Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tích phân đổi biến số

Trang
MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài
4
Mục đích nghiên cứu
4
Đối tượng ngiên cứu
4
Giới hạn của đề tài
4
Nhiệm vụ của đề tài
4
Phương pháp nghiên cứu
4
Thời gian nghiên cứu
4
NỘI DUNG 
5
Cơ sở lí luận 
5
Cơ sở triết học
5
Cơ sở tâm lí học
5
Cơ sở giáo dục học
5
Thực trạng của đề tài
6
Thời gian và các bước tiến hành
6
Tìm hiểu học sinh
6
Giải quyết vấn đề
6
Phương pháp đổi biến số dạng 1
7
Phương pháp đổi biến số dạng 2 (đổi biến số theo sint và tant)
10
 Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý
14
HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
18
Kết quả thực tiễn
19
Kết quả thực nghiệm
19
KẾT LUẬN 
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cách đây khoảng 2.000 năm những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite (1822–1901) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski.
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán học đóng góp cho công việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.
Vào năm 1969, R. H. Risch đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân khá khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.
Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica, Maple, ...
 Trong chương trình Toán lớp 12 bài toán tích phân là một trong những bài toán khó đối với đại đa số học sinh. Thực tế sau khi học sinh học xong phương pháp tích phân đổi biến số thì các em vẫn chưa nắm được tất cả những dạng bài tập áp dụng phương pháp này một cách có hệ thống. Nhằm giúp học sinh học tốt hơn tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi giải bài toán tích phân, tôi xin trình bày một số cách biến đổi phù hợp với các hàm số dưới dấu tích phân và cách khai thác giả thiết của bài toán tích phân liên quan đến cận của tích phân thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp phổ thông và thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. 
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ phương pháp đổi biến số tích phân. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3. Đối tượng ngiên cứu:
Phương pháp tích phân đổi biến số.
4. Giới hạn của đề tài:
Dựa vào bộ sách giáo khoa hiện hành và đổi mới phương pháp dạy học đối với khối 12. Vì vậy tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số ”.
5. Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số.
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
 Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2009 - 2010
NỘI DUNG
I/ Cơ sở lí luận:
1. Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn.
2. Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại. 
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt 
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về Phương pháp tích phân đổi biến số các em thường có tâm lí khó hiểu. 
3. Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh.
II/ Thực trạng của đề tài:
1. Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2009 - 2010
2. Tìm hiểu học sinh
Thông qua các tiết dạy và học của thầy và trò tôi nhận thấy học sinh còn yếu. Việc lĩnh hội kiến thức về tích phân và kĩ năng giải toán tích phân ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
III/ Giải quyết vấn đề:
 Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “Cái dễ đến cái khó”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh.
 Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể đơn giản và giải chi tiết để học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
CƠ SỞ KHOA HỌC (Phương pháp đổi biến số)
Định lí: 
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm số hợp f(u(x)) xác định trên K ; hai số a và b thuộc K thì 
Phương pháp đổi biến số dạng 1 : 
Sử dụng cho những tích phân có dạng 
*Phương pháp: 
 + Chọn biến t = u(x) dt = u’(x)dx
 + Đổi cận: Khi x = at = u(a), khi x = b t= u(b)
 + Chuyển về tích phân theo biến mới
 Khi đó = 
* Khi đặt t = u(x) cần chú ý các vấn đề sau:
. Hàm số t = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 
. Hàm số hợp f(u(x)) xác định trên đoạn 
Khi đó ta có: = 
Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn.
+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho thích hợp bài toán.
 Trong phương pháp này chủ yếu là học sinh xác định được thành phần nào là f(u(x)), thành phần nào là u’(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân. Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trưng khi chọn hàm u(x) trong phép đổi biến số.
Bài 1: Tính các tích phân sau :
a) 
Giải
Đặt t = 2x + 1 dt = 2dx 
Khi x = 0 t =1; x = 1 t =3 =
b) 
Giải
Đặt t = lnx dx = x.dt ; Khi x = e t =1; x = e2 t = 2
 = .
Bài 2: Tính tích phân: 
Giải
Đặt t = Þ t2 = 1 + 2lnx Þ tdt = dx và 3 - 2lnx = 2- t2
với x = 1 thì t = 1; với x = thì t = 
Þ = = = 
Bài 3: Tính tích phân 
Giải
Đặt 	
Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1 
Bài 4: Tính tích phân 
Giải:
Đặt 
Þ .Đổi cận t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2.
Vậy 
Bài 5: Tính tích phân I = 
 Giải
 Đặt 
 Đổi cận x = 1 ; x = 2 
=
Bài 6 : Tính tích phân 
 Nhờ các kết quả: 
; ( )’ = và ()2 = 
Đặt ; 
.
Bài 7: Tính tích phân
Giải
 = . Đặt t = tanx 
Đổi cận : x = 0, t = 0; 
=
Bài 8: Tính tích phân 
Giải:
 Þ 
Đặt Þ . Đổi cận 
 = .
2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 
* Giả sử cần tính tích phân: 
Bước 1: Chọn x = u(t) thích hợp với bài toán
Bước 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt 
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận tương ứng theo a và b
Bước 4: Tính tích phân I= thay cho việc tính tích phân trên.
Như vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng được phương pháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? Ta phải tìm hiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó. Việc đặt ẩn phụ rất đa dạng tuỳ thuộc vào hàm số đã cho dưới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ thuộc vào cận a và b nữa. 
Dưới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn phụ khi dạy học sinh giải bài tập tính tích phân.
* Khi đặt x = u(t) cần chú ý các vấn đề sau:
+ x = u(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn 
+ Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn 
+ 
Khi đó ta có: 
* Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn
+ Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phương pháp giải bài toán tính tích phân.
 Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cường khả năng phát hiện lời giải dựa trên một số gợi ý:
- Những bài toán có dạng như thế nào thì vận dụng phương pháp đổi biến số được.
- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phương pháp đổi biến số
GỢI Ý VỀ CÁCH CHỌN BIẾN SỐ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ
Hàm số dưới dấu tích phân
Cách chọn 
Biểu thức cần tính
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
Bài 1: Tính tích phân I = (đổi biến số theo sint)
Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đổi biến số như thế nào? tại sao lại nghĩ đến việc đổi biến số?
Giáo viên dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số dưới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số y= có tập xác định ta liên tưởng đến tập giá trị của hàm số lượng giác sinx hoặc cosx. Chẳng hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân như sau: Đặt x = sint với dx = costdt. 
Giải
Đặt x = sint với dx = costdt. 
Đổi cận: Khi x = 0 t = 0; x = 1 t =
 I= ==
Bài 2: Tính tích phân I = (đổi biến số theo sint)
Giải
Đặt , với  ; 
Đổi cận: Khi x = 0 t = 0; x = 1 
 I= 
Bài 3: Tính tích phân J = (đổi biến số theo tant)
Với bài toán này hàm số dưới dấu tích phân ta liên hệ với các công thức:
 và 
Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số như sau:
Đặt x = tant với dx == (1 + tan2t)dt
Giải
Đặt x = tant với dx == (1 + tan2t)dt
Đổi cận : Khi x = 0 t = 0; x = 1 t = 
Bài 4: Tính tích phân (đổi biến số theo tant)
Giải
Ta có 
Đặt với 
Đổi cận : Khi x = 0 t =; x = 1 
==
Bài 5: Tính tích phân (đổi biến số theo tant)
Giải:
Đặt: 
3. Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý
Loại 1: Dùng ẩn phụ cho hàm số có dạng: 
Ví dụ: Tính tích phân (đổi biến số theo tan)
Giải:
Đặt  ; 
I = 
Đặt t + 1 = 2tanu . 
 Þ I= 2
Loại 2: Dựa vào cận tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân.
Ta xét một số bài toán cụ thể thường gặp sau đây:
Bài toán 1: 
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên (a > 0) khi đó: 
+ Nếu f(x) là hàm số chẵn trên thì 
+ Nếu f(x) là hàm lẻ trên thì 
Thật vậy đổi biến t = - x ta chứng minh được 
Ví dụ: Tính tích phân 
Giải:
Xét hàm số liên tục trên đoạn 
Ta có: ln= ln = ln1 = 0
. Vậy f(x) là hàm số lẻ trên đoạn 	
Tính tích phân K bằng cách đổi biến t = -x ta có:
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài toán 2: 
Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: (1b>0, a >0)
Thật vậy, xét tích phân với phép đổi biến t = - x ta có: 
Cộng (1) và (2) theo vế ta có : 
Ví dụ: Tính 
Giải:
Xét tích phân với phép đổi biến t = - x ta có: 
 (2)
thay (2) vào (1) ta có : 
Bài toán 3: 
Nếu y = f(x) liên tục trên thì 
Thật vậy: Đổi biến t = - x ta có : 
Ví dụ: Tính tích phân: I=
Giải
Đổi biến: 
chứng minh được I1=I2 suy ra:
 Vậy ta có: I1= I2 =I = 7I1 - 5I2 = 1
Bài toán 4: 
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn thì 
Thật vậy đổi biến ta có 
Ví dụ: Tính tích phân 
Giải
đổi biến :  ; x = 0 thì t = ; x = thì t = 0
Bài toán 5: 
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn và f(a + b – x) = - f(x) thì 
Thật vậy đổi biến: 
Ví dụ: Tính tích phân 
Đổi biến: . Đổi cận: 
* Chú ý: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn thì 
Thật vậy đổi biến: 
Ví dụ: Tính tích phân I = 
Giải
Đổi biến: 
 x = 0 thì t = /4 ; x = /4 thì t = 0
 = = = 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng hơn trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2009 - 2010. 
Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12A5(46 học sinh) không áp dụng sáng kiến và 12A1(45 học sinh) áp dụng sáng kiến như sau:
 xếp loại
đối tượng
Giỏi
Khá
Tb
Yếu
12A1
20%
40%
30%
10%
12A5
5%
20%
25%
50%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
V. KẾT LUẬN 
 Tích phân là một chủ đề rộng lớn của giải tích lớp 12 nên quanh nó có rất nhiều vấn đề cần bàn tới. Riêng việc tính tích phân cũng có rất nhiều phương pháp tính mà phương pháp đổi biến chỉ là một trong số đó. Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh dễ tìm được lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề tìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải là điều kiện đủ. Như vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là một trong các giải biện sư phạm cho việc tăng cường khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh phổ thông. Đề tài của tôi không tránh khỏi những hạn chế, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn!
 Người thực hiện
 Đinh Văn Quyết 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan Chủ biên – NXB GD – 2008)
2. Dùng ẩn phụ để giải toán (Nguyễn Thái Hòe – NXB Giáo dục)
3. Kiến thức cơ bản giải tích 12 (Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002)
4. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp (Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
5. Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục)
6. Phương pháp giải toán Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
7. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ