Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh môn Đại số 8

ìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
 x – 2x + x = 9 
 0x = 7 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.
? Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung: 
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. 
- Thực hiện cách giải như dạng 1. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: 
 (sai ở hạng tử thứ ba)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là: 
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng: 
 Vậy: S = 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
„ Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3) 
 x = 4 
Vậy: S = 
Cách 2: Đặt t = x -1
 (3) 
 x = 4 Vậy: S = 
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4) 
 4x = 2
 x = 0,5
Vậy: S = 
« Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
(4) 
Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4) 
k Phương trình tích 
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x)  = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x)  = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
„ Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x)  = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. 
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0
 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 
 3x = 2 hoặc 4x = – 5
 x = hoặc x = 
Vậy S = 
„ Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
 (3x – 2)(4x + 5) = 0 
* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: 
(6) x2 – x + 2x – 2 = 0 x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6) x2 – x + 2x – 2 = 0
 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
 (x – 1)(x + 2) = 0
	Vậy S = 
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6) x(x – 1) = – 2(x – 1) 
 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
 (x – 1)(x + 2) = 0
	Vậy S = 
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
 (7) –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0
 –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7) (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2 
 (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0
 (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0
Vậy S = 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
ƒ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 8: Giải phương trình (8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(8) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu là không chính xác)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
Vậy S = (kết luận dư nghiệm)
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “”không chính xác
 Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(8) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
Vậy S = 
Giáo viên cần củng cố ở học:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8). 
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phương trình (9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x 2 
(9) 
 1 + 3(x – 2) = 3 – x 
 1 + 3x – 6 = 3 – x 
 4x = 8
 x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm 
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức bằng 0)
 - Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.
- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3; hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình (10) (BT 41c)-SBT-tr10)
Lời giải: ĐKXĐ: x 1 ; x2 + x + 1 > 0
 (10) 
 3x2 + x – 4 = 4x – 4 
 3x2 – 3x = 0
 3x(x – 1) = 0
Vậy S = 
B. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình
Ví dụ 11: Giải phương trình (11) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Hướng dẫn: (11) 
 (học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phương trình (12) (BT 53-Sgk-tr34)
- Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:
Cách 1: (12) 
 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336
 37x = –370
 x = –10
Vậy S = 
- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x + 10 
 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
 cùng bằng một phân thức
x + 2 + 8 = x + 10 
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:
? Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12) 
 x + 10 = 0
 x = –10 Vậy S = 
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1) 
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
2) 
3) 
Hướng dẫn: 2) 
3) 
? Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 
Hướng dẫn: (13) (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0 
 (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
 (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0
 (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0
 (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài toán tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
« Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 
Ví dụ 14: Giải phương trình (14) (BT.31.b/23) 
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3
(14) 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau:
1) Ta có: (14) 
* Ta có bài toán tương tự như sau:
2) 
3) (*)
Hướng dẫn: ; ; 
(*)
? Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x 0
(15) Đặt 
Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0 (y – 1)(y – 2) =0 y = 1 hoặc y = 2
Khi đó x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm) 
 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 x = 1 (nhận)
Vậy S = 
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc mứu trong quá trình giải phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình khác như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,
Biện pháp và kết quả thực hiện
j Biện pháp
Để thực hiện tốt kỹ năng giải phương trình của học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7.
Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân, chia đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm mục đích thực hiện các phép tính ở hai vế của phương trình, đưa phương trình về dạng tích không sai sót.
Khi học về phân thức ở chương II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững các tìm giá trị của ẩn để phân thức chứa mẫu thức được xác định nhằm giúp học sinh tìm được ĐKXĐ của phương trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác. Cần chú ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức chung trước để việc tìm ĐKXĐ của phương trình sẽ tiện hơn và không sót điều kiện. 
Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. 
ù Một số lưu ý khi giải phương trình, học sinh cần nhận xét:
Ü Quan sát đặc điểm của phương trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phương trình từ đó đưa ra cách biến đổi thích hợp.
Ü Nhận dạng phương trình:
Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp từng dạng phương trình đó.
„ Kinh nghiệm trong biến đổi phương trình:
Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích.
Khi biến đổi phương trình nếu nhận thấy hai vế của phương có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
Khi khử mẫu hai vế của phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ quả của phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phương trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ,  cho thích hợp.
k Kết quả 
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà. 
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thông kê, đánh giá qua hai lớp 81, 83 ở năm học 2009 – 2010 như sau: 
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát 
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp)
63
27
42,85%
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, ...
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1)
63
40
63,49%
* Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm được các dạng phương trình, kỹ năng biến đổi hợp lý, việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý. 
Lần 2: Kết quả khảo sát (kiểm tra 1 tiết)
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2)
63
58
92,06%
* Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phương trình, vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm của phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
á Tóm lại: 
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm của từng cách giải cho các dạng phương trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm chắc về cách giải phương trình, vận dụng và rèn luyện kỹ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập về phương trình được sắp xếp theo các mức độ nhận thức của học sinh. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C/. KẾT LUẬN
± Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
ù Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các bước giải phương trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo khoa. 
ù Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong việc vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. 
ù Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp giải cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải phương trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
ù Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.
± Hướng phổ biến áp dụng
Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho những đơn vị trường cùng loại hình. 
± Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp giải khác, phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào các bài toán thực tế.