Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ

Đặt vấn đề
Lí do chọn đề tài
Một trong những mục đích cơ bản của dạy học Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Thông qua việc học các khái niệm, rèn luyện các kĩ năng giải toán giúp học sinh phát triển năng lực tư duy như: phát triển năng lực suy luận lôgic, năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hoá, tổng hợp vấn đề, năng lực tư duy linh hoạt, phát huy trí tưởng tượng, kĩ năng biến đổi linh hoạt, ..
Hình học và giải tích là hai trong các nội dung lớn của chương trình toán học phổ thông, hình hoc và giải tích được liên hệ chặt chẽ với nhau . 
Chương trình toán phổ thông trung học đã và đang được trình bày dựa trên cơ sở tương quan, đan xen giữa hình học và giải tích. Do vai trò quan trọng của nó cho nên một đòi hỏi hết sức tự nhiên từ khái niệm, tính chất và các ứng dụng của nó phải được nghiên cứu một cách cụ thể và chính xác song đồng thời phải rõ ràng, dễ hiểu và bổ trợ lẫn nhau làm được điều đó mới thực sự thu hút học sinh trong học tập cũng như trong tìm tòi sáng tạo.
Trong bài viết sau đây tôi chỉ tập trung nghiên cứu “Phương pháp sử dụng toạ độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số”.
Trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi một dạng toán rất hay được hỏi đó là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Trong các đề thi thì bàiitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thông thường là bài toán khó và có nhiều cách giải song nếu ta khai thác triệt để mọi tính chất hình học sẵn có trong bài toán thì phương pháp toạ độ sẽ cho những lời giải hay, gọn gàng, trong sáng.
Bài viêt sau đây của tôi nhằm giới thiệu môt số các bài toán trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi thành phố trong những măm gần đây mà phương pháp giải chung đó là phương pháp toạ độ.
Mục đích yêu cầu
Xây dựng một hệ thống các bài toán trong việc áp dụng phương pháp toạ độ để giải toán, nâng dần từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp toạ độ và rèn luyện năng lực tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hoá vấn đề, óc sáng tạo, khả năng suy luận, phán đoán cho học sinh, giúp cho các em có cách nhìn tổng thể về bộ môn toán và sự liên quan mật thiết giữa hình học và giải tích.
Đối tượng, phạm vi, kế hoạch 
Bản SKKN này viết ra để giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn vào các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. 
Nội dung
A-cơ sở lý thuyết
+Hai điểm Khi đó AB=
+Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB+BCAC dấu bằng xảy ra B nằm trên đoạn AC
+ dấu bằng xảy raA nằm trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC (có thể trùng với một trong hai đầu mút).
+Hai điểm nằm về hai phía của đường thẳng Ax+By+C=0
+ Hai điểm nằm về cùng một phía của đường thẳng Ax+By+C=0
+
+.
+Các tính chất của đường tròn
dạng toán 1
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= trong đó x, y là các số thực thoả mãn: 2x-y=2
Lời giải: 
Xét điểm A(0;-1), B(0;3), M(x;y)
Khi đó T=AM+BM
Thay toạ độ A, B vào VT của (D) ta có VTA=-1<0, VTB=-5<0 suy ra A, B nằm về cùng một phía đối với (D).
Lấy A’ đối xứng với A qua (D) và AA’ cắt (D) tại H ta có H(x;2x-2)
, VTCP khi đó 
A’(x;y) đối xứng với A qua H ta có 
T=AM+BM=A’M+BMA’B=. Min T= khi A’, B, M thẳng hàng 
A’, B, M thẳng hàng 
Bài 2:Cho x, y thay đổi . Tìm min F=.
 (KB-2006)
Lời giải: 
Xét M(x-1;-y), N(x+1;y)
Luôn có OM+ONMNF
 *Với y2 ta có F
f’(y)=
Lập bảng biến thiên ta suy ra f(y), f(y)= khi y=
*Với y2
Kluận: Min F= khi 
Bài 3:Cho x Tìm max F=
Lời giải:
 F=
 Xét A(2;1), B(5;5), M(x;0) Khi đó ta có : 
AM=, BM=
Do A, B nằm về cùng phía với trục Ox và MOx nên 
MaxF=5 khi A, B, M thẳng hàng.
Bài 4: Cho a, b, c thoả mãn: 
Tìm Min F=
Lời giải:
 Ta có F=
Xét A(6;4), B(2;-4)
M(a;b) : x-2y+9=0, N(c;d): x+2y-4=0
Khi đó F=AM+MN+NB
 Do và song song và lại có toạ độ của A, B thay vào VT của và ta có :
Với : VTA=5>0, VTB=-15<0 
 với : VTA=10>0, VTB=-10<0 
suy ra A, B nằm về hai phía đối với cả và . 
Khi đó F=AM+MN+NBAB=Min F= khi A, M, N, B thẳng hàng
M(9-2b;b), 
N(4-2d;d)
A, M, N, B Thẳng hàng.
Bài 5:Tìm Max, Min F=
Lời giải:
F=
Xét điểm M(1;1-cos), N(3;4) 
Ta có F=OM+MN
F=OM+MNMinF=5 khi O, M, N thẳng hàng 
Lại có M chạy trên đoạn M1M2 với M1(1;0), M2(1;2)
Ta có MaxF=Max(OM1+M1N;OM2+M2N)=Max(1+2 Khi cos=1
Bài 6: Cho a, b thoả mãn điều kiện a-2b+2=0. Tìm min :
 F=
Lời giải:
 F=
Xét A(3;5), B(5;7), M(x;y): x-2y=2=0
Khi đó F=AM+BM
Thay toạ độ A, B vào VT của ta có 
VTA=-5<0, VTB=-7<0 suy ra A, B nằm về cùng phía của 
Lấy điểm A’ đối xứng với A qua , AA’ và AA’=H
 4t-10+t-5=0t=3H(4;3).
Điểm A’(x;y) đối xứng với A qua H nên ta có : vậy A’(5;1)
F=AM+BM=A’M+BMA’B=6. Vậy Min F=6 khi A’, M, B thẳng hàng
 .
A’, M, B thẳng hàng 2t-7=0
Dạng toán 2
Bài 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P= trong đó x, y là các số dơng thoả mãn điều kiện xyz=8. (Báo toán học tuổi trẻ tháng 1-2009)
Lời giải: 
Xét các véc tơ: 
Luôn có Từ đó ta có
P.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Kết luận: Min P=5 Khi x=y=, z=.
Bài 8: Cho . Tìm Min F=
 (Đề thi đại học khối A-2003)
Lời giải:
Gọi 
Ta có , , , 
Lại có F=
Đặt 0<t= với t
Xét Q(t)=, Q’(t)=
Min F= Khi x=y=z=
Bài 9: Tìm Max, Min của U=y-2x+5 biết x, y thoả mãn điều kiện: 36x2+16y2=9
Lời Giải:
Ta viết : 
Xét ta luôn có 
Vậy Max F= Khi 
MinF= Khi 
Dạng toán 3
Bài 10: Cho x, y thoả mãn điều kiện: x2+y2+16-8x-6y=0.
 Tìm Max, Min F=4x+3y
Lời giải:
Ta có (C): Có tâm I(4;3) bán kính R=3
Khi đó F=4x+3y=
Xét điểm M(x;y)(C) có F=
Đờng thẳng OI cắt (C) tại M1, M2 và có OI=5
 Khi đó ta có Min OM=OM1=OI-R=5-3=2 Min F=10 Khi 
 Max OM=OM2=OI+R=8MaxF=40 khi 
Bài 11:Cho 4 số thực thoả mãn hệ thức 
 và c+d=5.
Tìm giá trị lớn nhất của T=ac +bd + cd
Lời giải:
Xét điểm M(a;b) thoả mãn thì M thuộc đường tròn (C) tâm O, R=2
Điểm N(c;d) thoả mãn c+d=5 thì N thuộc đường thẳng (d): x+y=5
MN=
MN=
T lớn nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất 
Qua O dựng (D) vuông góc với (d), chọn VTPT 
PT (D):
I=(D)(d) ta có t+t=5
H=(D)(C) ta có t2+t2=4 
Lại có H1I==H2I
MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MH1, NI
Max T=
Bài toán 12:Cho hệ 
1. Biện luận theo m số nghiệm của hệ
2.Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để đại lượng F=(x2-x1)2+(y2-y1)2 
đạt giá trị lớn nhất 
Lời giải:
1.Xét đường thẳng (D) : x+my-m=0
 Và đường tròn (C) có phương trình Tâm I
Số nghiệm của hệ bằng số giao điểm của (D) và (C)
Ta có d=d(I, (D))=
Nếu d>R thì (D) và (C) không có điểm chung
Hệ vô nghiệm
Nếu d=R Thì (D) tiếp xúc với (C) hệ có nghiệm duy nhất 
Nếu d<R (D) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x1;y1), N(x2;y2) hệ có hai
Nghiệm phân biệt.
2. Vậy F lớn nhất MN lớn nhất MN=2R=1 khi đó 
(D) đI qua tâm của (C) 
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm Max, Min F=
Bài 2:Tìm Min F=
Bài 3:Tìm Max F=
Bài 4:Tìm Max, Min của f(x)= Trên miền 
Kết luận
Hình học và giải tích là hai nội dung lớn trong chương trình toán sơ cấp. Để ứng dụng được tính chất hình học vào giải tích và ngược lại đòi hỏi học sinh phải nắm đuợc bản chất về tính liên tục của hàm số một cách cụ thể, rõ ràng, chính xác.
Phương pháp toạ độ là phương pháp đơn giản, dễ hiểu, dẽ trình bày.
Bài viết của tôi giúp các em học sinh biết rèn luyện khả năng khái quát, phân tích, so sánh, tổng hợp và khả năng hệ thống hoá kiến thức.
Chuyên đề này tôi đã dạy cho các em học sinh nhận thấy các em rất dễ tiếp thu và rất hào hứng trong học tập.
Chuyên đề này là tài liệu tham khảo thực sự có ích cho các em học sinh.
Do thời gian và năng lực có hạn nên bài viết còn nhiều hạn chế, thiếu sót, tôi mong được sự góp ý của các bạn.