Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi thông qua một số bài toán

dù việc hướng dẫn học sinh giải toán đã có nhiều thầy, cô giáo đề cập khá nhiều, xong tôi cũng mạnh dạn trình bày lại một chút ít kinh nghiệm nhỏ nhoi của bản thân xin viết ra đây để chúng ta cùng nhau bổ sung và hoàn thiện giúp cho học sinh chúng ta có thêm phương pháp học tốt hơn .
2. Mục đích nghiên cứu
	Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn về các thao tác tư duy. Từ đó vận dụng xây dựng bài tập nhằm rèn luyện các các thao tác tư duy cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu phương pháp giải toán, các hướng phân tích.
- Các bài toán xuất phát.
- Xây dựng phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán .
4. Bố cục của đề tài
	Đề tài gồm có ba phần: 	1. Đặt vấn đề
 	2. Giải quyết vấn đề
 	3. Kết luận 
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Các phép suy luận toán 
	Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chưa biết. Tư duy sáng tạo là một trong những phẩm chất trí tuệ quan trọng cần rèn luyện cho học sinh. Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng sáng tạo ra cái mới như: Phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ những cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào. Để giải quyết vấn đề này, trước hết cần phải thành thạo các thao tác tư duy quan trọng sau:
	Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
 	Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống.
	Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy. Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp.
	Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động. Tính trừu tượng không phải chỉ có trong toán học mà là đặc điểm của mọi khoa học nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách khỏi mọi chất liệu của đối tượng, “chỉ giữ lại những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi” (Phạm Văn Hoàn).
Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu nổi bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá.
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn Toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hoá, so sánh, tổng quát hoá, đặc biệt hoá,  do đó cần có điều kiện rèn luyện cho các em các thao tác tư duy, kỹ năng giải toán 
	Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh hoạ cụ thể qua việc khai thác kết quả của bài toán. Trong đó những thao tác hay được sử dụng nhất là: Phân tích, tổng hợp, tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá,  Một cái chung đem đặc biệt hoá sẽ được nhiều cái riêng, và ngược lại, một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung.
2. Rèn luyện kỹ năng giải toán : Trước hết mỗi học sinh cần hiểu được mục đích cuối cùng của việc học toán là giải toán và ứng dụng toán học vào thực tế muốn vậy học sinh cần phải nắm được
a/ Quan niệm về việc giải toán : Có thể coi một bài toán là một chuỗi hữu hạn các gút logíc được nguỵ trang khá công phu. Người làm toán cần phải tìm cách mở có hệ thống các gút logíc đó, quá trình gồm hai giai đoạn .
1- Định hướng giải .	
2- Kỹ năng giải bài toán, tìm nhiều lời giải cho bài toán.
Trong quá trình giải toán hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tiến hành riêng biệt, người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và sự tương hỗ của chúng. Mặc dù kỹ năng giải bài toán là quan trọng nhưng việc định hướng giải là giai đoạn có tính quyết định bởi các lí do sau:
i) Kỹ thuật giải toán cao, thành thạo trong các thao tác, các phép tính nhưng chưa có phương hướng, hoặc chưa có phương hướng tốt sẽ không có lời giải hoặc chưa có lời giải tốt 
ii) Định hướng giải bài toán giúp cho học sinh khả năng làm việc độc lập, tư duy logic, sáng tạo, linh hoạt.
b/Nội dung việc định hướng giải các bài toán:
Đối với mỗi bài toán người giải toán cần nắm rõ đề bài cho gì, tìm gì, nghĩa là nắm chắc giả thiết, các điều kiện liên quan cũng như yêu cầu mà đề bài cần xác định. Từ đó giúp ta phân loại bài toán, vạch đường lối để giải và tìm phương pháp cũng như công cụ thích hợp.
Phân tích các giả thiết, những tiềm ẩn sau những giả thiết những điều kiện liên quan. Làm sáng tỏ nguồn gốc các giả thiết và điều kiện của bài toán, có khi còn phân tích kết quả của bài nhằm tìm mối liên hệ giữa các đối tượng cho và đối tượng phải tìm.
Tìm kiếm các bài toán liên quan nhằm tương tự hoá trong quá trình suy luận; đồng thời sáng tạo bài toán mới.
Trong các nội dung trên, tuy mỗi nội dung có những yêu cầu khác nhau nhưng lại có quan hệ hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực. Vì vậy khi giải một bài toán ta cần phải tiến hành toàn diện các nội dung trên.
	c/ Các phương pháp tìm tòi lời giải :
	I-Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán:
Đây là công việc đầu tiên của người làm toán, làm tốt được điều này giúp chúng ta nắm được đặc điểm về dạng của bài toán, tức là nắm được phần hình thức của bài toán. Trên cơ sở sự thống nhất giữa nội dung và hình thức (quan hệ biện chứng của triết học ) giúp ta khám phá những đặc điểm trong nội dung của bài toán .(mà hình thức là muôn màu muôn vẻ)
	1/Tìm hiểu những con số đặc biệt trong bài toán:
Ví dụ 1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0 . (1)
	*Nhận xét và hướng giải: Sự xuất hiện các con số 2 và 3 trong hai hạng tử đầu của phương trình giúp ta nghĩ đến việc phân tích số 5 = 2 + 3 .
	Khi đó (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = 0 .( phương trình thuần cung nhưng đa hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm)
	 đến đây ta đã đưa về việc giải các phương trình quen thuộc .
Ví du 2: Cho phương trình : (2).Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm ? 
	*Nhận xét và hướng giải: Đây là bài toán trong bộ đề thi tuyển sinh, cách giải trong bộ đề có phần khó hiểu.
	Ta hãy biến đổi các biểu thức trong các căn thức để tìm hình thức thể hiện khác của phương trình .
 (2) . Từ những con số, biểu thức số có mặt trong phương trình giúp ta nghĩ đến công thức tính độ dài các véc tơ trong mặt phẳng Oxy, chuyển hướng giải bằng phương pháp toạ độ phẳng như sau:
	Trong mp Oxy xét các điểm , , , ta có :
 => AM= và =>BM= 
Do đó : AM -BM = m 
Ta còn có , . Do đó phương trình có nghiệm với các điểm thoả hay .
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các con số biết nói chứ không phải biết giải .
2/Tìm hiểu các nhóm hạng tử tham gia trong bài toán: 
	*Nhóm hạng tử tham gia trong bài toán có sự biểu diễn qua lại .
Cái khó khăn của bài toán là các mối liên hệ vốn có giữa các đại lượng tham gia trong bài toán thường dễ thấy được nhưng có khi lại "ẩn nấp" khá kín đáo, đến nỗi người giải toán tưởng chừng là chúng không có liên quan gì với nhau. 
Bài có những nhóm hạng tử kiểu này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ3: Giải phương trình sau , (3)
 Dễ thấy ẩn phụ cần đặt u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ j), trong đó j là góc có tgj = 3/4
	Điều kiện :4sinx + 3cosx +1 ¹ 0 .
Ta có : (3) , -5 £ u £ 5 ,u ¹ -1
Trở lại tìm x với u=0 5sin(x+j) = 0 x + j = kp , kÎZ x = -j + kp , kÎZ
	với u=55sin(x+j) = 5 sin(x+j) = 1 x = , lÎZ
Đôi khi ta phải biến đổi các nhóm hạng tử tham gia trong phương trình mới thấy được mối liên hệ giữa các hạng tử tìm cơ hội để chọn ẩn phụ thích hợp .
	Ví dụ4 :Giải bất phương trình : (4)
*Nhận xét định hướng giải: Trong bất phương trình trên có chứa các hàm số mũ có cơ số quan hệ rõ rệt không là mối bận tâm. Tuy nhiên các nhóm hạng tử ở mũ là những biểu thức lượng giác liệu có mối liên hệ bên trong qua cái hình thức biểu hiện đồng sàn dị tịch này chăng?. Ta hãy thử thăm dò qua việc biến đổi hai biểu thức ở mũ.
	Ta có : cos2x = -(sin2x - cos2x) = - (sinx - cosx )( sinx + cosx ) , (tìm cách quy cung)
Do đó: , đến đây ta đã có cơ hội để thực hiện việc đặt ẩn phụ. 
Ta có : (4) 	
	 u ³ 2
	Trở lại tìm x, ta giải bất phương trình , việc giải bất phương trình này đơn giản.
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các nhóm hạng tử có cách biểu hiện như trên để thực hành.
3/Tìm hiểu bài toán qua việc thể hiện tính chất của hình (của điểm), vị trí tương đối của các đường, dạng của các biểu thức, khai thác các điều kiện v.v.
Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có BC= a, CA = b, AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC ,CA và AB tương ứng là ha ,hb ,hc. M là điểm bất kỳ trong tam giác đó, khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA và AB tương ứng là x, y và z .
Tính P = 	
Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng : T = MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất
*Nhận xét định hướng giải: Do vai trò của các đỉnh A, B, C, các đường cao ha, hb, hc trong tam giác các giá trị x, y, z có vai trò như nhau cho nên việc tính P qui về tính đối tượng rồi bằng phép tương tự ta có thể đạt được kết quả.
* Để tính x/ha ta xem x và ha là chiều cao	 	
của hai tam giác có chung cạnh đáy BC 	 
đó là DMBC và D ABC. Ta có 	
. 
Áp dụng tương tự ta thu được 
 và 	
	Do đó P= 	
c) Ta cần đánh giá tổng độ dài các đoạn thẳng trong T = MA + MB + MC, qua các đoạn thẳng bằng nó, điều này dẫn ta nghĩ đến việc thực hiện một phép dời hình, vì phép dời hình bảo toàn khoảng cách. Ta thử chọn phép quay để thực hiện và thăm dò, có nên chuyển về độ dài ba cạnh của tam giác không? Nếu làm được việc này thì chúng ta có nhiều cơ sở để lập luận dựa vào các bất đẳng thức quan hệ về cạnh của tam giác và thú vị hơn khi tam giác suy biến .
Xét phép quay tâm B góc quay 600 - Q(B,600) : 
C C' BM =BM'
M 	 M' = 600
Suy ra : DMBM' đều => BM = MM' (a) kết hợp CM = C'M' 	(t/c Q(B,600))
Ta được T=MA+ MB + MC = AM + MM' + M'C' ³ AC' 
(B,C cố định luôn tồn tại M thuộc tam giác ABC thoả điều này)
	=> min T = AC'. Dấu bằng xảy ra A, M, M', C thẳng hàng, khi đó góc tạo bởi MC và M'C' kí hiệu: (MC, M'C') = 600 => = 1200 (vì = 600 )
 Mặt khác, phép Q(B, 600): MB M'C' và = 1200 => = 1200 
Do đó : = = = 1200 . 
Kết luận: Điểm M là giao điểm của 3 cung chứa góc 1200 được dựng trên 3 cạnh của DABC.
Ghi chú : Có thể dùng phép đối xứng trục để giải bài toán và cho biết nhận định của mình hoặc có thể quay tam giác AMC một góc 600 để giải bài toán.
*Trong khi gặp bài toán sau :
 Chứng minh rằng: nếu x, y > 0 và x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . 
Đa số học sinh không giải được bài toán này, nếu nói rằng bài toán là khó đối với học sinh thì cũng chưa hẳn, nhưng hầu hết các em quan tâm nhiều về số mũ lớn của luỹ thừa mà không khai thác triệt để các giả thiết của bài toán. 
 Ví dụ 6: 
Chứng minh rằng: 
nếu x, y > 0 và x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . 
	*Khai thác các giả thiết :
 	+) x > 0, y> 0 => x + y > 0 nghĩa là z > 0 
	+) x + y = z =>	=> ( ) 
(nghĩ đến cơ số của hàm số mũ và tính chất của hàm mũ tương ứng )
	+) Số mũ của các luỹ thừa là bằng nhau và bằng 2003.
Trên cơ sở khai thác các giả thiết và điều kiện của bài toán các bạn dễ dàng nghĩ đến bài toán tương tự ở ví dụ 6 trang 172 sách giáo khoa - Giải tích 12 đã học và vận dụng cách giải cho bài toán này.
	Ta biến đổi về dạng: .
Từ điều kiện => [] 
( vì 2003 >1và t/c nghịch biến của hàm số mũ)
	Từ đó dễ thấy điều phải chứng minh (tương tự hoá trong qui trình tư duy giảỉ toán là công cụ hiệu quả giúp ta định hướng nhanh)
 Ghi chú : Các bạn có thể phân tích và tìm tòi để chuyển hoá bài toán. 
II/Phương pháp chuyển hoá nội dung hoặc hình thức bài toán: 
	Trên nền tảng của triết học duy vật biện chứng "Mọi sự vật, hiện tượng tồn tại đều có mối liên hệ hữu cơ kể cả ở những mặt đối lập vẫn có cái tính thống nhất của nó, trong những mặt thống nhất cũng có từng phần đối lập".
Trong lĩnh vực toán học cũng thế có nhiều loại toán có liên quan với nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong một chừng mực nào đó cho phép ta chuyển từ bài toán này sang giải bài toán khác 
1/Chuyển bài toán trong đại số, giải tích sang giải bài toán trong hình học.
Ta có thể xem ví dụ 2 như là bài toán minh hoạ. Bây giờ ta hãy xét bài toán khác 
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y = f(a) =
* Nhận xét và định hướng giải: Trong biểu thức hàm có chứa hai căn bậc 2 mà biểu thức trong căn thức thuần nhất hàm và cung, việc tìm trị nhỏ nhất của hàm số trên qua công cụ đạo hàm không phải là đơn giản. Tuy nhiên nếu nhìn các căn thức trên như là biểu thức độ dài của véctơ trong phẳng thì bài toán cho ta kỳ vọng chuyển sang giải bằng hình học toạ độ phẳng.Với kỳ vọng này buộc ta phải tìm cách đưa hai căn thức trên gần gũi hơn với công thức tính độ dài véctơ (chuyển biểu thức trong căn bậc hai về tổng hai bình phương)
	Ta có : y = f(a) =xác định trên, đến đây vấn đề còn khéo chọn toạ độ của các véc tơ có độ dài tương ứng trong mỗi căn thức .
	Trong mp Oxy chọn => f(a) =|| + || .
 Ta có : , ta còn có : | + | £ || + || => f(a) ³ 5
	Vậy : min f(a) = 5 ," aÎ
2/Chuyển bài toán hình học thông thường sang hình học giải tích :
	Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Trên BD và AD' ta lấy các điểm M, N sao cho DM=AN=k . Xác định k để đoạn MN ngắn nhất. Chứng minh rằng khi đó MN là đoạn vuông góc chung của BD và AD. Tính độ dài đoạn MN.
	Giải:	
Chọn hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz sao cho O trùng với đỉnh A, các đỉnh B, D, A' lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. Ta có: 
A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), D'(0,a,0),M, N 
Từ điều kiện bài toán ta thấy cứ mỗi k thuộc (0;). Ta xác định được độ dài duy nhất đoạn MN, trên cơ sở này ta chọn một hàm số tương ứng cho đối k. Mặt khác, MN nhỏ nhất MN2 nhỏ nhất .
	Ta đặt f(k) = MN2 , "kÎ(0; ) => min f(k) min(MN) 
	Ta có : ) => f(k) = 3k2 -2ak + a2 . Đây là hàm số bậc hai theo k với kÎ(0; ). Đạo hàm f '(k) = 6k - 2) = 0 => k =() /3.
Vậy khi k= - thì MN có độ dài ngắn nhất, khi đó toạ độ còn có => . 
Do đó: MN ^ AD' và MN ^ BD . 
Vậy MN là đoạn vuông góc chung của BD và AD'. 
Dễ tính được: MN = (đvđd)
Ghi chú : bạn thử giải bài toán này mà không dùng phương pháp toạ độ 
3/ Chuyển bài toán đại số sang lượng giác :
	Ví dụ 9: Giải bất phương trình .(*)
*Nhận xét định hướng giải : Tập xác định của bất phương trình : D = (-1 ;1) cho phép ta nghĩ đến việc đặt x = cosa khi đó | sina |. Như vậy bất phương trình đại số này có thể chuyển sang một bất phương trình lượng giác tương ứng.
Thật vậy , ( *) cotg2a -3cotga +2 > 0 
Giải tiếp bất phương trình này ta có: -1< x < Ú .
 D/ Tìm nhiều lời giải cho một bài toán 
 Sau khi hướng dẫn học sinh các kỹ năng giải toán cần hướng dẫn, khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải bài toán dựa vào các đặc điểm của dữ kiện bài toán đã cho. Việc tìm nhiều lời giải bài toán là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau điều đó rất có ích cho sự phát triển năng lực tư duy, khả năng độc lập suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, thông qua việc tìm nhiều lời giải cho bài toán giúp cho các em chọn được cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất.
 .Ví dụ 
Bài toán 1 Tính tổng 
Cách 1:
Nên
Cách giải trên phải vận dụng 4 công thức:
Biến đổi tổng thành tích
Công thức nhân đôi
Công thức nhân ba
Công thức hạ bậc
Cách 2:
Suy ra: 
Cách 3:
Nếu thay lượng bằng một lượng khác có được không?cách giải thứ 3
Từ cách giải trên ta có thể phân tích 
Ta có thể đi đến bài toán tổng quát:
Giải bài toán tổng quát bằng cách: nhân cả hai vế với nếu .
Bài toán 2:
Giải phương trình sin4x + cos4x =1. Hầu hết các em suy nghĩ theo hướng hạ bậc và đi đến lời giải:
Cách 1:
Cách 2: 
 sin4x + cos4x = 1 (1)
Nếu cos4x = 0 thì (1) sin4x = 1 sin2x = 1cosx = 0
Nếu sin4x ≠ 0 thì:
Do đó phương trình (1) có nghiệm:
Cách 3: 
 sin4x + cos4x = 1 (1)
Cách 4:
Cách 5: 
 sin4x + cos4x = 1
Từ sin2x + cos2x = 1. Do đó:
Từ cách giải 5 ta có thể khái quát hoá bài toán:
 bằng cách thay cos2x + sin2x = 1
Bài toán 3:
Cho a, b, c>0 Chứng minh : (1)
Cách 1: 
Cách 2: 
Tương tự:
Từ (1) (2) (3) ta có:
Cách 3: 
Đặt , , 
Ta có:
Suy ra:
 Cần chứng minh: 
 Giả sử: 
Ta có:
(mâu thuẫn)
Vậy điều giả sử là sai
Suy ra: 
Cách 4: 
 Ta có:
Vì:
Tương tự:
Từ (1) (2) (3) suy ra: 
Cách 5:
 Đặt : 2x=b+c
	 2y=a+c	
 2z=a+b
	Khi đó: 
(Đúng)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 6 số
Cách 6:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 6 số ta được điều cần chứng minh
Cách 7:
Đặt: 
Ta có: B + C = 3
Lại có áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2A + B + C ≥ 6 2A ≥ 3 hay 
Cách 8:	 
Từ 
Lưu ý: (Đúng)
Cách 9: 
 Không mất tính tổng quát giả sử a+b+c=1 ta có :
suy ra 
Mặt khác : 
vậy 
Cách 10: Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
Tương tự ta cũng có:
suy ra :
Cách 11: Áp dụng bất đẳng thức 
 ta có :
= (1)
lại có ) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: 
Từ bài toán trên ta đi đến bài toán:
 Bài 1: Cho các số dương a, b, c, d
Chứng minh: 
 Bài 2: Cho bốn số dương a,b,c,d
Chứng minh: 
 Bài3: Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f
 Chứng minh:
III.KẾT QUẢ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
 Sau một năm thực hiện trên hai lớp học sinh 12A2, 11A1 là hai lớp có nhiều học sinh khá giỏi kết quả cho thấy:
 	Các em có khả năng tư duy toán học tốt hơn, kỹ năng giải toán của nhiều em được thể hiện rất tốt. Đa số các em tỏ ra say sưa, hứng thú học tập môn toán hơn không khí học tập của lớp sôi nổi hẳn lên, các em học sinh tích cực tìm lời giải các bài toán khó, số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ toán học của nhà trường ngày càng nhiều hơn 
 Kết quả học tập môn toán của tổng số 84 học sinh:
 Loại Giỏi: 50/84 chiếm 59,5%
 Loại Khá: 27/84 chiếm 32,1%
 Loại TB: 7/84 chiếm 832,415%
Trong đó có ba em tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh lớp 11 :
Đạt: 01 giải nhì v à 01giải ba
IV. KẾT LUẬN
	Việc khai thác bài toán từ các dữ kiện đã cho của các bài toán để tìm ra lời giải bài toán có tác dụng rèn luyện các thao tác tư duy, từ đó góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy logíc và tư duy biện chứng, rèn luyện các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, 
	Các thầy cô giáo nên thường xuyên rèn cho học sinh những thói quen cũng như năng lực sử dụng các biện pháp tư duy như tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá,  Từ đó mới phát triển được khả năng độc lập, sáng tạo trong học Toán.
 Muốn vậy trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh, mỗi khi gặp một bài toán hay, chúng ta phải thường xuyên suy nghĩ và cố gắng tìm hiểu, xem xét về nguồn gốc của bài toán đó và mối quan hệ của nó đối với các bài toán xung quanh. Việc chúng ta xem xét các vấn đề một cách nghiêm túc, biết kết hợp hài hoà các thao tác tư duy với các suy luận Toán học hợp lí sẽ thu được những kết quả hay, những bài toán đẹp. Từ đó không những tạo ra được cho mình kho tư liệu quý, có những đề thi, đề kiểm tra hay, phong phú mà con góp phần bồi dưỡng, truyền thụ tính độc lập sáng tạo tới học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mê trong học Toán, từ đó góp phần vào bỗi dưỡng nhân tài cho đất nước.
Trong quá trình thực hiện đề tài, với kinh nghiệm còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những sơ xuất. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
 Xin chân thành cảm ơn!
Định Hoá, tháng 5 năm 2011
 Chử Văn Thuỷ 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa, bài tập toán lớp 11, lớp 12 (Nhà xuất bản Giáo dục ) 
Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán (Nhà xuất bản Giáo dục ) 
Sáng tạo bất đẳng thức (Nhà xuất bản Giáo dục ) 
 Tác giả Thầy giáo Giáo sư Phạm Kim Hùng 
 Báo toán học tuổi trẻ 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG