Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ

ộ 150 đề...)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Trên đường thẳng Oz(P) lấy một điểm S. Gọi là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp SABCD.
a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
b. Mặt phẳng đi qua AC và vuông góc mặt bên (SAD) chia hình chóp thành
 hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
4.8. (ĐH. Đà Lạt. 1995)
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Az mf(ABC) lấy điểm S, SA = h.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b. Gọi H là trực tâm tam giác SBC. Đường thẳng Ht(SBC). Chứng minh 
 rằng khi S di động trên Az đường thẳng Ht luôn đi qua một điểm cố định. 
4.9. (ĐH. Luật. TP HCM. 1995)
Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a, đườg cao SH = h.
a. Tính theo a, h các bán kính r và R của các hình cầu nội và ngoại tiếp của
 hình chóp .
b. Giả sử a cố định, h thay đổi. Xác định h để tỉ số lớn nhất. 
4.10. (ĐH. Kiến trúc. TP HCM. 1995) 
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân đỉnh O, cạnh AB = 2a, đường 
cao OH = h. Trên đường thẳng (d) (P) tại O lấy điểm M với OM = m. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên MB và OB. Điểm N là giao của đường thẳng EF và (d)
a. Chứng minh rằng MB NA và MA NB.
b. Tính BE, BF, EF, AF và thể tích tứ diện ABEF theo a, h và m.
c. Tìm vị trí của M trên (d) sao cho tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất và
 tính giá trị nhỏ nhất này.
4.11. (Đề thi HS giỏi tỉnh. Thanh Hóa. 2006)
Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Oz lấy điểm A cố định khác O, OA = a. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C
sao cho: . Chứng minh rằng mf(P) luôn chứa một đường thẳng cố định và tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện OABC có thể có được
4.12. (Đề thi thử ĐH. Khối D. Lam Sơn 2006)
Cho hình chóp S.ABC có đường cao là SA , tam giác ABC vuông ở A . Biết rằng AB = a, AC = a, góc giữa mặt bên SBC và đáy là 600. Tính diện tích xung quanh của hình chóp và số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 
4.13. (Đề thi thử ĐH. Khối A. Lam Sơn 2006) 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, đường cao SO = h; M, N tương ứng là trung điểm SB, SD. Tính h theo a để AMBN
4.14. (ĐH. Kinh tế TP HCM. 1994)
Cho hình vuông cạnh a trong mặt phẳng (P). M và N di động trên hai cạnh CB và CD. Đặt CM = m, CN = n. Trên đường thẳng Az vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Tìm hệ thức giữa m và n để:
a. Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 
b. Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
4.15. (ĐH. KTQD Hà Nội. 2001)
Cho hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng .
a. Tính thể tích hình chóp SABCD theo a.
b. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, CD. Điểm K thuộc cạnh AD 
 sao cho AK = . Tính khoảng cách giữa hai đương thẳng MN và SK.
 phụ trương
Phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng là một phần chính trong chương trình hình học giải tích không gian. Đối với phương pháp tọa độ đây cũng là một công cụ cần thiết cho việc trình bày lời giải một số bài toán. Bạn đọc có thể tham khảo bài viết phụ trương dưới đây nhằm bổ sung đủ cho phần kiến thức này. Bài viết tóm tắt hai phần: P1. Lý thuyết cơ bản và P2. Tổng hợp các dạng toán thường gặp về phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
p.1. phương trình mặt phẳng
& đường thẳng 
I. Mặt phẳng:
1. Định nghĩa: 
Véc tơ pháp tuyến (vtpt) của mf(P) là véc tơ , ( ) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với mf(P). Ký hiệu là: (P)
2. Xác định mặt fẳng: 
Mặt fẳng (P) xác định và duy nhất nếu biết:
 + 1 điểm M(P)
 + 1 vtpt , ( , (P))
3. Phơng trình tổng quát của mặt fẳng: 
 mf(P): + Qua điểm M(x0; y0; z0)
 + Có vtpt (A; B; C)
A(xx0) + B(yy0) + C(z z0) = 0 
Phương trình (P): 
 Phương trình tổng quát dạng :
 Ax + By + Cz + D = 0
 (P): , với : A2 + B2 + C2 0 
II. Đường thẳng: 
1. Định nghĩa: 
Véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng (d) là véc tơ , ( ) nếu nằm trên đường thẳng (d)
2. Xác định đường thẳng : 
Đường thẳng (d) xác định duy nhất bởi: 
3. Phương trình : 
* Đường thẳng qua M (x0; y0; z0 ) và có vtcp (a; b; c)
 a) Phương trình tham số: 
 (d): , t - là tham số, tR, a2+b2+c2 0 
b) Phương trình chính tắc:
 (d): = = ; ( a2+ b2+ c2 0 )
* Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt fẳng: 
c) Phương trình tổng quát : 
 (d): 
+ Để chỉ ra ( tọa độ) một điểm thuộc (d) ; Chọn bất kỳ chẳng hạn x = x0 , thế vào hệ (1) , (2) giải tìm y = y0 và z = z0 
+ vtcp = 
p.2. các dạng cơ bản phương trình
mặt phẳng & đường thẳng 
I. Mặt phẳng: ( P )
Dạng 1:
Mặt phẳng: Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và có vtpt = (A; B; C)
A(x - x0) + B(y- y0) + C(z - z0) = 0
(P): 
Dạng 2:
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN 
+ Qua trung điểm của MN là I = 
+ Có vtpt = = ( xN xM; yN yM; zN zM) . ( Xem dạng 1) 
 Ví dụ : Cho M( 3; 2; 0), N(1; 0; 1). 
 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
 (P): 2(x2) + 2(y + 1) 1(z + ) = 0 
Dạng 3:
Mặt phẳng (P) qua một điểm M = (x0 ; y0 ; z0 ) 
và vuông góc đường thẳng (d) cho trước
 vtpt của (P) chính là vtcp của (d) 
 (P) xác định : qua M và có vtpt = (dạng 1) 
Ví dụ: Viết phương trình mfẳng (P) qua A(1; 2; 3) và vuông góc với đường 
 thẳng (d) có phương trình :
 a) (d) : b) (d) : 
Giải:
a) Phương trình (P): 2(x 1) + 1(y 2) + 0(z 3) = 0
b) -------------------- (x 1) + (y 2) + (z 3) = 0
 (P): 2(x 1) 1(y 2) + 2(z 3) = 0 
Dạng 4:
Mặt phẳng (P): Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.
 Phương trình (P): A(xx0) + B(yy0) + C(z z0) = 0
 Ví dụ : Mặt phẳng (P) qua điểm M = (1; 2; 3) 
 và song song với mặt fẳng (Q): 5x3y + 2z +1 = 0
 Phương trình (P): 5( x 1) 3(y2) + 2(z 3) = 0
Dạng 5:
Mặt phẳng (P): Qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước 
vtpt của (P) là = 
 (P) xác định: + Qua A (hoặc B, hoặc C)
 + Có vtpt = 
 Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B(0; 1; 1) và C(3; 0; 2)
 Viết phương trình mf (OAB), mf(ABC)
 Giải: 
a) mf(OAB) có cặp vtcp là = (1; 2; 3)
 và = (0; 1; 1) 
 mf(OAB) qua O(0; 0; 0) và có vtpt = = (1; 1; 1) 
 P.trình mf(OAB): 1(x0) + 1(y0) + 1(z0) = 0 x + y + z = 0
b) mf(ABC) có cặp vtcp là = (1; 3; 4)
 và = (4; 2; 1) 
 mf(ABC) qua điểm A(1; 2; 3) và có vtpt == ( 5; 15; 10) 
 P.trình mf(ABC): 5(x 1) +15(y +2) +10(z 3) = 0 x + 3y + 2z 1 = 0
 Trường hợp riêng: 
A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c), abc 0
Phương trình mặt phẳng (ABC) 
 . 
(Ta gọi mf(ABC) là mfẳng đoạn chắn )
Dạng 6: 
Mặt phẳng (P): Qua điểm M và đường thẳng (d) 
( Với M (d) )
 (P) xác định: + Qua điểm M ,
 + Và có vtpt = , 
 ( A(d) và là vtcp của (d))
 Ví dụ: Viết phương trình mf(P) qua điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng (d) 
 có phương trình là:
 a) = = b) 
 Giải: 
a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 1; 0) và có vtcp = (1; 2; 3) 
Mặt fẳng (P) chứa M và (d) (P) có cặp vtcp là = (1; 2; 3) 
 và = ( 3; 1; 3)
 vtpt của (P) là = = ( 3; 12; 7) 
và (P) qua M(1; 2; 3) ptrình (P): 3(x1) + 12(y2) 7(z3) = 0 
 3x + 12y 7z 6 = 0
b) Nhận xét: A(1; 0; 0) (d), mf(P) qua điểm M và đường thẳng (d)
 cặp vtcp của (P) là: 
 = = ( 2; 6; 5) 
 và = ( 2; 2; 3). 
 vtpt của (P) là = = (8; 16; 16) 
 Phương trình (P): 8(x+1) 16(y 0) +16(z 0) = 0 x+2y 2z +1= 0
* Chú ý : Nếu pt (d) có dạng tổng quát 
1) mf(P) chứa (d) có phương trình dạng chùm: 
m (x+2y2z+1) + n(2xy+2z) = 0, m2+n2 0 (*) 
(P) qua điểm M(1; 2; 3) 0.m +6n = 0. Kết hợp với (*), chọn được m = 1, n = 0 pt (P): x + 2y 2z + 1 = 0 
2) (d) = mfmf, (d) 
Trong đó : x + 2y 2z + 1 = 0 M(1; 2; 3). Vậy là mặt fẳng chứa M và (d) mf(P) mf: x + 2y 2z + 1 = 0
Dạng 7: 
Mặt phẳng (P): Chứa đường thẳng (d1 ) và song song với đường thẳng (d2 ) 
 ( Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) chéo nhau)
(P): Xác định bởi M(d1) và vtpt = ,
 (và lần lượt là vtcp của (d1) và (d2))
 * Cách khác: + (P) chứa (d1) pt dạng chùm của (P) 
 + (P)// (d2) P . = 0 
 Ví dụ: Cho hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2). Viết phương trình mf(P) chứa đường thẳng (d1) và song song với đường thẳng (d2); Biết : 
 a) (d1) : = = và (d2) : 
 b) (d1) : = = và (d2) : 
 c) (d1) : và (d2) : 
 d) (d1) : và (d2) : 
Giải: 
a) Đường thẳng (d1) đi qua điểm M(2; 1; 0) và có vtcp = ( 1; 1; 2)
 (d2) có vtcp = ( 2; 1; 2)
mf(P) chứa (d1) và song song với (d2) cặp vtcp của (P) là và .
vtpt của (P) là = = ( 0; 2; 1) . Và (P) qua điểm M(2; 1; 0) 
pt (P): 0.(x2) + 2(y+1) +1(z0) = 0 2y + z + 2 = 0 
b)+ mf(P) chứa (d1): = = Phương trình (P) có dạng: m(2x+y+1)+n(y2z1) = 02mx+(m+n)y2nz+mn = 0, m2+n2 0 (*)
vtpt của (P) là = (2m; m+n; 2n)
+ (d2) : 
 vtcp của (d2) là == ( 3; 4; 5)
+ (P)// (d2) . = 0 6m 4(m+n) + 10n = 0 2m + 6n = 0
+ Kết hợp điều kiện (*), chọn m = 3, n = 1. pt (P): 3x + y + z + 2 = 0
c) HD: = (2; 5; 6). M(1; 1; 1)(d1)
 = (3; 5; 4) = (10; 26; 25) 
 (P):10(x1) 26(y1) + 25(z +1) = 0 
d) HD: (P): (m +2n)x + (n2m)y + (m2n)z +3n 4m = 0, =(1;2; 2) 
m+2n2n+4m+2m4n = 0 7m 4n = 0 m = 4, n =7 
(P): 18x y10z + 5 = 0 
 Dạng 8: 
Mặt phẳng (P): Chứa đường thẳng (d ) và vuông góc với mf (Q) 
(P): Xác định bởi M(d) và vtpt = 
Trong đó là vtcp của (d) và là vtpt của mf(Q) 
* Cách khác: + (P) chứa (d) pt dạng chùm của (P) 
 + (P)(Q) P . = 0. 
 Ví dụ: 
 Cho mf(Q): x + 2y 2z + 3 = 0.Viết phương trình mf(P) chứa
 đường thẳng (d) và vuông góc với mf(Q); Biết phương trình (d):
 a) (d) : = = . b) (d) : 
HD: 
a) = (1; 2; 1), M(2; 3; 1)
 = (1; 2; 2) P= = (6; 1; 4) 
 (P): 6(x+2) + 1(y3) + 4(z1) = 0. 
b) + (P) chứa (d) Dạng (P): (m+2n)x +(2m n)y +(2n m)z +3m + n = 0. 
 + (P) (Q) 1(m+2n) +2(2m n) 2(2nm) = 0 7m4n = 0.
 + Kết hợp điều kiện: m2 + n2 0 (*), chọn m = 4, n = 7
 pt (P): 18x + y + 10z + 19 = 0. 
II. Đường thẳng: ( d ) 
Dạng 1:
Đường thẳng (d): Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và có vtcp = ( a; b; c)
 a) Phương trình tham số: 
 (d): ( t - là tham số, tR, a2+b2+c2 0 ), (a; b; c) 
b) Phương trình chính tắc:
 (d): = = ; ( a2+b2+c2 0 )
Ví dụ: 
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2; 3), có vtcp = ( 3; 2; 1)
là (d): , hoặc (d): = = 
Dạng 2:
Đường thẳng (d): Là giao tuyến của hai mặt fẳng: 
Phương trình tổng quát : 
 (d): 
Chú ý:
+ Để chỉ ra ( tọa độ) một điểm thuộc (d) ; Chọn bất kỳ chẳng hạn x = x0 , thế vào hệ (1) , (2) giải tìm y = y0 và z = z0 
+ vtcp = 
Ví dụ: (d): 
Chọn y = 0, ta có hệ :.Ta được M(d)
Và vtcp của (d) là: = (3; 4; 5)
Dạng 3:
Đường thẳng (d): Qua hai điểm M, N có tọa độ cho trước
 (d): Xác định qua điểm M ( hoặc N ) và có vtcp 
 pt (MN): 
 Ví dụ: Cho M(1; -2; 3) và N(0; 4; -1) pt (MN): 
Dạng 4:
Đường thẳng (d): Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và song song với đường thẳng () có phương trình cho trước.
 (d): Xác định qua điểm M và có vtcp = (a; b; c) là vtcp của 
 pt (d): = = 
 Ví dụ: 
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1; 2; 3) và song song với đường thẳng có phương trình:
a) : b) : 
 Giải:
 Do (d) // vtcp của (d) chính là vtcp của 
a) Vậy (d) qua M(1; 2; 3) , vtcp = (1; 2; 0) .
pt (d): 
b) (d) qua M(1; 2; 3) và có vtcp = = ( 4; 2; 5)
 pt (d): 
Dạng 5:
Đường thẳng (d): Qua điểm M = (x0; y0; z0) và vuông góc với mf (P): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước
(d) - Xác định qua M(x0; y0; z0) , vtcp = (A; B; C) 
 Ví dụ: 
Phơng trình đường thẳng (d) qua M(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +y4z + 1 = 0 là (d): 
Dạng 6:
Đường thẳng (d): Qua điểm M = (x0; y0; z0) và vuông góc với hai đường thẳng ( d1) và ( d2 ) cho trước 
(d) - Xác định qua điểm M và có vtcp 
trong đó và lần lượt là các vtcp của ( d1) và (d2 ) 
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1; 2; 3) và vuông 
 góc với hai đường thẳng ( d1) và (d2 ) có phương trình là: 
 a) (d1) : = = và (d2) : 
 b) (d1) : = = và (d2) : 
 c) (d1) : và (d2) : 
 d) (d1) : và (d2) : 
 Giải: 
a) vtcp của ( d1) và (d2 ) lần lượt là = (1; 1; 2) 
 và = (2; 1; 2)
Do (d) vuông góc với ( d1) và (d2 ) vtcp của (d) là = (0; 2; 1) 
 Phương trình đường thẳng (d) qua M(1; 2; 3) là : 
b) HD: 
 = (1; 2; 1) 
= (3; 4; 5), = (6; 2; 2). (d): 
c) HD: 
 = ( 2; 5; 6) 
= (3; 5;4), =(10; 26; 25). (d): 
d) HD:
 = (3; 4; 5)
 = (1; 2; 2), = (18; 1; 10). (d): 
Dạng 7:
Đường thẳng (d): Qua điểm M = (x0; y0; z0) và cắt hai đường thẳng chéo nhau ( d1) và ( d2 ) cho trước 
(d) - Xác định bởi : (d) = (P)(Q) . Trong đó (P) và (Q) là các mfẳng qua M , lần lượt chứa ( d1) và ( d2 ) 
* Chú ý: Với cách xác định trên, (d) chỉ mới thỏa qua điểm M
 Cần kiểm tra điều kiện (d) cắt (d1) và(d2 ).Quan hệ của
 (d) với (d1) và (d2 ) là đồng fẳng, nên cần xét phương
 của (d) với phương của (d1) và (d2 )
* Cách khác: (d) - Xác định là đường thẳng qua hai điểm A, B.Trong đó A, B 
 lần lượt thuộc (d1) và (d2 ) và A, B, M thẳng hàng
 - Hoặc (d) (BM). Với B = (d2 ) (P). Trường hợp này còn 
 phải xét tính khác phương của (d1) và (BM)
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1; 2; 3) và cắt hai 
 đường thẳng ( d1) và (d2 ) có phương trình là: 
 a) (d1) : = = và (d2) : 
 b) (d1) : = = và (d2) : 
 c) (d1) : và (d2) : 
 d) (d1) : và (d2) : 
 Giải:
a) (d1) : = = , (d2) : và M(1; 2; 3)
 Cách 1: 
+ (d1) qua A1(2; 1; 0) có vtcp = (1; 1; 2) 
 M(1; 2; 3) = (1; 3; 3)
 Mặt fẳng (P) qua M và (d1) có vtpt = = (9; v5; 2)
pt (P): 9(x1) + 5(y2) 2(z3) = 0 9x + 5y 2z 13 = 0 
+ (d2) qua A2(3; 1; 2) có vtcp = (2; 1; 2) 
 M(1; 2; 3) = (2; 1; 1)
Mặt fẳng (Q) qua M và (d2) có vtpt = = (3; 6; 0)
pt (Q): 1(x1) + 2(y 2) + 0(z3) = 0 x + 2y 5 = 0 
+ Đờng thẳng qua M là (d) = (P)(Q) pt (d): 
+ vtcp của (d) là = = (4; 2; 13) Không cùng phương với = (1; 1; 2) và = (2; 1; 2) (d) cắt ( d1) và ( d2) 
Vậy (d): là đường thẳng cần tìm
 Cách 2: 
Gọi: A(2+s; 1s; 2s) (d1) và B(3+2t; 1 t; 2+2t) (d2) 
 ( s+1; s 3; 2s3), ( 2t+2; t 1; 2t1).
A, B, M thẳng hàng (s+1: s 3: 2s 3) = (2t+2: t1: 2t1) 
+ Tỉ số đầu ở vế phải bằng 2 ( Trường hợp t =1, không thỏa mãn)
s+1 = 2(s 3)s = 5, t = A(3; 4; 10), B
+ (AB) là đường thẳng cần tìm có phương trình : 
 Cách 3: 
+ (d1) qua A1(2; 1; 0) có vtcp = (1; 1; 2) 
 M(1; 2; 3) = (1; 3; 3)
 Mặt fẳng (P) qua M và (d1) có vtpt = = (9; 5; 2)
pt (P): 9(x1) + 5(y 2) 2(z 3) = 0 9x + 5y 2z 13 = 0 
+ Tọa độ giao điểm B của (d2) và (P) thỏa hệ: 
B =pt (BM): 
+ = (1; 1; 2) , = (4; 2; 13) không cùng fương. (BM) và (d1) cắt nhau
 (BM) : là đường thẳng cần tìm
b) Đáp số (d): 
c) Đáp số (d): d) Đáp số (d): 
Dạng 8:
Đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau ( d1) và ( d2 ) cho trước 
 Cách 1: (d) (AB): 
 A(d1), B(d2),.Tọa độ A, B pt(AB) 
* Cách giải này áp dụng khi pt (d1) và (d2) có dạng tham số 
 Cách 2: (d) =(P)(Q). (P), (Q) lần lượt chứa (d1), (d2)
 Biết rằng:, và 
 Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng
 (d1) và (d2) có phương trình là: 
 a) (d1) : = = và (d2) : 
 b) (d1) : = = và (d2) : 
 c) (d1) : và (d2) : 
 d) (d1) : và (d2) : 
 Hướng dẫn giải:
a) + Gọi: A(2+s; 1 s; 2s)(d1), B(3+2t; 1 t; 2+2t)(d2) 
 (2ts+1; t+s+2; 2t2s +2) 
 + vtcp của (d1) là = (1; 1; 2) và vtcp của (d2) là = (2; 1; 2) 
 + và Hệ: 
 Tọa độ A = (6; 5; 8) , B =(9; 2; 8) .pt(AB): 
b) + Đường thẳng (d1) qua điểm M(2; 3; 1) và có vtcp là = (1; 2; 1)
 (d2) qua N(0; 1;1), vtcp = = ( 3;4;5)
 vtcp của (d) là = (6; 2; 2)
 + Mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d) có vtpt là = (2; 8; 14)
 (P) qua M(2; 3; 1) pt (P): 1(x+2) + 4(y3) 7(z1) = 0 
 + mf(Q) chứa (d2) và (d) có vtpt = (2; 36; 30)
 (Q) qua N(0; 1; 1) pt (Q): 1(x 0) 18(y + 1) +15(z 1) = 0
 + (d) = (P)(Q) pt (d): 
c) HD: A1(1; 1; 1) , = ( 2;5; 6) 
 A2(1; 4; 0) , = (3;5;4) 
 = (10; 26; 25); 
 = (281; 110; 2), = (229; 35; 128)
 Đáp số : Phương trình (d): 
d) A1(1; 2; 1), = (3; 4; 5) 
 A2(2; 1; 1) ,= (1; 2; 2) 
 = (18; 1; 10) 
 = (35; 120; 75) , = (22; 6; 15)
 Đáp số : Phương trình (d): 
Dạng 9:
Hình chiếu vuông góc (d') của đường thẳng (d) trên mfẳng (P)
(d') - Xác định bởi: (d') = (P)(Q). Trong đó (Q) là mfẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với (P).
( Xem cách dựng (Q) - Mặt phẳng/ Dạng 8.) 
 Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) trên
 mặt phẳng (P): x + 2y 2z + 3 = 0; Biết phương trình của (d) là:
 a) (d) : = = , b) (d) : 
 Giải:
Gọi (d') là hình chiếu của (d) trên (P) , ta có (d') = (P)(Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P)
a) (d) qua M(1; 2; 3), có vtcp = (2; 0; 1) 
 Mặt fẳng (P) có vtpt là = (1; 2; 2). (Q) chứa (d), vuông góc với (P)
 mf(Q) qua M và có vtpt = (2; 3; 4) 
 pt (Q): 2(x 1) + 3(y + 2) + 4(z +3) = 0 2x + 3y +4z + 16 = 0
 Phương trình (d'): 
b) HD: 
+ mf(Q) chứa (d) Phương trình (Q) có dạng chùm: 
 (Q): (3m + 2n)x + (m n)y + (2n m)z + 3m 4n = 0, m2+n2 0 (*) + (Q) (P) 1.(3m + 2n) + 2(m n) 2(2n m) = 0 7m 4n = 0.
+ Kết hợp (*) , chọn m = 4, n = 7 pt(Q): 26x 3y +10z 16 = 0
 Phương trình (d'): 
Dạng 10:
Đường thẳng (d) qua một điểm M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2 )
Cách 1: (d) = (P) (Q) . Trong đó : 
+ (P) qua M, vuông góc (d1). (mf - Dạng 3 )
+ (Q) qua M và (d2). (Xem mfẳng - Dạng 6)
* Chú ý: Cần kiểm tra điều kiện (d) và (d2 ) 
 không cùng fương (d) cắt (d2 )
Cách 2: (d)(MK); K = (d2)(P); (P) là mfẳng qua M và vuông góc với (d1) 
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc 
 với (d1) : và cắt (d2) : 
 Giải: 
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M (1; 2; 3) và vuông góc với đường thẳng (d1)
vtpt của (P) chính là vtcp của (d1) là = (1; 3; 2) 
pt(P): 1(x 1) 3(y 2) + 2(z 3) = 0 x 3y + 2z 1 = 0
Cách 1: 
+ mf(Q) qua M(1; 2; 3) và chứa (d2) có phương trình dạng chùm :
 m(x + y + z 4) + n(2x y + 3z 3) = 0, m2+n2 0 (*) 
 Thỏa : 2m + 6n = 0. Kết hợp (*), chọn m = 3, n =1 (Q): x+ 4y9 = 0 
 Đường thẳng qua M có phương trình (d): 
+ vtcp của (d) là == (8; 2; 7) 
 và vtcp của (d2) là = = (3; 4; 1)
 và không cùng phương (d) và (d2) cắt nhau. 
Vậy đường thẳng cần tìm là (d): 
Cách 2: 
+ Tọa độ K= (d2)(P) thỏa hệ: K(17; 2; 11) 
Đường thẳng cần tìm là (d) (KM) : 
Dạng 11: Đường thẳng (d): Nằm trong mfẳng (P) cho trước vuông góc và cắt đường thẳng (q) cho trớc
Cách dựng: + Dựng điểm K = (q)(P) 
 + ------- mf(Q): qua K , (q) 
 (d) = (P)(Q) là đường thẳng cần dựng
Cách khác: Do (d)(P), (d) (q) = 	 
 Trong đó , lần lượt là các vtcp của (d) và (q) 
 và là vtpt của (P). Vậy (d) - Xác định bởi điểm K 
 và vtcp (Dạng pt.tham số) 
Ví dụ: Viết ph.trình đường thẳng (d) nằm trong (P): 2x + y + 2z 5 = 0, 
 cắt và vuông góc với (q) : 
Giải: 
Tọa độ giao điểm K của (q) và (P) thỏa: K(3;5; 8)
Cách 1:
+ mf(Q): Qua K, vuông góc với (q) có ph.trình là: 
 2(x+3) +1(y+5) 3(z8) = 0
+ Gọi (d) = (P)(Q) . Theo cách dựng (d) là đường thẳng cần tìm có 
 phương trình là: 
Cách 2:
+ vtcp của (q) là: 
 vtpt của (P) là: 
Vtcp của (d) là: = = (5; 10; 0)
 Phương trình (d): 
Dạng 12: Đường thẳng (d): Vuông góc với mf(ABC) tại trực tâm H của tam giác ABC
 (d) = (P) (Q)
 + mf(P) qua A, vuông góc với (BC)
 + mf(Q) qua B vuông góc với (AC)
 Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(1; 3; 2), B(-1; 1; 0) và C(2; 0; 1).
a) Viết phơng trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trực tâm H của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ H
 Giải:
Ta có: (d) = (P) (Q). 
(P) là mặt phẳng qua A(1; 3; 2) và vuông góc với = (3; 1; 1)
(Q) ------------------- B (1; 1; 0) -------------------- = (1; 3; 1)
 pt (d): 
Bài tập bổ sung
Đề thi ĐH 02 – 06
Db1. A03, 
c. kết luận:
 Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi về việc sử dụng phương pháp tọa độ và những kiến thức liên quan để giải một số bài toán hình học không gian. Thực chất đã được tôi sử dụng thường xuyên trong các bài giảng chính khóa hoặc ngoại khóa. Với riêng tôi, đây là một phần tài liệu tham khảo, phục vụ tốt cho bài giảng. Rất mong được sự đón nhận của đồng nghiệp và của các em học sinh. Và cũng mong nhận được các góp ý bổ sung nhằm hoàn chỉnh hơn tài liệu, đáp ứng được số đông bạn đọc cho việc học toán nói chung và nói riêng cho môn hình học giải tích phần không gian.
Tài liệu này đuợc hoàn chỉnh vào tháng 6 năm 2006.
Tại trường THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa. 
Ngày 06 tháng 6 năm 2006
 Người viết: 
Ngô Xuân Aí