Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình và bất phương trình trong việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số

ề tài:
 Phương trình và bất phương trình là một trong những cụm kiến thức cơ bản xuyên suốt trong quá trình giải toán của học sinh ở bậc trung học. Đặc biệt đối với các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, nó đòi hỏi học sinh phải xác định điều kiện của tham số thoả mãn điều kiện nào đó của ẩn số. Tôi nhận thấy rằng đối với các bài toán này đại đa số học sinh thường lúng túng trong phương pháp giải, lời giải dài dòng, không lôgích và thường dễ bị thiếu sót hoặc sai lầm trong quá trình giải.
 Qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi thấy rằng để giúp cho các em học sinh có một định hướng và hệ thống hoá một số phương pháp giải làm công cụ cho việc giải quyết các bài toán trên đồng thời tạo điều kiện để đồng nghiệp có một tư liệu để tham khảo trong quá trình giảng dạy đó là phương trình và bất phương trình trong việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số. Sở dĩ tôi muốn đề cập đến vấn đề này vì đây là một công cụ giúp cho học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán trên, và đây cũng là một vấn đề mà học sinh chưa được cung cấp một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông.
 Đó chính là lý do mà tôi chọn đề tài này.
II. Phạm vi nghiên cứu, đối tượng và cơ sở nghiên cứu: 
 1/ Phạm vi nghiên cứu: 
 Đề tài này nghiên cứu đến các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, nó đòi hỏi học sinh phải xác định điều kiện của tham số khi phương trình và bất phương trình đã cho với điều kiện nào đó của ẩn. 
 2/ Đối tượng nghiên cứu: 
 Học sinh lớp 12 đã giảng dạy trong các năm qua.
 3/ Cơ sở nghiên cứu:
 Trường THPT Chuyên KonTum.
III. Phương pháp nghiên cứu:
 1/ Phương pháp chính: 
 - Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa.
 - Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
 2/ Phương pháp bổ trợ: 
 - Điều tra kết qủa học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài.
B/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: 
I/ Thực trạng của vấn đề:
 Như đã đề cập ở trên, ở đây tôi xin đề cập đến một vài bài toán với cách giải mà học sinh thường làm để từ đó thấy được thực trạng và những hạn chế của học sinh khi giải quyết các bài toán phương trình và bất phương trình có chứa tham số.
+Bài toán1: 
 Định m để phương trình 4x – m.2x +1 + 3 – 2m = 0 (1) cĩ đúng một nghiệm thuộc khoảng .
 Trong bài tốn nầy học sinh thường giải như sau:
Ta cĩ: (1) (2x)2– 2m.2x + 3 – 2m = 0 Đặt t = 2x . Vì 0< x <1 1 < t < 2
Khi đó (1) f(t) = t2 - 2mt + 3 – 2m = 0 (2)
 (1) có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (2) có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng 
 (t1; t2 là 2 nghiệm của f(t) )
 Đến đây học sinh vận dụng các tính chất so sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai để suy ra điều kiện của m là: 
 Việc giải như trên phần lớn học sinh không xác định đấy đủ và đúng các điều kiện để (a) ; (b) ; (c) xảy ra. Lời giải dài dòng và thường dẫn đến kết quả sai.
+Bài toán 2: 
Định m để phương trình sau có nghiệm:x4 – mx3 + (m + 2)x2 – mx + 1 = 0 (1)
 Từ (1) . Chia hai vế của (1) cho x2 khi đó:
 Đặt t = 
 (1) t2 – mt + m = 0 (2)
 Vậy: phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t thoả 
 Đến đây học sinh thường giải theo các hướng sau:
 + Cách 1: Xét các trường hợp phương trình (2) có nghiệm t thoả . Dùng tính chất so sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai.
 Cách giải này xảy ra nhiều trường hợp về nghiệm. Vì vậy cách giải này quá dài dòng.
 + Cách 2: Giải bài toán ngược. Tức là định m để phương trình (2) có hai nghiệm thuộc khoảng (- 2; 2) , từ đó suy ra điều kiện của m để phương (2) có nghiệm t thoả là : 
+Bài toán 3: Định a để bất phương trình x2 - 4 + 3 – a < 0 (1) có nghiệm.
 Trong bài toán này học sinh thường giải như sau:
 Ta có (1) 
 Bất phương trình (1) có nghiệm Hệ (I) hay (II) có nghiệm.
Từ đó ta được điều kiện của a là: a > - 1.
 Trong bài toán này với cách giải thông thường thì phải đòi hỏi đến kỹ năng biện luận các khả năng xảy ra để hệ có nghiệm, như thế lời giải dài dòng và thường dẫn đến kết quả sai.
 Qua các bài toán đã đề xuất và với các cách giải mà học sinh thường giải như đã nêu cho ta thấy được thực trạng của học sinh khi giải quyết các bài toán trên. 
II/ Các biện pháp đề xuất:
 Trước khi đề cập đến các vấn đề ta cần thấy được mối quan hệ giữa tập giá trị của hàm số, đồ thị của hàm số và bảng biến thiên của hàm số.
 Từ bảng biến thiên của hàm số ta được : 
 Chiều biến thiên của hàm số (biễu diễn bởi các mũi tên) minh họa cho ta hình ảnh
đồ thị của hàm số, đồng thời qua bảng biến thiên của hàm số cho ta xác định được tập
giá trị của hàm số. Như vậy khi dùng đến tập giá trị của hàm số, đồ thị của hàm số ta
có thể vận dụng đến bảng biến thiên của hàm số.
1/ Biện pháp 1: 
Vận dụng tập giá trị của hàm số
+ Vấn đề 1: Cho phương trình f(x) = m . Phương trình có nghiệm trong khoảng K khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số f(x) trong khoảng K.
 Ví dụ 1: Xác định m để phương trình sau có nghiệm
 x4 – 2x2 – 3 – m = 0 (1 )
 Giải
 	Ta có (1 ) m = x4 – 2x2 – 3
 	Xét hàm số f(x) = x4 – 2x2 – 3
 	Tập xác định D = R
 f/(x) = 4x(x2 – 1 ) ; f/(x) = 0 
 Bảng biến thiên:
x
- - 1 0 1 +
f/(x)
 - 0 + 0 - 0 +
f(x)
+ -3 + 
 - 4 - 4 
 Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của hàm số f(x) là T = 
	 Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi m T
 Tức là : m - 4
 *Nh?n xét:
 Trong bài toán nầy nếu giải theo cách giải thông thường, tức là :
 Đặt t = x2 (t 0 ). Phương trình (1) trở thành t2 – 2t – 3 – m = 0 
 Khi đó: Phương trình (1) Phương trình (2) có nghiệm t 0
 Việc giải bài toán nầy trở nên dài dòng.
 Ví dụ 2: Định a để phương trình sau có nghiệm
 Sin6x + cos6x = a (1 )
 Giải
 	Đặt t = 
 	Khi đó (2 ) 3t2 + 4at – 4 = 0 (3 )
 	Từ (3 ) ta thấy t. Do đó (3 )a = 
 	Vậy phương trình (1) có nghiệm Phương trình (3) có nghiệm t 
 	Xét hàm số f(t) = với t 
 	f/(t) = - 
 	Bảng biến thiên:
x
0 1
f/(t)
 – 
f(t)
+
 Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T = 
 	Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi a . 
 *Nhận xét:
 Trong bài toán nầy nếu giải với cách giải thông thường đó là : 
 Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm 
 Việc giải bài toán nầy như trên trở nên dài dòng.
 Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm.
 x4 – (m – 1 )x3 + 3x2 – (m – 1 )x + 1 = 0 (1 )
 Giải
	Từ phương trình (1 ) x0
 	Chia hai vế của (1 ) cho x20
	Khi đó (1 ) x2 – (m – 1 )x + 3 – (m – 1 ) 
 x2+ 
 	Đặt t = x + 
 	Vậy (1 ) t2 – (m – 1 )t + 1 = 0 (2 )
 	 Từ (2 ) ta thấy t 0 . Do đó (2 ) m = 
 	Vậy: phương trình (1 ) có nghiệm phương trình (2 ) có nghiệm t thỏa 
 Ta xét hàm số f(t ) = 
 	f/(t ) = > 0 
 	Bảng biến thiên
t
- - 2 2 +
f/(t )
f(t )
 - +
- 
 	Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là: T = 
 	Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi : m - hay m 
 *Nhận xét:
 - Trong bài toán nầy nếu ta rút m ngay từ đầu thì hàm số cần xét có dạng phức tạp.
 - Nếu giải theo cách giải thông thường, tức là : 
 Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t thỏa 
 Giải theo cách nầy thì có nhiều khả năng xảy ra đối với t .Khi đó việc giải trở nên dài dòng và phức tạp . Học sinh thường giải thiếu trường hợp và dẫn đến kết quả sai. 
 + Vấn đề 2: 
 Nếu ; 
 + f(x) c 
 + 
 + f(x) c ( c: hằng số)
 + 
 Ta chú ý thêm: 
 +Nếu f(x) > c thì :
 *) f(x) > m nghiệm đúng khi mc
 *) f(x) > m nghiệm đúng khi mc
 +Nếu f(x) < c thì :
 *) f(x) < m nghiệm đúng khi mc ( c: hằng số; m: tham số )
 *) f(x) < m nghiệm đúng khi mc
 Kiến thức trên được vận dụng trong việc giải các bài toán xác định điều kiện của tham số sao cho bất phương trình có nghiệm thuộc tập D hoặc bất phương trình nghiệm đúng. 
 Ta xét một số ví dụ minh họa cho vấn đề nầy.
Ví dụ 1: Định m để bất phương trình sau có nghiệm 
 Giải 
 Ta có (1 ) 
 Ta xét hàm số f(x) = 
 f(x ) có tập xác định : D = 
 f/(x ) = 
	Bảng biến thiên:
 x
1 +
f/(x )
 - 
 f(x )
1
 0
 Từ bảng biến thiên ta có : 0 < 
 Vậy (1 ) có nghiệm khi: m< 1.
 *Nhận xét:
+Trong bài toán nầy nếu điều kiện của bài toán đặt ra là định m bất phương trình 	nghiệm đúng , khi đó điều kiện của m là: m .
+Cần chú ý tìm đúng các giới hạn trong bảng biến thiên.
 Ví du 2: Định a bất phương trình sau có nghiệm.
 (1 ) 
 Giải
 Điều kiện: - 1
 Đặt : 
 Khi đó (1)t2 + 2t – 2a – 9 0 (2 )
 a 
 Xét hàm số f(t ) = với 
 f/(t ) = t + 1 > 0 
 Bảng biến thiên:
 t
3 3
f/(t )
 +
f(t )
3
 Vậy f(t ) có tập giá trị T = 
Bất phương trình (1 ) có nghiệm (2) có nghiệm thuộc đoạn 
 sao cho (3 ) đúng
 *Nhận xét:
 +Trong ví dụ nầy nếu ta thay đề bài bởi xác định a để bất phương trình (1 ) nghiệm đúng . Khi đó bài toán trở thành xác định a để (2 ) đúng , khi đó a
 + Để giải đúng bài toán nầy ta cần xác định đúng điều kiện của t. 
 + Nếu giải theo cách giải thông thường, tức là:
 Bất phương trình (1) có nghiệm Bất phương trình (2) có nghiệm 
 Giải theo cách nầy thì bài toán trở nên phức tạp.
Ví dụ 3: Định a bất phương trình sau nghiệm đúng .
 a.4x + (a – 1 ).2x+ 2 + a – 1 > 0 (1 )
 Giải
 Đặt t = 2x (t > 0). Khi đó:
 (1 ) at2 + 4(a – 1 )t + a – 1 > 0 (*)
 a(t2 + 4t + 1 ) > 1+ 4t (2 )
 Vì t2 + 4t + 1 > 0 
 Nên (2 ) a> 
 Xét hàm số f(t ) = 
 f/(t ) = 
 Bảng biến thiên:
 t
0 +
f/(t )
 - 
f(t )
1 
 0
Vậy f(t ) có tập giá trị là: T = 
 Do đó: (1 ) đúng (3 ) đúng 
 a 1
 *Nhận xét:
 + Trong kết quả a 1 ta cần chú ý cho học sinh vì sao dấu “ = ” có xảy ra.
 + Bài toán nầy nếu giải theo cách giải như sau:
 Bất phương trình (1) nghiệm đúng Bất phương trình (*) nghiệm đúng . Dùng kiến thức so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai, khi đó phải xét 3 trường hợp của a đó là: a > 0; a= 0; a > 0 . Giải theo cách nầy thì lời giải dài dòng.
 Ví dụ 4: Tìm các giá trị của a để sau có nghiệm (x ; y ) thoả mãn điều kiện x.
 Hướng dẫn 
 Điều kiện: x
 Đặt 
 Hệ được viết thành:
-Xét hàm số f(v ) = trên .Tìm được tập giá trị của f(v) trên là T = 
- Hệ đã cho có nghiệm (1 ) có nghiệm.
 *Nhận xét:
 + Trong cách giải nầy ta phải xác định đúng điều kiện của v. Nếu điều kiện sai thì tập xác định của v sai , khi đó kết quả bài toán sai. 
 + Tìm đúng tập giá trị của hàm số.
 +Trong bài toán nầy nếu thay đề bài bởi:Tìm các giá trị của a để sau nghiệm đúng với mọi (x ; y ) thoả mãn điều kiện x.Khi đó điều kiện của a là a 
 Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm .
 Hướng dẫn 
 Hệ đã cho được viết như sau:
+ Ta định m để (1) có nghiệm thuộc ; định m để (2) có nghiêm thuộc 
+ Hợp hai kết quả ta được: - 16 m 
 * Bài tập áp dụng:
Bài 1: Định m để các phương trình sau có nghiệm : 
a) . = 
b) 
c) 
Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm 
 + 
Bài 3: Với giá trị nào của m thì các bất phương trình sau có nghiệm:
a) - 
 b) 
 c) 
Bài 4: Với giá trị nào của m thì các bất phương trình sau nghiệm đúng .
a) 
b) 22 + cos2x + 
Bài 5: Định a để bất phương trình có tập nghiệm chứa đoạn 
2. Biện pháp 2: 
Vận dụng đồ thị của hàm số
 Ta biết rằng:
 + f(x) < g(x) khi và chỉ khi trên đoạn đồ thị của hàm số f(x) nằm phía dưới đồ thị của hàm số g(x).
 Ta lưu ý: f(x) g(x) khi và chỉ khi trên đoạn đồ thị của hàm số f(x) nằm phía dưới đồ thị của hàm số g(x) và dấu “ =” xảy ra tại các hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) trên đoạn .
 Ta vận dụng kiến thức trên trong việc xác định điều kiện của tham số để một phương trình , bất phương trình có nghiệm hoặc xác định sốáù nghiệm số của một phương trình , bất phương trình.
 Ta xét một số ví dụ minh họa trong việc vận dụng đồ thị. 
Ví dụ 1: Định a để bất phương trình sau có nghiệm.
 x2 - 4 + 3 – a < 0 (1 ) 
 Giải
 Tacó:(1)x2-4+3<a (2) Ta xét hai đồ thị:
 (C ): y = x2 - 4 + 3 
 (D): y = a
 Bất phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 
 Có phần đồ thị của (C) ở phía dưới đồ thị (D)
 Trên đồ thị ta thấy điều kiện trên xảy ra khi a > 1
 3 (D) 
 a
-3 -2 0 2 3 x 
 -1
 y 
 x
*Nhận xét:
 +Bài toán nầy nếu giải như sau:
 Đặt t = (t 0).Khi đó bài toán trở thành:
 Bất phương trình (1) có nghiệm Bất phương trình (2) có nghiệm t 0
 Giải theo cách giải thông thường để (2) có nghiệm t 0 thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp.
 Ví dụ 2: Định a để bất phương trình sau có nghiệm x > 0.
	 x2 + 2x – 3 – a < 0 (1)
 Giải
 Ta có : (1 ) x2 + 2x – 3 < a (2)
 Ta xét hai đồ thị :
 (P ): y = x2 + 2x – 3
 (D ): y = a
Bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi có phần của đồ thị (P ) với x > 0 ở dưới đồ thị (D) (3) 
Từ đồ thị ta thấy: (3) xảy ra khi a > -3 .
 y (P)
 -3 -1 0 1 x 
 a (D)
 -3
 -4
*Nhận xét:
 + Với cách giải nầy thì lời giải ngắn gọn.
 + Chú ý học sinh tìm điều kiện của a dựa trên đồ thị.
 + Giải theo cách giải thông thường, tức là:
 Định a để tập nghiệm của (1) có nghiệm x >0 .Việc xác định a như thế nầy không dễ dàng đối với học sinh.
Ví dụ3: Tìm các giá trị của a để bất phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm.
 x2 + - 3 < 0 (1) 
 Giải 
 Ta có : (1 ) < 3 – x2
 -3 + x2 
 < x – a < 3- x2 
Bài toán đã cho qui về bài toán : Tìm a để hệ sau có nghiệm.
 Ta xét các đồ thị của các hàm số.
 (P1 ): y = x2 + x – 3 
 (P2): y = - x2 + x + 3
 (D ): y = a
 Dựa vào đồ thị ta thấy:
 y
 3 (P1)
 a (D) 
 -0 x
 (P2)
 -3
 - 
 - 
Vậy bất phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm khi 
 *Nhận xét:
 + Với cách giải nầy thì lời giải ngắn gọn.
 + Ta cần chú ý học sinh tìm điều kiện của a để thỏa (*)
 + Với cách giải thông thường đó là định a để (1) có ít nhất một nghiệm âm đó là một bài toán phức tạp. 
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiêm.
 Giải 
Xét các đồ thị của các hàm số.
 (C): y = 
 (D): y = m(x – 1 ) + 2
Để ý rằng (D) là một đường thẳng luôn đi qua điểm A(1; 2)và có hệ số góc là m.
Từ đồ thị ta thấy: luôn luôn có phần của đồ thị (C) ở dưới đồ thị (D).
 Vậy bất phương trình đã luôn luôn có nghiệm .
 y 
 (C) (D ) 
 3 
 2 A
 1
 x 
 0 1 2 3 4 
*Nhận xét:
 +Đây là một bài toán nếu dùng phương pháp thông thường thì khó giải giải quyết.
 +Giải theo cách đã nêu ta cần chú ý đến đặc điểm của đường thẳng (D), đó là đường thẳng di động luôn luôn đi qua điểm cố định A(1; 2).Thấy được luôn luôn có phần của đồ thị (C) ở dưới đồ thị (D).
 Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau có nghiệm.
 mx – 3 (1 )
 Giải
 Đặt f(x ) = 
 f(x ) có tập xác định D = 
 Bảng biến thiên:
x
0 2 4
f/(x )
 0 
f(x )
 2
0 0
 Từ bảng biến thiên ta có đồ thị (C) của hàm f(x) trên hình vẽ.
Ta chú ý rằng đồ thị hàm số g(x) = mx – 3 là đường thẳng (D) có hệ số góc m và quay quanh điểm cố định A(0; - 3 ).
 Mặt khác: B(4; 0) (D ) 0 = 4m – 3
 m = 
 Vậy: bất phương trình (1 ) có nghiệm 
 Dựa vào đồ thị của (C) và (D) ta có giá trị của m cần tìm là: m
 y 
 (D)
 2
 (C) 
 B x
 2 4 
 - 3
 A 
*Nhận xét:
 + Bài toán nầy nếu không dùng phương pháp đã nêu thì giải quyết bài toán không dễ dàng.
 + Giải theo cách trên thì lời giải ngắn gọn. Ta cần chú ý đến đặc điểm của đường thẳng (D) và tìm điều kiện của m để .
 Ví dụ 6: Biện luận theo m số nghiệm số của phương trình :
 x + 3 = m (1)
 Giải
 Ta có : (1 )m = 
 Xét hàm số f(x) = 
 f(x ) có tập xác định D = R
 f/(x ) = ; f/(x ) = 0 x = 
 Bảng biến thiên: 
 x
- +
 f/(x )
 + 0 -
 f(x )
-1 1
 Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
 (C): y = ; (D) : y = m
 Từ chiều biến thiên của hàm số ta thấy được hình dạng của đồ thị hàm số.
 Vì vậy ta có kết quả như sau:
 + m -1 hay m : phương trình vô nghiệm.
 + 1 < m < : phương trình có hai nghiệm.
 + m = 10 : phương trình có một nghiệm kép.
 + -1 < m 1 : phương trình có một nghiệm.
 *Nhận xét:
 Trong bài toán ta cần chú ý các điểm sau:
 - Tìm đúng các giới hạn của hàm số khi x.
 - Khi m = 1 thì (C) và (D) không có điểm chung ( vì -1 là giá trị giới hạn của hàm số f(x) khi x ).
 - Khi m = -1 thì (C) và (D) chỉ có một điểm chung ( vì 1 là giá giới hạn của hàm số f(x) khi x ).
 - Bài toán nầy nếu giải bằng phương pháp thông thường thì rất là phức tạp, giải quyết bài toán khó khăn.
 Ví dụ 7: Tìm a sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 Giải
 Ta có : (1) 
 Ta xét hàm số f(x) = 
 f/(x) = 
 f/(x) = 0 x = 
 Bảng biến thiên: 
 x
- 2 +
 f/(x)
 - 0 + + +
f(x)
+ +
 Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
 (C): y = f(x) = 
 (D): y = a
Từ chiều biến thiên của ta có được hình dạng đồ thị của hàm số f(x); (D) là một đường thẳng di động cùng phương trục hoành. 
 Do đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi (C) và (D) có một điểm chung duy nhất. Khi đó a =
 *Nhận xét:
 Trong bài toán nầy ta cần chú ý các điểm sau:
 - Xét dấu đạo hàm đúng ( dấu của đạo là dấu của hai biểu thức).
 - Tìm đúng các giới hạn của f(x ) khi x . Vì nếu tìm giới hạn sai thì kết quả tìm được của a sẽ sai. 
 *Bài tập áp dụng:
 Bài1: Với giá trị nào của m thì phương trình x3 + mx2 – 1 = 0
Luôn luôn có nghiệm dương.
Có một nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm điều kiện của a để các phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a) 
 b) ax2 – 2(a – 1 )x + 2 = 
 Bài 3: Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
 x4 – 4x3 + 8x – a = 0
 Bài 4: Tìm các giá trị của h sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt: x4 + hx3 + x2 + hx + 1 = 0
 Bài 5: Biện luận theo m số nghiệm số của phương trình:
III. Phân tích đối chiếu so sánh các tác dụng của các biện pháp:
 Qua các biện pháp đã đề xuất trong việc giải quyết một số bài toán về phương trình và bất phương trình với việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số, tôi nhận thấy rằng :
 - Rèn được cho học sinh kỹ năng xác định tham số, biện luận số nghiệm số của một phương trình trong một số bài toán về phương trình và bất phương trình.
 - Biện pháp này có thể giải quyết được đối với một số phương trình và bất phương trình có dạng phức tạp, nếu dùng phương pháp thông thường thì có khi không giải được hoặc nếu được thì lời giải dài dòng.
 - Dùng các phương pháp này thì lời giải ngắn gọn, kết quả với độ chính xác cao giải quyết nhanh chóng các yêu cầu đề ra của bài toán. Trong khi đó nếu dùng phương pháp thông thường thì lời giải dài dòng học sinh thường không xác định đầy đủ các điều kiện và các khả năng xảy ra của bài toán và thường dẫn đến kết quả sai.
 - Học sinh thấy được mối quan hệ giữa ba công cụ đó là bảng biến thiên, tập giá trị và đồ thị của hàm số. Qua đó học sinh thấy được công cụ hàm số trong việc giải toán.
 - Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng nếu học sinh vận dụng các biện pháp này trong giải toán thì tiết kiệm được thời gian và đạt hiệu quả cao trong quá trình giải các bài toán trên. 
+ Kết quả đạt được : 
 Loại
Tốt
Khá
TB
Yếu
Kém
Không áp dụng biện pháp
5%
25%
25%
30%
15%
Có áp dụng biện pháp
17%
35%
25%
18%
5%
C. Kết luận và đề xuất:
I./ Kết luận:
 Qua giảng dạy tôi nhận thấy rằng với việc vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số trong việc xác định điều kiện của tham số trong các phương trình và bất phương trình mà đề tài đã đề cập đến đạt được các hiệu quả như sau:
- Nội dung của đề tài thiết thực đối với học sinh 12 trong quá trình giải toán và chuẩn bị tốt kiến thức cho việc ôn thi vào đại học.
- Đã hệ thống hoá và trang bị cho học sinh được phương pháp vận dụng tập giá trị và đồ thị của hàm số trong giải toán.
- Rèn được kỹ năng xác định tham số trong các bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa tham số.
- Với phương pháp này nếu vận dụng hợp lý thì đạt được hiệu quả cao trong giải toán.
- Tư liệu này góp phần thiết thực cho các đồng nghiệp tham khảo để phục vụ trong giảng dạy và học sinh ngiên cứu trong học tập.
II. Đề xuất: 
- Giáo viên có thể lồng ghép các phương pháp trên một cách có hệ thống và hoàn chỉnh trong giảng dạy nhằm giúp cho các em học sinh có môt công cụ hữu hiệu trong giải toán.
- Học sinh phải biết vận dụng linh hoạt và hợp lý các phương pháp trên trong quá trình giải toán. Qua đó được trang bị thêm vốn kiến thức phục vụ tốt cho việc giải toán./.
 KonTum, ngày 25 tháng 04 năm 2008
 Người viết
 Nguyễn Hữu Đôn