểu học sinh qua quá trình dạy học và các em tham gia các cuộc thi thử, thi học kỳ, thi THPT Quốc gia, thi HSG, thi tốt nghiệp THPT về những khó khăn của học sinh trong quá trình tìm khoảng cách.
Khi phát hiện thấy giáo viên có ít công cụ cũng như học sinh gặp các khó khăn trong quá trình tìm khoảng cách tôi đã trăn trở suy nghĩ tìm ra các giải pháp để giúp học sinh, giáo viên giải quyết khó khăn này.
Qua đó tôi đã tìm các hướng khác nhau để giải các bài toán khoảng cách, đưa ra các phương pháp khác nhau để giải bài toán về khoảng cách. Đặc biệt là các câu trong đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây. 
Sau khi đưa ra một số định hướng để tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tiến hành rèn luyện tư duy cho các em học sinh thông qua các buổi học chính khóa, học ôn thi ...
Kết quả của đề tài được phản ánh một cách trực quan qua việc tiến hành khảo sát các em học sinh.
Đề tài đã đưa ra hệ thống khá đầy đủ các kỹ năng để tính khoảng cách trong không gian.
2. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài “Rèn luyện tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau’’ đã thu được những kết quả chính sau đây:
1. Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện và phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh. Vai trò này được cụ thể hóa bằng việc phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh đã trình bày.
2. Đề tài đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề rèn luyện một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.
3. Xây dựng được một số ví dụ về tìm khoảng cách theo những định hướng khác nhau.
4. Xây dựng được một số biện pháp sử dụng các ví dụ về giải toán khoảng cách để phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.5. Đã soạn được một số giáo án dùng cho thực nghiệm giảng dạy tại trường. Xây dựng được một số đề kiểm tra nhằm đánh giá kết quả của việc áp dụng đề tài tại trường.
Từ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành, giả thuyết khoa học đặt ra trong đề tài là chấp nhận được.
Tuy nhiên, do những hạn chế về điều kiện thời gian, năng lực và trình độ của bản thân, nên chắc chắn việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các anh chị và bạn bè đồng nghiệp.
3. Kiến nghị đề xuất
Đối với bộ giáo dục: có thể sử dụng đề tài để biên soạn sách giáo khoa theo hướng đổi mới, tăng cường về rèn luyện tư duy, giáo dục kỹ năng cho học sinh nói chung và kỹ năng tìm khoảng cách nói riêng.
Đối với sở giáo dục và đào tạo Nghệ An: có thể triển khai rộng rãi đề tài để giúp cán bộ giáo viên dạy bộ môn hình học lớp 11, 12, ôn thi THPT Quốc gia có thêm nguồn tài liệu để hỗ trợ cho giảng dạy.
Đối với học sinh: đây là nguồn tài liệu giúp học sinh nắm vững về lý thuyết, phương pháp tìm khoảng cách, cũng như rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư duy khác nhau để tìm khoảng cách trong không gian, trong các bài toán thực tế của đời sống.
Mặc dầu bản thân cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm nhưng để đề tài ngày càng hoàn thiện và vận dụng dạy học có hiệu quả hơn, rất mong được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn.
Tài liệu tham khảo
[1]. Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban - Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục.
[2]. Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3]. Các bài giảng luyện thi môn Toán, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2010 đến 2020, Môn Toán của BGD&ĐT.
[5]. Đề thi thử THPT Quốc gia của một số trường trong cả nước năm 2018 – 2019, 2019 – 2020, 2020 - 2021.
[6]. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[7]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[8]. SGK Hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục.
[9]. SGK Hình Học 12 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[10]. Tài liệu bối dưỡng thường xuyên chu kì 3 (2004- 2007), Toán học, PGS.TS.Bùi Văn Nghị - PGS.TS.Vương Dương Minh – TS.Nguyễn Tuấn Anh, Hà Nội 2005.
[11]. SGK hình học lớp 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Nhà xuất bản Giáo dục.
[12]. SGK Hình Học 11 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[13]. Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021.