Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức

A. đặt vấn đề 
 Trong ch−ơng trình toán bậc trung học cơ sở, dạng toán “ Tìm giá trị nhỏ 
nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức ” là một dạng toán th−ờng đ−ợc đ−a 
ra trong các đề thi học kỳ, kiểm tra cuối ch−ơng, nhằm dành cho các học sinh 
phấn đấu đạt điểm giỏi. Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học nào cho 
riêng dạng bài này mà đ−a ra nh− những bài tập nâng cao yêu cầu học sinh tự 
tìm tòi giải quyết theo gợi ý của giáo viên. Chính vì vậy học sinh th−ờng gặp 
khó khăn khi giải các bài tập dạng này nên khả năng giải quyết và trình bày 
không đ−ợc tốt. 
 Để giúp các em học sinh khá toán trong lớp có thể làm tốt dạng toán này, 
tôi đã dành thời gian nghiên cứu tài liệu và biên soạn hệ thống ph−ơng pháp 
cùng bài tập để đ−a ra đề tài “ Ph−ơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn 
nhất của một biểu thức ” với mục đích giúp học sinh tiếp thu đ−ợc dễ dàng hơn 
một dạng toán khó, đồng thời có dịp rèn luyện t− duy và phát huy đ−ợc tính tích 
cực trong học tập cho học sinh. Khi học sinh có kiến thức tốt về dạng toán này, 
các em sẽ đ−ợc củng cố tốt hơn cả các bài toán nâng cao khác trong ch−ơng 
trình toán THCS nh− “ Chứng minh một biểu thức luôn nhận giá trị d−ơng hoặc 
âm ”, “ Chứng minh bất đẳng thức “,  
 Vì hiểu đ−ợc vai trò quan trọng của dạng toán này và cũng thấy rõ các 
khó khăn của học sinh học tập cũng nh− giáo viên giảng dạy, tôi đã mạnh dạn 
viết tài liệu “ Ph−ơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu 
thức ” để tr−ớc hết phục vụ cho công tác giảng dạy của chính mình, sau đó tạo 
điều kiện để bản thân có dịp trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp, nâng cao 
nghiệp vụ s− phạm và năng lực nghiên cứu khoa học của cá nhân. 
B. Nội dung đề tài 
I. Lý thuyết chung 
 Xét biểu thức A(x) xác định ∀x∈(a, b). 
1. Bài toán 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến 
hành các b−ớc: 
a) B−ớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) ≥ k (k là một hằng số) ∀x∈(a, b). 
b) B−ớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra tr−ờng hợp để xảy ra dấu 
đẳng thức. 
c) Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A(x) = k khi x = a. 
Ta th−ờng dùng kí hiệu: min A(x) = k ⇔ x = a. 
2. Bài toán 2: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến 
hành các b−ớc: 
a) B−ớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) ≤ k (k là một hằng số) ∀x∈(a, b). 
b) B−ớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra tr−ờng hợp để xảy ra dấu 
đẳng thức. 
c) Kết luận: Giá trị lớn nhất của A(x) = k khi x = a. 
Ta th−ờng dùng kí hiệu: max A(x) = k ⇔ x = a. 
3. Chú ý. 
a) Với biểu thức chứa nhiều biến số cũng giải t−ơng tự nh− trên. 
b) Học sinh hay mắc phải sai lầm khi chỉ thực hiện b−ớc 1 đã kết luận bài toán, 
dẫn đến kết quả sai. Vì vậy cần yêu cầu học sinh trình bày đầy đủ cả hai b−ớc 
hết sức cẩn thận, không đ−ợc thiếu bất cứ b−ớc nào. 
Ví dụ 1. Cho biểu thức: A = x2 + (x – 2)2. 
Một học sinh đã tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh− sau: 
“Ta có: ∀x∈R, x2 0 và (x – 2)≥ 2 ≥ 0 nên A 0. ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.” 
Lời giải trên có đúng không ? 
Giải. Lời giải trên không đúng. Học sinh trên đã mắc phải sai lầm là mới chứng 
tỏ rằng A 0 nh−ng ch−a chỉ ra đ−ợc tr−ờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu 
đẳng thức không xảy ra vì không thể có đồng thời : 
≥
x2 = 0 và (x – 2)2 = 0. 
Lời giải đúng nh− sau: 
+) Ta có: A = x2 + (x – 2)2 = x2 + x2 – 4x + 4 = 2x2 – 4x + 4 
 = 2(x2 – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 2 , ≥ ∀x∈R. 
+) Mà: A = 2 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. 
+) Vậy: min A = 2 x = 1. ⇔
c) Khi giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức, 
ta cần nhớ các hằng bất đẳng thức sau: 
1) a2 0 (Tổng quát: a≥ 2k ≥ 0 với k nguyên d−ơng). 
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 
2) -a2 ≤ 0 (Tổng quát: -a2k 0 với k nguyên d−ơng). ≤
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 
3) a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. ≥
4) a a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a 0. ≥ ≥
5) - a a ≤ ≤ a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 
6) ba + ≤ a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0. ≥
7) a2 + b2 2ab. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. ≥
8) ab
2
ba ≥+ với a, b 0 (Bất đẳng thức Côsi). ≥
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 
9) a ≥ b, ab > 0 ⇒
b
1
a
1 ≤ . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 
10) 2
a
b
b
a ≥+ với ab > 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 
d) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhiều khi ta 
cần phải đổi biến. 
e) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức A với A > 0, 
trong nhiều tr−ờng hợp ta lại đi xét các biểu thức 
A
1
 hoặc A2. 
 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là bài toán 
không đơn giản, vì vậy ở đây ta chỉ xét một số dạng biểu thức đặc biệt có công 
thức giải cơ bản, phù hợp với khả năng tiếp thu của số đông học sinh lớp 8. 
II. Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị 
lớn nhất th−ờng gặp trong ch−ơng trình toán lớp 8 
Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng tam 
thức bậc hai. 
Ph−ơng pháp giải: Xét tam thức bậc hai cbxaxP 2 ++= . 
 * Nếu a > 0 thì P có giá trị nhỏ nhất. Ta biến đổi biểu thức P về dạng kaX2 + 
và có kết quả: min P = k X = 0. ⇔
* Nếu a < 0 thì P có giá trị lớn nhất. Ta cũng biến đổi biểu thức P về dạng 
kaX2 + và có kết quả: max P = k ⇔X = 0. 
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 1x4xA 2 +−= ; 
b) ; 1x8x2B 2 +−=
c) . 1x6x3C 2 +−=
Giải. 
a) . 33)2x(3)4x4x(1x4xA 222 −≥−−=−+−=+−=
 A = -3 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
Vậy: min A = -3 x = 2. ⇔
b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 −≥−−=−+−=+−=
 B = -7 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
Vậy: min B = -7 x = 2. ⇔
c) . 22)1x(32)1x2x(31x6x3C 222 −≥−−=−+−=+−=
 C = -2 x - 1 = 0 x = 1 . ⇔ ⇔
Vậy: min C = -2 x = 1. ⇔
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) ; 1x4xA 2 +−−=
b) ; 1x8x2B 2 −+−=
c) . 5x6x3C 2 +−−=
Giải. 
a) . 55)2x(5)4x4x(1x4xA 222 ≤++−=+++−=+−−=
 A = 5 x + 2 = 0 x = -2 . ⇔ ⇔
Vậy: max A = 5 x = -2. ⇔
b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 ≤+−−=++−−=−+−=
 B = 7 x - 2 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔
Vậy: max B = 7 ⇔ x = 2. 
c) . 88)1x(38)1x2x(35x6x3C 222 ≤++−=+++−=+−−=
 C = 8 x + 1 = 0 x = -1 . ⇔ ⇔
Vậy: max C = 8 x = -1. ⇔
* Bài tập tự giải. 
Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) ; 1xxA 2 ++=
b) ; 1xxB 2 +−=
c) ; 53x20x2C 2 +−=
d) . 1x3x2D 2 ++=
Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) 1xxA 2 ++−= ; 
b) 1xxB 2 +−−= ; 
c) ; 53x20x2C 2 +−−=
d) ; 1x3x2D 2 ++−=
e) . 1x4x5B 2 +−−=
Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức 
bậc cao. 
Ph−ơng pháp giải: Ta th−ờng tìm cách biến đổi biểu thức đã cho về dạng 1 
bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. 
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) ; 22 )1xx(A ++=
b) 4x4x5x4xB 234 +−+−= ; 
c) )6x)(3x)(2x)(1x(C +++−= . 
Giải. 
a) Mặc dù A 0 nh−ng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì 
. 
≥
Rx,01xx2 ∈∀≠++
Ta có: 
4
3
4
3)
2
1x(
4
3)
4
1xx(1xx 222 ≥++=+++=++ . 
Do đó: . min
2
min )1xx(A ++⇔
Vậy: 
2
1x
16
9)
4
3(Amin 2 −=⇔== . 
b) Ta có: 4x4x5x4xB 234 +−+−= 
 = )4x4x()4x4x(x 222 +−++−
 = . 0)2x()2x(x 222 ≥−+−
Mà: x = 2. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎢⎣
⎡
=
=
⇔=
2x
2x
0x
0B ⇔
Do đó: min B = 0 x = 2. ⇔
c) )6x)(3x)(2x)(1x(C +++−= 
 = )]3x)(2x)].[(6x)(1x[( +++− 
 = . 3636)]5x(x[36)x5x()6x5x)(6x5x( 22222 −≥−+=−+=++−+
⎢⎣
⎡
−=
=⇔=+⇔−=
5x
0x
0)5x(x36C . 
Vậy: . ⎢⎣
⎡
−=
=⇔−=
5x
0x
36Cmin
* Bài tập tự giải – Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 9x6x10x6xM 234 +−+−= ; 
b) ; )4x)(1x)(3x(xN ++−=
c) 1x2x3x2xP 234 +−+−= ; 
d) . )2x3x)(xx(Q 22 ++−=
Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức 
có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Ph−ơng pháp giải. 
Dùng một trong các tính chất sau: 
3) a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. ≥
4) a a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a 0. ≥ ≥
5) - a a ≤ ≤ a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 
6) ba + ≤ a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0. ≥
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 5x2x2A −+= ; 
b) 3x1xB −+−= ; 
c) 3x2x1xC −+−+−= . 
Giải. 
a) áp dụng tính chất 4, ta có: 
 5x25x2x25x25x2x2A =−+≥−+=−+= . 
 A = 5 ⇔ 0x25 ≥− ⇔
2
5x ≤ . 
Vậy: min A = 5 ⇔ 
2
5x ≤ . 
b) áp dụng tính chất 6, ta có: 
 3x1xB −+−= 2x31xx31x =−+−≥−+−= . 
 3x10)x3)(1x(2B ≤≤⇔≥−−⇔= . 
Vậy: min B = 2 . ⇔ 3x1 ≤≤
c) áp dụng tính chất 6 và tính chất 3, ta có: 
 +) 3x1x −+− 2x31xx31x =−+−≥−+−= . 
Dấu bằng xảy ra khi 3x10)x3)(1x( ≤≤⇔≥−− . 
 +) 02x ≥− và dấu bằng xảy ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2. 
Do đó: 2023x2x1xC =+≥−+−+−= . Dấu bằng xảy ra khi x = 2. 
Vậy: min C = 2 ⇔ x = 2. 
* Bài tập tự giải – Bài tập 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 1xxA −+= ; 
b) 61x26x4x4B 2 ++−+= ; 
c) 5x2xC −+−= . 
Dạng4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức 
có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai . 
Ph−ơng pháp giải. Sử dụng tính chất 9: 
b
1
a
1 ≤a b, ab > 0 ⇒ ≥ . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
5x4x4
3M 2 +−= . 
Giải. 
+) Ta có: 
4)1x2(
3
5x4x4
3M 22 +−=+−= . 
Mà: ⇒ ⇒ 0)1x2( 2 ≥− 44)1x2( 2 ≥+−
4
3
4)1x2(
3M 2 ≤+−= . 
+) 
2
1x
4
3M =⇔= . 
Vậy: max 
2
1x
4
3M =⇔= . 
* Chú ý. Với biểu thức dạng này, cần l−u ý học sinh tránh sai lầm sau: Lập luận 
rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta sẽ thấy rõ sai lầm 
đó qua bài giải sau. 
Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức 
3x
1A 2 −= , ta lập luận: 
+) 
3
1
3x
133x0x 2
22 −≤−⇒−≥−⇒≥ . 
+) 0x
3
1A =⇔−= . 
Vậy: max 0x
3
1A =⇔−= . 
Nh−ng ta dễ dàng nhận thấykết quả này sai, vì với x = 2 thì A = 1 > 
3
1−
. 
Sai lầm ở chỗ: Từ -3 < 1, không thể suy ra 
1
1
3
1 >− , vì -3 và 1 không cùng dấu. 
Tổng quát: Từ a < b, chỉ suy ra đ−ợc 
b
1
a
1 > khi a và b là hai số cùng dấu. 
* Bài tập tự giải – Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu 
thức: 
a) 
7x6x9
1A 2 +−= ; 
b) 
6xx4
6B 2 −−= ; 
c) 
4xx2
1C 2 −−= ; 
d) 
3x2x
10x6x3D 2
2
++
++= ; 
e) 
1x
1xE 2
2
+
−= . 
Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức 
có mẫu là bình ph−ơng của một nhị thức bậc nhất. 
Ph−ơng pháp giải: Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A 
có dạng 2)bax(
)x(M
+ , ta viết tử thức M(x) d−ới dạng luỹ thừa của ax + b, sau đó 
chia tử thức cho mẫu thức để viết A d−ới dạng tổng các phân thức mới có tử 
thức là hằng số còn mẫu thức là luỹ thừa của nhị thức ax + b: 
 2)bax(
p
bax
n)x(mA ++++= . 
Dùng ph−ơng pháp đổi biến, đặt 
bax
1y += , ta đ−a đ−ợc A về dạng 1 hoặc dạng 
2, từ đó giải quyết đ−ợc bài toán. 
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
2
)1x(
1xxA +
++= . 
Giải. 
Viết tử thức d−ới dạng luỹ thừa của x + 1, rồi đổi biến, đặt 
1x
1y += ta có: 
 2
2
)1x(
1)1x()1x2x(A +
++−++= = 2)1x(
1
1x
11 +++− 
 = 
4
3
4
3)
2
1y(yy1 22 ≥+−=+− . 
 Min 1x
2
1y
4
3A =⇔=⇔= . 
* Bài tập tự giải. 
 Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 2x
1x2A += ; 
b) 2
2
x
1x2x4B +−= ; 
c) 
1x2x
3x3xC 2
2
+−
+−= ; 
d) 
1x2x
5x6x2D 2
2
+−
+−= . 
Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2)1x(
xA += . 
Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các phân thức khác. 
Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2x
1x2A 2 +
+= . 
Giải. 
+) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta viết A d−ới dạng: 
)2x(2
)2x()4x4x(
)2x(2
2x4
2x
1x2A 2
22
22 +
+−++=+
+=+
+= 
 = 
2
1
2
1
)2x(2
)2x(
2
2
≥−+
+
. 
Vậy: 2x
2
1Amin −=⇔−= 
+) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta viết A d−ới dạng: 
2x
1x2x2x
2x
1x2A 2
22
2 +
−+−+=+
+= = 
2x
)1x()2x(
2
22
+
−−+
 = 1
2x
)1x(1 2
2
≤+
−− . 
Vậy: 1x1Amax =⇔= . 
Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1x
3x4B 2 +
+= . 
Giải. 
+) Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta viết B d−ới dạng: 
1x
)1x()4x4x(
1x
3x4B 2
22
2 +
+−++=+
+= 
 = 11
1x
)2x(
2
2
−≥−+
+
. 
Vậy: 2x1Bmin −=⇔−=
+) Để tìm giá trị lớn nhất của B, ta viết B d−ới dạng: 
1x
1x4x44x4
1x
3x4B 2
22
2 +
−+−+=+
+= = 
1x
)1x2()1x(4
2
22
+
−−+
 = 4
1x
)1x2(4 2
2
≤+
−− . 
Vậy: 
2
1x4Bmax =⇔= . 
* Bài tập tự giải. 
 Bài tập 8. 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x1
x43M +
−= . 
Bài tập 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2x
14x3N 2
2
+
+= . 
Dạng 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa hai 
(hoặc nhiều) biến. 
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2 - 2(x – y). 
Giải. 
Ta có: A = x2 + y2 - 2x + 2y 
 = (x2 - 2x +1) + (y2 + 2y + 1) – 2 
 = (x – 1)2 + (y + 1)2 – 2 ≥ 2. 
Vậy: min A = 2 . 
⎩⎨
⎧
−=
=⇔
1y
1x
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
x
y
y
xB += với x > 0, y > 0. 
Giải. 
Ta có: 
x
y
y
xB += = 
xy
yx 22 +
 = 22
xy
yx 22 +−+ 
 = 2
xy
xy2yx 22 +−+ = 22
xy
)yx( 2 ≥+− (vì x > 0, y > 0). 
Vậy: min B = 2 ⇔ x = y. 
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 biết . 66 yxC += 1yx 22 =+
Giải. 
Ta có: = . 323266 )y()x(yxC +=+= )yyxx)(yx( 422422 +−+
Vì nên = 1yx 22 =+ 4224 yyxxC +−= 22222 yx3)yx( −+
 = . 1yx31 22 ≤−
Dấu bằng xảy ra khi x2y2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0. 
Vậy: max C = 1 . ⇔
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
±=
=
⎩⎨
⎧
±=
=
1x
0y
1y
0x
* Bài tập tự giải. 
 Bài tập 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) A = x2 - 2x + y2 + 4y + 5 ; 
b) B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 ; 
c) C = (x – ay)2 + 6(x – ay) + x2 + 16y2 – 8xy + 2x – 8y + 10. 
Bài tập 11. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 A = 4x + 6y - x2 - y2 + 2 . 
Bài tập 12. 
a) Cho x – y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 33 yxA +=
b) Cho x – y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 yx2B +=
Bài tập 13. 
 Chứng minh rằng nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn 
nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 
 áp dụng mệnh đề trên tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a) ; )x8(xA 22 −=
b) ; )x16(xB 33 −=
c) với )x2)(x1(C −−= 1x
2
1 << . 
Bài tập 14. 
 Chứng minh rằng nếu hai số d−ơng có tích không đổi thì tổng của chúng 
nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 
 áp dụng mệnh đề trên tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau (với 
x > 0) : 
a) 
x
1x2A
2 += ; 
b) 
x
1x4B
2 += ; 
c) 
x2
64x8xC
2 ++= ; 
d) 
x3
16x15xD
2 ++= ; 
e) 
x
)1x(E
2+= ; 
f) 
1x
1xF −+= . 
C. Kết luận 
 Trên đây là những nội dung tôi đã nghiên cứu và biên soạn tr−ớc hết 
nhằm củng cố và sắp xếp có hệ thống các kiến thức cơ bản về dạng toán “ Tìm 
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức ” với một số dạng biểu 
thức th−ờng gặp trong ch−ơng trình đại số lớp 8 cho chính bản thân, sau đó tôi 
đã dùng làm tài liệu để giảng dạy cho các em học sinh lớp 8 với mục đích bồi 
d−ỡng thêm kiến thức cho các em học sinh khá giỏi về một dạng toán nâng cao 
th−ờng gặp trong các đề thi và kiểm tra. Tôi rất mừng vì nhờ sự sắp xếp rõ ràng, 
đ−a kiến thức từ đơn giản đến phức tạp dần trong tài liệu nên các em học sinh từ 
lúc cảm giác sợ và nghĩ đây là dạng toán khó, đến khi tham gia học lại đều cảm 
thấy hào hứng và làm bài tập rất tốt. Tôi mạnh dạn trình bày tài liệu này nh− 
một sáng kiến kinh nghiệm nhỏ nh−ng rất cần cho các giáo viên trực tiếp giảng 
dạy toán THCS nh− chúng tôi và rất mong đ−ợc sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của 
các Thầy Cô giáo giàu kinh nghiệm, chuyên môn giỏi trong Tổ Tự nhiên I 
Tr−ờng THCS Nguyễn Tr−ờng Tộ để tôi có điều kiện học tập nâng cao năng lực 
s− phạm và trình độ chuyên môn giúp cho công tác giảng dạy đ−ợc ngày càng 
tốt hơn. Tôi xin trân trọng cám ơn! 
 Hà Nội, tháng 4 năm 2009 
 Ng−ời viết 
 Nguyễn Thuý Hằng 
D. Tài liệu tham khảo 
1) Một số vấn đề phát triển Đại số 8, Vũ Hữu Bình, Nhà xuất bản giáo dục. 
2) Ôn luyện toán trung học cơ sở, Vũ Hữu Bình, Nhà xuất bản Hà Nội. 
3) Sách bài tập toán 8, Tôn Thân (chủ biên), Nhà xuất bản giáo dục. 
4) Sách giáo khoa toán 8, Tôn Thân (chủ biên), Nhà xuất bản giáo dục. 
5) Toán bồi d−ỡng học sinh lớp 8, Vũ Hữu Bình – Tôn Thân - đỗ Quang Thiều, 
Nhà xuất bản giáo dục. 
6) Toán nâng cao và các chuyên đề Dại số 8, Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn 
Việt Hải – Vũ D−ơng Thụy, Nhà xuất bản giáo dục. 
Mục lục 
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề 
B. Nội dung đề tài 
I. Lý thuyết chung 
II. Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, 
giá trị lớn nhất th−ờng gặp trong ch−ơng trình 
toán lớp 8 
Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng 
tam thức bậc hai. 
Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng 
đa thức bậc cao. 
Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng 
đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Dạng4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng 
phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai . 
Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng 
phân thức có mẫu là bình ph−ơng của một nhị thức bậc nhất. 
Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các phân thức 
khác. 
Dạng 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa 
hai (hoặc nhiều) biến. 
C. Kết luận 
D. Tài liệu tham khảo 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
10 
12 
13 
ý kiến nhận xét 
của tổ tr−ởng chuyên môn và ban giám hiệu
Phòng giáo dục và đào tạo quận đống đa 
Tr−ờng trung học cơ sở nguyễn tr−ờng tộ 
Sáng kiến kinh nghiệm 
 Tên đề tài: 
Ph−ơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, 
 giá trị lớn nhất của một biểu thức 
 Họ và tên: Nguyễn Thuý Hằng 
 Chức vụ : Giáo viên 
 Tổ : Tự nhiên I 
 Tr−ờng : THCS Nguyễn Tr−ờng Tộ 
Hà Nội, tháng 4 - 2009