Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình Toán PTTH các bài tập hình học không gian trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi thường là bài toán khó đối với các em học sinh.Vấn đề đặt ra là làm thế nào cho học sinh thấy được sự cần thiết phải giải các bài toán này?
Để giúp các em học sinh lớp 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, thi tuyển vào các trường Đại học cao đẳng đạt kết quả tốt, giúp các giáo viên có thêm những kinh nghiệm trong việc giảng dạy môn Hình học.
Qua nhiều năm giảng dạy, qua một số tài liệu tham khảo, qua thông tin từ học sinh về vấn đề học tập môn Hình học ở bậc Trung học phổ thông. Tôi trình bày một kinh nghiệm nhỏ của mình trong giảng dạy Toán, đó là: “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”
Với phương pháp này sẽ giải được một số bài toán về hình học không gian, mong muốn tạo cho các em học sinh thấy yêu thích môn Toán hơn, nhất là môn Hình học không gian.
	Tác giả
Phần I: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong quá trình ôn tập cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, thi tuyển vào các trường Đại học cao đẳng. Tôi nhận thấy hầu hết các đề thi Đại học đều có một bài toán về hình học không gian, đặc biệt năm 2009 trong đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông có một câu hình học không gian. Phần hình học mà học sinh được học từ kỳ II của lớp 11 và kỳ I của lớp 12, bài tập mà phần đông học sinh cảm thấy “sợ nhất” mặc dù nó rất dễ. Nhiều học sinh lúng túng không tìm ra cách xử lí bằng phương pháp nào, ngay cả những vấn đề tưởng chừng hết sức cơ bản. Vì thế, dạng bài tập này trở thành vấn đề khó vượt qua đối với học sinh.
Bản thân là giáo viên đã giảng dạy nhiều năm, trong quá trình giảng dạy đã phát hiện ra những khó khăn của học sinh trong việc giải các bài toán hình học không gian là:
+Khó khăn trong việc vận dụng các kiến thức cũ từ các năm học trước
+Chưa vận dụng thành thạo trong việc vận dụng lí thuyết để giải bài tập 
+Chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải toán.
+Khi làm bài học sinh chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi khi không phân biệt đâu là giả thiết đâu là phần cần chứng minh
+Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên còn nhiều vướng mắc, dẫn đến kết quả giải toán hình không gian không được tốt. Từ đó thiếu hứng thú trong học tập.
Nhằm giúp học sinh cảm thấy thoải mái hơn trong quá trình tiếp thu và chủ động giải quyết bài toán hình học không gian, giúp học sinh giải 
được các bài tập hình học không gian phức tạp, giúp học sinh hiểu được là phải học và giải được bài toán này trong các đề thi, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải toán hình học không gian.
Ví dụ : Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’.
Chứng minh B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng .
Tính AA’ theo a để BMDN là hình vuông.
Nếu giải theo phương pháp hình học không gian ta tiến hành như sau
C’
O
M
N
H
A
C
D
B
B’
A’
D’
Ta có A’M // CN
 A’M = CN => A’MCN là hình bình hành
A’C MN tại O là trung điểm của mỗi đường là I nên B’MDN là hình bình hành.
 Do đó B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng.
b)Ta có:
DM2 = AD2 + AM2 (1)
DN2 = CD2 + CN2
Vì : = 600 => ∆ BAD đều => AD = CD (2)
Tù (1), (2) => DM2 = DN2 ó DM = DN
B’DMN là hình thoi.
 Để B’DMN là hình vuông thì
 MN = B’D ó AC2 = B’D2 (1’)
 Gọi H = AC BD 
H là trung điểm của AC và BD 
∆ BAD đều ð H là đường cao.
AH = => AC = (2’)
Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2(3’)
Từ (1’), (2’), (3’) => 3a2 = BB’2 + BD2
=> BB’2 = 3a2- a2 = 2a2
BB = ó AA’ = 
Vậy nếu AA’ = thì B’MDN là hình vuông
Việc giải bài toán hình học theo cách này đối với học sinh là rất khó khăn.
	Để giải quyết vấn đề vướng mắc của học sinh về bài toán hình học không gian, ngoài cách giải bằng phương pháp hình học thuần tuý, ta cũng có thể: “Dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”, lời giải của phương pháp này sẽ khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu và áp dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập. Đó là lý do thôi thúc tôi hoàn thành sáng kiến này.
Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/Các giải pháp thực hiện:
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ chúng ta cần phải thực hiện các bước sau 
PHƯƠNG 	PHÁP GIẢI :
Bước 1. Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết.
Chú ý đến vị trí của gốc O.
Xác định tọa độ của các điểm có liên quan ta có thể dựa vào:
♦Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (các điểm nằm trên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ)
♦Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ các điểm 
♦Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng,mặt phẳng 
♦Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng và mặt phẳng 
Tìm độ dài cạnh của hình.
Bước 2. Chuyển hẳn bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích. Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 3. Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
 - Độ dài đoạn thẳng
 - Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 - Khoảng cách giữa hai đường thẳng
 - Góc giữa hai đường thẳng
 - Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
 - Góc giữa hai mặt phẳng
 - Thể tích khối đa diện
 - Diện tích thiết diện
 - Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc
II/Các giải pháp để tổ chức thực hiện:
A.Chọn hệ trục tọa độ trong không gian
Vấn đề chọn hệ trục tọa độlà quan trọng nhất, nó quyết định sự thành công của bài toán. Sau đây là một số phương pháp chọn hệ trục tọa độ được áp dụng cho một số bài toán thường gặp 
Ta có : vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 	z
D’
A’
B’
C’
A
D y
 B
C
 x
 Với hình hộp đáy là hình thoi 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : 
D
C
S
O
A
B
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng . Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
I
H
C
B
A
S
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
 ABCD là hình chữ nhật 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
D
A
C
O
B
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) 
S
C
D
A
O
B
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
 Khi đó : 
C
B
A
S
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) 
 Khi đó : 
B
A
C
S
 Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
 ABC vuông tại C 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) 
Khi đó : 
S
H
C
B
A
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
 ABC vuông tại A 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
S
C
B
A
H
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
 Tam giác ABC vuông cân tại C có 
 đường cao bằng . 
 H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) 
 Khi đó : 
A
H
C
B
S
B. Bài tập ứng dụng
Quay lại bài tập ở phần ví dụ, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải như sau:
 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’.
a)Chứng minh B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng .
b) Tính AA’ theo a để BMDN là hình vuông.
Hướng dẫn giải
C’
M
N
O
A
C
B
D’
A’
B’
D
z
x
y
O’
∆ BAD có = 600 => ∆ BAD đều
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ 
Ta có : AO=OC =, OB = OD = =’
Giả sử : AA’ = b.
Chon hệ trục tọa độ ozyz sao cho: O là gốc tọa độ, COx , DOy , O’Oz.
Khi đó : O( 0, 0,0) , A(-,0 ,0) , B( 0, -, 0) , C(,0 ,0)
 D(0, , 0) A’(-,0 ,b) B’(0, -, b) C’(,0 , b) 
 D’(0, , b) M(-,0 ,) N(,0 ,)
a)Ta có , ) = (,, ) 
=> ð DM = B’N
 DM // B’N ð B’DMN là hình bình hành 
Vậy 4 điểm M, N, B’, D cùng 1 mặt phẳng 
b)Ta có : (,,) => 
Hay B’MDN là hình thoi 
 Để B’MDN là hình vuông thì 
 Vậy nếu AA’ = thì B’MDN là hình vuông.
Giải theo phương pháp này theo tôi có nhiều ưu điểm hơn, học sinh dễ tiếp thu hơn.
Sau đây là một số ví dụ ứng dụng phương pháp này: 
Bài tập 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3 zM = 3.
Tương tự M(1; 2; 3).
pt(ABC): 
 (1).
 (2).
 .
(2).
Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm . Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 
, ,
, 
và .
, 
.
Bài tập 3. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, AA1 =2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; MM1di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D. 
Hướng dẫn giải
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O; B Î Oy; A1 Î Oz. Khi đó A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)
và D(0;a;a)
Do M di động trên AA1, tọa độ M (0;0;t) với t Î [0;2a]
Vậy 
Ta có: 
z
x
C
C1
M
A
A1
B1
B
D
Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của Tùy thuộc vào giá trị của hàm số
Xét hàm số f(t) = 4t2 – 12at + 15a2
f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t Î[0;2a])
f'(t) = 8t – 12a
Tìm GTLN,GTNN của hàm số f(t) trên [0;a] 
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác DC1M là khi t =0 hay Mº A
GTNN của diện tích tam giác DC1M là khi t=2a
Bài tập 4.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng(ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD=a, AC=b, AB=c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 
Hướng dẫn giải
	Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với:z
y
x
A
B
C
D
 A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của CD.
Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE).
Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần.
Hướng dẫn giải
 a/ Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho : 
Khi đó ta có: 
E là trung điểm của CD 
Chọn 
Phương trình mặt phẳng (SBE) qua B(a;0;0) và nhận làm vtpt:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBE) là:
b) 
C. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Áp dụng phương pháp trên có thể giải các bài tập trong các đề thi Đại học các năm trước 
Bài 1. TSĐH 2002-khối B
Cho ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương. Gọi M, N, P là trung điểm của BB’, CD, A’D’.Tính góc giữa hai đường thẳng C’N và MP
Bài 2. TSĐH 2006-khối A
Cho ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương có độ dài cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Bài 3. TSĐH 2007-khối A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP. 
Bài 4. TSĐH 2008-khối B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, 
SB= a và (SAB)(ABCD) .Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN. 
Bài 5. TSĐH 2008-khối A
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam 
giác vuông tại A với AB=a, AC=a và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh BC. Tính cosin (AA’,B’C’)
Phần III: KẾT QUẢ
 Phương pháp tọa độ là phương pháp dễ hiểu, đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán thực hiện các phép toán đơn giản. Giúp học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải các bài toán hình học không gian.
Phương pháp này Tôi đã dạy cho các em học sinh lớp 12TN2 nhận thấy các em rất dễ tiếp thu và hào hứng trong học tập.
 Qua việc kiểm tra kiến thức của học sinh về phần này Tôi tiến hành cho học sinh giải một số bài tập hình học không gian theo hai phương pháp thì kết quả chỉ có 50% học sinh giải được theo phương pháp hình học không gian, nhưng theo phương pháp tọa độ có đến gần 95% học sinh giải được. 
KẾT LUẬN CHUNG
Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập và giải toán ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chon phương pháp mà mình tâm đắc nhất cho bài toán đó. Từ đó tiết kiệm thời gian làm bài đặc biệt tránh được sai sót đáng tiếc.
Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy môn hình học không gian để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới
Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộng rãi hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Mục lục
Lời nói đầu Trang 1 
Phần I: Thực trạng vấn đề Trang 2
Phần II: Giải quyết vấn đề Trang 4
Phần III: Kết quả Trang 19
Kết luận chung Trang 19