Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai

ương trình (2') có hai nghiệm âm.
Phương trình (2') vô nghệm khi '<0
hay m2 - m - 2 < 0(m+1)(m-2)<0
Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất (m+1) và (m-2) nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b	(a0)
Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2)< 0 là -1<m<2
Vậy phương trình (2') vô nghiệm khi 	-1<m <2
Phương trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi
	m2- m- 2
	hay	-(m-3) > 0 
	2(m-1) < 0
Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phương trình m2 m- 2 cho nghiệm 
 hoặc 
Bảng xét dấu:
m
- -1 2 
m+1
 - 0 + 1 +
m-2
 - 1 - 0 +
(m+1)(m-2)
 + 0 - 0 +
Vậy hệ trên tương đương với: 	m	 hoặc	m
 	m<3
m<1
Kết hợp các điều kiện này ta được: m -1
Vậy phương trình (2') có hai nghiệm cùng âm khi m -1
Tóm lại: Phương trình (2) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m -1.
 c)Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của phương trình trùng phương:
ax4+bx2+c=0	(a) ta có nhận xét
+ Phương trình vô nghiệm khi:
	*) Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (<0)
	*) Hoặc phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm
sảy ra khi: 
+ Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi:
*) Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dương
Xảy ra khi: 
*) Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dương, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi 
+ Phương trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x = 0)
Xảy ra khi at2+bt+c = 0 có hai nghiệm t1= 0; t2=
Muốn vậy ta phải có: c = 0
Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là: x=0; x=
+ Phương trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t =0 (xảy ra khi b= c = 0) thì phương trình có nghiệm x= 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì trong đó phải có nghiệm số kép.
2- Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c
Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số.
 a) Cách giải:
	Ta biến đổi t = x + 	tức là: 	x+a = t + 
	x+b =t - 
Phương trình đã cho trở thành
2t4 +12
(Đây là phương trình trùng phương ẩn t; ta đã biết cách giải)
b) Ví dụ: 
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 	(*)
Giải:
Đặt t =
Khi đó: x + 3 = t - 1
 	x + 5 = t + 1
Phương trình (*) có dạng: (t-1)4+(t+1)4=2
Phương trình t4 + 6t2 = 0 có nghiệm kép t = 0
Ta có: x + 4 = t
	x + 4 = 0
	x = - 4
Vậy phương trình (*) có nghiệm kép x = - 4
Ví dụ 2: 	Giải phương trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 (**)
Giải
Đặt t=x +
 x + 6 = t + 5
 x – 4 = t – 5
Phương trình (**) có dạng: (t+5)4 + (t-5)4= 82
	2t4 + 300t2 + 1250 = 82
	t4 + 150t2 + 584 = 0	(***)
Giải phương trình (***)
Đặt t2 = v Thay vào phương trình (***) ta có:
	v2 + 150v + 584 = 0
Ta có v1 = - 75+71=- 4 Không thoả mãn điều kiện v
	v2 =-75 -71 =-146 Không thoả mãn điều kiện v
Vậy phương trình (***) vô nghiệm phương trình (**) vô nghiệm.
c) Nhận xét:
Bằng phép đổi biến t = x+ ta đưa được phương trình (x+a)4+(x+b)4=c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát: t4+Bt2 + C = 0
Qua phép biến đổi t2 = X (với x) Ta đưa được phương trình về một phương trình bậc hai trung gian:
X2 + BX + C=0
Số nghiệm của phương trình (x+a)4+(x+b)4= c phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian X2+BX + C = 0
*) Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình trùng phương t4 +Bt +C = 0 vô nghiệm và do đó phương trình đã cho ban đầu vô nghiệm.
*) Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 thì phương trình đã cho ban đầu có nghiệm:
x = t0- ở đó 	t0=
t0 = -
Lưu ý rằng số nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình trùng phương và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian.
	Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X2+BX+C = 0
+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đã cho ban đầu vô nghiệm.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm thì phương trình đã cho ban đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt) thì phương trình đã cho ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 thì phương trình đầu có 3 nghiệm
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì phương trình đã cho ban đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
3- Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m.
	Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng nhau, chẳng hạn: a+d = b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Các tích khai triển có dạng:
x2+(a+d)x+ad hoặc x2+(b+c)x+bc
Do a+d = b+c nên ta đặt 	x2+(a+d)x+k =t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý). Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng:
At2+Bt +C =0	( Với A=1)
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của t (khi phương trình có nghiệm). Giải tiếp phương trình: x2+(a+d)x+ad=t ta sẽ có kết luận về nghiệm của phương trình ban đầu.
Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đương nhiên phương trình ban đầu vô nghiệm.
b)Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(x+4)(x+5)(x +7)(x+8)=4	 (1)
Giải:
Nhận xét: Ta thấy 4 +8=5 +7=12
Ta biến đổi phương trình 	(1)
	(*)
Đặt x2+12x+32=t	x2+12x+35 = t+3
Thay vào (*) ta có: t(t+3)=4	hay	t2+3t-4=0	(2)
Phương trình (2) có nghiệm t1=1; t2=- 4	(Vì a+b+c = 0)
+ Với t =1 Ta có x2+12x+32 =1	hay	x2+12x+31=0
	 x1=-6 +;	x2=- 6-;
+ Với t =- 4 Ta có x2+12x+32=-4	hay	x2+12x+36 =0
	Phương trình có nghiệm kép	x3,4=-6
Vậy phương trình ban đầu có tập hợp nghiệm là: S = 
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19	(3)
Giải:
Ta thấy 1+ 4 =7- 2 =5
Ta biến đổi phương trình (3) ta được:
	(**)
Đặt x2+5x-14 = t	x2+5x+4 = t +18
Thay vào phương trình (**) có: t(18+t) =19
	t2+18-19=0
Do 1+19-19 = 0 nên t1=1;	 t2=-19
+) Với t =1 thay vào x2+5x-14 = t
Ta có x2+5x- 15 = 0
Ta có 
Vậy x1= 	x1= 
+) Với t=-19 Thay vào x2+5x-14=t
ta có x2+5x-14=-19
Ta có 
Vậy	x3=	x3=
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình(3) là:
S=
c) Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương trình bậc 4 đầy đủ ta sẽ gặp khó khăn khi giải. Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai trung gian.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình ban đầu vô nghiệm.
+ Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được giá trị ta trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phương trình này (nếu có) là nghiệm của phương trình đầu.
4- Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 
Với ad = bc
a) Cách giải: 
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c); Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình; Ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 . Đặt y = đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn số. Giải phương trình bậc hai vừa tìm được, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho.
b)Ví dụ:
Giải phương trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x2 (1)
Ta có: 2.12 =3.8 = 24. Phương trình đã cho tương đương với phương 
trình: [(x+2) (x+12)] [(x+3)(x+8)] = 4x2 
Û (x2 +14x+24) (x2 +11x+24) = 4x2 . Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình; Ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương trình: ()() = 4. Đặt y = ta được phương trình: 
 y2 + 25y +150 = 0 (1'). Phương trình (1') có 2 nghiệm là y1= - 15; y2= -10
Giải các phương trình: = -15 và = -10 ta được các nghiệm là:
x1 = ; x2 = ; x2= -6 ; x4 = 4. Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm là: x1 = ; x2 = ; x2= -6 ; x4 = 4.
5- Phương trình hồi qui:
a/ Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 +dx+e = 0	(1)
Trong đó x là ẩn số, a; b; c; d; e là hệ số; a và với e0
Khi 	hay	e = a	thì d = thì phương trình (1) có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 bx +a=0
b/ Cách giải
+ Vì e nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được phương trình tương đương
ax2+ bx + c +	(2)
Nhóm	
Hay	a
Đổi biến:	x+	(do )
Nên 	x
Ta có phương trình: 	a	
Ta được phương trình trung gian: at2+bt+c=0
Giải phương trình at2+ bt +c = 0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải phương trình x+) Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình (1)
c) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x4+3x3-16x2+3x+2 = 0	(*)
Giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*) nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương:
2x3+3x-16+
Suy ra	 	(**)
Đặt x	thì 	
Phương trình (*) trở thành	2
Giải phương trình:	
Ta được	
+) Với t=- 4 ta có x+	(x)
Giải phương trình	
Ta được:	x1=-2+	x2=-2-	(Thoả mãn x)
+)Với	ta có	(x)
Giải phương trình	
Ta được: 	(Thoả mãn x)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (*) là:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2x4-12x3+74x2-105x+50=0	(***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình	(***) cho x2 ta được
Đặt	thì	
Phương trình (****) trở thành:	
Giải phương trình:	2t2-21t +54 = 0 ta được: t1=6;	t2=4,5
+) Với t=6 ta có	x+	(x)
Giải phương trình 	 ta có: x1=1;	x2= 5 thoả mãn (x)
	Với t=4,5 Ta có	x+	(x)
Giải phương trình	x ta có: x3 =2; x4 = 2,5	(thoả mãn x)
Vậy phương trình (***) có 4 nghiệm:
	S=
d) Nhận xét:
	+ Giải phương trình dạng trên, bằng phép biến đổi tương đương và đổi biến đưa về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phương trình đã cho ban đầu.
	+ Về số nghiệm của phương trình:
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đã cho ban đầu vô nghiệm.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhưng các phương trình ; vô nghiệm phương trình đã cho ban đầu cũng vô
 nghiệm.
- Nếu các phương trình ; có bao nhiêu nghiệm thì 
phương trình đã cho ban đầu có bấy nhiêu nghiệm.
6- Phương trình dạng: 	(1)
Trong đó ; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình.
a/Cách giải:
- Tìm tập xác định của phương trình bằng phép đổi biến f(x) =t
- Đưa phương trình về dạng: at2+ bt + c = 0	(2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp phương trình f(x)=t0	(*)
- Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện) là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:	x6- 9x3+8=0	(1)
Giải:	Đặt x3= y: (1) trở thành y2-9y+8=0 với nghiệm số y1=1 và y2=8. Từ đó ta có hai phương trình: x3=1 và x3=8
Suy ra (1) có hai nghiệm x1=1; x2=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x4+6x3+5x2-12x+3=0	(2)
Giải:
TXĐ: 
Biến đổi vế trái: VT = x4+6x3+5x2-12x+3
	 VT = x4+6x3+9x2-12x+3	
	 VT = (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3
Phương trình (2) trở thành: (x2+3x)2-4(x2+3x)+3= 0
Đặt x2+3x=t
Thay vào (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3=0
Ta có phương trình bậc hai trung gian: t2- 4t+3=0
Do 1- 4+3 =0	 t1=1;	t2=3
Trả biến:
	+) Với t=1 thì x2+3x =1 x2+3x-1=0
	Giải ra ta được: x1,2=
	+) Với t =3 thì x2 +3x=3 x2+3x-3=0
	Giải ra ta được: x3,4=
Vậy tâp hợp nghiệm của phương trình (2) là: 
	S = (vì đều thoả mãn điều kiện)
Ví dụ 3: Giải phương trình:
	(3)
Giải:
TXĐ:	
Thêm vào 2 vế của (3) biểu thức: 	
Ta được phương trình tương đương:
Hay	
	(3')
Đặt ẩn phụ:	
Thay vào phương trình (3') ta có	
Giải phương trình:	
Ta được	t1=	t2=
+) Với t =	ta có	
Phương trình này vô nghiệm.
	+) Với 	ta có	
Giải phương trình	
Ta được x1=1; x2=- 4 (thuộc TXĐ)
Vậy phương trình (3) có tập hợp nghiệm là: S = 1;	-4
7- Phương trình đối xứng
a/ Phương trình đối xứng bậc chẵn:
	Phương trình có dạng: a2nx2n + a2n-1x2n-1+....+ a1x + a0= 0 (*)
Trong đó x là ẩn số; a2n = a0 ạ 0; a2n-1= a1 ; ......
a) Cách giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*) chia cả hai vế của phương trình (1) cho xn ta được phương trình tương đương: 
a2nxn + a2n-1xn-1+....+ + = 0 (**)
Rồi đặt X = x + ; 
Khi đó: x2 + = X2 - 2; x3 + = X(X2 – 3); x4 + = (X2 – 2)2 - 2; ... 
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 – 16x2 +3x + 2 = 0 (1)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được phương trình tương đương: 
2(x2 +) + 3(x +) - 16 = 0 (1')
y = x + ta được phương trình: 2y2 + 3y – 16 = 0 (1'')
Giải phương trình (1'') ta được hai nghiệm là: y1 = - 4; y2 = .
Giải các phương trình: x + = - 4 và x + = ta được bốn nghiệm:
 x1 = -2 + ; x2 = -2 -; x3 = ; x4 = 2 . 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là: x1 = -2 + ; x2 =-2 -; x3 = ; x4=2 . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x4 + 7x3 – 36x2 - 7x + 6 = 0 (2)
Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia cả hai vế của (2) cho x2 ta được phương trình tương đương: 
6(x2 +) + 7(x -) – 36 = 0 (2')
y = x - ta được phương trình: 6y2 + 7y – 24 = 0 (2'')
Giải phương trình (2'') ta được hai nghiệm là: y1 = -; y2 = .
Giải các phương trình: x - = -và x - = ta được bốn nghiệm:
x1 = -3 ; x2 =; x3 = -; x4= 2.
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm là: x1 = -3 ; x2 =; x3 = -; x4= 2 
b/ Phương trình đối xứng bậc lẻ:
Phương trình có dạng: a2n+1x2n+1 + a2nx2n+....+ a1x + a0= 0 (***)
Trong đó x là ẩn số; a2n+1 = a0 ạ 0; a2n= a1 ; ......
Cách giải: Phương trình luôn có nghiệm là : x = -1. Khi đó:
(***) Û (x+1). Q(x) = 0 Û 
Trong đó Q(x) là phương trình đối xứng bậc chẵn.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 +5x + 2 = 0 (3)
	Giải: Phương trình (3) tương đương với phương trình: 
	(x +1)( 2x4 + 3x3 – 16x2 +3x + 2) = 0 (3')
	(3') Û 
 Phương trình (I) có nghiệm duy nhất: x1= - 1
 Phương trình (II) có 4 nghiệm: x2 = -2 + ; x3 = -2 -; x4 = ; x5 = 2.
 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm:
	x1= - 1; x2 = -2 + ; x3 = -2 -; x4 = ; x5 = 2.
8- Vài phương trình bậc cao khác:
a) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x5 + 2x4 – 5x3- 10x2+ 4x+ 8 = 0	(*)
Giải:
Đây là phương trình bậc 5, ta biến đổi đưa về dạng phương trình tích
Dễ thấy phương trình (*) có nghiệm x=-1. 
Chia vế trái của phương trình (*) cho x+1, ta được:
	(x+1)(x4+x3- 6x2-4x+8)=0	(**)
Đa thức f(x) = x4+x3-6x2+8 có nghiệm x=1 (vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho (x-1). Khi đó, phương trình (**) có dạng:
	(x+1)(x-1)( x3-2x2- 4x- 8)=0
Hay 	(x+1)(x-1)(x+2)(x2-4)=0
	x+1=0	x=-1
	x-1=0	x =1
	x+2=0	x=-2
	x2- 4 = 0	x=
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là:
	S = -1;	1;	-2;	2
Ví dụ 2:
Giải phương trình
	x4+4x3+3x2+2x-1=0	(*)
Ta nhóm các số hạng lại thì được:	(x4+4x3+4x2)-(x2-2x+1)=0
	(x2+2x)2-(x-1)2=0
	(x2+x+1)(x2+3x-1)=0
	x2+x+1=0	(1)
	x2+3x-1=0	(2)
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình (2) có hai nghiệm
x1,2=
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm:
x1,2=
Ví dụ 3:
Giải phương trình: 	x4- 4x3-10x2+37x-14 = 0
Giải: 
Giả sử phân tích vế trái của phương trình thành (x2+px+q)(x2+rx+s)
Trong đó p, q, r, s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có:
x4- 4x3- 10x2 +37x - 14 = (x2+px+q)(x2+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau:
p + r = - 4
s + q + pr = - 10
ps + qr = 37
qs = - 14
Giải hệ phương trình trên với nghiệm nguyên ta được:
p =-5;	q =2;	r =1;	s =-7
Do đó phương trình đã cho trở thành:
(x2-5x+2)(x2+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phương trình sau:
x2-5x+2=0;	x2+ x -7 = 0 và
được tập nghiệm là:	S = 
 b/Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các phương trình bậc cao trên:
	+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
	+ Phân tích thành nhân tử đưa phương trình về hệ thống phương trình bậc nhất và bậc hai (đã biết cách giải)
	+ Số nghiệm của phương trình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phương trình ban đầu).
D- Phương trình vô tỷ:
Dạng thường gặp:	*) 
	*) af(x)+b
	(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x=	(1)
Giải:
Điều kiện: 	:	(1) 	(1')
Phương trình (1') Û 
	 Û x =2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
	2x +	(2)
Giải: Điều kiện: 
Đặt	 (*)	
	 t
 2t2+6+t =16
 (2) t
	2t2 + t - 10 = 0	 t1=2
 t	 	 t2=	ị t = 2
	 t
Thay giá trị của t = 2 vào (*) ta có:	
 x =7	(Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý tìm TXĐ của phương trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
* Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai
 (ĐK: Hai vế của phương trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
	f(x)=	(1)
	g(x)	(2)
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phương trình:
	Phương trình vô nghiệm nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
	Phương trình vô nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian không thoả mãn điều kiện của phương trình đầu.
	Phương trình có nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thuộc TXĐ của phương trình đầu.
E- Một số phương trình đặc biệt:
 a) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	(x2+3x- 4)3+(2x2- 5x+3)3=(3x2-2x-1)3
Ta thấy (x2+3x- 4)+(2x2-5x+3)=(3x2-2x-1)
Tư đó đặt a =x2+3x-4;	b =2x2-5x+3 thì phương trình đã cho có dạng
	a3+b3=(a+b)3
mà (a+b)3= a3+3ab(a+b)+b3 	suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:
	- Hoặc	a =x2+3x- 4=0	(có hai nghiệm là 1 và - 4)
	- Hoặc	b =2x2-5x+3=0	(có hai nghiệm là 1 và )
	- Hoặc	a+b=3x2-2x-1=0	(có hai nghiệm là 1 và )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 
Ví dụ 2:
	Giải phương trình: x4+y4+=4
Giải: 	Do 	nên vế trái 	. 
Dấu bằng xảy ra khi x
Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm là: x=
Ví dụ 3:	Giải phương trình:	 (1+t2)2 = 4t(1- t2)
Giải:	Ta có (1+t2)2 =(1- t2)2+ 4t2 phương trình đã cho trở thành:
	(1- t2)2 – 4t(1-t2) + 4t2 = 0 hay 
hay có nghiệm là 
 	b)Nhận xét:
	Với các phương trình đặc biệt, mỗi phương trình có một cách giải riêng nó đòi hỏi tư duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp một cách hết sức linh hoạt.
G- Một số bài tập tự giải:
Giải các phương trình:
1) x4 - 4x3 - 6x2 - 4x + 1 = 0
2) 3x5- x4 - 2x3 + 2x2 - x + 3 = 0
3) (x + 2) (x + 3) (x - 7) (x - 8) = 144
4) x8 - x4 - 2 = 0
5) (x +6)4 +(x +4)4 = 32
6) (2 - x2)2 + 3(2 - x2) + 2 = 0
7) 2x3 - 11x2 + 2x +15 = 0
8) 
9) 2(x2 +x +1)2 - 7(x- 1)2 = 13(x3- 1)
10) ( 2x2 -3x +1) ( 2x2 + 5x +1) = 9x2
11) x3- 7x + 36 = 0
12) x2 + = 1
13) x2 + x - 
14) 
15) x7 - 2x6 + 3x5- x4 - x3 + 3x2 - 2x + 1 = 0
Kết luận
	Phát triển tư duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là một việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh và hơn nữa là cần phải kỳ công với các bài giảng của mình.
	Qua thời gian giảng dạy và bồi dưỡng, qua việc nghiên cứu kết quả học tập của học sinh ở các lớp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, qua việc trao đổi với các đồng nghiệp tôi nhận thấy khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi; Mảng kiến thức: "Giải các phương trình quy về phương trình bậc hai" có tác dụng thiết thực, nó góp phần bổ sung kiến thức giải phương trình, đặc biết là các phương trình qui về phương trình bậc hai mà tôi đã trình bày trong nội dung của đề tài này; Các em đều có sự tiến bộ rõ rệt, thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phương trình đã học.
	Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh giá rất cao hệ thống kiến thức này và coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9 (Mảng kiến thức về phương trình).
	Với những thành công đó, tôi mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức này mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khá giỏi. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp cũng như kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
1. Đại số 9 - NXB Giáo dục
2. Bài tập Đại số 9- NXB Giáo dục
3. Một số vấn đề phát triển đại số 9 - NXB Giáo dục
4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số - NXB Giáo dục
5. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS-NXB ĐHSP Hà Nội
6. Phương pháp dạy học môn toán - NXB Giáo dục
7. Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp hai-NXB trẻ TPHCM
8. Đại số sơ cấp tập II-NXB Giáo dục 1978
9. 162 bài toán chọn lọc cấp II-NXB trẻ 1997
úúúúúúú