Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp xây dựng đa thức

I. Các giải pháp thực hiện:
 1/ Giới thiệu một số kiến thức cơ bản:
 Để thực hiện những yêu cầu trên trước hết đòi hỏi người dạy phải có cách truyền thụ kiến thức trong SGK một cách hệ thống từ lớp 7 đến lớp 9. Chẳng hạn những kiến thức liên quan:
Bậc của đa thức ( Đại số 7)
Phép tính cộng trừ các đa thức (Đại số lớp 7 chương IV).
Phép tính nhân chia đa thức một biến ( Đại số 8 )
Giá trị của một biểu thức đại số. Nghiệm của đa thức ( Đại số 7 ).
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( Đại số 8)
 - Khái niệm đa thức thuần nhất, hai đa thức đồng nhất ( Đại số 7). 
 - Khái niệm đa thức dư, định lý bê du, hệ quả của định lý Bê du ( Đại số 8)
- Phương pháp hệ số bất định. ( Đại số 8)
2/ Lý thuyết bổ sung
	Ngoài những kiến thức cơ bản mà sách giáo khoa đã cung cấp về các phép toán trên đa thức, ta cần cung cấp thêm cho học sinh một số kiến thức sau:
a) Định lý Bơ du:
Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x – a) bằng giá trị của đa thức tại x = a. Tức là f(x) = (x – a). g(x) + f(a).
Chứng minh:
 Gọi f(a) là đa thức thương và R là số dư thì: f(x) = ( x- a) . g(x) + R
 f(a) = (a – a) . g(a) + R = R (đpcm).
b) Hệ quả định lý Bơ du
	Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho ( x – a)
c) Phương pháp hệ số bất định:
	Giả sử f(x) = a3 x3+ a2x2 +a2x + a0
 g(x) = b3 x3+ b2x2 +b2x + b0 Nếu f(x) = g(x) 
với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a3 = b3 ; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0
Sau mỗi phần kiến thức có các bài tập áp dụng, rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp . mà kiến thức của nó không vượt quá chương trình toán THCS.
3/ Giới thiệu một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: 
Xác đinh đa thức bậc n ( n= 2, 3 . . .) khi biết ( n + 1 ) giá trị của đa thức.
Chú ý: 
- Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức.
- Khi biết n giá trị của đa thức thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc vào tham số.
Bài toán 1: 
 Xác định đa thức bậc 3 biết f(0) = 1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5 ; f(3) =22
Phân tích bài toán
- Bài toán yêu cầu xác định đa thức bậc 3, vì thế đa thức có dạng:
 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 )
- Ta cần phải xác định các hệ số a ; b ; c ; d
- Theo bài ra : f(0) = 1 d = 1
- Từ các giá trị của đa thức tại 1; 2 ; 3 ta có hệ phương trình sau:
 Giải hệ ra ta được: a = 1; b = 0 ; c = - 2
Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = x2 – 2x + 1
Bài toán 2: 
 Xác định một đa thức bậc hai P(x) biết P(0) = 19 , P(1) = 5, P(2) = 1995.
Phân tích bài toán
- Đa thức bài toán yêu cầu xác định có bậc 2 vì vậy dạng của nó là:
 P(x) = ax2 + bx + c ( a 0 )
- Ta cần tìm hệ số của đa thức thông qua các giá trị của đa thức đã biết
Cho x = 0 ; x = 1 ; x = 2 ta tìm được a = 1002 ; b = - 1016 ; c = 19
Vậy đa thức cần xác định là: P(x) = 1002x2 – 1016x + 19
Bài tập áp dụng
Tìm đa thức bậc hai biết:
 	f(0) = 4 ; 	f(1) = 0 ; 	f(-1) = 6
Tìm đa thức bậc 4 biết : 
 f(0) = -1 ; 	 f(1) = 2 ; 	 f(-2) = 31 ; 	 f(2) = 47
Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một phép tính khác.
Bài toán 3: (Bài 50 - SBT toán 8 tập 1;Trang 8)
	Cho 2 đa thức A = x4 - 2x3 + x2 + 13x - 11 và B = x2 – 2x + 3.
Tìm đa thức Q và đa thức R Sao cho A = B . Q + R
Phân tích bài toán
 - Sau khi học phép chia đa thức, đọc bài toán này học sinh xác định được cần phải thức hiện phép chia đa thức A cho đa thức B để tìm đa thức Q và R thõa mãn :
 A = B . Q + R. Trong đó Q là thương và R là đa thức dư.
- Thực hiện phép chia đa thức đã sắp xếp được đa thức thương: 
 Q = x2 - 2 Và đa thức dư : R = 9x - 5
 Do đó x4 - 2x3 + x2 + 13x - 11 = ( x2 – 2x + 3)( x2 - 2 ) + 9x – 5
Bài toán 4:
 Đa thức f(x) khi chia cho (x – 1) được số dư bằng 4, nếu chia cho x – 3 được số dư bằng 14 . Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3)
Phân tích bài toán
- Để tìm được đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) ta cần biết thương của phép chia f(x) cho (x – 1) và chia cho (x -3 ).
- Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1) và cho (x – 3) theo thứ tự là A(x) và B(x); thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x).
- Từ bài ra ta có:
 f(x) = (x -1). A(x) + 4 với mọi x f(1) = 4 (1)
 f(x) = (x – 3) . B(x) + 14 với mọi x f(3) = 14 (2)
 f(x) = (x – 1)(x – 3). C(x) + R(x) 
- Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc hai 
 R(x) có dạng ax + b.
 f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) + ax + b với mọi x (3)
- Từ (1) và f(1) = a + b a + b = 4
- Từ (2) và f(3) = 3a + b 3a + b = 14 
 Giải hệ phương trình 
Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x - 1)(x – 3) là 5x – 1.
Cách 2:
 - Từ f(x) = (x – 1).A(x) + 4 Nhân hai vế với (x – 3) 
 (x - 3).f(x) = (x – 3)(x – 1) .A(x) + 4(x – 3) (1)
 - Từ f(x) = (x – 3).B(x) +14 Nhân hai vế với ( x- 1)
 (x – 1). f(x) = ( x - 3)(x – 1). B(x) + 14(x – 1) (2)
 Trừ (2) cho (1) ta được:
 . f(x) = (x -1)(x – 3) + 14(x - 1) – 4( x – 3 )
 2 f(x) = (x- 1) (x- 3) + 10x – 2
 f(x) = (x – 1)(x – 3) . + 5x -1
Ta thấy đa thức 5x – 1 có bậc bé hơn bậc của đa thức chia. 
Vậy đa thức dư cần tìm là 5x – 1.
Bài toán 5:
	Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm
đa thức dư khi chia f(x) cho (x + 1)( x2 +1).
Phân tích bài toán
- Vì f(x) chia cho x + 1 dư 4 nên theo định lý Bê du f(-1) = 4 (1)
- Do bậc của đa thức chia (x+1)(x2+1) là 3 nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c
 f(x) = (x + 1)(x2 +1) .q (x) + ax2 + bx + c
	 = (x2 +1) + bx + c – a (2)
Mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có b = 2 ; c – a = 3 (4) 
 a – b + c = 5
Giải (4), (5) ta được a = ; b = 2 ; c = 
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 + 2x + 
Bài toán 6:
	Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 cho x2 – 1.
Phân tích bài toán
Cách 1: Tiến hành phép chia như bài toán 3.
Cách 2: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia.
Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho 
x – 1 ; x6 – 1, . chia hết cho x2 – 1
Ta có x7 + x5 + x3 +1 = x7 – x + x5 – x + x3 - x + 3x + 1
 = x(x6 – 1) + x( x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1
 Dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 cho x2 – 1 là 3x + 1.
Bài tập áp dụng
1/ Tìm đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện sau:
a) Khi chia P(x) cho (x - 1) được dư là 4.
b) Khi chia cho ( x +2 ) dư 1.
c) Khi chia cho ( x – 1)( x + 2) được thương là 5x và còn dư. 
2/ Tìm b trong đa thức bậc 2 biết khi chia cho (x – 1); (x +1) đều có cùng số dư.
3/ Xác định đa thức dư của phép chia đa thức sau:
P(x) = 1 + x9 +. . . + x36 + x45 + x54 cho đa thức Q(x) = x2 – 1. 
Đáp số:
1/ P(x) = 5x4 – 10x2 + x + 3
2/ A(x) = ax2 + c ( b = 0)
3/ Đa thức dư là 3x +4
Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số
Bài toán 7:( Lớp 7) 
Cho hai đa thức A = ax2 + 2bx + c – 1 – 7x 
 B = 8x2 – 5x + 4 + 2x2 - 6 
Xác định a, b , c biết rằng A và B là hai đa thức đồng nhất.
Phân tích bài toán
- Nhận thấy đa thức A, B chưa được thu gọn.
- Thu gọn đa thức A ta được A = ax2 + (2b – 7)x + c – 1
	 B = 10x2 – 5x - 2.
- Sử dung kiến thức 2 đa thức trên đồng nhất khi các hệ số của các hạng tử cùng bậc bằng nhau nên ta có:
Bài tập 8: Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyên âm nhỏ hơn 8 và 
 thoã mãn f(8) = 2003.
Phân tích bài toán
Xét đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ . . . +a1x + a0 
 ( Với a0, a1 , . . . an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8 )
- Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1. 8n-1 +. . . + a1.8 + a0 = 2003
- Trong đó a0, a1, . . . an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số cơ số 8.
- Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3,
- Lấy thương chia cho 8 được dư a1 = 2
- Lấy thương tìm được chia cho 8 ta được số dư tiếp theo là a2 = 7 
- Tiếp tục chia thương mới cho 8 được số dư tiếp theo là a3 = 3 .
- Thay các giá trị a1 ; a1 ; a2 ; a3 vào đa thức (1)
 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3.
Bài tập:
	1/ Tìm đa thức f(x) sao cho các hệ số của nó đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và f(5) = 352.
2/ Tìm đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) =b. Trong đó a , b là các số đã cho.
Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thỏa mãn một hệ thức đối với f(x).
Bài toán 9: 
 Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn hệ thức 3. f(x) – f(1 - x) = x2 + 1 với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x. 
Phân tích bài toán
- Đa thức bậc nhỏ hơn 4 nghĩa là có thể bậc là: 3, 2, 1, 0
- Giả sử đa thức f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 
 3. f(x) – f(1 - x) = 4a3x3 + 2a2x2 + (4a1x + 1)x + 2a0 
 - Sử dụng phương pháp hệ số bất định 
 Ta có: a3 = 0 a2 = a1 = - a0 = 
 Vậy đa thức cần tìm là f(x) = x2 - x + 
Bài tập: 
Tìm tất cả các đa thức P(x) có bậc nhỏ hơn 4 và thỏa mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: x.P(x - 1) = (x – 2).P(x)
Dạng 5 : Dùng đa thức phụ để giải bài toán tìm đa thức hoặc tính giá trị riêng 
 của đa thức
Bài toán 10: 
 	Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn f(1) = 10, 
 f(2) = 20, f(3) = 30 Tính + 15
HD: Trong bài toán trên để tìm được đa thức phụ ta tham khảo thuật toán tìm đa thức phụ sau:
Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) 
đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x). 
 Trong đề bài bậc của h(x) luôn nhỏ hơn 3 nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c
Bước 2:
Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0 
 Kết hợp với f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30
Ta có hệ phương trình : 
Theo phương pháp hệ số bất định ta suy ra: h(x) = - 10x Hay g(x) = f(x) – 10x - Đối với bài toán này ta đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x f(x) = g(x) + 10x
 Từ g(1) = g(2) = g(3) = 0 
 g(x) chia hết cho (x-1) ; (x – 2); (x – 3) và đa thức f(x) có bậc là 4 nên 
 g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0)
 f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x
Tính giá trị của biểu thức ta được + 15 = 1984 + 15 = 1999
Bài toán 11 :
 Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là số nguyên thõa mãn f(1990) = 2000 và f(2000) = 2001. Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số.
Phân tích bài toán
- Để giải quyết được bài toán này ta dùng đa thức phụ:
+ Tìm đa thức phụ:
Đặt g(x) = f(x) + ax + b . Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương với a, b là nghiệm của hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta có a = b = -1. Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1
+ Tính giá trị của f(x):
Giả sử k Z là hệ số x3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc của g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x - 1999); (x - 2000) nên: 
 g(x) = k(x – 1999)(x -2000)(x – x0) ; f(x) = g(x) – (- x – 1)
 f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1
Ta có f(2001) = k . 2 . 1 . 2001 + 2002 = 2k. 2001 + 2002
 f(1998) = k .(- 1). (- 2). 1998 + 1999 = 2k. 1998 + 1999
 f(2001) – f(1998) = 2k . 3 + 3 = 3 (2k + 1) 
 Vì 3(2k + 1) là hợp số. Nên f(2001) – f(1998) là hợp số
Bài toán 12: 
 Cho đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn : f(1) = 3 ; f(3) = 11 f(5) = 27. Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6).
Phân tích bài toán
+ Tìm đa thức phụ:
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0 
Tương đương với a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
 Giải hệ phương trình ta được: a = -1; b = 0 ; c= -2 
 Nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2.
 + Tính giá trị f(x):
Bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) cũng là 4 và g(x) chia hết cho ( x – 1) ; (x – 3) :
 (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)( x – x0)
 f(x) = (x- 1)(x – 3)( x – 5)(x- x0) + x2 + 2
 Tính được f(-2) + 7. f(6) = 1112.
Bài tập 13: 
 Cho đa thức bậc 4 P(x) thõa mãn: P(-1) = 0 và P(x) – P(x – 1) = x(x + 1)(2x + 1)
 Xác định đa thức P(x).
 Suy ra giá trị của tổng s = 1.2.3 + 2.3.5 + . . . + n (n +1)(2n +1)
 Phân tích bài toán
a) - Để xác định được đa thức P(x) bậc 4 ta cần biết 5 giá trị của đa thức đó.
 - Cho x = 0 P(0) – P( -1) = 0, mà P(-1) = 0 P(0) = 0 
- Cho x lần lượt các giá trị – 2 ; 1 ; 2 ta được P(-2) = 0 ; P(1) = 6 ; P(2) = 36
- Sử dụng cách làm dạng 1 ta xác định được đa thức P(x) = x (x+1)2 (x+2).
 	 Hoặc P(x) = x4 + 2x3 + x2 + x
Để suy ra giá trị của tổng S ta cho x lần lượt các giá trị 1,2,3,. . .. , n 
ta có: P(1) – P(0) = 1. 2. 3
 P(2) – P(1) = 2. 3. 5 
 ......................................
 P(n) – P(n – 1) = n (n + 1)(2n +1)
Suy ra P(n) – P(0) = 1 . 2 . 3 + 2 . 3. 5 + . . . + n(n+1)(2n+1).
 Do đó: S = P(n) = n (n + 1)2(n +2)
4/ Hướng phát triển và tìm lời giải cho bài toán tìm đa thức
Bài toán 1 : Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) = 1
Phân tích bài toán
Do bậc của đa thức là 3 vì vậy ta biết ngay dạng của f(x) là:
 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 )
Cách 1: Từ các giá trị của đa thức đề bài cho biết ta tìm được các hệ số a, b, c, d
 Ta có f(0) = d = 10 d = 10
 f(1) = a + b + c + 10 = 12 a + b+ c = 2 (1)
	 f(2) = 8a + 4b + c + 10 = 4 8a + 4b + c = - 6 (2)
 f(3) = 27a+ 9b +3c +10 = 1 27a+ 9b +3c = - 9
 9a+ 3b + c = - 3 (3)
Giải hệ phương trình gồm (1); (2) ; (3) ta được a = ; b = ; c = 12
Vậy đa thức cần tìm là : x3 + x2 + 12x + 10.
 Cách 2: 
 + Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c ( a 0 )
 Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0 
 a, b , c là nghiệm của hệ phương trình sau:
 Giải hệ phương trình ta được a = 5 ; b = -7 ; c = - 10
 Nên g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 . Với g(x) = g(1) = g(2) = 0
+ Xác định f(x):
Do bậc f(x) bằng 3 nên bậc của g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho x ; (x – 1) ; ( x- 2)
 g(x) = mx (x – 1)(x – 2) ( m là hệ số của x3 )
 f(x) = g(x) – (5x2 – 7x – 10 ) 
 f(x) = mx(x – 1)(x – 2) – 5x2 + 7x + 10
Mặt khác f(3) = 1 m = 
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 + x2 + 12x + 10.
Bài toán 2: 
Xác định một đa thức bậc ba P(x) biết khi chia P(x) cho các đa thức 
 ( x – 1) ; (x – 2) ; ( x – 3) đều được dư là 6 và P(-1) = - 18.
Phân tích bài toán
Đọc đề bài toán ta nghĩ ngay đến việc sử dụng định lý bơ du
Từ giả thiết ta suy ra P(1) = P(2) = P(3) = 6 
 Đa thức bậc 3 có P(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 )
 Hoặc P(x) = d + c(x – 1) + b(x- 1)(x – 2) + a(x – 1)(x – 2)(x – 3)
Cách 1: 
 Sử dụng cách làm như dạng 1 ta có a = 1; b = 0; c = 0 ; d = 6 
 Do đó P(x) = 6 + (x - 1)(x - 2)(x - 3) Vậy P(x) = x3 – 6x2 + 11x.
Cách 2: Sử dụng đa thức phụ
+ Tìm đa thức phụ:
Đặt g(x) = P(x) + ax2 + bx + c . Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0.
 a, b, c là nghiệm của hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được a = b = 0 ; c = - 6 nên đặt g(x) = P(x) – 6
Với g(1) = g(2) = g(3) = 0
+ Xác định f(x):
 Do bậc của P(x) bằng 3 do đó bậc của g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho ( x – 1); 
(x- 2) ; (x – 3) 
 g(x) = n (x – 1)(x – 2)(x – 3) ( n là hệ số của x3 trong đa thức f(x).
 f(x) = n(x – 1)(x – 2)(x – 3) + 6 Mặt khác f(-1) = -18 n = 1 
 Vậy đa thức cần tìm là: P(x) = x3 – 6x2 + 11x
Bài tập 3: 
 Xác định hệ số a, b sao cho đa thức x4 + ax3 + b chia hết cho (x2 – 1).
Phân tích bài toán
Từ đa thức bị chia có bậc 4 , đa thức chia có bậc 2 cho ta biết được thương là đa thức bậc 2
Cách 1: Thực hiện phép chia ta được dư là: ax + (b + 1)
Để phép chia hết thì dư bằng 0. Nên ta có : ax + (b + 1) = 0
 a = 0 ; b + 1 = 0 b = -1
Vậy với a = 0 và b = -1 thì đa thức x4 + ax3 + b chia hết cho (x2 – 1).
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định.
 Ta có thể viết x4 + ax3 + b = (x2 – 1)( x2 + cx + d) = x4 + cx3 + (d – 1)x2 – cx – d.
Vậy với a = 0 và b = -1 thì x4 + ax3 + b chia hết cho (x2 – 1).
Cách 3: Phương pháp xét giá trị riêng
	Gọi đa thức thương là Q(x) ta có: x4 + ax3 + b = (x – 1)(x + 1) Q(x)
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x = 1 ; x = - 1 
 Ta được 
Vậy với a = 0 và b = -1 thì đa thức x4 + ax3 + b chia hết cho (x2 – 1).
Bài tập:
1/ Tìm đa thức f(x) bậc 2 biết f(0) = 19; f(1) = 5 ; f(2) = 1995.
2/ Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết f(0) = 2; f(1) = 9 ; f(2) = 19; f(3) = 95
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa, sách bài tập toán 7 tập 2, toán 8 tập 1.
Sách toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7, 8. ( Nhà xuất bản giáo dục)
Nâng cao và phát triển toán 8. (Nhà xuất bản giáo dục)
Một số đề thi học sinh giỏi các năm từ lớp 7 đến lớp 9.
23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp. ( Nhà xuất bản giáo dục)